مجموعة براور

في الرياضيات ، زمرة براور للحقل K هي زمرة تبديلية عناصرها هي فئات تكافؤ موريتا للجبر البسيط المركزي على K ، مع جمعها بواسطة حاصل الضرب الموتري للجبر . وقد عرّفها عالم الجبر ريتشارد براور .

نشأت زمرة براور من محاولات تصنيف جبر القسمة على حقل. ويمكن تعريفها أيضًا بدلالة علم التماثل لغالوا . وبشكل أعم، تُعرَّف زمرة براور لمخطط ما بدلالة جبر أزومايا ، أو بشكل مكافئ باستخدام الحزم الإسقاطية .

الجبر البسيط المركزي (CSA) على حقل K هو جبر تجميعي محدود الأبعاد A على K ، بحيث يكون A حلقة بسيطة ومركز A يساوي K. تجدر الإشارة إلى أن الجبر البسيط المركزي ليس جبر قسمة بشكل عام ، مع أنه يمكن استخدامه لتصنيف جبر القسمة.

على سبيل المثال، تُشكّل الأعداد المركبة C جبرًا تقاطعيًا مركزيًا (CSA) على نفسها، ولكن ليس على R (مركزها هو C نفسها، وبالتالي فهي كبيرة جدًا بحيث لا يمكن أن تكون جبرًا تقاطعيًا مركزيًا على R ). تُمثّل الأعداد الحقيقية والأعداد الرباعية جبر القسمة ذي الأبعاد المحدودة ومركزه R (أي أن بُعده على R محدود) وفقًا لنظرية فروبينيوس ، بينما تُمثّل أي حلقة مصفوفات على الأعداد الحقيقية أو الأعداد الرباعية - M( n , R ) أو M( n , H ) - جبرًا تقاطعيًا مركزيًا على الأعداد الحقيقية، ولكنها ليست جبر قسمة (إذا كان n > 1).

نحصل على علاقة تكافؤ على هياكل التقسيم المتجانسة (CSAs) على K باستخدام نظرية آرتين-ويدربيرن ( جزء ويدربورن تحديدًا)، للتعبير عن أي هيكل تقسيم متجانس كـ M( n , D ) لجبر قسمة D. إذا نظرنا إلى D فقط ، أي إذا فرضنا علاقة تكافؤ تُعرّف M( m , D ) مع M( n , D ) لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة m و n ، نحصل على علاقة تكافؤ براور على هياكل التقسيم المتجانسة على K. عناصر زمرة براور هي فئات تكافؤ براور لهياكل التقسيم المتجانسة على K.

بفرض وجود جبرين مركزيين بسيطين A و B ، يمكن النظر إلى حاصل ضربهما الموتري A ⊗ B كجبر K. ويتضح أن هذا الجبر مركزي بسيط دائمًا. ولتوضيح ذلك، يمكن استخدام خاصية معينة: الجبر المركزي البسيط A على K هو جبر K يتحول إلى حلقة مصفوفية عند توسيع حقل الأعداد القياسية إلى إغلاق جبري لـ K. تُظهر هذه النتيجة أيضًا أن بُعد الجبر المركزي البسيط A كفضاء متجهي K هو دائمًا مربع . وتُعرَّف درجة A بأنها الجذر التربيعي لبُعده .

نتيجةً لذلك، تُشكّل فئات التشاكل لـ CSAs على K أحاديًا تحت جداء الموترات، متوافقًا مع تكافؤ براور، وجميع فئات براور قابلة للعكس : يُعطى معكوس الجبر A بواسطة جبره المقابل A ^op ( الحلقة المقابلة التي لها نفس التأثير بواسطة K لأن صورة K → A تقع في مركز A ). وبالتحديد، بالنسبة لـ CSA A، لدينا A ⊗ A op ⁼ M( n² ^, K ) ، حيث n هي درجة A على K.

زمرة براور لأي حقل هي زمرة التواء . بتفصيل أكثر، نُعرّف دورة الجبر البسيط المركزي A على K بأنها رتبته كعنصر في زمرة براور. ونُعرّف دليل A بأنه درجة جبر القسمة المكافئ لـ A وفقًا لزمرة براور. عندئذٍ ، تقسم دورة A دليل A (وبالتالي تكون منتهية). ^{[ 1 ]}

