الجبر البولياني الكامل

في الرياضيات ، الجبر البولياني الكامل هو جبر بولياني يكون لكل مجموعة جزئية فيه حد أعلى ( قيمة عليا دنيا ). تُستخدم الجبر البولياني الكامل لبناء نماذج ذات قيم بوليانية لنظرية المجموعات في نظرية الإجبار . لكل جبر بولياني A إكمال فريد أساسًا، وهو جبر بولياني كامل يحتوي على A بحيث يكون كل عنصر فيه هو الحد الأعلى لمجموعة جزئية من A. وباعتباره مجموعة مرتبة جزئيًا ، فإن هذا الإكمال لـ A هو إكمال ديديكيند-ماكنيل .

وبشكل عام، بالنسبة لبعض الأعداد الأصلية κ، يُطلق على الجبر البولياني اسم κ-كامل إذا كان لكل مجموعة فرعية ذات عدد أصلي أقل من أو يساوي κ قيمة عليا.

أمثلة

الجبر البولياني الكامل

كل جبر بولياني محدود يكون كاملاً.
إن جبر المجموعات الجزئية لمجموعة معينة هو جبر بولياني كامل.
تشكل المجموعات المفتوحة المنتظمة لأي فضاء طوبولوجي جبرًا بوليانيًا كاملًا. يكتسب هذا المثال أهمية خاصة لأن كل مجموعة جزئية مرتبة قسرية يمكن اعتبارها فضاءً طوبولوجيًا ( قاعدة للطوبولوجيا تتكون من مجموعات تمثل مجموعة جميع العناصر الأصغر من أو تساوي عنصرًا معينًا). يمكن استخدام الجبر المفتوح المنتظم المقابل لتكوين نماذج ذات قيم بوليانية، والتي تُكافئ بدورها امتدادات عامة بواسطة المجموعة الجزئية المرتبة القسرية المعطاة.
إن جبر جميع المجموعات الجزئية القابلة للقياس في فضاء قياس منتهٍ من نوع سيجما ، بتردد المجموعات الصفرية ، هو جبر بولياني كامل. عندما يكون فضاء القياس هو الفترة 1 مع جبر سيجما للمجموعات القابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ، يُسمى الجبر البولياني بالجبر العشوائي .
الجبر البولياني لجميع مجموعات باير modulo مجموعات ضئيلة في فضاء طوبولوجي ذي قاعدة قابلة للعد هو جبر كامل؛ عندما يكون الفضاء الطوبولوجي هو الأعداد الحقيقية، يُطلق على الجبر أحيانًا اسم جبر كانتور .

الجبر البولياني غير الكامل

إن جبر جميع المجموعات الجزئية لمجموعة غير منتهية والتي تكون منتهية أو لها مكمل منتهي هو جبر بولياني ولكنه ليس كاملاً.
إن جبر جميع المجموعات الفرعية القابلة للقياس في فضاء القياس هو جبر بولياني كامل من النوع ℵ ₁ ، ولكنه ليس كاملاً عادةً.
مثال آخر على الجبر البولياني غير الكامل هو الجبر البولياني P(ω) لجميع مجموعات الأعداد الطبيعية ، مقسومًا على المثالي Fin للمجموعات الجزئية المنتهية. يتكون الكائن الناتج، الذي يُرمز له بـ P(ω)/Fin، من جميع فئات التكافؤ لمجموعات الأعداد الطبيعية، حيث تكون علاقة التكافؤ ذات الصلة هي أن مجموعتين من الأعداد الطبيعية متكافئتان إذا كان فرقهما المتناظر منتهيًا. تُعرَّف العمليات البوليانية بشكل مماثل، على سبيل المثال، إذا كانت A و B فئتين من فئات التكافؤ في P(ω)/Fin، فإننا نُعرِّف $A\land B$ أن تكون فئة التكافؤ لـ $a\cap b$ ، حيث أن a و b هما بعض (أي) عناصر من A و B على التوالي.

