نموذج ذو قيم منطقية

في المنطق الرياضي ، يُعدّ النموذج ذو القيم البوليانية تعميمًا للمفهوم التارسكيّ المعتاد للبنية من نظرية النماذج . في النموذج ذي القيم البوليانية، لا تقتصر قيم الصواب للقضايا على "صحيح" و"خطأ"، بل تأخذ قيمًا في جبر بولياني كامل وثابت .

طُرحت النماذج ذات القيم المنطقية من قِبل دانا سكوت ، وروبرت إم. سولوفاي ، وبيتر فوبينكا في ستينيات القرن الماضي بهدف المساعدة في فهم طريقة بول كوهين في الإجبار . وترتبط هذه النماذج أيضًا بدلالات جبر هيتينغ في المنطق الحدسي .

قم بتثبيت جبر بولياني كامل B ^{[ 1 ]} ولغة من الدرجة الأولى L ؛ ستتكون توقيعات L من مجموعة من الرموز الثابتة ورموز الدوال ورموز العلاقات.

يتألف النموذج ذو القيم المنطقية للغة L من فضاء M ، وهو مجموعة من العناصر (أو الأسماء )، بالإضافة إلى تفسيرات للرموز. وبالتحديد، يجب على النموذج أن يُسند لكل رمز ثابت في L عنصرًا من M ، ولكل رمز دالة من الرتبة n، f، في L، _ولكل مجموعة من الرتبة n ، ⟨a₀ , _... , anₙ₋₁⟩ من عناصر M ، يجب على النموذج أن يُسند عنصرًا _من M للمصطلح f ( a₀ _{, ...} , anₙ₋₁ ₎ .

يُعدّ تفسير الصيغ الذرية لـ L أكثر تعقيدًا. فلكل زوج من عناصر M ، a و b ، يجب على النموذج إسناد قيمة منطقية ‖ a = b ‖ للتعبير a = b ؛ وتُستمد هذه القيمة المنطقية من الجبر البولياني B. وبالمثل، لكل رمز علاقة من الرتبة n، R، في L، ولكل مجموعة من الرتبة n، ⟨ a ₀ ,..., a _{n -1} ⟩، من عناصر M ، يجب على النموذج إسناد عنصر من B ليكون القيمة المنطقية ‖ R ( a ₀ ,..., a _{n -1} ) ‖ .

يمكن استخدام قيم الصواب للصيغ الذرية لإعادة بناء قيم الصواب لصيغ أكثر تعقيدًا، باستخدام بنية الجبر البولياني. بالنسبة للروابط المنطقية، يكون هذا سهلاً؛ إذ يُطبَّق ببساطة عوامل التشغيل البوليانية المناظرة على قيم الصواب للصيغ الفرعية. على سبيل المثال، إذا كانت φ ( x ) و ψ ( y , z ) صيغتين بمتغير حر واحد ومتغيرين حرين على التوالي، وإذا كانت a و b و c عناصر من فضاء النموذج المراد استبدالها بـ x و y و z ، فإن قيمة الصواب لـ

${\displaystyle \phi (a)\land \psi (b,c)}$

هو ببساطة

${\displaystyle \|\phi (a)\land \psi (b,c)\|=\|\phi (a)\|\ \land \ \|\psi (b,c)\|}$

يُشترط اكتمال الجبر البولياني لتحديد قيم الصواب للصيغ الكمية. إذا كانت φ ( x ) صيغة ذات متغير حر x (وربما متغيرات حرة أخرى مُهمَلة)، فإن

${\displaystyle \|\exists x\phi (x)\|=\bigvee _{a\in M}\|\phi (a)\|,}$

حيث يُفهم الجانب الأيمن على أنه القيمة العليا في B لمجموعة جميع قيم الحقيقة || φ ( a )|| عندما تتغير a على M .

قيمة الصواب للصيغة هي عنصر من عناصر الجبر البولياني الكامل B.

بالنظر إلى جبر بولياني كامل B [ 1 ]، يوجد نموذج ذو قيم بوليانية يُرمز له بـ V B ، وهو النظير البولياني لعالم فون نيومان V. (بالمعنى الدقيق، V B  فئة حقيقية ، لذا نحتاج إلى إعادة تفسير معنى أن يكون نموذجًا بشكل مناسب). بشكل غير رسمي، عناصر V B هي "مجموعات ذات قيم بوليانية". بالنظر إلى مجموعة عادية A ، فإن كل مجموعة إما أن تكون عضوًا في A أو لا تكون كذلك؛ ولكن بالنظر إلى مجموعة ذات قيم بوليانية، فإن لكل مجموعة درجة عضوية معينة (ثابتة) في A.

