التفسير (المنطق)

لغة رسمية${\displaystyle {\mathcal {W}}}$يمكن تعريفها بالأبجدية${\displaystyle \alpha =\{\triangle ,\square \}}$وكلمة تكون في${\displaystyle {\mathcal {W}}}$إذا بدأ بـ${\displaystyle \triangle }$وهي تتألف فقط من الرموز${\displaystyle \triangle }$و${\displaystyle \square }$.

تفسير محتمل لـ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$يمكن تعيين الرقم العشري '1' لـ${\displaystyle \triangle }$و '0' إلى${\displaystyle \square }$. ثم${\displaystyle \triangle \square \triangle }$سيشير ذلك إلى 101 وفقًا لهذا التفسير لـ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$.

في حالتي منطق القضايا ومنطق المسندات، تنقسم أبجديات اللغات الصورية المدروسة إلى مجموعتين: الرموز المنطقية ( الثوابت المنطقية ) والرموز غير المنطقية. ويكمن جوهر هذا التصنيف في أن الرموز المنطقية تحمل المعنى نفسه بغض النظر عن موضوع الدراسة، بينما يتغير معنى الرموز غير المنطقية تبعًا لمجال البحث.

تُعطى الثوابت المنطقية دائمًا نفس المعنى في جميع تفسيرات النوع القياسي، بحيث لا تتغير إلا معاني الرموز غير المنطقية. تشمل الثوابت المنطقية رموز التحديد الكمي ∀ ("الكل") و∃ ("بعض")، ورموز الروابط المنطقية ∧ ("و") و∨ ("أو") و¬ ("ليس")، والأقواس ورموز التجميع الأخرى، ورمز المساواة = (في كثير من المعالجات).

بعض الرموز المنطقية للغة (بخلاف المحددات الكمية) هي روابط وظيفية حقيقية تمثل وظائف الحقيقة  - وظائف تأخذ قيم الحقيقة كمعاملات وتعيد قيم الحقيقة كمخرجات (بمعنى آخر، هذه عمليات على قيم الحقيقة للجمل).

تُمكّن الروابط المنطقية ذات الدلالة الصادقة من بناء جمل مركبة من جمل أبسط. وبهذه الطريقة، تُعرَّف القيمة الصادقة للجملة المركبة كدالة صادقة معينة للقيم الصادقة للجمل الأبسط. وعادةً ما تُعتبر هذه الروابط ثوابت منطقية ، أي أن معناها يبقى ثابتًا بغض النظر عن تفسيرات الرموز الأخرى في الصيغة.

هكذا نُعرّف الروابط المنطقية في منطق القضايا:

• ¬Φ صحيح إذا وفقط إذا كان Φ خاطئًا.
• (Φ ∧ Ψ) صحيح إذا وفقط إذا كانت Φ صحيحة و Ψ صحيحة.
• (Φ ∨ Ψ) صحيح إذا وفقط إذا كانت Φ صحيحة أو Ψ صحيحة (أو كلاهما صحيح).
• (Φ → Ψ) صحيح إذا وفقط إذا كان ¬Φ صحيحًا أو Ψ صحيحًا (أو كلاهما صحيح).
• (Φ ↔ Ψ) صحيح إذا وفقط إذا (Φ → Ψ) صحيح و (Ψ → Φ) صحيح.

بناءً على تفسير مُحدد لجميع حروف الجملة Φ و Ψ (أي بعد إسناد قيمة منطقية لكل حرف)، يُمكننا تحديد القيم المنطقية لجميع الصيغ التي تتضمنها، وذلك كدالة للروابط المنطقية. يُوضح الجدول التالي كيفية تطبيق ذلك. يُبين العمودان الأولان القيم المنطقية لحروف الجملة كما تم تحديدها من خلال التفسيرات الأربعة المُحتملة. أما الأعمدة الأخرى فتُبين القيم المنطقية للصيغ المُشتقة من هذه الحروف، حيث يتم تحديد القيم المنطقية بشكل تكراري.