لنفترض الآن أن _a₀_، a₁ ، _... هي مجموعات لانهائية منفصلة مثنى مثنى من الأعداد الطبيعية، ولتكن A₀ ، A₁ ، ... هي فئات التكافؤ المناظرة لها في P(ω)/Fin. عندئذٍ، لأي حد أعلى _Xلـ A₀ ، _A₁، ... في P(ω)/Fin، يمكننا إيجاد حد أعلى أصغر ، وذلك بإزالة عنصر واحد من كل aₙ _من ممثل X. وبالتالي، _لا يوجد حد أعلى _لـ Aₙ .

خصائص الجبر البولياني الكامل

كل مجموعة جزئية من جبر بولياني كامل لها قيمة عليا، بحسب التعريف؛ ويترتب على ذلك أن كل مجموعة جزئية لها أيضًا قيمة دنيا (أكبر حد أدنى). ^{[ 1 ]}
بالنسبة للجبر البولياني الكامل، تتحقق قوانين التوزيع اللانهائية إذا وفقط إذا كان متماثلاً مع حقل كامل من المجموعات (على سبيل المثال، مجموعة القوى لمجموعة ما). ^{[ 2 ]}
بالنسبة للجبر البولياني الكامل، تنطبق قوانين دي مورغان اللانهائية .
تكون الجبر البولياني كاملة إذا وفقط إذا كان فضاء ستون الخاص بها من المُثُل الأولية منفصلاً للغاية .
تنص نظرية التمديد لسيكورسكي على أنه إذا كانت A جبرًا فرعيًا من جبر بولياني B ، فإن أي تشاكل من A إلى جبر بولياني كامل C يمكن تمديده إلى تشاكل من B إلى C.

إتمام عملية الجبر البولياني

يمكن تعريف اكتمال الجبر البولياني بعدة طرق متكافئة:

إن إكمال A هو (حتى التشاكل) الجبر البولياني الكامل الوحيد B الذي يحتوي على A بحيث يكون A كثيفًا في B ؛ وهذا يعني أنه لكل عنصر غير صفري من B يوجد عنصر غير صفري أصغر من A.
إن إكمال A هو (حتى التشاكل) الجبر البولياني الكامل الوحيد B الذي يحتوي على A بحيث يكون كل عنصر من B هو الأعلى لبعض المجموعات الفرعية من A.

يمكن بناء إكمال الجبر البولياني A بعدة طرق:

الإكمال هو الجبر البولياني للمجموعات المفتوحة المنتظمة في فضاء ستون للمثاليات الأولية لـ A. كل عنصر x من A يتوافق مع المجموعة المفتوحة للمثاليات الأولية التي لا تحتوي على x (وهي مفتوحة ومغلقة، وبالتالي منتظمة).
الإكمال هو الجبر البولياني للقطع المنتظمة للمجموعة A. هنا، القطع هو مجموعة جزئية U من A ⁺ (العناصر غير الصفرية في A ) بحيث إذا كان q ينتمي إلى U و p ≤ q فإن p ينتمي إلى U ، ويُسمى القطع منتظمًا إذا كان كلما لم يكن p ينتمي إلى U يوجد r ≤ p بحيث لا تحتوي U على أي عناصر ≤ r . كل عنصر p من A يُقابله قطع العناصر ≤ p .

إذا كان A فضاءً متريًا و B إكماله، فإن أي تماثل من A إلى فضاء متري كامل C يمكن تمديده إلى تماثل وحيد من B إلى C. العبارة المماثلة للجبر البولياني الكامل غير صحيحة: لا يمكن بالضرورة تمديد أي تشاكل من جبر بولياني A إلى جبر بولياني كامل C إلى تشاكل (يحافظ على القيم العليا) للجبر البولياني الكامل من إكمال B لـ A إلى C. (بحسب نظرية سيكورسكي للتمديد، يمكن تمديده إلى تشاكل للجبر البولياني من B إلى C ، لكن هذا لن يكون عمومًا تشاكلًا للجبر البولياني الكامل؛ بمعنى آخر، ليس بالضرورة أن يحافظ على القيم العليا).

