الإغلاق الجبري

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر المجرد ، يُعرف الإغلاق الجبري للحقل K بأنه امتداد جبري لـ K يكون مغلقًا جبريًا . وهو أحد أنواع الإغلاقات العديدة في الرياضيات.

باستخدام مبرهنة زورن ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} أو مبرهنة المرشح الفائق الأضعف ^{[ 4 ] [ 5 ]} ، يمكن إثبات أن لكل حقل إغلاقًا جبريًا ، وأن الإغلاق الجبري للحقل K فريدٌ حتى تماثل يُثبِّت كل عنصر من عناصر K. وبسبب هذه الفرادة الجوهرية، غالبًا ما نتحدث عن الإغلاق الجبري لـ K ، بدلًا من الإغلاق الجبري لـ K.

يمكن اعتبار الإغلاق الجبري للحقل K بمثابة أكبر امتداد جبري لـ K. ولتوضيح ذلك، لاحظ أنه إذا كان L أي امتداد جبري لـ K ، فإن الإغلاق الجبري لـ L هو أيضًا إغلاق جبري لـ K ، وبالتالي فإن L مُحتوى داخل الإغلاق الجبري لـ K. كما أن الإغلاق الجبري لـ K هو أصغر حقل مغلق جبريًا يحتوي على K ، لأنه إذا كان M أي حقل مغلق جبريًا يحتوي على K ، فإن عناصر M الجبرية فوق K تُشكل إغلاقًا جبريًا لـ K.

يكون للإغلاق الجبري للحقل K نفس عدد العناصر الموجودة في K إذا كان K لانهائيًا، ويكون لانهائيًا قابلًا للعد إذا كان K محدودًا. ^{[ 3 ]}

• تنص النظرية الأساسية للجبر على أن الإغلاق الجبري لحقل الأعداد الحقيقية هو حقل الأعداد المركبة .
• الإغلاق الجبري لحقل الأعداد النسبية هو حقل الأعداد الجبرية .
• توجد العديد من الحقول المغلقة جبريًا والقابلة للعد ضمن الأعداد المركبة، والتي تحتوي بشكل صارم على حقل الأعداد الجبرية؛ وهذه هي الإغلاقات الجبرية للامتدادات المتسامية للأعداد النسبية، على سبيل المثال الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbf {Q} (\pi )}$.
• بالنسبة لحقل منتهٍ من رتبة قوة أولية${\displaystyle q}$، الإغلاق الجبري هو حقل لانهائي قابل للعد يحتوي على نسخة من حقل الرتبة${\displaystyle q^{n}}$لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$(وهو في الواقع اتحاد هذه النسخ). ^{[ 6 ]}

يترك${\displaystyle S=\{f_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}}$لتكن مجموعة جميع كثيرات الحدود الأحادية غير القابلة للاختزال في${\displaystyle K[x]}$لكل${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$، إدخال متغيرات جديدة${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$أين${\displaystyle d={\rm {degree}}(f_{\lambda })}$. يترك${\displaystyle R}$لتكن حلقة كثيرات الحدود فوق${\displaystyle K}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle u_{\lambda ,i}}$للجميع${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$وكل شيء${\displaystyle i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda }).}$يكتب

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

مع${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$. يترك ${\displaystyle I}$كن مثالياً في${\displaystyle R}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$. منذ${\displaystyle I}$أصغر بكثير من ${\displaystyle R}$تشير ليمّة زورن إلى وجود مثال أسمى${\displaystyle M}$في${\displaystyle R}$الذي يحتوي${\displaystyle I}$المجال${\displaystyle K_{1}=R/M}$تتمتع كل متعددة الحدود بالخاصية التالية:${\displaystyle f_{\lambda }}$بمعاملات في${\displaystyle K}$ينقسم كحاصل ضرب${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$وبالتالي فإن جميع جذورها في${\displaystyle K_{1}}$وبالمثل، التمديد${\displaystyle K_{2}}$ل${\displaystyle K_{1}}$يمكن إنشاؤها، إلخ. اتحاد كل هذه الامتدادات هو الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle K}$لأن أي متعددة حدود ذات معاملات في هذا الحقل الجديد تكون معاملاتها في بعض${\displaystyle K_{n}}$مع حجم كبير بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$ثم جذورها في${\displaystyle K_{n+1}}$وبالتالي في الاتحاد نفسه.

ويمكن إثبات ذلك بنفس الطريقة التي يمكن بها إثبات ذلك لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle K[x]}$يوجد حقل انقسام من${\displaystyle S}$زيادة${\displaystyle K}$.

إغلاق جبري${\displaystyle K^{\text{alg}}}$ل${\displaystyle K}$يحتوي على امتداد فريد قابل للفصل${\displaystyle K^{\text{sep}}}$من K التي تحتوي على جميع الامتدادات القابلة للفصل (الجبرية) لـ${\displaystyle K}$داخل${\displaystyle K^{\text{alg}}}$يُطلق على هذا الامتداد الفرعي اسم الإغلاق القابل للفصل لـ${\displaystyle K}$بما أن الامتداد القابل للفصل لامتداد قابل للفصل هو امتداد قابل للفصل أيضاً، فلا توجد امتدادات قابلة للفصل منتهية لـ${\displaystyle K^{\text{sep}}}$، من الدرجة > 1. بعبارة أخرى،${\displaystyle K}$يحتوي على حقل امتداد جبري مغلق قابل للفصل . وهو فريد ( حتى التشاكل). ^{[ 7 ]}

يكون الإغلاق القابل للفصل هو الإغلاق الجبري الكامل إذا وفقط إذا${\displaystyle K}$هو حقل مثالي . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle K}$هو مجال ذو خصائص${\displaystyle p}$وإذا${\displaystyle X}$هو متعالٍ على${\displaystyle K}$،${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$هو امتداد حقل جبري غير قابل للفصل.

بشكل عام، مجموعة غالوا المطلقة لـ${\displaystyle K}$هي مجموعة غالوا${\displaystyle K^{\text{sep}}}$زيادة${\displaystyle K}$[ ^{8 ]​}

• توسع بويزو
• مجال كامل

• كابلانسكي، إيرفينغ (1972). الحقول والحلقات . محاضرات شيكاغو في الرياضيات (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500 . 
• مكارثي، بول ج. (1991). الامتدادات الجبرية للحقول (طبعة منقحة من الطبعة الثانية  ). نيويورك: منشورات دوفر. Zbl 0768.12001 .