استمرار عدد

في الرياضيات ، يُعرف استمرار العدد بأنه عدد المرات التي يجب فيها تطبيق عملية معينة على عدد صحيح قبل الوصول إلى نقطة ثابتة لا تغير عندها العملية العدد.

عادةً، يتضمن هذا الأمر استمرار العدد الصحيح غير السالب إما جمعيًا أو ضربيًا، أي عدد مرات استبدال العدد بمجموع أو حاصل ضرب أرقامه حتى الوصول إلى رقم واحد. ولأن الأعداد تُقسّم إلى أرقامها، فإن استمرار العدد الجمعي أو الضربي يعتمد على أساس النظام العددي . في بقية هذا المقال، يُفترض استخدام النظام العشري .

إنّ الحالة النهائية المكونة من رقم واحد التي يتم الوصول إليها في عملية حساب الاستمرارية الجمعية لعدد صحيح هي جذره الرقمي . بعبارة أخرى، تُحسب الاستمرارية الجمعية للعدد بعدد المرات التي يجب فيها جمع أرقامه للوصول إلى جذره الرقمي.

الاستمرارية الجمعية للعدد ٢٧١٨ هي ٢: نجد أولًا أن ٢  +  ٧  +  ١  +  ٨  =  ١٨، ثم نجد أن  ١  +  ٨  =  ٩. أما الاستمرارية الضربية للعدد ٣٩ فهي ٣، لأنه يتطلب ثلاث خطوات لاختزال ٣٩ إلى رقم واحد: ٣٩  ←  ٢٧  ←  ١٤  ←  ٤. كذلك، فإن ٣٩ هو أصغر عدد ذي استمرارية ضربية  ٣.

في النظام العشري، يُعتقد أنه لا يوجد عدد ذو ثبات ضربي أكبر من 11؛ وهذا صحيح بالنسبة للأعداد حتى 2.67 × ^{10³⁰٠٠٠} . ^{[ 1 ] [ 2 ]} أصغر الأعداد ذات الثبات 0، 1، 2، ... هي:

0، 10، 25، 39، 77، 679، 6788، 68889، 2677889، 26888999، 3778888999، 277777788888899. (التسلسل A003001 في OEIS )

يمكن تسريع البحث عن هذه الأرقام باستخدام خصائص إضافية للأرقام العشرية لهذه الأرقام القياسية. يجب أن تكون هذه الأرقام مرتبة تصاعديًا (باستثناء الرقم الثاني، 10)، ويجب أن تكون جميع الأرقام - باستثناء أول رقمين - 7 أو 8 أو 9. توجد أيضًا قيود إضافية على أول رقمين. بناءً على هذه القيود، فإن عدد الأرقام المرشحة المكونة من n رقمًا والتي تتميز باستمرارية قياسية يتناسب فقط مع مربع n ، وهو جزء ضئيل من جميع الأرقام الممكنة المكونة من n رقمًا . مع ذلك، فإن أي رقم مفقود من التسلسل أعلاه ستكون له استمرارية مضاعفة أكبر من 11؛ يُعتقد أن هذه الأرقام غير موجودة، وإذا وُجدت، فستحتاج إلى أكثر من 30,000 رقم. ^{[ 1 ]}

• إن الثبات الجمعي للعدد يكون أصغر من أو يساوي العدد نفسه، ولا يتحقق التساوي إلا عندما يكون العدد صفرًا.
• للقاعدة${\displaystyle b}$والأعداد الطبيعية${\displaystyle k}$و${\displaystyle n>9}$الأرقام${\displaystyle n}$و${\displaystyle n\cdot b^{k}}$لها نفس الثبات التراكمي.

يمكنك العثور على المزيد حول استمرارية العدد الجمعية هنا .

مع ذلك، يمكن أن يصبح الثبات الجمعي لعدد ما كبيرًا بشكل تعسفي ( البرهان : بالنسبة لعدد معين).${\displaystyle n}$، استمرار العدد المكون من${\displaystyle n}$عدد مرات تكرار الرقم 1 يزيد بمقدار 1 عن عدد مرات تكرار الرقم 1.${\displaystyle n}$أصغر أعداد الاستمرارية الجمعية 0، 1، 2، ... هي:

0، 10، 19، 199، 199999999999999999999999، ... (التسلسل A006050 في OEIS )

العدد التالي في المتتالية (أصغر عدد ذو استمرارية جمعية 5) هو 2 ^{× 10²²}  -  1 ^{/ 9} - 1 (أي 1 متبوعًا بـ 222222222222222222222229). لأي أساس ثابت، يكون مجموع أرقام أي عدد متناسبًا على الأكثر مع لوغاريتمه ؛ وبالتالي، ^فإن الاستمرارية الجمعية متناسبة على الأكثر مع اللوغاريتم المتكرر ، وينمو أصغر عدد ذي استمرارية جمعية معينة نموًا رباعيًا .    

بعض الوظائف لا تسمح بالاستمرارية إلا إلى درجة معينة.

على سبيل المثال، الدالة التي تأخذ الرقم الأدنى تسمح فقط بالاستمرار 0 أو 1، حيث أنك إما تبدأ برقم مكون من رقم واحد أو تنتقل إليه.

• جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد (  الطبعة الثالثة). سبرينغر-فيرلاغ . ص 398-399 . ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
• ميماريس، أنطونيوس (2015). حول استمرارية الجمع لعدد في الأساس p . نسخة أولية.