العدد الثماني السطوح

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة
146 كرة مغناطيسية ، معبأة على شكل ثماني الأوجه

في نظرية الأعداد ، يُعرف العدد الثماني السطوح بأنه عدد شكلي يمثل عدد الكرات في ثماني السطوح المتكون من كرات متراصة . العدد الثماني السطوح رقم nيان{\displaystyle O_{n}}يمكن الحصول عليها من خلال الصيغة التالية: [ 1 ]

يان=ن(2ن2+1)3.{\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}

الأرقام الثمانية السطوح القليلة الأولى هي:

1 ، 6 ، 19 ، 44 ، 85 ، 146، 231، 344، 489، 670، 891 (التسلسل A005900 في OEIS ) .

الخصائص والتطبيقات

للأعداد الثمانية الأوجه دالة مولدة

z(z+1)2(z-1)4=∑ن=1∞يانzن=z+6z2+19z3+⋯.{\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}

افترض السير فريدريك بولوك عام 1850 أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع سبعة أعداد ثمانية الأوجه على الأكثر. [ 2 ] وقد ثبتت صحة هذه الفرضية، المعروفة باسم فرضية أعداد بولوك ثمانية الأوجه ، لجميع الأعداد باستثناء عدد محدود منها. [ 3 ]

في الكيمياء ، يمكن استخدام الأعداد الثمانية السطوح لوصف عدد الذرات في التجمعات الثمانية السطوح؛ وفي هذا السياق تسمى الأعداد السحرية . [ 4 ] [ 5 ]

العلاقة بالأعداد الشكلية الأخرى

الأهرامات المربعة

يمكن تقسيم رزمة ثمانية الأوجه من الكرات إلى هرمين مربعين ، أحدهما مقلوب أسفل الآخر، عن طريق تقسيمها على طول مقطع عرضي مربع. لذلك،ن{\displaystyle n}العدد الثماني السطوحيان{\displaystyle O_{n}}يمكن الحصول عليها عن طريق جمع عددين هرميين مربعين متتاليين معًا: [ 1 ]

يان=Pن-1+Pن.{\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}

رباعيات الأوجه

لويان{\displaystyle O_{n}}هون{\displaystyle n}العدد الثماني السطوح وتين{\displaystyle T_{n}}هون{\displaystyle n} ثم العدد الرباعي الأوجه

يان+4تين-1=تي2ن-1.{\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}

يمثل هذا الحقيقة الهندسية المتمثلة في أن لصق رباعي الأوجه على كل وجه من الوجوه الأربعة غير المتجاورة لثماني الأوجه ينتج عنه رباعي أوجه بحجم ضعف الحجم.

ثمة علاقة أخرى ممكنة بين الأعداد الثمانية السطوح والأعداد الرباعية السطوح، استناداً إلى حقيقة أنه يمكن تقسيم ثماني السطوح إلى أربعة رباعيات سطوح، لكل منها وجهان أصليان متجاوران (أو بدلاً من ذلك، استناداً إلى حقيقة أن كل عدد هرمي مربع هو مجموع عددين رباعيي السطوح):

يان=تين+2تين-1+تين-2.{\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}

مكعبات

إذا تم ربط هرمين رباعيي الأوجه بوجهين متقابلين من ثماني الأوجه، فإن النتيجة تكون معينًا . [ 6 ] عدد الكرات المتراصة بإحكام في المعين هو مكعب ، مما يبرر المعادلة

يان+2تين-1=ن3.{\displaystyle O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.}

مربعات متمركزة

أهرامات مربعة الشكل، تحتوي كل طبقة منها على عدد مربع من المكعبات في مركزها. ويكون العدد الإجمالي للمكعبات في كل هرم عددًا ثماني الأوجه.