• في الحالات التالية، كل جبر قسمة مركزي محدود الأبعاد على حقل K هو K نفسه، وبالتالي فإن مجموعة براور Br( K ) تافهة :
  • K حقل مغلق جبرياً .
  • K حقل منتهٍ ( نظرية ويدربورن ). ^{[ 2 ]} وبالمثل، فإن كل حلقة قسمة منتهية هي تبديلية .
  • K هو حقل الدوال لمنحنى جبري فوق حقل مغلق جبريًا ( نظرية تسين ). ^{[ 3 ]} _{وبشكل أعم، فإن} زمرة براور تتلاشى لأي حقل C1 .
  • K هو امتداد جبري لـ Q يحتوي على جميع جذور الوحدة . ^{[ 2 ]}
• زمرة براور Br R للأعداد الحقيقية هي الزمرة الدورية من الرتبة الثانية. يوجد جبران قسمة حقيقيان غير متماثلين مركزهما R : R نفسها وجبر الكواترنيون H. ^{[ 4 ]} بما أن H ⊗ H ≅ M(4, R ) ، فإن فئة H لها رتبة ثانية في زمرة براور.
• ليكن K حقلاً محلياً غير أرخميدسي ، أي أن ^K كامل تحت تقييم منفصل مع حقل متبقٍ منتهٍ. عندئذٍ يكون Br K متماثلاً مع Q / Z. ^{[ 5} ]

من التفسيرات المهمة الأخرى لمجموعة براور للحقل K أنها تصنف الأصناف الإسقاطية على K التي تصبح متماثلة مع الفضاء الإسقاطي على إغلاق جبري لـ K. يُطلق على هذا النوع من الأصناف اسم صنف سيفيري-براور ، وهناك تناظر أحادي بين فئات التماثل لأصناف سيفيري-براور ذات البعد ⁿ − 1 على K والجبر البسيط المركزي من الدرجة n على K. ^{[ 6} ]

على سبيل المثال، تُعدّ أصناف سيفيري-براور ذات البُعد 1 هي القطوع المخروطية الملساء في المستوى الإسقاطي فوق K. بالنسبة لحقل K ذي خاصية لا تساوي 2، فإن كل قطع مخروطي فوق K متماثل مع أحد القطع المخروطية من الشكل ^ax² + by² = z² ^لبعض العناصر غير الصفرية a و b من K. الجبر المركزي البسيط المقابل هو جبر الكواترنيون ^{[ 7 ] .}

${\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}$

يكون القطع المخروطي متماثلاً مع الخط الإسقاطي P ¹ فوق K إذا وفقط إذا كان جبر الكواترنيون المقابل متماثلاً مع جبر المصفوفة M(2, K ).

لأي عدد صحيح موجب n ، ليكن K حقلاً يكون فيه n قابلاً للعكس بحيث يحتوي K على جذر أولي من الرتبة n للوحدة ζ . بالنسبة للعنصرين غير الصفريين a و b في K ، فإن الجبر الدوري المرتبط به هو الجبر البسيط المركزي من الدرجة n على K المعرف بـ

${\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}$

تُعدّ الجبريات الدورية من أفضل أنواع الجبريات المركزية البسيطة فهمًا. (عندما لا يكون العنصر n قابلاً للعكس في K أو عندما لا يحتوي K على جذر أولي من الرتبة n للوحدة، فإن بناءً مشابهًا يُعطي الجبر الدوري ( χ , a ) المرتبط بامتداد دوري Z / n- لـ K ، χ ، وعنصر غير صفري a من K. ^{[ 8 ]} )

تُؤدي نظرية ميركورجيف -سوسلين في نظرية K الجبرية إلى نتيجة مهمة تتعلق بزمرة براور. تحديدًا، بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، ليكن K حقلًا يكون فيه n قابلًا للعكس بحيث يحتوي K على جذر أولي من الرتبة n للوحدة. عندئذٍ، تكون الزمرة الجزئية من زمرة براور لـ K ، التي يُقسمها n، مُولَّدة بواسطة جبر دوري من الدرجة n . ^{[ 9 ]} وبالمثل، فإن أي جبر قسمة دوري يقسم n يكون مكافئًا براوريًا لحاصل ضرب موتر لجبر دوري من الدرجة n . حتى بالنسبة لعدد أولي p ، توجد أمثلة تُظهر أن جبر القسمة الدوري p ليس بالضرورة أن يكون متماثلًا فعليًا مع حاصل ضرب موتر لجبر دوري من الدرجة p . ^{[ 10 ]}