الجبر البولياني الكامل الحر من النوع κ

ما لم يتم تخفيف بديهية الاختيار ، ^{[ 3 ]} لا توجد جبريات بولية كاملة حرة مولدة بواسطة مجموعة (إلا إذا كانت المجموعة منتهية). بتعبير أدق، لأي عدد أصلي κ، يوجد جبر بولي كامل عدده ^2κ أكبر من κ، يتم توليده كجبر بولي كامل بواسطة مجموعة جزئية قابلة للعد؛ على سبيل المثال، الجبر البولي للمجموعات المفتوحة المنتظمة في فضاء الضرب κω ^، حيث κ لها طوبولوجيا منفصلة. تتكون المجموعة المولدة القابلة للعد من جميع المجموعات a ^<sub>_{m , n} </sub>، حيث m و n عددان صحيحان، والتي تتكون من العناصر x ∈ κω بحيث x ( m ) < x ( n ). (يُسمى هذا الجبر البولي بالجبر المنهار ، لأنه يؤدي إلى انهيار العدد الأصلي κ على ω).

على وجه الخصوص، لا يمتلك المؤثر النسياني من الجبر البولياني الكامل إلى المجموعات مُرافقًا أيسر ، على الرغم من كونه متصلًا وفئة الجبر البولياني صغيرة-كاملة . وهذا يُبين أن "شرط مجموعة الحلول" في نظرية المؤثر المرافق لفريد ضروري.

بفرض وجود مجموعة X ، يمكن تكوين الجبر البولياني الحر A المولد بواسطة هذه المجموعة، ثم أخذ إكماله B. ومع ذلك، فإن B ليس جبرًا بوليانيًا كاملًا "حرًا" مولدًا بواسطة X (إلا إذا كانت X منتهية أو تم حذف AC) ، لأنه لا يمكن بشكل عام تمديد دالة من X إلى جبر بولياني حر C إلى تشاكل (يحافظ على القيمة العليا) للجبر البولياني من B إلى C.

من ناحية أخرى، بالنسبة لأي عدد أصلي ثابت κ، يوجد جبر بولياني كامل κ حر (أو عالمي) يتم توليده بواسطة أي مجموعة معينة.

انظر أيضاً

مراجع

↑ فلاديميروف، د.أ. (2002)، "الجبر البولياني الكامل" ، في فلاديميروف، د.أ. (محرر)، الجبر البولياني في التحليل ، دوردريخت: سبرينغر هولندا، ص 83-124 ، doi : 10.1007/978-94-017-0936-1_3 ، ISBN 978-94-017-0936-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2026
↑ سيكورسكي، رومان (1969). الجبر البولياني . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 105-110 . doi : 10.1007/978-3-642-85820-8 . ISBN 978-3-642-85822-2.
↑ ستافي 1974 .

الأدب

جونستون، بيتر ت. (1982). مساحات حجرية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-33779-8.
كوبلبرغ، سابين (1989). مونك، ج. دونالد؛ بونيه، روبرت (محرران). دليل الجبر البولياني . المجلد 1. أمستردام: دار نشر نورث هولاند. الصفحات: xx+312. ISBN 0-444-70261-XMR 0991565 .
مونك، ج. دونالد؛ بونيه، روبرت، محرران. (1989). دليل الجبر البولياني . المجلد 2. أمستردام: دار نشر نورث هولاند. ISBN 0-444-87152-7MR 0991595 .
مونك، ج. دونالد؛ بونيه، روبرت، محرران. (1989). دليل الجبر البولياني . المجلد 3. أمستردام: دار نشر نورث هولاند. ISBN 0-444-87153-5MR 0991607 .
ستافي، جوناثان (1974). "نموذج ZF مع جبر بولياني كامل حر لانهائي". مجلة إسرائيل للرياضيات . 20 (2): 149-163 . doi : 10.1007/BF02757883 . S2CID 119543439 .
فلاديميروف، د.أ. (2001) [1994]، "الجبر البولياني" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

[1] فلاديميروف، د.أ. (2002)، "الجبر البولياني الكامل" ، في فلاديميروف، د.أ. (محرر)، الجبر البولياني في التحليل ، دوردريخت: سبرينغر هولندا، ص 83-124 ، doi : 10.1007/978-94-017-0936-1_3 ، ISBN 978-94-017-0936-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2026

[2] سيكورسكي، رومان (1969). الجبر البولياني . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 105-110 . doi : 10.1007/978-3-642-85820-8 . ISBN 978-3-642-85822-2.

[FOOTNOTEStavi1974-3] ستافي 1974 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