الباقي

في الرياضيات ، الباقي هو القيمة المتبقية بعد إجراء عملية حسابية. في الحساب ، الباقي هو العدد الصحيح المتبقي بعد قسمة عدد صحيح على آخر للحصول على ناتج قسمة صحيح . في جبر كثيرات الحدود، الباقي هو كثيرة الحدود المتبقية بعد قسمة كثيرة حدود على أخرى. عملية باقي القسمة هي العملية التي تُنتج هذا الباقي عند إعطاء المقسوم والمقسوم عليه.

بدلاً من ذلك، يُعرف الباقي أيضاً بأنه ما يتبقى بعد طرح عدد من آخر، مع أن هذا يُسمى بدقة أكبر الفرق . يمكن إيجاد هذا الاستخدام في بعض الكتب الدراسية الابتدائية؛ وفي اللغة الدارجة، يُستبدل بعبارة "الباقي" كما في "أعطني دولارين واحتفظ بالباقي". ^{[ 1 ]} ومع ذلك، لا يزال مصطلح "الباقي" يُستخدم بهذا المعنى عند تقريب دالة ما بواسطة متسلسلة تايلور ، حيث يُشار إلى تعبير الخطأ ("الباقي") باسم حد الباقي .

بفرض عدد صحيح a وعدد صحيح غير صفري d ، يمكن إثبات وجود عددين صحيحين وحيدين q و r ، بحيث يكون a = qd + r و 0 ≤ r < | d | . يُسمى العدد q ناتج القسمة ، بينما يُسمى r الباقي .

(للاطلاع على برهان هذه النتيجة، انظر القسمة الإقليدية . وللاطلاع على الخوارزميات التي تصف كيفية حساب الباقي، انظر خوارزمية القسمة .)

يُطلق على الباقي، كما هو مُعرّف أعلاه، اسم أصغر باقي موجب أو ببساطة الباقي . ^{[ 2 ]}

في بعض الحالات، يكون من الملائم إجراء القسمة بحيث يكون a أقرب ما يمكن إلى مضاعف صحيح لـ d ، أي يمكننا كتابة

a = kd + s ، حيث | s | ≤ | d /2 | لبعض الأعداد الصحيحة k .

في هذه الحالة، يُطلق على s اسم أصغر باقي مطلق . ^{[ 3 ]} وكما هو الحال مع ناتج القسمة والباقي، فإن k و s يتم تحديدهما بشكل فريد، باستثناء الحالة التي يكون فيها d = 2n و s = ± n . بالنسبة لهذا الاستثناء، لدينا:

a = kd + n = ( k + 1) d − n .

يمكن الحصول على باقي فريد في هذه الحالة عن طريق بعض الاتفاقيات - مثل أخذ القيمة الموجبة لـ s دائمًا .

عندما يكون a و d عددين عشريين ، ويكون d غير صفري، يمكن قسمة a على d بدون باقٍ، ويكون الناتج عددًا عشريًا آخر. أما إذا كان الناتج عددًا صحيحًا، فإن مفهوم الباقي يبقى ضروريًا. يمكن إثبات وجود ناتج قسمة صحيح وحيد q وباقي قسمة عشري وحيد r بحيث يكون a = qd + r حيث 0 ≤ r < | d | .

إن توسيع تعريف الباقي للأعداد العشرية، كما هو موضح أعلاه، ليس ذا أهمية نظرية في الرياضيات؛ ومع ذلك، فإن العديد من لغات البرمجة تنفذ هذا التعريف (انظر عملية Modulo ).

• القسمة المطولة: طريقة تقليدية لتقسيم الأرقام يدويًا، والتي تتضمن الطرح المتكرر ووضع الأرقام.
  1. اكتب مسألة القسمة بصيغة القسمة المطولة، مع وضع المقسوم عليه خارج رمز القسمة والمقسوم داخله.
  2. حدد عدد المرات التي يمكن أن يدخل فيها المقسوم عليه في الرقم الأول أو مجموعة الأرقام الأولى من المقسوم.
  3. اقسم الأرقام المختارة على المقسوم عليه واكتب الناتج فوق رمز القسمة.
  4. اضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه واكتب النتيجة أسفل الأرقام المحددة.
  5. اطرح النتيجة من الخطوة 4 من الأرقام المحددة لإيجاد الباقي.
  6. إذا كان هناك المزيد من الأرقام في المقسوم، فقم بإنزال الرقم التالي.
  7. كرر الخطوات من 2 إلى 5 حتى لا يتبقى أي أرقام في المقسوم لإنزالها.
  8. إذا كان الباقي أقل من المقسوم عليه ولم تكن هناك أرقام أخرى لإنزالها، فتوقف.
  9. إذا كانت هناك أرقام متبقية لإنزالها ولكن الباقي ليس أقل من المقسوم عليه، فتابع.
  10. الباقي النهائي هو النتيجة عندما تتم معالجة جميع الأرقام، ولا يمكن إنزال المزيد من الأرقام.
• الحساب النمطي : استخدام مفاهيم الحساب النمطي لحساب الباقي بكفاءة، وهو مفيد بشكل خاص في علوم الحاسوب والتشفير.
  1. ابدأ بالمقسوم والمقسوم عليه.
  2. اقسم المقسوم على المقسوم عليه.
  3. خذ الباقي الناتج عن القسمة.
  4. والباقي هو نتيجة عملية الحساب النمطي.
• نظرية الباقي : نظرية رياضية توفر منهجًا منظمًا لإيجاد الباقي عند قسمة كثيرات الحدود.
  1. حدد متعددة الحدود P(x) والقاسم الخطي xa.
  2. قم بتقييم P(a)، حيث a هو جذر القاسم الخطي (القيمة التي تجعل xa مساوية للصفر).
  3. القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة 2 هي الباقي عند قسمة P(x) على xa. ^{[ 4 ]}

