نظرية الحقول المحلية للفئات

في الرياضيات ، نظرية الحقل المحلي للفئة ( LCFT )، التي قدمها هيلموت هاس ، ^{[ 1 ]} هي دراسة الامتدادات الأبيلية للحقول المحلية ؛ هنا، "الحقل المحلي" يعني حقلًا كاملًا بالنسبة للقيمة المطلقة أو التقييم المنفصل مع حقل متبقي محدود : وبالتالي فإن كل حقل محلي متماثل (كحقل طوبولوجي ) مع الأعداد الحقيقية R ، والأعداد المركبة C ، وامتداد محدود للأعداد p -adic Q _p (حيث p هو أي عدد أولي )، أو حقل متسلسلات لوران الرسمية F _q (( T )) على حقل محدود F _q .

تُقدّم نظرية الحقول المحلية وصفًا لزمرة غالوا G للامتداد الأبلي الأقصى لحقل محلي K عبر دالة التبادل التي تعمل من الزمرة الضربية K ^× = K \{0}. بالنسبة لامتداد أبيلي محدود L لـ K، تُنشئ دالة التبادل تماثلًا بين زمرة القسمة K ^× / N ( L ^× ) لـ K ^× بواسطة زمرة المعيار N ( L ^× ) للامتداد L ^× إلى زمرة غالوا Gal( L / K ) للامتداد. ^{[ 2 ]}

تُثبت نظرية الوجود في نظرية الحقول المحلية وجود تناظر أحادي بين الزمر الجزئية المفتوحة ذات الدليل المحدود في الزمرة الضربية K ^× والامتدادات الأبيلية المحدودة للحقل K. بالنسبة لامتداد أبيلي محدود L للحقل K، فإن الزمرة الجزئية المفتوحة المقابلة ذات الدليل المحدود هي زمرة المعيار N ( L ^× ). تُرسل دالة التبادلية زمر الوحدات العليا إلى زمر التفرع العليا. ^{[ 2 ] الفصل  4}

باستخدام خريطة التبادلية المحلية، يتم تعريف رمز هيلبرت وتعميماته. ويُعد إيجاد صيغ صريحة له أحد فروع نظرية الحقول المحلية، وله تاريخ طويل وغني، انظر على سبيل المثال مراجعة سيرجي فوستوكوف . ^{[ 3 ]}

توجد مناهج كوهومولوجية ومناهج غير كوهومولوجية لنظرية حقل الفئات المحلية. تميل المناهج الكوهومولوجية إلى أن تكون غير صريحة، لأنها تستخدم حاصل الضرب الكأسي لمجموعات كوهومولوجيا غالوا الأولى .

للاطلاع على مختلف المناهج لنظرية حقل الفئة المحلية، انظر الفصل الرابع والقسم 7 من الفصل الرابع من ^{[ 2 ]} . وتشمل هذه المناهج منهج هاس باستخدام مجموعة براور ، والمناهج الكوهومولوجية، والأساليب الصريحة ليورغن نوكيرش ، وميشيل هازوينكل ، ونظرية لوبين-تيت، وغيرها.

كانت تعميمات نظرية حقل الفئة المحلية إلى الحقول المحلية ذات حقل البقايا شبه المحدود امتدادات سهلة للنظرية التي توصل إليها جي. وابليس في خمسينيات القرن العشرين. ^{[ 3 ] الفصل  الخامس}

تتناول نظرية الحقول الصريحة من الفئة p للحقول المحلية ذات حقول البقايا الكاملة وغير الكاملة غير المنتهية مسألة جديدة تتمثل في مجموعات المعايير ذات الدليل اللانهائي. وقد وضع إيفان فيسينكو نظريات مناسبة في هذا الشأن . ^{[ 4 ] [ 5 ]} وتدرس نظرية فيسينكو للحقول المحلية غير التبادلية، الخاصة بامتدادات غالوا المنتهية حسابيًا للحقول المحلية، خريطة التبادلية المحلية المناسبة وخصائصها. ^{[ 6 ]} ويمكن اعتبار هذه النظرية الحسابية بديلاً عن تناظر لانغلاندز المحلي في نظرية التمثيل .

بالنسبة للحقل المحلي ذي الأبعاد الأعلى${\displaystyle K}$توجد خريطة تبادلية محلية أعلى تصف الامتدادات الأبيلية للحقل بدلالة الزمر الفرعية المفتوحة ذات الدليل المحدود في زمرة ميلنور K للحقل. أي، إذا${\displaystyle K}$هو${\displaystyle n}$ثم يستخدم المرء حقلًا محليًا ذا أبعاد n${\displaystyle \mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)}$أو خارج قسمتها المنفصلة المزودة بطوبولوجيا مناسبة. عندما${\displaystyle n=1}$تصبح النظرية نظرية حقل الفئة المحلية المعتادة. على عكس الحالة الكلاسيكية، لا تحقق مجموعات ميلنور K انحدار وحدة غالوا إذا${\displaystyle n>1}$تم تطوير نظرية المجال المحلي العامة ذات الأبعاد الأعلى بواسطة ك. كاتو وإ . فيسينكو .

تُعد نظرية حقل الفئة المحلية العليا جزءًا من نظرية حقل الفئة العليا التي تدرس الامتدادات الأبيلية (أو الأغطية الأبيلية) لحقول الدوال الكسرية للمخططات المنتظمة المناسبة المسطحة على الأعداد الصحيحة.

• فيسينكو، إيفان؛ فوستوكوف، سيرجي (2002)، الحقول المحلية وامتداداتها (  الطبعة الثانية)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-19-504030-2
• فيسينكو، إيفان ب .؛ كوريهارا، ماساتو، محرران (2000)، مدخل إلى الحقول المحلية العليا ، سلسلة دراسات في الهندسة والطوبولوجيا، المجلد  3 (الطبعة الأولى  )، جامعة وارويك: ناشرو العلوم الرياضية ، doi : 10.2140/gtm.2000.3 ، ISSN 1464-8989 ، Zbl 0954.00026  
• إيواساوا، كينكيتشي (1986)، نظرية حقل الفئة المحلية ، منشورات أكسفورد للعلوم، مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-504030-2، MR 0863740 
• نيوكيرش ، يورغن (1986)، نظرية المجال الطبقي ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد.  280 برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-15251-4، MR 0819231 
• سير، جان بيير (1967)، "نظرية حقل الأصناف المحلية"، في كاسيلز، جون ويليام سكوت ؛ فروليش، ألبريشت (محرران)، نظرية الأعداد الجبرية (وقائع المؤتمر التعليمي، برايتون، 1965) ، طومسون، واشنطن العاصمة، ص 128-161 ، ISBN  978-0-9502734-2-6، MR 0220701 
• سير، جان بيير (1979) [1962]، الحقول المحلية (الترجمة الإنجليزية: الحقول المحلية) ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  67، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90424-5، MR 0150130