عدد صحيح منتهٍ

كل عدد صحيح${\displaystyle n\geq 0}$له تمثيل فريد في نظام الأعداد المضروبية كما يلي:$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\quad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} ,}$$أين${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$لكل${\displaystyle i}$وعدد محدود فقط من${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$هي غير صفرية. يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$.

وبالمثل، يمكن تمثيل عدد صحيح منتهٍ بشكل فريد في نظام الأعداد المضروبية كسلسلة لا نهائية.${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$حيث كل${\displaystyle c_{i}}$هو عدد صحيح يحقق${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$[ ^{1 ]} الأرقام^​${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$حدد قيمة العدد الصحيح المنتهي modulo${\displaystyle k!}$وبشكل أكثر تحديدًا، يوجد تماثل حلقي${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$إرسال$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!{\bmod {k}}!}$$الفرق بين العدد الصحيح المحدود والعدد الصحيح هو أنه يتم إسقاط شرط "عدد محدود من الأرقام غير الصفرية"، مما يسمح لتمثيله العددي المضروب بأن يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام غير الصفرية.

هناك طريقة أخرى لفهم بناء الأعداد الصحيحة المنتهية وهي استخدام نظرية الباقي الصينية . تذكر أنه بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle n}$مع التحليل إلى العوامل الأولية$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$بالنسبة للأعداد الأولية غير المتكررة، يوجد تماثل حلقي$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$من النظرية. علاوة على ذلك، أي تطبيق شامل$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$ستكون مجرد خريطة على عمليات التفكيك الأساسية حيث توجد عمليات شمولية مستحثة$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$بما أننا يجب أن يكون لدينا${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$. وفقًا لتعريف النهاية العكسية للأعداد الصحيحة غير المنتهية، لدينا التشاكل$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$مع الضرب المباشر للأعداد الصحيحة p -adic. وبشكل صريح، فإن التشاكل هو${\displaystyle \phi$ :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}} بواسطة$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}{\bmod {k}},}$$أين${\displaystyle q}$نطاقات على جميع عوامل القوة الأولية${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$ل${\displaystyle k}$؛ إنه،${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$لبعض الأعداد الأولية المختلفة${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$.

تتمتع مجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية بطوبولوجيا مستحثة، حيث تُعتبر فضاء هاوسدورف متراصًا (في الواقع، فضاء ستون )، وذلك نتيجةً لإمكانية اعتبارها مجموعة فرعية مغلقة من حاصل الضرب المباشر اللانهائي.$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$$وهي مجموعة متراصة ذات طوبولوجيا ضربية وفقًا لنظرية تيكونوڤ . الطوبولوجيا على كل مجموعة منتهية${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$يتم تقديمها على أنها طوبولوجيا منفصلة .

الطوبولوجيا على${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$يمكن تعريفها بواسطة المقياس ^{[ 1 ]}$${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}.}$$بما أن جمع الأعداد الصحيحة المنتهية عملية متصلة،${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$هي زمرة هاوسدورف أبيلية متراصة ، وبالتالي فإن ثنائيتها البونترياغينية يجب أن تكون زمرة أبيلية منفصلة. في الواقع، ثنائية بونترياغين لـ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$هي المجموعة الأبيلية${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$مجهزة بالطوبولوجيا المنفصلة (لاحظ أنها ليست طوبولوجيا المجموعة الفرعية الموروثة من${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$(وهو ليس منفصلاً). يتم إنشاء ثنائي بونترياجين بشكل صريح بواسطة الدالة ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa),}$$أين${\displaystyle \chi }$هي شخصية أديل (المقدمة أدناه)${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$ناتج عن${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$[ ^{3 ]​}

حاصل الضرب الموتري${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$هي حلقة الأديلات المنتهية$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$، حيث الرمز${\displaystyle '}$يشير إلى ضرب مقيد . أي أن العنصر عبارة عن متتالية صحيحة باستثناء عدد محدود من المواضع. ^{[ 4 ]} يوجد تماثل$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$$

للإغلاق الجبري${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$حقل منتهٍ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$يمكن حساب زمرة غالوا من الرتبة q بشكل صريح. انطلاقًا من حقيقة${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$حيث تُعطى التشاكلات الذاتية بواسطة تشاكل فروبينيوس الداخلي ، ومجموعة غالوا للإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$يُعطى بواسطة النهاية العكسية للمجموعات${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$، لذا فإن مجموعة غالوا الخاصة بها متماثلة مع مجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }},}$$والذي يعطي حسابًا لمجموعة غالوا المطلقة لحقل منتهٍ.

نظرية الحقول الصنفية هي فرع من نظرية الأعداد الجبرية يدرس امتدادات الحقول الأبيلية للحقل. بالنظر إلى الحقل العالمي${\displaystyle \mathbb {Q} }$، التبديلية لمجموعة غالوا المطلقة$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$يرتبط ارتباطًا وثيقًا بحلقة الأديل المرتبطة به${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ومجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية. وعلى وجه الخصوص، توجد خريطة تسمى خريطة آرتين ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab},}$$وهو تماثل. ويمكن تحديد هذا الناتج صراحةً على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\widehat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\widehat {\mathbb {Z} }},\end{aligned}}}$$مما يعطي العلاقة المطلوبة. وهناك بيان مماثل لنظرية حقل الفئة المحلية، حيث أن كل امتداد أبيلي محدود لـ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$يتم استخلاصها من امتداد حقل محدود${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$.