رقم كارمايكل

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 94 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، عدد كارمايكل هو عدد مركبن{\displaystyle n}والتي تحقق علاقة التطابق في الحساب النمطي :

بن≡ب(تعديلن){\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}}

لجميع الأعداد الصحيحةب{\displaystyle b}[ 1 ] يمكن أيضًا التعبير عن العلاقة [ 2 ] بالشكل التالي:

بن-1≡1(تعديلن){\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}

لجميع الأعداد الصحيحةب{\displaystyle b}التي تعتبر ذات أولوية نسبية لـن{\displaystyle n}عددهم لا نهائي . [ 3 ]

روبرت دانيال كارمايكل

تُمثل هذه الحالات النادرة نسبياً التي لا ينطبق فيها العكس الدقيق لنظرية فيرما الصغرى . هذه الحقيقة تحول دون استخدام تلك النظرية كاختبار مطلق لأولية الأعداد . [ 4 ]

تشكل أعداد كارمايكل المجموعة الفرعية K 1 من أعداد كنودل .

سُميت أعداد كارمايكل نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي روبرت كارمايكل من قبل نيكولاس بيجر في عام 1950. وكان أويستين أور قد أشار إليها في عام 1948 على أنها أعداد ذات "خاصية فيرما"، أو " أعداد F " اختصارًا. [ 5 ]

ملخص

تنص نظرية فيرما الصغيرة على أنه إذاص{\displaystyle p}إذا كان عددًا أوليًا ، فإن أي عدد صحيحب{\displaystyle b}، العددبص-ب{\displaystyle b^{p}-b}هو مضاعف صحيح لـص{\displaystyle p}أعداد كارمايكل هي أعداد مركبة تشترك في نفس الخاصية. تُسمى أعداد كارمايكل أيضًا بأعداد فيرما شبه الأولية أو أعداد فيرما شبه الأولية المطلقة . يجتاز عدد كارمايكل اختبار فيرما للأعداد الأولية في جميع الأنظمة العددية.ب{\displaystyle b}يُعتبر العدد أوليًا نسبيًا بالنسبة للعدد، على الرغم من أنه ليس أوليًا في الواقع. وهذا يجعل الاختبارات القائمة على نظرية فيرما الصغرى أقل فعالية من اختبارات احتمالية الأعداد الأولية القوية مثل اختبار بيلي-PSW للأعداد الأولية واختبار ميلر-رابين للأعداد الأولية .

ومع ذلك، لا يوجد عدد كارمايكل هو عدد أولي زائف من نوع أويلر-جاكوبي أو عدد أولي زائف قوي لكل أساس أولي نسبيًا له [ 6 ]، لذلك، من الناحية النظرية، يمكن لاختبار أويلر أو اختبار أولي محتمل قوي أن يثبت أن عدد كارمايكل هو في الواقع عدد مركب.

يُعطي أرنو [ 7 ] رقم كارمايكل مكونًا من 397 رقمًاشمال{\displaystyle N}هذا عدد شبه أولي قوي لجميع القواعد الأولية الأقل من 307:

شمال=ص⋅(313(ص-1)+1)⋅(353(ص-1)+1){\displaystyle N=p\cdot (313(p-1)+1)\cdot (353(p-1)+1)}

أين

ص={\displaystyle p=}2​ ‍ 9674495668​ ‍ 6855105501​ ‍ 5417464290​ ‍ 5332730771​ ‍ 9917998530​ ‍ 4335099507​ ‍ 5531276838​ ‍ 7531717701​ ‍ 9959423859​ ‍ 6428121188 ‍ 0336647542​ ‍ 1834556249​ ‍ 3168782883

هو عدد أولي مكون من 131 رقمًا.ص{\displaystyle p}هو أصغر عامل أولي لـشمال{\displaystyle N}لذا فإن عدد كارمايكل هذا هو أيضًا عدد أولي زائف (ليس بالضرورة قويًا) لجميع القواعد الأقل منص{\displaystyle p}⁠ .