الآن، بات من الأسهل فهم ما يجعل الصيغة صحيحة منطقيًا. لنأخذ الصيغة F : (Φ ∨ ¬Φ). إذا كانت دالة التفسير تجعل Φ صحيحة، فإن ¬Φ تصبح خاطئة بواسطة رابط النفي. وبما أن الجزء المنفصل Φ من F صحيح في هذا التفسير، فإن F صحيحة. الآن، التفسير الوحيد الآخر الممكن لـ Φ يجعلها خاطئة، وفي هذه الحالة، تصبح ¬Φ صحيحة بواسطة دالة النفي. وهذا من شأنه أن يجعل F صحيحة مرة أخرى، لأن أحد أجزاء F المنفصلة، ​​وهو ¬Φ، سيكون صحيحًا في هذا التفسير. وبما أن هذين التفسيرين لـ F هما التفسيران المنطقيان الوحيدان الممكنان، وبما أن F صحيحة في كليهما، نقول إنها صحيحة منطقيًا أو تحصيل حاصل.

بفرض وجود توقيع σ، تُعرف اللغة الرسمية المقابلة له باسم مجموعة صيغ σ. تُبنى كل صيغة σ من صيغ ذرية باستخدام الروابط المنطقية؛ وتُبنى الصيغ الذرية من حدود باستخدام رموز المسندات. أما التعريف الرسمي لمجموعة صيغ σ فيتم في الاتجاه المعاكس: أولًا، تُجمع الحدود من رموز الثوابت والدوال بالإضافة إلى المتغيرات. ثم، يمكن دمج الحدود في صيغة ذرية باستخدام رمز مسند (رمز علاقة) من التوقيع أو رمز المسند الخاص "=" للمساواة (انظر قسم " تفسير المساواة" أدناه). أخيرًا، تُجمع صيغ اللغة من الصيغ الذرية باستخدام الروابط المنطقية والمحددات الكمية.

لإضفاء معنى على جميع جمل لغة من الدرجة الأولى، يلزم توفر المعلومات التالية.

• مجال الخطاب ^{[ أ ]} د ، عادة ما يشترط أن يكون غير فارغ (انظر أدناه).
• لكل رمز ثابت، عنصر من D كتفسير له.
• لكل رمز دالة من الرتبة n ، دالة من الرتبة n من D إلى D كتفسير لها (أي دالة D ⁿ  → D ). 
• لكل رمز مسند من النوع n ، توجد علاقة من النوع n على D كتفسير له (أي مجموعة فرعية من D ⁿ ).

يُعرف الكائن الذي يحمل هذه المعلومات باسم بنية ( من التوقيع σ)، أو بنية σ، أو بنية L (من اللغة L)، أو باسم "نموذج".

تُوفّر المعلومات المُحدّدة في التفسير بيانات كافية لتحديد قيمة الصواب لأي صيغة ذرية، بعد استبدال كل متغير حرّ فيها، إن وُجد، بعنصر من عناصر المجال. تُحدّد قيمة الصواب لأي جملة استقرائيًا باستخدام مخطط T ، وهو تعريف للدلالات من الدرجة الأولى طوّره ألفريد تارسكي. يُفسّر مخطط T الروابط المنطقية باستخدام جداول الصواب، كما ذُكر سابقًا. على سبيل المثال، يتحقق الشرط φ ∧ ψ إذا وفقط إذا تحقق الشرطان φ و ψ معًا.

يبقى هنا مسألة كيفية تفسير الصيغ من الشكل ∀ x φ( x ) و ∃ x φ( x ) . يشكل مجال الخطاب نطاق هذه المحددات الكمية. الفكرة هي أن الجملة ∀ x φ( x ) تكون صحيحة في تفسير معين عندما يتحقق كل استبدال لـ φ( x )، حيث يُستبدل x بعنصر من المجال. تتحقق الصيغة ∃ x φ( x ) إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل d من المجال بحيث تتحقق φ( d ).

بالمعنى الدقيق، فإنّ حالة استبدال مثل الصيغة φ( d ) المذكورة أعلاه ليست صيغةً في اللغة الرسمية الأصلية لـ φ، لأنّ d عنصرٌ من المجال. هناك طريقتان لمعالجة هذه المسألة التقنية. الأولى هي الانتقال إلى لغةٍ أوسع يُسمى فيها كل عنصر من عناصر المجال برمزٍ ثابت. والثانية هي إضافة دالةٍ إلى التفسير تُسند كل متغير إلى عنصرٍ من عناصر المجال. عندئذٍ، يُمكن لمخطط T أن يُعمّم على اختلافات التفسير الأصلي التي تتغير فيها دالة إسناد المتغيرات هذه، بدلاً من التعميم على حالات الاستبدال.