الفرق بين عددين ثماني السطوح متتاليين هو عدد مربع مركزي : [ 1 ]

يان-يان-1=ج4،ن=ن2+(ن-1)2.{\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}

لذلك، يمثل العدد الثماني الأوجه أيضًا عدد النقاط في هرم مربع يتكون من تكديس مربعات متمركزة؛ ولهذا السبب، أطلق فرانشيسكو ماوروليكو على هذه الأعداد في كتابه Arithmeticorum libri duo (1575) اسم "pyramides quadratae secundae". [ 7 ]

عدد المكعبات في ثماني السطوح المتكون من تكديس مربعات متمركزة هو عدد ثماني السطوح المتمركز ، وهو مجموع عددين متتاليين من أعداد ثماني السطوح. هذه الأعداد هي

1، 7، 25، 63، 129، 231، 377، 575، 833، 1159، 1561، 2047، 2625، ... (التسلسل A001845 في OEIS )

معطاة بالصيغة

يان+يان-1=(2ن-1)(2ن2-2ن+3)3{\displaystyle O_{n}+O_{n-1}={\frac {(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}{3}}}بالنسبة لـ n = 1، 2، 3، ...

تاريخ

يبدو أن أول دراسة للأعداد الثمانية السطوح كانت على يد رينيه ديكارت ، حوالي عام 1630، في كتابه "De solidorum elementis" . قبل ديكارت، درس الإغريق القدماء ويوهان فولهاوبر الأعداد الشكلية ، ولكن فقط للأعداد المضلعة والهرمية والمكعبات . أدخل ديكارت دراسة الأعداد الشكلية استنادًا إلى المجسمات الأفلاطونية وبعض المجسمات شبه المنتظمة ؛ وشمل عمله الأعداد الثمانية السطوح. مع ذلك، فُقد كتاب "De solidorum elementis" ، ولم يُعاد اكتشافه حتى عام 1860. في هذه الأثناء، دُرست الأعداد الثمانية السطوح مرة أخرى من قبل رياضيين آخرين، من بينهم فريدريك فيلهلم ماربورغ عام 1774، وجورج سيمون كلوغل عام 1808، والسير فريدريك بولوك عام 1850. [ 8 ]

مراجع

  1. 1 2 3 كونواي، جون هورتون ؛ جاي، ريتشارد ك. (1996)، كتاب الأعداد ، سبرينغر-فيرلاغ، ص  50، ISBN 978-0-387-97993-9.
  2. ↑ ديكسون، ل. إي. (2005)، التحليل الديوفانتي ، تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد 2، نيويورك: دوفر، الصفحات 22-23 ، رقم ISBN   9780821819357.
  3. ↑ إليسار برادي، زاراثوسترا (2016)، "مجموع سبعة أعداد ثمانية السطوح"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، السلسلة الثانية، 93 (1): 244-272 ، arXiv : 1509.04316 ، doi : 10.1112/jlms/jdv061 ، MR 3455791 ، S2CID 206364502  
  4. ↑ تيو، بون ك.؛ سلون، ن. ج. أ. (1985)، "الأعداد السحرية في التجمعات المضلعة والمتعددة الأوجه" (ملف PDF) ، الكيمياء غير العضوية ، 24 (26): 4545-4558 ، doi : 10.1021/ic00220a025 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 13 مارس 2012 ، تم استرجاعه بتاريخ 8 أبريل 2011.
  5. ↑ فيلدهايم، دانيال ل.؛ فوس، كولبي أ. (2002)، الجسيمات النانوية المعدنية: التركيب، والخصائص، والتطبيقات ، مطبعة سي آر سي، ص 76، رقم ISBN  978-0-8247-0604-3.
  6. ↑ بيرك، جون ج. (1966)، أصول علم البلورات ، مطبعة جامعة كاليفورنيا، ص 88 .
  7. ↑ جداول متواليات الأعداد الصحيحة. رابط مهمل مؤرشف بتاريخ 2012-09-07 على archive.today من Arithmeticorum libri duo ، تم استرجاعه بتاريخ 2011-04-07.
  8. ↑ فيديريكو، باسكوالي جوزيف (1982)، ديكارت حول متعددات السطوح: دراسة لكتاب "De solidorum elementis" ، مصادر في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية، المجلد 4، سبرينغر، ص 118