كلما ازدادت الأعداد، أصبحت أعداد كارمايكل نادرة بشكل متزايد. على سبيل المثال، هناك20 138 200 أرقام كارمايكل بين 1 و 10 21 (حوالي واحد من 50 تريليون ((5 × 10^ 13 ) أرقام). [ 8 ]

معيار كورسيلت

يُقدم معيار كورسيلت تعريفًا بديلًا ومكافئًا لأعداد كارمايكل .

نظرية ( أ. كورسيلت 1899): عدد صحيح مركب موجبن{\displaystyle n}يكون رقم كارمايكل إذا وفقط إذان{\displaystyle n}خالٍ من المربعات ، ولجميع القواسم الأوليةص{\displaystyle p}من​ن{\displaystyle n}صحيح أن​ص-1|ن-1{\displaystyle p-1\mid n-1}⁠ .

يترتب على هذه النظرية أن جميع أعداد كارمايكل فردية ، لأن أي عدد زوجي مركب خالٍ من المربعات (وبالتالي له عامل أولي واحد فقط هو 2) سيكون له على الأقل عامل أولي فردي واحد، وبالتاليص-1|ن-1{\displaystyle p-1\mid n-1}ينتج عن ذلك قسمة عدد زوجي على عدد فردي، وهو تناقض. (وتنتج غرابة أعداد كارمايكل أيضًا من حقيقة أن-1{\displaystyle -1}(شاهد فيرما لأي عدد زوجي مركب.) من المعيار، يتبين أيضًا أن أعداد كارمايكل دورية . [ 9 ] [ 10 ] بالإضافة إلى ذلك، يتبين أنه لا توجد أعداد كارمايكل لها قاسمان أوليان فقط.

اكتشاف

تم اكتشاف الأعداد السبعة الأولى لكارمايكل، من 561 إلى 8911، على يد عالم الرياضيات التشيكي فاتسلاف شيميركا عام 1885 [ 11 ] (وبذلك سبق شيميركا ليس فقط كارمايكل بل كورسيلت أيضًا، على الرغم من أن شيميركا لم يتوصل إلى معيار مماثل لمعيار كورسيلت). [ 12 ] ومع ذلك، بقي عمله، الذي نُشر في المجلة العلمية التشيكية Časopis pro pěstování matematiky a fysiky ، دون أن يلاحظه أحد.

قام فاتسلاف شيميركا بإدراج أول سبعة أرقام من كارمايكل

كان كورسيلت أول من لاحظ الخصائص الأساسية لأعداد كارمايكل، لكنه لم يقدم أي أمثلة.

يمكن إثبات أن الرقم 561 هو رقم كارمايكل باستخدام معيار كورسيلت. الأرقام السبعة الأولى من أرقام كارمايكل هي (التسلسل A002997 في OEIS ) :

  561=3⋅11⋅17(2|  560؛10|  560؛16|  560){\displaystyle ~~561=3\cdot 11\cdot 17\qquad (2\mid ~~560;\quad 10\mid ~~560;\quad 16\mid ~~560)}
1105=5⋅13⋅17(4|1104؛12|1104؛16|1104){\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\quad 12\mid 1104;\quad 16\mid 1104)}
1729=7⋅13⋅19(6|1728؛12|1728؛18|1728){\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\quad 12\mid 1728;\quad 18\mid 1728)}
2465=5⋅17⋅29(4|2464؛16|2464؛28|2464){\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\quad 16\mid 2464;\quad 28\mid 2464)}
2821=7⋅13⋅31(6|2820؛12|2820؛30|2820){\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\quad 12\mid 2820;\quad 30\mid 2820)}
6601=7⋅23⋅41(6|6600؛22|6600؛40|6600){\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\quad 22\mid 6600;\quad 40\mid 6600)}
8911=7⋅19⋅67(6|8910؛18|8910؛66|8910).{\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\quad 18\mid 8910;\quad 66\mid 8910).}

في عام 1910، نشر كارمايكل نفسه [ 13 ] أصغر عدد من هذا القبيل، وهو 561، وتم تسمية الأرقام لاحقًا باسمه.

