خاتم بسيط

في الرياضيات ، الحلقة البسيطة هي حلقة غير صفرية لا تحتوي على أي مثاليات ثنائية الجانب باستثناء المثالي الصفري ونفسها. وبالتحديد، تكون الحلقة التبديلية حلقة بسيطة إذا وفقط إذا كانت حقلاً .

مركز الحلقة البسيطة هو بالضرورة حقل. وبناءً على ذلك، فإن الحلقة البسيطة هي جبر ترابطي فوق هذا الحقل. ولذلك تُسمى جبرًا بسيطًا فوق هذا الحقل.

تشترط العديد من المراجع (مثل لانغ (2002) أو بورباكي (2012) ) أن تكون الحلقة البسيطة أرتينية يسارية أو يمينية (أو ما يعادلها شبه بسيطة ). وبموجب هذه المصطلحات، تُسمى الحلقة غير الصفرية التي لا تحتوي على مثاليات ثنائية الجانب غير تافهة شبه بسيطة .

توجد حلقات بسيطة مثل الحلقات ولكنها ليست وحدة بسيطة فوق نفسها: حلقة المصفوفات الكاملة فوق حقل لا تحتوي على أي مثاليات ثنائية الجانب غير تافهة (لأن أي مثالي من ⁠${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$⁠ يكون على شكل ⁠${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(I)}$مع​​${\displaystyle I}$مثال لـ​${\displaystyle R}$) ، ولكن لها مثاليات يسارية غير تافهة (على سبيل المثال، مجموعات المصفوفات التي تحتوي على بعض الأعمدة الصفرية الثابتة).

من الأمثلة المباشرة على الحلقات البسيطة حلقة القسمة ، حيث يكون لكل عنصر غير صفري معكوس ضربي ، على سبيل المثال، الكواترنيونات . كذلك ، لأي${\displaystyle n\geq 1}$، جبر​${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات في حلقة القسمة بسيطة.

أثبت جوزيف ويدربورن أنه إذا كان الخاتم${\displaystyle R}$⁠ هو جبر بسيط ذو أبعاد منتهية على حقل ⁠${\displaystyle k}$، وهو متماثل مع جبر المصفوفات على جبر القسمة على${\displaystyle k}$⁠ . على وجه الخصوص، فإن الحلقات البسيطة الوحيدة التي تمثل جبرًا محدود الأبعاد على الأعداد الحقيقية هي حلقات المصفوفات على الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة أو الكواترنيونات .

أثبت ويدربورن هذه النتائج عام ١٩٠٧ في أطروحته للدكتوراه بعنوان " حول الأعداد المركبة الفائقة" ، والتي نُشرت في وقائع الجمعية الرياضية بلندن . صنّفت أطروحته الجبر البسيط وشبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة على الحقول. يُعدّ الجبر البسيط لبنات بناء الجبر شبه البسيط: فأي جبر شبه بسيط ذي أبعاد محدودة هو حاصل ضرب ديكارتي، بمعنى الجبر، لجبر بسيط ذي أبعاد محدودة.

يجب توخي الحذر في المصطلحات: فليست كل حلقة بسيطة حلقة شبه بسيطة ، وليست كل جبر بسيط جبرًا شبه بسيط. مع ذلك، فإن كل جبر بسيط ذي أبعاد منتهية هو جبر شبه بسيط، وكل حلقة بسيطة أرتينية يسارية أو يمينية هي حلقة شبه بسيطة.

عُممت نتيجة ويدربورن لاحقًا لتشمل الحلقات شبه البسيطة في نظرية ويدربورن-آرتين ، التي تنص على أن كل حلقة شبه بسيطة هي ناتج ضرب منتهٍ لحلقات المصفوفات فوق حلقات القسمة. ونتيجةً لهذا التعميم، فإن كل حلقة بسيطة من نوع آرتين الأيسر أو الأيمن هي حلقة مصفوفات فوق حلقة قسمة.

دع​${\displaystyle \mathbb {R} }$ليكن حقل الأعداد الحقيقية ،${\displaystyle \mathbb {C} }$ليكن حقل الأعداد المركبة، و${\displaystyle \mathbb {H} }$الرباعيات .​​

• الجبر البسيط المركزي (يُسمى أحيانًا جبر براور ) هو جبر بسيط ذو أبعاد منتهية على حقل .${\displaystyle F}$مركزها هو​​​${\displaystyle F}$⁠ .
• كل جبر بسيط محدود الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ متماثل مع جبر ⁠${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات في${\displaystyle \mathbb {R} }$،​​${\displaystyle \mathbb {C} }$أو​​${\displaystyle \mathbb {H} }$كل جبر مركزي بسيط على${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ متماثل مع جبر ⁠${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات${\displaystyle \mathbb {R} }$أو​​${\displaystyle \mathbb {H} }$. هذه النتائج تنبع من نظرية فروبينيوس .
• كل جبر بسيط محدود الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ هو جبر بسيط مركزي، وهو متماثل مع حلقة المصفوفات فوق ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ .
• كل جبر مركزي بسيط ذو أبعاد محدودة فوق حقل محدود يكون متماثلاً مع حلقة مصفوفة فوق ذلك الحقل.
• على حقل ذي خاصية صفرية، يكون جبر ويل بسيطًا ولكنه ليس شبه بسيط، وعلى وجه الخصوص ليس جبر مصفوفة على جبر قسمة على مركزه؛ جبر ويل لا نهائي الأبعاد، لذلك لا تنطبق عليه نظرية ويدربورن.

• الجبر البسيط
• الجبر البسيط (الجبر الشامل)

• ألبرت، أ.أ. (2003). بنية الجبر . منشورات كولكيوم. المجلد  24. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ص  37. ISBN 0-8218-1024-3.
• بوربكي ، نيكولا (2012)، الجبر ش. 8 (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-35315-7
• نيكلسون، ويليام ك. (1993). "برهان مختصر لنظرية ويدربورن-آرتين" (ملف PDF) . مجلة نيوزيلندا للرياضيات 22 : 83-86 .
• هندرسون، د. و. (1965). "برهان مختصر لنظرية ويدربورن". المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 72 : 385-386 . doi : 10.2307/2313499 .
• لام، تسيت-يوين (2001)، مدخل إلى الحلقات غير التبادلية (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 ، ISBN 978-0-387-95325-0، MR 1838439 
• لانج، سيرج (2002)، الجبر (  الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0387953854
• جاكوبسون، ناثان (1989)، الجبر الأساسي 2 (الطبعة الثانية  )، دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-1933-5