رقم الكعكة

في الرياضيات ، يُعرف عدد الكعكة ، ويرمز له بـ C _{_n} ، بأنه أكبر عدد من المناطق التي يمكن تقسيم مكعب ثلاثي الأبعاد إليها بواسطة n مستوى بالضبط . سُمي عدد الكعكة بهذا الاسم لأنه يمكن تخيل كل تقسيم للمكعب بواسطة مستوى كشريحة تُقطع بسكين عبر كعكة مكعبة الشكل . وهو النظير ثلاثي الأبعاد لتسلسل " المُقدِّم الكسول" .

يتم إعطاء قيم C _n لـ n = 0، 1، 2، ... بواسطة 1، 2، 4، 8، 15، 26، 42، 64، 93، 130، 176، 232، ... (التسلسل A000125 في OEIS ) .

إذا كان n ! يرمز إلى المضروب ، فإننا نرمز إلى معاملات ذات الحدين بـ

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$

ونفترض أن هناك n مستوى متاح لتقسيم المكعب، فإن رقم الكعكة رقم n هو: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).}$

أرقام الكعك هي النظير ثلاثي الأبعاد لتسلسل مقدم الطعام الكسول ثنائي الأبعاد . كما أن الفرق بين أرقام الكعك المتتالية يعطي تسلسل مقدم الطعام الكسول. ^{[ 1 ]}

العمود الرابع من مثلث برنولي ( k = 3) يعطي أرقام الكعكة لـ n قطع، حيث n ≥ 3.

يمكن اشتقاق المتتالية بدلاً من ذلك من مجموع أول 4 حدود من كل صف من مثلث باسكال : ^{[ 2 ]}

ك ن	0	1	2	3		مجموع
0	1	—	—	—		1
1	1	1	—	—		2
2	1	2	1	—		4
3	1	3	3	1		8
4	1	4	6	4		15
5	1	5	10	10		26
6	1	6	15	20		42
7	1	7	21	35		64
8	1	8	28	56		93
9	1	9	36	84		130

في أبعاد مكانية (وليس الزمكان)، تمثل معادلات ماكسويل${\displaystyle C_{n}}$معادلات حقيقية مستقلة مختلفة.

• تقسيم الدائرة إلى مناطق (مسألة دائرة موسر)
• تسلسل متعهد الطعام الكسول
• نظرية البيتزا

• إريك وايسشتاين. "تقسيم الفضاء بواسطة المستويات" . ماث وورلد . تم الاطلاع عليه في 14 يناير 2021 .
• إريك وايسشتاين. "رقم الكعكة" . عالم الرياضيات . تم الاسترجاع في 14 يناير 2021 .