أثبت جاك تشيرنيك [ 14 ] نظرية في عام 1939 يمكن استخدامها لإنشاء مجموعة جزئية من أعداد كارمايكل.(6ك+1)(12ك+1)(18ك+1){\displaystyle (6k+1)(12k+1)(18k+1)}يُعتبر العدد عدد كارمايكل إذا كانت عوامله الثلاثة جميعها أولية. يبقى السؤال مفتوحاً حول ما إذا كانت هذه الصيغة تُنتج عدداً لا نهائياً من أعداد كارمايكل (مع أنها مُستنتجة ضمناً من حدسية ديكسون ).

جادل بول إيردوس، باستخدام أسلوب الاستدلال، بوجود عدد لا نهائي من أعداد كارمايكل. وفي عام 1994، استخدم كل من دبليو آر (ريد) ألفورد ، وأندرو جرانفيل، وكارل بوميرانس حدًا أقصى لثابت أولسون لإثبات وجود عدد لا نهائي من أعداد كارمايكل بالفعل. وعلى وجه التحديد، أظهروا أنه بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفاية لـن{\displaystyle n}، هناك على الأقلن2/7{\displaystyle n^{2/7}}أرقام كارمايكل بين 1 ون{\displaystyle n}[ 3 ]​​

أثبت توماس رايت أنه إذاأ{\displaystyle a}وم{\displaystyle m}إذا كانت الأعداد أولية نسبياً، فإن المتتابعة الحسابية تحتوي على عدد لا نهائي من أعداد كارمايكل .أ+ك⋅م{\displaystyle a+k\cdot m}، حيث​ك=1،2،...{\displaystyle k=1,2,\ldots }[ 15 ]​​

وجد لوه ونيبور في عام 1992 بعض أعداد كارمايكل الكبيرة جدًا، بما في ذلك عدد واحد مع1,101,518 عاملاً وأكثر من 16 مليون رقم. وقد تم تحسين ذلك إلى10333229505 عوامل أولية و​295 486 761 787 رقمًا، [ 16 ] لذا فإن أكبر عدد كارمايكل معروف أكبر بكثير من أكبر عدد أولي معروف .

ملكيات

التحليل إلى عوامل

تحتوي أعداد كارمايكل على ثلاثة عوامل أولية على الأقل. أول أعداد كارمايكل التيك=3،4،5،...{\displaystyle k=3,4,5,\ldots }العوامل الأولية هي (التسلسل A006931 في OEIS ) :

ك 
3561=3⋅11⋅17{\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17\,}
441041=7⋅11⋅13⋅41{\displaystyle 41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,}
5825265=5⋅7⋅17⋅19⋅73{\displaystyle 825265=5\cdot 7\cdot 17\cdot 19\cdot 73\,}
6321197185=5⋅19⋅23⋅29⋅37⋅137{\displaystyle 321197185=5\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 37\cdot 137\,}
75394826801=7⋅13⋅17⋅23⋅31⋅67⋅73{\displaystyle 5394826801=7\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 31\cdot 67\cdot 73\,}
8232250619601=7⋅11⋅13⋅17⋅31⋅37⋅73⋅163{\displaystyle 232250619601=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\cdot 37\cdot 73\cdot 163\,}
99746347772161=7⋅11⋅13⋅17⋅19⋅31⋅37⋅41⋅641{\displaystyle 9746347772161=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot 641\,}

أول أعداد كارمايكل التي تحتوي على 4 عوامل أولية هي (التسلسل A074379 في OEIS ) :

