رقم فائق الكمال

في نظرية الأعداد ، العدد الفائق الكمال هو عدد صحيح موجب n يحقق الشروط التالية:

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

حيث σ هي دالة مجموع القواسم . الأعداد الفائقة الكمال ليست تعميمًا للأعداد الكاملة ، ولكنها تشترك معها في تعميم واحد. وقد صاغ هذا المصطلح د. سوريانارايانا (1969). ^{[ 1 ]}

الأعداد الفائقة المثالية القليلة الأولى هي:

2 ، 4 ، 16 ، 64 ، 4096 ، 65536 ، 262144، 1073741824، ... (التسلسل A019279 في OEIS ) .

للتوضيح: يمكن ملاحظة أن 16 هو عدد فائق الكمال حيث أن σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ، و σ(31) = 1 + 31 = 32 ، وبالتالي σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16 .

إذا كان n عددًا زوجيًا فائق الكمال ، فيجب أن يكون n قوة للعدد 2 ، ^{أي 2k} ، بحيث يكون 2k ^{+ 1} - 1 عددًا أوليًا من أعداد ميرسين . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

لا يُعرف ما إذا كانت هناك أعداد فائقة الكمال فردية . يجب أن يكون العدد الفائق الكمال الفردي n عددًا مربعًا بحيث يكون إما n أو σ ( n ) قابلاً للقسمة على ثلاثة أعداد أولية مختلفة على الأقل. ^{[ 2 ]} لا توجد أعداد فائقة الكمال فردية أقل من 7 × 10^{24. [ 1 ]}​

تُعد الأعداد الكاملة والأعداد الفائقة الكاملة أمثلة على فئة أوسع من الأعداد الفائقة الكاملة من الرتبة m ، والتي تحقق

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

يتوافق ذلك مع m = 1 و 2 على التوالي. بالنسبة لـ m ≥ 3، لا توجد أعداد فائقة الكمال ذات قيمة زوجية m . ^{[ 1 ]}

الأعداد الفائقة المثالية من النوع m هي بدورها أمثلة على الأعداد المثالية من النوع ( m ، k ) التي تحقق ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn\,.}$

باستخدام هذه الصيغة، تُسمى الأعداد الكاملة (1،2)-كاملة، والأعداد الكاملة المتعددة (1، k )-كاملة، والأعداد الكاملة الفائقة (2،2)-كاملة، والأعداد الكاملة الفائقة من الرتبة m ( m ،2)-كاملة. ^{[ 4 ]} ومن أمثلة فئات الأعداد الكاملة ( m ، k ):

م	ك	الأعداد الكاملة ( م ، ك )	تسلسل OEIS
2	2	2، 4، 16، 64، 4096، 65536، 262144، 1073741824، 1152921504606846976	A019279
2	3	8، 21، 512	A019281
2	4	15، 1023، 29127، 355744082763	A019282
2	6	42، 84، 160، 336، 1344، 86016، 550095، 1376256، 5505024، 22548578304	A019283
2	7	24، 1536، 47360، 343976، 572941926400	A019284
2	8	60، 240، 960، 4092، 16368، 58254، 61440، 65472، 116508، 466032، 710400، 983040، 1864128، 3932160، 4190208، 67043328، 119304192، 268173312، 1908867072، 7635468288، 16106127360، 711488165526، 1098437885952، 1422976331052	A019285
2	9	168، 10752، 331520، 691200، 1556480، 1612800، 106151936، 5099962368، 4010593484800	A019286
2	10	480، 504، 13824، 32256، 32736، 1980342، 1396617984، 3258775296، 14763499520، 38385098752	A019287
2	11	4404480، 57669920، 238608384	A019288
2	12	2200380، 8801520، 14913024، 35206080، 140896000، 459818240، 775898880، 2253189120، 16785793024، 22648550400، 36051025920، 51001180160، 144204103680	A019289
2	13	57120، 932064، 3932040، 251650560	A019290
2	14	217728، 1278720، 2983680، 5621760، 14008320، 298721280، 955367424، 1874780160، 4874428416، 1957928934528	A019291
3	أي	12، 14، 24، 52، 98، 156، 294، 684، 910، 1368، 1440، 4480، 4788، 5460، 5840، ...	A019292
4	أي	2، 3، 4، 6، 8، 10، 12، 15، 18، 21، 24، 26، 32، 39، 42، 60، 65، 72، 84، 96، 160، 182، ...	A019293