على الرغم من عدم وجود صعوبات متأصلة في التعريفات، إلا أن هناك مشكلات في التنفيذ تظهر عند استخدام الأعداد السالبة في حساب الباقي. وقد اعتمدت لغات البرمجة المختلفة اصطلاحات مختلفة. على سبيل المثال:

• يختار باسكال نتيجة عملية باقي القسمة لتكون موجبة، لكنه لا يسمح بأن تكون قيمة d سالبة أو صفرًا (لذا، فإن a = ( a div d ) × d + a mod d ليست صالحة دائمًا). ^{[ 5 ]}
• يختار C (منذ C99 ) الباقي بنفس إشارة المقسوم a . ^{[ 6 ]} (سمحت الإصدارات السابقة من لغة C بخيارات أخرى.)
• في لغة بيرل ، ولغة بايثون (الإصدارات الحديثة فقط) يتم اختيار الباقي بنفس إشارة المقسوم عليه d . ^{[ 7 ]}
• توفر لغة Scheme دالتين، الباقي (remainer) وباقي القسمة (modulo) . تحتوي لغات Ada و PL/I و CSS على الدالتين mod و rem ، بينما تحتوي Fortran على الدالتين mod و modulo . في كل حالة، تتطابق إشارة الدالة mod مع إشارة المقسوم a ، بينما تتطابق إشارة الدالة rem مع إشارة المقسوم عليه d . تحتوي لغتا Common Lisp و Haskell أيضًا على الدالتين mod و rem ، لكن الدالة mod تستخدم إشارة المقسوم عليه، بينما تستخدم الدالة rem إشارة المقسوم.

القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود تشبه إلى حد كبير القسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة، وتؤدي إلى بواقي كثيرة الحدود. ويستند وجودها إلى النظرية التالية: إذا عُرِّف كثيرتا حدود أحاديتي المتغير a ( x ) و b ( x ) (حيث b ( x ) كثيرة حدود غير صفرية) على حقل (وخاصةً الأعداد الحقيقية أو المركبة )، فإنه توجد كثيرتا حدود q ( x ) ( الناتج ) و r ( x ) ( الباقي ) تحققان ما يلي: ^{[ 8 ]}

أ ( س ) = ب ( س ) ق ( س ) + ر ( س )

أين

درجة( r ( x )) < درجة( b ( x )),

حيث تشير "deg(...)" إلى درجة متعددة الحدود (يمكن تعريف درجة متعددة الحدود الثابتة التي قيمتها دائمًا صفر بأنها سالبة، وبالتالي فإن شرط الدرجة هذا سيكون دائمًا صحيحًا عندما يكون هذا هو الباقي). علاوة على ذلك، يتم تحديد q ( x ) و r ( x ) بشكل فريد من خلال هذه العلاقات.

يختلف هذا عن القسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة في أنه بالنسبة للأعداد الصحيحة، يُستبدل شرط الدرجة بحدود الباقي r (غير سالب وأقل من المقسوم عليه، مما يضمن أن r فريد). ويُحفز التشابه بين القسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة وتلك الخاصة بكثيرات الحدود البحث عن أكثر إطار جبري عمومية تكون فيه القسمة الإقليدية صالحة. تُسمى الحلقات التي توجد فيها مثل هذه النظرية بالمجالات الإقليدية ، ولكن في هذه العمومية، لا يُضمن تفرد ناتج القسمة والباقي. ^{[ 9 ]}

تؤدي عملية القسمة لكثيرات الحدود إلى نتيجة تُعرف باسم نظرية باقي القسمة لكثيرات الحدود : إذا قُسِّمَت كثيرة الحدود f ( x ) على x − k ، فإن الباقي هو الثابت r = f ( k ) . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• لارسون، رون ؛ هوستتلر، روبرت (2007). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي: دورة موجزة . هوتون ميفلين. ISBN 978-0-618-62719-6.
• أور، أويستين (1988) [1948]. نظرية الأعداد وتاريخها . دوفر. ISBN 978-0-486-65620-5.
• الباقي (2026). "حاسبة الباقي - القسمة مع الباقي" . Remainder.info . تم ​​الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2026 .
• روتمان، جوزيف ج. (2006). مدخل إلى الجبر المجرد مع تطبيقات (  الطبعة الثالثة). برنتيس هول. ISBN 978-0-13-186267-8.
• سميث، ديفيد يوجين (1925) [1958]. تاريخ الرياضيات، المجلد 2. نيويورك: دوفر. OL 58870083M . 
• وايسشتاين، إريك و. (2026). "نظرية باقي كثير الحدود" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2026 .

• دافنبورت، هارولد (1999). الحساب المتقدم: مدخل إلى نظرية الأعداد . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ص  25. ISBN 0-521-63446-6.
• كاتز، فيكتور ، محرر. (2007). رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام  : كتاب مرجعي . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780691114859.
• شوارتزمان، ستيفن (1994). "الباقي (اسم)" . مصطلحات الرياضيات  : قاموس اشتقاقي للمصطلحات الرياضية المستخدمة في اللغة الإنجليزية . واشنطن: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 9780883855119.
• زوكرمان، مارتن م. (ديسمبر 1998). الحساب: مدخل مباشر . لانام، ماريلاند: دار نشر روومان وليتلفيلد. رقم ISBN 0-912675-07-1.