أنا 
141041=7⋅11⋅13⋅41{\displaystyle 41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,}
262745=3⋅5⋅47⋅89{\displaystyle 62745=3\cdot 5\cdot 47\cdot 89\,}
363973=7⋅13⋅19⋅37{\displaystyle 63973=7\cdot 13\cdot 19\cdot 37\,}
475361=11⋅13⋅17⋅31{\displaystyle 75361=11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\,}
5101101=7⋅11⋅13⋅101{\displaystyle 101101=7\cdot 11\cdot 13\cdot 101\,}
6126217=7⋅13⋅19⋅73{\displaystyle 126217=7\cdot 13\cdot 19\cdot 73\,}
7172081=7⋅13⋅31⋅61{\displaystyle 172081=7\cdot 13\cdot 31\cdot 61\,}
8188461=7⋅13⋅19⋅109{\displaystyle 188461=7\cdot 13\cdot 19\cdot 109\,}
9278545=5⋅17⋅29⋅113{\displaystyle 278545=5\cdot 17\cdot 29\cdot 113\,}
10340561=13⋅17⋅23⋅67{\displaystyle 340561=13\cdot 17\cdot 23\cdot 67\,}

يمكن التعبير عن عدد كارمايكل الثاني (1105) كمجموع مربعين بطرق أكثر من أي عدد أصغر منه. أما عدد كارمايكل الثالث (1729) فهو عدد هاردي-رامانوجان : أصغر عدد يمكن التعبير عنه كمجموع مكعبين (لأعداد موجبة) بطريقتين مختلفتين.

توزيع

يتركج(X){\displaystyle C(X)}يشير إلى عدد أعداد كارمايكل الأقل من أو يساوي ⁠X{\displaystyle X}توزيع أعداد كارمايكل حسب قوى العدد 10 ( المتتالية A055553 في OEIS ) : [ 8 ]

ن{\displaystyle n}123456789101112131415161718192021
ج(10ن){\displaystyle C(10^{n})}00171643105255646154736058241192794470610521224668358535514016443381806822077720138200

في عام 1953، أثبت كنودل الحد الأعلى :

ج(X)<Xخبرة⁡(-ك1(سجل⁡Xسجل⁡سجل⁡X)12){\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)}

لبعض الثوابتك1{\displaystyle k_{1}}⁠ .

في عام 1956، قام إردوش بتحسين الربط إلى

ج(X)<Xخبرة⁡(-ك2سجل⁡Xسجل⁡سجل⁡سجل⁡Xسجل⁡سجل⁡X){\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)}

لبعض الثوابتك2{\displaystyle k_{2}}[ 17 ] كما قدم حجة استدلالية تشير إلى أن هذا الحد الأعلى يجب أنيكون قريبًا من معدل النمو الحقيقي لـج(X){\displaystyle C(X)}⁠ .

وفي الاتجاه الآخر، أثبت ألفورد وغرانفيل وبوميرانس في عام 1994 [ 3 ] أنه بالنسبة لـ X كبيرة بما فيه الكفاية ،

ج(X)>X27.{\displaystyle C(X)>X^{\frac {2}{7}}.}

في عام 2005، تم تحسين هذا الحد بشكل أكبر بواسطة هارمان [ 18 ] إلى

ج(X)>X0.332{\displaystyle C(X)>X^{0.332}}

ثم قام بتحسين الأس إلى0.7039⋅0.4736=0.33336704>1/3{\displaystyle 0.7039\cdot 0.4736=0.33336704>1/3}[ 19 ]​​

فيما يتعلق بالتوزيع التقاربي لأعداد كارمايكل، فقد طُرحت عدة تخمينات. ففي عام 1956، افترض إردوش [ 17 ] وجودX1-o(1){\displaystyle X^{1-o(1)}}أعداد كارمايكل لقيم X الكبيرة بما يكفي. في عام 1981، قام بوميرانس [ 20 ] بتحسين حجج إردوش الاستدلالية للتكهن بوجود ما لا يقل عن

X⋅ل(X)-1+o(1){\displaystyle X\cdot L(X)^{-1+o(1)}}

أرقام كارمايكل تصل إلىX{\displaystyle X}، حيث​ل(x)=خبرة⁡(سجل⁡xسجل⁡سجل⁡سجل⁡xسجل⁡سجل⁡x){\displaystyle L(x)=\exp {\left({\frac {\log x\log \log \log x}{\log \log x}}\right)}}⁠ .