يُقرّ بعض المؤلفين أيضًا بوجود متغيرات افتراضية في منطق الرتبة الأولى، والتي يجب تفسيرها بدورها. يمكن للمتغير الافتراضي أن يُمثّل صيغةً مستقلةً بذاتها. ويُمكن تفسير المتغير الافتراضي بإحدى قيمتي الصواب: الصواب أو الخطأ. ^{[ 3 ]}

لأن التفسيرات من الدرجة الأولى الموصوفة هنا مُعرَّفة في نظرية المجموعات ، فإنها لا تربط كل رمز محمول بخاصية ^{[ ب ]} (أو علاقة)، ​​بل بامتداد تلك الخاصية (أو العلاقة). بعبارة أخرى، هذه التفسيرات من الدرجة الأولى هي تفسيرات امتدادية ^{[ ج ]} وليست تفسيرات قصدية .

مثال على التفسير${\displaystyle {\mathcal {I}}}$أما بالنسبة للغة L الموصوفة أعلاه، فهي كما يلي.

• المجال: مجموعة شطرنج
• الثوابت الفردية: أ: الملك الأبيض، ب: الملكة السوداء، ج: بيدق الملك الأبيض
• F(x): x هو جزء
• G(x): x بيدق
• H(x): x أسود
• I(x): x أبيض
• J(x, y): يمكن لـ x أن يلتقط y

في التفسير${\displaystyle {\mathcal {I}}}$من L:

• الجمل التالية صحيحة: F(a)، G(c)، H(b)، I(a)، J(b، c).
• الجمل التالية خاطئة: J(a, c), G(a).

كما ذُكر أعلاه، عادةً ما يكون التفسير من الدرجة الأولى مطلوبًا لتحديد مجموعة غير فارغة كمجال للخطاب. والسبب في هذا الشرط هو ضمان أن تكون المكافئات مثل $${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),}$$ حيث لا يكون x متغيرًا حرًا لـ φ، تكون هذه العبارات صحيحة منطقيًا. يتحقق هذا التكافؤ في كل تفسير ذي مجال غير فارغ، ولكنه لا يتحقق دائمًا عند السماح بالمجالات الفارغة. على سبيل المثال، التكافؤ $${\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}$$ يفشل هذا الأسلوب في أي بنية ذات نطاق فارغ. وبالتالي، تصبح نظرية إثبات منطق الرتبة الأولى أكثر تعقيدًا عند السماح بالبنى الفارغة. مع ذلك، فإن الفائدة المرجوة من السماح بها ضئيلة، إذ أن كلًا من التفسيرات المقصودة والتفسيرات المهمة للنظريات التي يدرسها الباحثون لها نطاقات غير فارغة. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

لا تُشكّل العلاقات الفارغة أيّ مشكلةٍ للتفسيرات من الدرجة الأولى، لعدم وجود مفهومٍ مماثلٍ لتمرير رمز العلاقة عبر رابطٍ منطقيّ، ممّا يُوسّع نطاقه. لذا، يُمكن تفسير رموز العلاقات على أنّها خاطئةٌ تمامًا. مع ذلك، يجب أن يُسند تفسير رمز الدالة دائمًا دالةٍ مُحدّدةٍ وكاملةٍ إليه.

غالباً ما تُعالج علاقة المساواة بشكل خاص في منطق الرتبة الأولى ومنطق المسندات الأخرى. وهناك منهجان عامان.

يتمثل النهج الأول في التعامل مع المساواة كأي علاقة ثنائية أخرى. في هذه الحالة، إذا تضمن التوقيع رمز المساواة، فعادةً ما يكون من الضروري إضافة بديهيات مختلفة حول المساواة إلى أنظمة البديهيات (على سبيل المثال، بديهية الاستبدال التي تنص على أنه إذا كان a = b و R ( a ) صحيحة، فإن R ( b ) صحيحة أيضًا). يُعد هذا النهج في التعامل مع المساواة مفيدًا للغاية عند دراسة التوقيعات التي لا تتضمن علاقة المساواة، مثل توقيع نظرية المجموعات أو توقيع الحساب من الرتبة الثانية، حيث توجد علاقة مساواة للأعداد فقط، وليس لمجموعات الأعداد.