عناصر المجموعة ذات القيم المنطقية، بدورها، هي أيضًا مجموعات ذات قيم منطقية، وعناصر هذه المجموعات هي أيضًا مجموعات ذات قيم منطقية، وهكذا. وللحصول على تعريف غير دائري للمجموعة ذات القيم المنطقية، تُعرَّف استقرائيًا في تسلسل هرمي مشابه للتسلسل الهرمي التراكمي . لكل ترتيب α من V ، تُعرَّف المجموعة V ^B _{α كما يلي.}

• V ^B ₀ هي المجموعة الفارغة .
• V ^B _{α +1} هي مجموعة جميع الدوال التي تكون مجالاتها مجموعات جزئية من V ^B _α وموجهة إلى B. (تمثل هذه الدالة مجموعة جزئية من V ^B _α ؛ إذا كانت f دالة من هذا النوع، فإنه لأي x ∈ V ^B _α يقع في مجال f ، فإن قيمة f ( x ) هي درجة انتماء x إلى المجموعة.)
• إذا كانت α هي النهاية الترتيبية ، فإن V ^B _α هو اتحاد V ^B _β لـ β < α .

يتم تعريف الفئة V ^B على أنها اتحاد جميع المجموعات V ^B _α .

من الممكن أيضًا إضفاء الطابع النسبي على هذا البناء بأكمله ليُصبح ^{نموذجًا} متعديًا M لـ ZF (أو أحيانًا جزءًا منه). يُحصل على النموذج ذي القيم البوليانية MB بتطبيق البناء المذكور أعلاه داخل M. لا يُعدّ التقييد بالنماذج المتعدية أمرًا جوهريًا، إذ تُشير مُبرهنة انهيار موستوفسكي إلى أن كل نموذج "معقول" ( مؤسس جيدًا ، امتدادي ) مُتماثل مع نموذج متعدي. (إذا لم يكن النموذج M متعديًا، يصبح الأمر أكثر تعقيدًا، إذ قد يختلف تفسير M لمعنى كونه "دالة" أو "ترتيبيًا" عن التفسير "الخارجي").

بعد تعريف عناصر VB كما سبق، من الضروري تعريف علاقات المساواة والانتماء ذات القيم في B على VB ^{. العلاقة} ذات القيم في B على ^VB هي دالة من VB × VB إلى ^B. ولتجنب الخلط بينها وبين علاقات المساواة والانتماء المعتادة، يُرمز لها ^بـ ‖x = y‖ و ‖x ∈ y‖ حيث x و y ينتميان إلى VB . ويتم تعريفها كما يلي ^:

‖ x ∈ y ‖ تُعرَّف على أنها Σ _{t ∈ Dom( y )} ‖ x = t ‖ ∧ y ( t ) (" x ينتمي إلى y إذا كان مساويًا لشيء ما في y ").

يُعرَّف ‖ x = y ‖ بأنه ‖ x ⊆ y ‖ ∧ ‖ y ⊆ x ‖ (" x يساوي y إذا كان x و y مجموعتين جزئيتين من بعضهما البعض")، حيث

يُعرَّف ‖ x ⊆ y ‖ على أنه Π _{t ∈ Dom( x )} x ( t ) ⇒ ‖ t ∈ y ‖ (" x مجموعة جزئية من y إذا كانت جميع عناصر x موجودة في y ")

يرمز الرمزان Σ و Π إلى عمليتي الحد الأعلى الأدنى والحد الأدنى الأكبر، على التوالي، في الجبر البولياني الكامل B. للوهلة الأولى، تبدو التعريفات أعلاه دائرية: ‖ ∈ ‖ يعتمد على ‖ = ‖ ، والذي يعتمد بدوره على ‖ ⊆ ‖ ، والذي يعتمد بدوره على ‖ ∈ ‖ . مع ذلك، يُظهر التدقيق أن تعريف ‖ ∈ ‖ يعتمد فقط على ‖ ∈ ‖ للعناصر ذات الرتبة الأصغر، لذا فإن ‖ ∈ ‖ و ‖ = ‖ دالتان معرفتان جيدًا من V ^B × V ^B إلى B.

يمكن إثبات أن العلاقات ذات القيم في B ، ‖ ∈ ‖ و ‖ = ‖ على V ^B، تجعل V ^B نموذجًا منطقيًا لنظرية المجموعات. لكل جملة في نظرية المجموعات من الرتبة الأولى، التي لا تحتوي على متغيرات حرة، قيمة منطقية في B ؛ ويجب إثبات أن بديهيات المساواة وجميع بديهيات نظرية مجموعات ZF (المكتوبة بدون متغيرات حرة) لها القيمة المنطقية 1 (أكبر عنصر في B ). هذا البرهان مباشر، ولكنه طويل نظرًا لوجود العديد من البديهيات المختلفة التي يجب التحقق منها.