مع ذلك، ضمن النطاقات الحسابية الحالية (مثل عدد أعداد كارمايكل الذي أجراه غوتييه (التسلسل A055553 في OEIS ) حتى 10^ 22 )، لم تؤكد البيانات هذه التخمينات بعد؛ تجريبياً، الأس هوج(X)≈X0.35{\displaystyle C(X)\approx X^{0.35}}لأعلى عدد متاح ( C ( X ) = 49679870 لـ X = 10 22 ).

في عام 2021، أثبت دانيال لارسن نظيرًا لفرضية برتراند لأعداد كارمايكل، التي افترضها ألفورد وغرانفيل وبوميرانس لأول مرة عام 1994. [ 4 ] [ 21 ] وباستخدام تقنيات طورها ييتانغ تشانغ وجيمس ماينارد لإثبات نتائج تتعلق بالفجوات الصغيرة بين الأعداد الأولية ، أسفر عمله عن بيان أقوى بكثير مفاده أنه لأيدلتا>0{\displaystyle \delta >0}وكبير بما فيه الكفايةx{\displaystyle x}من حيثدلتا{\displaystyle \delta }، سيكون هناك دائمًا على الأقل

خبرة⁡(سجل⁡x(سجل⁡سجل⁡x)2+دلتا){\displaystyle \exp {\left({\frac {\log {x}}{(\log \log {x})^{2+\delta }}}\right)}}

أرقام كارمايكل بينx{\displaystyle x}و

x+x(سجل⁡x)12+دلتا.{\displaystyle x+{\frac {x}{(\log {x})^{\frac {1}{2+\delta }}}}.}

التعميمات

يمكن تعميم مفهوم عدد كارمايكل ليصبح مثالاً كارمايكل في أي حقل عددي .ك{\displaystyle K}. لأي مثالي أولي غير صفريص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}في​ياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}لدينا​αشمال(ص)≡αتعديلص{\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {p}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {p}}}}للجميعα{\displaystyle \alpha }في​ياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}، حيثشمال(ص){\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {p}})}هو معيار المثال ⁠ص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}( هذا تعميم لنظرية فيرما الصغرى، التي تنص على أنمص≡متعديلص{\displaystyle m^{p}\equiv m{\bmod {p}}}لجميع الأعداد الصحيحةم{\displaystyle m}عندما​​ص{\displaystyle p}( عدد أولي.) سمِّه مثاليًا غير صفريأ{\displaystyle {\mathfrak {a}}}فيياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}كارمايكل إن لم يكن مثالاً أعلى وαشمال(أ)≡αتعديلأ{\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {a}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {a}}}}للجميع​α∈ياك{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}، حيثشمال(أ){\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {a}})}هو معيار المثال ⁠أ{\displaystyle {\mathfrak {a}}}. عندما​ك{\displaystyle K}هو​​سؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }، المثاليأ{\displaystyle {\mathfrak {a}}}هو مبدأ ، وإذا تركناأ{\displaystyle a}إذا كان مولدها الإيجابي، فإن المثاليأ=(أ){\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}هل كارمايكل هو بالضبط متىأ{\displaystyle a}⁠ هو عدد كارمايكل بالمعنى المعتاد.

