نظرية كاملة

في المنطق الرياضي ، تُعتبر نظرية اللغة كاملة إذا كانت متسقة وتُثبت كل صيغة مغلقة لا تتعارض معها. أي بعبارة أخرى، نظرية متسقة${\displaystyle T}$تكون الجملة كاملة إذا، لكل جملة${\displaystyle \varphi }$في اللغة، إما${\displaystyle T\vdash \varphi }$أشياء أو${\displaystyle T\cup \{\varphi \}}$غير متسق. وهناك تعريف شائع آخر، وهو مكافئ إذا كان النظام الرسمي يفي بمبدأ الانفجار ، يتطلب بدلاً من ذلك إما${\displaystyle \varphi }$أو نفيها${\displaystyle \neg \varphi }$يمكن إثبات ذلك من${\displaystyle T}$باستخدام هذا التعريف، يصبح اتساق${\displaystyle T}$ويترتب ذلك تلقائيًا إذا فُهمت كلمتا "إما" و"أو" على أنهما فصل حصري، وبالتالي يمكن حذفهما من التعريف.${\displaystyle T}$علاوة على ذلك، فإن المجموعة مغلقة استنتاجياً ، ويختزل الاكتمال إلى الشرط الموجز بأن واحداً فقط من${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \neg \varphi }$يحتوي على${\displaystyle T}$لكل جملة${\displaystyle \varphi }$. لا يمكن أن تكون النظريات من الدرجة الأولى القابلة للتكرار والتي تتسم بالاتساق والثراء الكافيين للسماح بصياغة الاستدلال الرياضي العام كاملة، كما يتضح من نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل . ^{[ 1 ]}

يختلف هذا المعنى النحوي للاكتمال عن المفهوم الدلالي للنظام الصوري الكامل ، الذي يؤكد أنه لكل نظرية يمكن صياغتها في النظام الصوري، فإن جميع العبارات الصحيحة دلاليًا هي نظريات قابلة للإثبات (بمعنى مناسب لـ "الصحة دلاليًا"). وتتعلق نظرية غودل في الاكتمال بهذا النوع الأخير من الاكتمال.

تُعتبر النظريات الكاملة مغلقة في ظل عدد من الشروط التي تُنمذج داخليًا مخطط T :

• لمجموعة من الصيغ${\displaystyle S}$:${\displaystyle A\land B\in S}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A\in S}$و${\displaystyle B\in S}$،
• لمجموعة من الصيغ${\displaystyle S}$:${\displaystyle A\lor B\in S}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A\in S}$أو${\displaystyle B\in S}$.

تُعدّ المجموعات المتسقة القصوى أداةً أساسيةً في نظرية النماذج للمنطق الكلاسيكي والمنطق الموجه . وعادةً ما يكون وجودها في حالةٍ معينةٍ نتيجةً مباشرةً لفرضية زورن ، القائمة على فكرة أن التناقض لا يتطلب سوى استخدام عددٍ محدودٍ من المقدمات. في حالة المنطق الموجه، يمكن إعطاء مجموعة المجموعات المتسقة القصوى التي تُوسّع نظريةً T (مغلقةً وفقًا لقاعدة الإلزام) بنية نموذجٍ لـ T ، يُسمى النموذج القانوني.

من أمثلة النظريات الكاملة ما يلي:

• حساب بريسبرغر
• بديهيات تارسكي للهندسة الإقليدية
• نظرية الترتيبات الخطية الكثيفة بدون نقاط نهاية
• نظرية الحقول المغلقة جبريًا ذات خاصية معينة
• نظرية الحقول المغلقة الحقيقية
• كل نظرية قابلة للعد غير قابلة للعد والتصنيف
• كل نظرية قابلة للعد والتصنيف
• مجموعة من ثلاثة عناصر
• الحساب الحقيقي أو أي رسم تخطيطي أساسي آخر

• معضلة ليندنبوم
• اختبار Łoś–Vaught

• مندلسون، إليوت (1997). مقدمة في المنطق الرياضي (  الطبعة الرابعة). تشابمان وهول. ص  86. ISBN 978-0-412-80830-2.