تُعدّ مسألة ما إذا كان كل جبر قسمة من الدرجة الأولية على حقل ما دوريًا مسألة مفتوحة رئيسية (أثارها ألبرت ). يصحّ هذا إذا كانت الدرجة 2 أو 3، لكن المسألة تبقى مفتوحة على مصراعيها للأعداد الأولية التي لا تقل عن 5. النتائج المعروفة تقتصر على فئات خاصة من الحقول. على سبيل المثال، إذا كان K حقلًا عامًا أو حقلًا محليًا ، فإن جبر القسمة من أي درجة على K يكون دوريًا، وفقًا لألبرت -براور - هاس - نوثر . ^{[ 11 ]} وقد أثبت سالتمان نتيجة "أعلى بُعدًا" في الاتجاه نفسه : إذا كان K حقلًا من درجة التجاوز 1 على الحقل المحلي Qp _، فإن كل جبر قسمة من الدرجة الأولية l ≠ p على K يكون دوريًا. ^{[ 12 ]}

لأي جبر مركزي بسيط A على حقل K ، يقسم دور A دليل A ، ويكون للعددين نفس العوامل الأولية. ^{[ 13 ]} تكمن مشكلة دليل الدور في تحديد حد للدليل بدلالة الدور، وذلك للحقول K محل الاهتمام. على سبيل المثال، إذا كان A جبرًا مركزيًا بسيطًا على حقل محلي أو ^حقل شامل، فقد أثبت ألبرت-براور-هاس-نوثر أن دليل A يساوي دور A. [ ^{11 ]}

بالنسبة لجبر مركزي بسيط A على حقل K ذي درجة تجاوز n فوق حقل مغلق جبريًا، يُفترض أن ind( A ) يقسم per( A ) ^{n − 1.} هذا صحيح لـ n ≤ 2 ، وتُعد الحالة n = 2 تقدمًا هامًا من قِبل دي يونغ ، وقد تم تحسينها في الخاصية الموجبة بواسطة دي  يونغ-ستار وليبليش. ^{[ 14 ]}

تلعب زمرة براور دورًا هامًا في الصياغة الحديثة لنظرية حقل الأصناف . إذا كان K _{_v} حقلًا محليًا غير أرخميدسي، فإن نظرية حقل الأصناف المحلية تعطي تماثلًا قانونيًا inv_{_v}  : Br<sub> K _{_v} → Q / Z ، وهو ثابت هاس . ^{[ 2 ]}

تُعالج حالة الحقل العام K (مثل حقل الأعداد ) بواسطة نظرية الحقول الفئوية العامة . إذا كان D جبرًا بسيطًا مركزيًا على K ، و v مكانًا في K ، فإن D ⊗ K _v هو جبر بسيط مركزي على K _v ، وهو إتمام K عند v . يُعرّف هذا تشاكلًا من زمرة براور لـ K إلى زمرة براور لـ K _v . ينقسم أي جبر بسيط مركزي D لجميع قيم v باستثناء عدد محدود منها ، بحيث تكون صورة D تحت تأثير جميع هذه التشاكلات تقريبًا تساوي صفرًا. تتناسب زمرة براور Br K مع متتالية تامة أنشأها هاس: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Br} K\rightarrow \bigoplus _{v\in S}\operatorname {Br} K_{v}\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

حيث S هي مجموعة جميع مواضع K، والسهم الأيمن هو مجموع الثوابت المحلية؛ وتُعرَّف زمرة براور للأعداد الحقيقية بـ Z / 2Z . أما خاصية التباين الأحادي للسهم الأيسر فهي مضمون نظرية ألبرت-براور-هاس-نوثر .

إن كون مجموع جميع الثوابت المحلية لجبر مركزي بسيط على K يساوي صفرًا هو قانون تبادلي نموذجي . على سبيل المثال، بتطبيق هذا على جبر رباعي ( a , b ) على Q، نحصل على قانون التبادل التربيعي .

بالنسبة لحقل عشوائي K ، يمكن التعبير عن مجموعة براور من حيث علم التماثل لغالوا على النحو التالي: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \operatorname {Br} K\cong H^{2}(K,G_{\text{m}}),}$

حيث تشير G _{m إلى} المجموعة الضربية ، التي تُعتبر مجموعة جبرية على K. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن مجموعة التماثل المشار إليها تعني H ² (Gal( K s _/ K ) , K _s ^* ) ، حيث تشير K _{s إلى} إغلاق قابل للفصل لـ K.

يمكن وصف تماثل زمرة براور مع زمرة غالوا للتماثل كما يلي. زمرة التماثل الذاتي لجبر المصفوفات من الرتبة n × n هي الزمرة الخطية الإسقاطية PGL( n ). بما أن جميع الجبر البسيط المركزي على K يصبح متماثلًا مع جبر المصفوفات على إغلاق قابل للفصل لـ K ، فإن مجموعة فئات التماثل للجبر البسيط المركزي من الدرجة n على K يمكن تعريفها بمجموعة غالوا للتماثل H₁ ( K ^, PGL( n )) . فئة الجبر البسيط المركزي في ^{H₂ (} K , Gₘ ) _هي صورة فئته في H₁ تحت تماثل الحدود .