عندما​ك{\displaystyle K}بما أن ⁠ أكبر من العقلانيين ، فمن السهل كتابة مُثُل كارمايكل في ⁠ياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}: لأي عدد أوليص{\displaystyle p}ينقسم تمامًا إلىك{\displaystyle K}، المثال الرئيسيصياك{\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}هو مثال كارمايكل. بما أن عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ينقسم تمامًا في أي حقل عددي، فهناك عدد لا نهائي من أمثلة كارمايكل فيياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}على سبيل المثال، إذاص{\displaystyle p}⁠ هو أي عدد أولي يكون فيه 1 mod 4، وهو العدد المثالي ⁠(ص){\displaystyle (p)}في الأعداد الصحيحة الغاوسيةZ[أنا]{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}هو مثال كارمايكل.

تحقق كل من الأعداد الأولية وأعداد كارمايكل المساواة التالية:

القاسم المشترك الأكبر(∑x=1ن-1xن-1،ن)=1.{\displaystyle \gcd \left(\sum _{x=1}^{n-1}x^{n-1},n\right)=1.}

عدد لوكاس-كارمايكل

عدد صحيح مركب موجبن{\displaystyle n}يكون عدد لوكاس-كارمايكل إذا وفقط إذان{\displaystyle n}خالٍ من المربعات ، ولجميع القواسم الأوليةص{\displaystyle p}من​ن{\displaystyle n}صحيح أن​ص+1|ن+1{\displaystyle p+1\mid n+1}الأرقام الأولى للوكاس-كارمايكل هي :

399، 935، 2015، 2915، 4991، 5719، 7055، 8855، 12719، 18095، 20705، 20999، 22847، 29315، 31535، 46079، 51359، 60059، 63503، 67199، 73535، 76751، 80189، 81719، 88559، 90287، ... (التسلسل A006972 في OEIS )

عدد شبه كارمايكل

أعداد شبه كارمايكل هي أعداد مركبة خالية من المربعاتن{\displaystyle n}مع خاصية أنه لكل عامل أوليص{\displaystyle p}من​​ن{\displaystyle n}،​​ص+ب{\displaystyle p+b}يقسم​​ن+ب{\displaystyle n+b}بشكل إيجابي معب{\displaystyle b}أي عدد صحيح غير الصفر. إذاب=-1{\displaystyle b=-1}هذه أرقام كارمايكل ، وإذاب=1{\displaystyle b=1}هذه أعداد لوكاس-كارمايكل. أما أعداد شبه كارمايكل الأولى فهي:

35، 77، 143، 165، 187، 209، 221، 231، 247، 273، 299، 323، 357، 391، 399، 437، 493، 527، 561، 589، 598، 713، 715، 899، 935، 943، 989، 1015، 1073، 1105، 1147، 1189، 1247، 1271، 1295، 1333، 1517، 1537، 1547، 1591، 1595، 1705، 1729، ... (التسلسل A257750 في OEIS) )

رقم كنودل

عدد كنودل من الرتبة n لعدد صحيح موجب معطى n هو عدد مركب m يتميز بالخاصية التالية : كلأنا<م{\displaystyle i<m}عدد أولي نسبيًا مع m يحققأنام-ن≡1(تعديلم){\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}. الـ​ن=1{\displaystyle n=1}⁠ case هي أرقام كارمايكل.

أعداد كارمايكل من الرتبة العليا

يمكن تعميم أعداد كارمايكل باستخدام مفاهيم الجبر المجرد .

ينص التعريف أعلاه على أن العدد الصحيح المركب n يكون كارمايكل تحديدًا عندما تكون دالة رفع القوة n، p <sub> n</sub>، من حلقة الأعداد الصحيحة Z <sub> n</sub> بتردد n إلى نفسها هي دالة التطابق. دالة التطابق هي التشاكل الجبري الوحيد على Z <sub> n </sub> ، لذا يمكننا إعادة صياغة التعريف على أنه يطلب أن تكون p <sub>n </sub> تشاكلًا جبريًا على Z <sub>n</sub> . وكما سبق، تحقق p <sub>n</sub> الخاصية نفسها عندما يكون n عددًا أوليًا.

تُعرَّف دالة رفع القوة n p n أيضًا على أي جبر Z n -algebra A. تنص نظرية على أن n أولي إذا وفقط إذا كانت جميع هذه الدوال p n عبارة عن تشاكلات جبرية داخلية.

