نظرية الأعداد الطباعية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

نظرية الأعداد الطباعية ( TNT ) هي نظام بديهي رسمي يصف الأعداد الطبيعية ، وقد ورد ذكرها في كتاب دوغلاس هوفستاتر "غودل، إيشر، باخ" . وهي تطبيق لحسابات بيانو التي يستخدمها هوفستاتر للمساعدة في شرح نظريات عدم الاكتمال لغودل .

مثل أي نظام يطبق بديهيات بيانو، فإن TNT قادر على الإشارة إلى نفسه (فهو مرجعي ذاتي ).

الأرقام

لا يستخدم نظام TNT رمزًا مميزًا لكل عدد طبيعي . بل يستخدم طريقة بسيطة وموحدة لإعطاء رمز مركب لكل عدد طبيعي:

صفر0
واحدS0
اثنينSS0
ثلاثةSSS0
أربعةSSSS0
خمسةSSSSS0

يمكن تفسير الرمز S على أنه "العدد التالي لـ" أو "العدد الذي يلي". ولأن هذا يتعلق بنظرية الأعداد، فإن هذه التفسيرات مفيدة، لكنها ليست دقيقة. لا يمكن القول بأن العدد أربعة هو SSSS0 لأنه العدد التالي للعدد ثلاثة ، بل يمكن القول بأنه بما أن العدد ثلاثة هو العدد التالي للعدد اثنين، وهو العدد التالي للعدد واحد، وهو العدد التالي للعدد صفر، الذي وُصف بأنه 0 ، فإنه يمكن "إثبات" أن العدد أربعة هو SSSS0 . صُممت نظرية الأعداد بحيث يجب إثبات كل شيء قبل اعتباره صحيحًا.

المتغيرات

للإشارة إلى المصطلحات غير المحددة، تستخدم TNT خمسة متغيرات . هذه هي

أ، ب، ج، د، هـ.

يمكن إنشاء المزيد من المتغيرات بإضافة رمز الفتحة (') بعدها؛ على سبيل المثال،

a ′ , b ′ , c ′ , a ″ , a‴ كلها متغيرات.

في النسخة الأكثر صلابة من مادة تي إن تي، والمعروفة باسم تي إن تي "المتشددة"، فقط

يتم استخدام a ′ و a ″ و a‴ وما إلى ذلك.

المشغلون

جمع وضرب الأرقام

في نظرية الأعداد الطباعية، تُستخدم الرموز المعتادة "+" للجمع و"·" للضرب. وبالتالي، فإن كتابة "b زائد c" هي كتابة

(ب  +  ج)

وتُكتب عبارة "a مضروبة في d" على النحو التالي:

(إعلان)

الأقواس ضرورية. أي تهاون في استخدامها سيخالف نظام تكوين TNT (مع أنه من السهل إثبات أن هذا الشكل غير ضروري للعمليات التبادلية والتجميعية). كما لا يمكن إجراء عملية على أكثر من حدين في آن واحد. لذلك، فإن كتابة "أ + ب + ج" تعني كتابة إما

((أ  +  ب)  +  ج)

أو

(أ  +  (ب  +  ج))

التكافؤ

يُستخدم عامل "يساوي" للدلالة على التكافؤ. ويُعرَّف بالرمز "="، ويحمل نفس المعنى تقريبًا كما هو الحال في الرياضيات. على سبيل المثال،

(SSS0  + SSS0) = SSSSSS0   

هي عبارة نظرية في TNT، مع تفسير "3 زائد 3 يساوي  6".

النفي

في نظرية الأعداد الطباعية، يُرمز إلى النفي ، أي تحويل العبارة إلى نقيضها، بالرمز "~" أو عامل النفي. على سبيل المثال،

~( SSS0  + SSS0 ) = SSSSSSS0   

هي نظرية في TNT، تفسر على أنها "3 زائد 3 لا يساوي  7".

المقصود بالنفي هنا هو النفي في المنطق البولياني ( النفي المنطقي )، وليس مجرد عكس العبارة. على سبيل المثال، إذا قلتُ "أنا آكل جريب فروت"، فإن عكس ذلك هو "أنا لا آكل جريب فروت"، وليس "أنا آكل شيئًا آخر غير الجريب فروت". وبالمثل، تُنفى عبارة "التلفاز مُشغّل" إلى "التلفاز غير مُشغّل"، وليس "التلفاز مُطفأ"، لأنه، على سبيل المثال، قد يكون معطلاً. هذا فرق دقيق، ولكنه مهم.

المركبات

إذا كانت x و y صيغتين صحيحتين، وبشرط ألا يكون أي متغير حر في إحداهما محدداً كمياً في الأخرى، فإن ما يلي جميعاً صيغ صحيحة.

<x∧y>,<x∨y>,<x⊃y>

أمثلة:

  • <0=0∧~0=0>
  • <b=b∨~∃c:c=b>
  • <S0=0⊃∀c:~∃b:(b+b)=c>

لا تتغير حالة التحديد الكمي للمتغير هنا.

أدوات التحديد الكمي

يتم استخدام نوعين من المحددات الكمية: ∀ و ∃ .

لاحظ أنه على عكس معظم الأنظمة المنطقية الأخرى حيث تتطلب المحددات الكمية على المجموعات ذكر وجود العنصر في المجموعة، فإن هذا غير مطلوب في TNT لأن جميع الأرقام والمصطلحات هي أعداد طبيعية أو عبارات منطقية ثنائية. وبالتالي، فإن هذا يكافئ قول و∀a:(a∈N):∀b:(b∈N):(a+b)=(b+a)∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

  • ∃ تعني "يوجد"
  • ∀ تعني "لكل" أو "للجميع"
  • يُستخدم الرمز " : " لفصل مُكمِّم عن مُكمِّمات أخرى أو عن بقية الصيغة. ويُقرأ عادةً "بحيث".

على سبيل المثال:

∀a:∀b:(a+b)=(b+a)
"لكل عدد أ ولكل عدد ب، أ زائد ب يساوي ب زائد أ"، أو بشكل مجازي أكثر، "الجمع عملية تبديلية".
~∃c:Sc=0
"لا يوجد عدد c بحيث يكون c زائد واحد يساوي صفرًا"، أو بشكل مجازي أكثر، "الصفر ليس العدد التالي لأي عدد (طبيعي)".

الذرات والعبارات الافتراضية

جميع رموز حساب القضايا باستثناء رموز الذرة تستخدم في نظرية الأعداد الطباعية، وتحتفظ بتفسيراتها.

تُعرَّف الذرات هنا بأنها سلاسل نصية تُعادل عبارات المساواة، مثل:

2 زائد 3 يساوي خمسة:

( SS0  + SSS0 ) = SSSSS0   

2 زائد 2 يساوي 4:

( SS0  + SS0 ) = SSSS0   

مراجع