${\displaystyle H^{1}(K,\operatorname {PGL} (n))\rightarrow H^{2}(K,G_{\text{m}})}$

مرتبط بالتسلسل الدقيق القصير 1 → G _m → GL( n ) → PGL( n ) → 1 .

قام أوسلاندر وغولدمان بتعميم زمرة براور من الحقول إلى الحلقات التبادلية . وذهب غروتينديك إلى أبعد من ذلك بتعريف زمرة براور لأي مخطط .

هناك طريقتان لتعريف زمرة براور لمخطط X ، إما باستخدام جبر أزوميا على X أو الحزم الإسقاطية على X. يتضمن التعريف الثاني حزمًا إسقاطية تافهة محليًا في طوبولوجيا إيتال ، وليس بالضرورة في طوبولوجيا زاريسكي . على وجه الخصوص، تُعرَّف الحزمة الإسقاطية بأنها تساوي صفرًا في زمرة براور إذا وفقط إذا كانت إسقاطًا لحزمة متجهة ما.

تُعرَّف زمرة براور الكوهومولوجية لمخطط شبه متراص X بأنها الزمرة الجزئية الالتوائية لزمرة الكوهومولوجيا الإيتالية H₂ ( X , Gm ) . (لا يشترط أن تكون الزمرة H₂(X, Gm) بأكملها ^زمرة التواء ، على _الرغم ^من _أنها كذلك بالنسبة للمخططات المنتظمة والتكاملية وشبه المتراصة X. ^{[ 18 ]} ) . زمرة براور هي دائمًا زمرة جزئية من زمرة براور الكوهومولوجية. وقد بيّن غابر أن زمرة براور تساوي زمرة براور الكوهومولوجية لأي مخطط ذي حزمة خطية وافرة (على سبيل المثال، أي مخطط شبه إسقاطي فوق حلقة تبديلية). ^{[ 19 ]}

يمكن اعتبار المجموعة الكاملة H ² ( X , G _m ) بمثابة تصنيف للجرذان على X مع مجموعة البنية G _m .

بالنسبة للمتنوعات الإسقاطية الملساء على حقل ما، تُعدّ زمرة براور ثابتًا ثنائيًا نسبيًا هامًا . على سبيل المثال، عندما يكون X متصلًا نسبيًا أيضًا على الأعداد المركبة، فإن زمرة براور لـ X متماثلة مع زمرة الالتواء الفرعية لزمرة التماثل المفردة H₃(X,Z)، والتي تُعدّ بالتالي ثابتًا ثنائيًا نسبيًا. استخدم آرتين ومومفورد هذا الوصف لزمرة براور لتقديم أول مثال لمتنوع أحادي نسبيًا ^X على C غير مستقر نسبيًا ( أي ، لا يوجد حاصل ضرب لـ X مع فضاء إسقاطي يكون نسبيًا). ^{[ 20 ]}

افترض آرتين أن كل مخطط صحيح على الأعداد الصحيحة يمتلك زمرة براور منتهية. ^{[ 21 ]} هذا الأمر غير معروف حتى في الحالة الخاصة لمتنوعة إسقاطية ملساء X على حقل منتهٍ. في الواقع، إن محدودية زمرة براور للأسطح في تلك الحالة تُكافئ حدسية تيت للقواسم على X ، وهي إحدى المشكلات الرئيسية في نظرية الدورات الجبرية . ^{[ 22 ]}

بالنسبة لمخطط تكاملي منتظم ذي بُعد 2، وهو مسطح ومناسب على حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي، وله مقطع ، فإن محدودية زمرة براور تُكافئ محدودية زمرة تيت-شافاريفيتش Ш لمتنوعة جاكوبي للألياف العامة (منحنى فوق حقل عددي). ^{[ 23 ]} تُعد محدودية Ш ​​مشكلة مركزية في حساب المنحنيات الإهليلجية ، وبشكل أعم، في حساب المتنوعات الأبيلية .

ليكن X منوعًا إسقاطيًا أملسًا على حقل عددي K. ينص مبدأ هاس على أنه إذا كان لـ X نقطة عقلانية على جميع الإكمالات K _{_v} لـ K ، فإن لـ X نقطة عقلانية K. ينطبق مبدأ هاس على بعض فئات المنوعات الخاصة، ولكنه لا ينطبق بشكل عام. استخدم مانين زمرة براور لـ X لتعريف عائق براور-مانين ، والذي يمكن تطبيقه في كثير من الحالات لإثبات أن X لا يملك نقاطًا K حتى عندما يملك X نقاطًا على جميع إكمالات K.