بين هذين الشرطين يكمن تعريف عدد كارمايكل من الرتبة m لأي عدد صحيح موجب m ، وهو أي عدد مركب n بحيث يكون p<sub> n</sub> تشاكلاً داخلياً على كل جبر Z <sub>n </sub> يمكن توليده كوحدة نمطية Z <sub> n </sub> مكونة من m عنصر. أما أعداد كارمايكل من الرتبة 1 فهي أعداد كارمايكل العادية.

رقم كارمايكل من الدرجة الثانية

بحسب هاو، فإنّ 17 × 31 × 41 × 43 × 89 × 97 × 167 × 331 هو عدد كارمايكل من الرتبة الثانية. هذا الناتج يساوي443 372 888 629 441 . [ 22 ]

ملكيات

يمكن تعميم معيار كورسيلت على أعداد كارمايكل ذات الرتبة الأعلى، كما أوضح هاو.

تشير حجة استدلالية، وردت في نفس الورقة البحثية، إلى وجود عدد لا نهائي من أعداد كارمايكل من الرتبة m ، لأي قيمة لـ m . ومع ذلك، لا يُعرف أي عدد كارمايكل من الرتبة 3 أو أعلى.

ملحوظات

  1. ↑ ريزل، هانز (1994). الأعداد الأولية وطرق الحاسوب للتحليل إلى عوامل . سلسلة التقدم في الرياضيات. المجلد  126 (  الطبعة الثانية). بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر. ISBN 978-0-8176-3743-9. Zbl 0821.11001 . 
  2. ↑ كراندال، ريتشارد ؛ بوميرانس، كارل (2005). الأعداد الأولية: منظور حسابي ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ص 133-134 . ISBN   978-0387-25282-7.
  3. ١ ٢ ٣ دبليو. آر. ألفورد ؛ أندرو جرانفيل ؛ كارل بوميرانس (١٩٩٤). "يوجد عدد لا نهائي من أعداد كارمايكل" ​​( ملف PDF) . حوليات الرياضيات . ١٤٠ (٣): ٧٠٣-٧٢٢ . doi : 10.2307/2118576 . JSTOR 2118576. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ ٢٠٠٥-٠٣-٠٤. 
  4. 1 2 سيبيلويتش، جوردانا (13 أكتوبر 2022). "مراهقة تحل لغزًا عنيدًا حول الأعداد الأولية المتشابهة" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 أكتوبر 2022 .
  5. ↑ أور، أويستين ( 1948). نظرية الأعداد وتاريخها . نيويورك: ماكجرو هيل. الصفحات 331-332 – عبر أرشيف الإنترنت . 
  6. ↑ د. هـ. ليمر (1976). "أعداد كارمايكل القوية" . مجلة الجمعية الرياضية الأسترالية 21 (4): 508-510 . doi : 10.1017/s1446788700019364 .أثبت ليمر أنه لا يوجد عدد كارمايكل يكون عددًا أوليًا زائفًا وفقًا لتصنيف أويلر-جاكوبي لكل أساس أولي نسبيًا معه. استخدم مصطلح " العدد الأولي الزائف القوي" ، لكن المصطلحات تغيرت منذ ذلك الحين. الأعداد الأولية الزائفة القوية هي مجموعة فرعية من الأعداد الأولية الزائفة وفقًا لتصنيف أويلر-جاكوبي. لذلك، لا يوجد عدد كارمايكل يكون عددًا أوليًا زائفًا قويًا لكل أساس أولي نسبيًا معه.
  7. ↑ ف. أرنو (أغسطس 1995). "بناء أعداد كارمايكل التي هي أعداد شبه أولية قوية لعدة قواعد" . مجلة الحساب الرمزي . 20 (2): 151-161 . doi : 10.1006/jsco.1995.1042 .
  8. 1 2 بينش، ريتشارد (ديسمبر 2007). آن ماريا إرنفال-هيتونين (محررة). أعداد كارمايكل حتى 10^ 21 (ملف PDF) . وقائع مؤتمر نظرية الأعداد الخوارزمية. المجلد 46. توركو، فنلندا: مركز توركو لعلوم الحاسوب. الصفحات 129-131 . تاريخ الاسترجاع: 26 يونيو 2017 .  
