القوة السادسة

في الحساب والجبر ، القوة السادسة للعدد n هي ناتج ضرب ستة أعداد n معًا. لذا :

n ⁶ = n × n × n × n × n × n .

يمكن تكوين القوى السادسة عن طريق ضرب عدد في قوته الخامسة ، أو ضرب مربع عدد في قوته الرابعة ، أو تكعيب مربع، أو تربيع مكعب.

متتالية القوى السادسة للأعداد الصحيحة هي:

0، 1، 64، 729، 4096، 15625، 46656، 117649، 262144، 531441، 1000000، 1771561، 2985984، 4826809، 7529536، 11390625، 16777216، 24137569، 34012224، 47045881، 64000000، 85766121، 113379904، 148035889، 191102976، 244140625، 308915776، 387420489، 481890304، ... (التسلسل A001014 في OEIS )

وتشمل هذه الأرقام العشرية المهمة 10 ⁶ ( مليون )، 100 ⁶ ( تريليون قصير المدى ومليار طويل المدى)، 1000 ⁶ ( كوينتيليون وتريليون طويل المدى ) وهكذا.

يمكن وصف القوى السادسة للأعداد الصحيحة بأنها الأعداد التي تكون مربعة ومكعبة في آن واحد. ^{[ 1 ]} وبهذا، فهي مماثلة لفئتين أخريين من الأعداد الشكلية : الأعداد المثلثية المربعة ، التي تكون مربعة ومثلثة في آن واحد، وحلول مسألة كرة المدفع ، التي تكون مربعة وهرمية مربعة في آن واحد.

بسبب ارتباطها بالمربعات والمكعبات، تلعب القوى السادسة دورًا مهمًا في دراسة منحنيات مورديل ، وهي منحنيات إهليلجية على الشكل التالي:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k.}$

متى${\displaystyle k}$إذا كان العدد يقبل القسمة على قوة سادسة، فيمكن تبسيط هذه المعادلة بالقسمة على تلك القوة للحصول على معادلة أبسط من نفس الشكل. وتنص نتيجة معروفة في نظرية الأعداد ، أثبتها رودولف فوتر ولويس ج . مورديل ، على أنه عندما${\displaystyle k}$هو عدد صحيح لا يقبل القسمة على القوة السادسة (باستثناء الحالات الاستثنائية).${\displaystyle k=1}$و${\displaystyle k=-432}$), هذه المعادلة إما ليس لها حلول نسبية مع كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$غير صفرية أو عدد لا نهائي منها. ^{[ 2 ]}

في التدوين القديم لروبرت ريكورد ، كان يُطلق على القوة السادسة لعدد ما اسم "زينزيكوب"، أي مربع المكعب. وبالمثل، فإن التدوين المستخدم للقوى السادسة في الرياضيات الهندية في القرن الثاني عشر من قبل بهاسكارا الثاني كان يُطلق عليها أيضًا إما مربع المكعب أو مكعب المربع. ^{[ 3 ]}

توجد أمثلة عديدة معروفة لقوى من الدرجة السادسة يمكن التعبير عنها كمجموع سبع قوى أخرى من الدرجة السادسة، ولكن لا توجد أمثلة معروفة حتى الآن لقوة من الدرجة السادسة يمكن التعبير عنها كمجموع ست قوى من الدرجة السادسة فقط. ^{[ 4 ]} وهذا ما يجعلها فريدة من نوعها بين القوى ذات الأس k = 1، 2، ...، 8، حيث يمكن التعبير عن القوى الأخرى كمجموع k من القوى من الدرجة k ، وبعضها (مخالفًا لتخمين أويلر لمجموع القوى ) يمكن التعبير عنه كمجموع عدد أقل من القوى من الدرجة k .

فيما يتعلق بمسألة وارينغ ، يمكن تمثيل كل عدد صحيح كبير بما فيه الكفاية كمجموع 24 قوة سادسة على الأكثر من الأعداد الصحيحة. ^{[ 5 ]}

توجد حلول غير تافهة لا حصر لها لمعادلة ديوفانتين ^{[ 6 ]}

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.}$

لم يتم إثبات ما إذا كانت المعادلة

${\displaystyle a^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}}$

له حل غير تافه، ^{[ 7 ]} لكن تخمين لاندر وباركين وسيلفريدج يعني أنه ليس كذلك.

• ${\displaystyle n^{6}-1}$يقبل القسمة على 7 إذا لم يكن n يقبل القسمة على 7.

• المعادلة الجنسية
• القوة الثامنة
• القوة السابعة
• القوة الخامسة (في الجبر)
• القوة الرابعة
• المكعب (الجبر)
• المربع (الجبر)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "معادلة ديوفانتين - القوى السادسة" . عالم الرياضيات .