يتمثل النهج الثاني في التعامل مع رمز علاقة المساواة كثابت منطقي يجب تفسيره بواسطة علاقة المساواة الحقيقية في أي تأويل. يُعرف التأويل الذي يُفسر المساواة بهذه الطريقة بالنموذج الطبيعي ، لذا فإن هذا النهج الثاني يُعادل دراسة التأويلات التي تُصادف أنها نماذج طبيعية فقط. وتكمن ميزة هذا النهج في أن البديهيات المتعلقة بالمساواة مُحققة تلقائيًا في كل نموذج طبيعي، وبالتالي لا حاجة لإدراجها صراحةً في نظريات الرتبة الأولى عند التعامل مع المساواة بهذه الطريقة. يُطلق على هذا النهج الثاني أحيانًا اسم منطق الرتبة الأولى مع المساواة ، لكن العديد من المؤلفين يتبنونه للدراسة العامة لمنطق الرتبة الأولى دون تعليق.

هناك عدة أسباب أخرى لحصر دراسة منطق الرتبة الأولى بالنماذج العادية. أولًا، من المعروف أن أي تفسير من الرتبة الأولى يُفسَّر فيه التساوي بعلاقة تكافؤ ويُحقق بديهيات الاستبدال للتساوي، يُمكن اختزاله إلى تفسير مكافئ أولي على مجموعة جزئية من المجال الأصلي. وبالتالي، لا توجد إضافة عامة تُذكر في دراسة النماذج غير العادية. ثانيًا، إذا أُخذت النماذج غير العادية في الاعتبار، فإن كل نظرية متسقة لها نموذج لانهائي؛ وهذا يؤثر على صياغة نتائج مثل نظرية لوفنهايم-سكوليم ، التي تُصاغ عادةً بافتراض أن النماذج العادية فقط هي التي تُؤخذ في الاعتبار.

يُعمم منطق الرتبة الأولى اللغات التي تحتوي على أكثر من نوع واحد من المتغيرات. الفكرة هي أن الأنواع المختلفة من المتغيرات تُمثل أنواعًا مختلفة من الكائنات. يمكن تحديد كمية كل نوع من المتغيرات؛ وبالتالي، فإن تفسير لغة متعددة الأنواع له نطاق منفصل لكل نوع من أنواع المتغيرات (توجد مجموعة لا نهائية من المتغيرات لكل نوع من الأنواع المختلفة). يتم تحديد رموز الدوال والعلاقات، بالإضافة إلى عدد وسائطها، بحيث يجب أن ينتمي كل وسيط من وسائطها إلى نوع معين.

أحد الأمثلة على منطق التصنيف المتعدد هو الهندسة الإقليدية المستوية . يوجد نوعان: النقاط والخطوط. يوجد رمز علاقة مساواة للنقاط، ورمز علاقة مساواة للخطوط، وعلاقة وقوع ثنائية E تأخذ متغير نقطة واحد ومتغير خط واحد. التفسير المقصود لهذه اللغة هو أن متغيرات النقاط تشمل جميع النقاط على المستوى الإقليدي ، ومتغيرات الخطوط تشمل جميع الخطوط على المستوى، وعلاقة الوقوع E ( p , l ) صحيحة فقط إذا وفقط إذا كانت النقطة p تقع على الخط l .

بافتراض نظام رسمي بسيط (سنسمي هذا النظام${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$) التي تتكون أبجديتها α من ثلاثة رموز فقط${\displaystyle \{\blacksquare ,\bigstar ,\blacklozenge \}}$وقاعدة تكوين الصيغ هي:

أي سلسلة من الرموز${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$وهي صيغة تتكون من ستة رموز على الأقل، وليست طويلة بلا حدود.${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$لا شيء آخر هو صيغة من${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$.

مخطط البديهية الواحدة لـ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$يكون:

"${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ast \blacklozenge \ \blacksquare \ast }$" (أين "${\displaystyle \ast }$" هو متغير ما وراء التركيب النحوي يمثل سلسلة محدودة من "${\displaystyle \blacksquare }$"s )

يمكن بناء برهان رسمي على النحو التالي:

1. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare }$
2. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$
3. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$

في هذا المثال، أنتجت النظرية "${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$يمكن تفسير العبارة على أنها تعني "واحد زائد ثلاثة يساوي أربعة". تفسير آخر هو قراءتها بالعكس على أنها "أربعة ناقص ثلاثة يساوي واحد". ^{[ 9 ]}