رقم المربع المركزي

في نظرية الأعداد الأولية ، يُعرف العدد المربع المركزي بأنه عدد شكلي مركزي يُمثل عدد النقاط في مربع يحتوي على نقطة في المركز، وجميع النقاط الأخرى المحيطة بهذه النقطة في طبقات مربعة متتالية. أي أن كل عدد مربع مركزي يساوي عدد النقاط ضمن مسافة معينة (مربع سكني) من النقطة المركزية على شبكة مربعة منتظمة . ورغم أن الأعداد المربعة المركزية، كالأعداد الشكلية عمومًا، لها تطبيقات عملية مباشرة قليلة إن وجدت، إلا أنها تُدرس أحيانًا في الرياضيات الترفيهية لما تتمتع به من خصائص هندسية وحسابية رائعة.

الأرقام الخاصة بالأرقام المربعة الأربعة الأولى المتمركزة موضحة أدناه:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$			${\displaystyle C_{4,2}=5}$			${\displaystyle C_{4,3}=13}$			${\displaystyle C_{4,4}=25}$

لنفترض أن C _{k , n} يمثل عمومًا العدد المربع المركزي ذو الرتبة n . يُعطى العدد المربع المركزي ذو الرتبة n بالصيغة التالية:

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

أي أن العدد المربع المركزي رقم n هو مجموع العددين المربعين رقم n و ( n - 1) . يوضح النمط التالي هذه الصيغة:

${\displaystyle C_{4,1}=0+1}$			${\displaystyle C_{4,2}=1+4}$			${\displaystyle C_{4,3}=4+9}$			${\displaystyle C_{4,4}=9+16}$

ويمكن التعبير عن الصيغة أيضاً على النحو التالي:

${\displaystyle C_{4,n}={\frac {(2n-1)^{2}+1}{2}}.}$

أي أن العدد المربع المركزي رقم n هو نصف العدد المربع الفردي رقم n زائد 1، كما هو موضح أدناه:

${\displaystyle C_{4,1}={\frac {1+1}{2}}}$			${\displaystyle C_{4,2}={\frac {9+1}{2}}}$			${\displaystyle C_{4,3}={\frac {25+1}{2}}}$			${\displaystyle C_{4,4}={\frac {49+1}{2}}}$

مثل جميع الأعداد المضلعة المركزية ، يمكن أيضًا التعبير عن الأعداد المربعة المركزية بدلالة الأعداد المثلثية :

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\ T_{n-1}=1+2{n(n-1)},}$

أين

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}}$

يمثل العدد المثلثي رقم ن . ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة عن طريق إزالة النقطة المركزية وتقسيم باقي الشكل إلى أربعة مثلثات، كما هو موضح أدناه:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$			${\displaystyle C_{4,2}=1+4\times 1}$			${\displaystyle C_{4,3}=1+4\times 3}$			${\displaystyle C_{4,4}=1+4\times 6}$

الفرق بين عددين ثماني الأوجه متتاليين هو عدد مربع مركزي (كونواي وجاي، ص 50).

هناك طريقة أخرى للتعبير عن الأعداد المربعة المركزية وهي:

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\dim(SO(n)),}$

أين

${\displaystyle \dim(SO(n))={\frac {n(n-1)}{2}}.}$

وهناك طريقة أخرى للتعبير عن الأعداد المربعة المركزية وهي بدلالة الأعداد المثلثية المركزية :

${\displaystyle C_{4,n}={\frac {4C_{3,n}-1}{3}},}$

أين

${\displaystyle C_{3,n}=1+3{\frac {n(n-1)}{2}}.}$

الأعداد المربعة المركزية الأولى ( C _{4، n} < 4500) هي:

1 ، 5 ، 13 ، 25 ، 41 ، 61 ، 85 ، 113 ، 145 ، 181 ، 221 ، 265 ، 313 ، 365 ، 421، 481، 545، 613، 685، 761، 841، 925، 1013، 1105، 1201، 1301، 1405، 1513، 1625، 1741، 1861، 1985، 2113، 2245، 2381، 2521، 2665، 2813، 2965، 3121، 3281، 3445، 3613 3785، 3961، 4141، 4325، ... (التسلسل A001844 في OEIS ) .

كل عدد مربع مركزي هو مجموع المربعات المتتالية.

جميع الأرقام المربعة المركزية فردية، وفي النظام العشري يمكن للمرء أن يلاحظ أن رقم الآحاد يتبع النمط 1-5-3-5-1.

جميع الأعداد المربعة المركزية وقواسمها يكون باقي قسمتها على 4 هو 1. وبالتالي، فإن جميع الأعداد المربعة المركزية وقواسمها تنتهي بالرقم 1 أو 5 في النظام العددي ذي الأساس 6 و 8 و 12 .

كل عدد مربع مركزي باستثناء 1 هو وتر في مثلث فيثاغورس (3-4-5 ، 5-12-13 ، 7-24-25 ، ...). هذه هي بالضبط سلسلة مثلثات فيثاغورس التي يختلف فيها طولا الضلعين الأطول بمقدار 1. (مثال: 5² ^{+ 12²} = ^13² ) . وهذا نتيجة لـ ( 2n - 1 ) ^² + ( 2n² - 2n ) ^² = ( 2n² ^{- 2n} + 1 ) ² ^.            

الدالة المولدة التي تعطي الأعداد المربعة المركزية هي:

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{(1-x)^{3}}}=1+5x+13x^{2}+25x^{3}+41x^{4}+~...~.}$

• ألفريد، يو. (1962)، " عددان صحيحان متتاليان n و n + 1 لهما مجموع مربعات متساوٍ"، مجلة الرياضيات ، 35 (3): 155-164 ، doi : 10.1080/0025570X.1962.11975326 ، JSTOR 2688938 ، MR 1571197  .
• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  .
• بيلر، أ.هـ. (1964)، تسليات في نظرية الأعداد ، نيويورك: دوفر، ص  125.
• كونواي، جون هـ .؛ جاي، ريتشارد ك. (1996)، كتاب الأعداد ، نيويورك: كوبرنيكوس، ص 41-42 ، ISBN  0-387-97993-XMR 1411676​ .