يستخدم علماء نظرية المجموعات تقنية تُسمى " الإجبار" للحصول على نتائج الاستقلال وبناء نماذج لنظرية المجموعات لأغراض أخرى. طُوّرت هذه الطريقة في الأصل على يد بول كوهين ، ولكنها توسّعت بشكل كبير منذ ذلك الحين. في أحد أشكالها، تُضيف تقنية "الإجبار" مجموعةً جزئيةً عامةً من مجموعة مرتبة جزئيًا إلى "الكائن الكامل" ، حيث تُصمّم هذه المجموعة لفرض خصائص مثيرة للاهتمام على الكائن المُضاف حديثًا. تكمن المشكلة في أنه (بالنسبة للمجموعات المرتبة جزئيًا المثيرة للاهتمام) يُمكن إثبات أنه لا توجد ببساطة مجموعة جزئية عامة من هذه المجموعة. هناك ثلاث طرق شائعة للتعامل مع هذه المشكلة:

• الإجبار النحوي علاقة إجبارية${\displaystyle p\Vdash \phi }$تُعرَّف العلاقة بين عناصر p من المجموعة المرتبة جزئيًا والصيغ φ للغة الإجبارية . هذه العلاقة مُعرَّفة نحويًا ولا تحمل أي دلالة؛ أي لا يتم إنتاج أي نموذج. بدلًا من ذلك، انطلاقًا من افتراض أن ZF (أو أي نظام بديهي آخر لنظرية المجموعات) يُثبت العبارة المستقلة، يُبيَّن أن ZF يجب أن تكون قادرة أيضًا على إثبات التناقض. مع ذلك، فإن الإجبار "على V "؛ أي أنه ليس من الضروري البدء بنموذج متعدٍّ قابل للعد. انظر كونين (1980) لشرح هذه الطريقة.
• النماذج المتعدية القابلة للعد: يبدأ المرء بنموذج متعدي قابل للعد M، يحتوي على جزء من نظرية المجموعات بالقدر اللازم للغرض المطلوب، ويتضمن المجموعة المرتبة جزئيًا. ثم توجد مرشحات على المجموعة المرتبة جزئيًا تكون عامة على M ؛ أي أنها تُطابق جميع المجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة للمجموعة المرتبة جزئيًا والتي تصادف أنها أيضًا عناصر من M.
• الكائنات العامة الوهمية : عادةً ما يتظاهر علماء نظرية المجموعات بأن المجموعة المرتبة جزئيًا تحتوي على مجموعة جزئية عامة على جميع عناصر V. هذا الكائن العام، في الحالات غير التافهة، لا يمكن أن يكون عنصرًا من V ، وبالتالي "لا وجود له في الواقع". (بالطبع، يُعدّ وجود أي مجموعات "فعليًا" مسألة خلاف فلسفي، لكن هذا خارج نطاق النقاش الحالي). مع قليل من الممارسة، تصبح هذه الطريقة مفيدة وموثوقة، لكنها قد لا تكون مُرضية فلسفيًا.

• بيل، جيه إل (1985) النماذج ذات القيم البوليانية وبراهين الاستقلال في نظرية المجموعات ، أكسفورد. ISBN 0-19-853241-5
• غريشين، في إن (2001) [1994]، "نموذج ذو قيم منطقية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• جيتش، توماس (2002). نظرية المجموعات، طبعة الألفية الثالثة (منقحة وموسعة) . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965 . 
• كونين، كينيث (1980). نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . نورث هولاند. ISBN 0-444-85401-0. OCLC 12808956 . 
• كوسرايف، أ.ج. وكوتاتيلادزه، س.س. (1999). التحليل المنطقي ذو القيم . دار نشر كلوير الأكاديمية. رقم ISBN 0-7923-5921-6. OCLC 41967176 . يحتوي على شرح للنماذج ذات القيم المنطقية وتطبيقاتها على فضاءات ريز، وفضاءات باناخ، والجبر.
• مانين، يو. آي. (1977). دورة في المنطق الرياضي . سبرينغر. ISBN 0-387-90243-0. OCLC 2797938 . يحتوي على شرح لنماذج الإجبار والنماذج ذات القيم المنطقية مكتوبة للرياضيين الذين ليسوا من علماء نظرية المجموعات.
• روسر، ج. باركلي (1969). براهين الاستقلال المبسطة، نماذج القيم البولية لنظرية المجموعات . دار النشر الأكاديمية.