  9. ↑ مضاعفات كارمايكل للأعداد الدورية الفردية "أي قاسم لعدد كارمايكل يجب أن يكون عددًا دوريًا فرديًا"
  10. ↑ رسم توضيحي للإثبات: إذان{\displaystyle n}خالٍ من المربعات ولكنه ليس دوريًا،صأنا|صج-1{\displaystyle p_{i}\mid p_{j}-1}بالنسبة لعاملين أوليينصأنا{\displaystyle p_{i}}وصج{\displaystyle p_{j}}من​ن{\displaystyle n}لكن إذان{\displaystyle n}يرضي كورسيلت إذنصج-1|ن-1{\displaystyle p_{j}-1\mid n-1}وبالتالي ، من خلال خاصية التعدي لعلاقة "يقسم "صأنا|ن-1{\displaystyle p_{i}\mid n-1}لكن​صأنا{\displaystyle p_{i}}وهو أيضًا عامل من عواملن{\displaystyle n}، تناقض.
  11. ^ شيميركا، فاتسلاف (1885). "Zbytky z arithmetické posloupnosti" [ في بقايا التقدم الحسابي ] . Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky . 14 (5): 221-225 . دوى : 10.21136/CPMF.1885.122245 .
  12. ↑ ليمرمير، ف. (2013). "فاتسلاف شيميركا: الأشكال التربيعية والتحليل إلى عوامل" . مجلة الجمعية الرياضية اللندنية للحوسبة والرياضيات . 16 : 118-129 . doi : 10.1112/S1461157013000065 .
  13. ↑ آر دي كارمايكل (1910). "ملاحظة حول دالة جديدة في نظرية الأعداد" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 16 (5): 232-238 . doi : 10.1090/s0002-9904-1910-01892-9 .
  14. ↑ تشيرنيك، ج. (1939). "حول نظرية فيرما البسيطة" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 45 ( 4): 269-274 . doi : 10.1090/S0002-9904-1939-06953-X .
  15. ↑ توماس رايت (2013). "عدد لا نهائي من أعداد كارمايكل في المتتابعات الحسابية". نشرة جمعية لندن الرياضية 45 (5): 943-952 . arXiv : 1212.5850 . doi : 10.1112/blms/bdt013 . S2CID 119126065 . 
  16. ↑ دبليو آر ألفورد وآخرون (2014). "بناء أعداد كارمايكل من خلال خوارزميات محسّنة لضرب المجموعات الجزئية". الرياضيات الحاسوبية 83 ( 286): 899-915 . arXiv : 1203.6664 . doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02737-8 . S2CID 35535110 .  
  17. 1 2 إردوش، ب. (2022). " حول الأعداد الأولية الزائفة وأعداد كارمايكل" ​​( ملف PDF) . منشورات الرياضيات، ديبريسين . 4 ( 3-4 ): 201-206 . doi : 10.5486/PMD.1956.4.3-4.16 . MR 0079031. S2CID 253789521. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11-06-2011.  
  18. ↑ غلين هارمان (2005). "حول عدد أعداد كارمايكل حتى x ". نشرة جمعية لندن الرياضية . 37 (5): 641-650 . doi : 10.1112/S0024609305004686 . S2CID 124405969 . 
  19. ↑ هارمان، جلين (2008). "نظرية القيمة المتوسطة لوات وأعداد كارمايكل". المجلة الدولية لنظرية الأعداد . 4 (2): 241-248 . doi : 10.1142/S1793042108001316 . MR 2404800 . 
  20. ↑ بوميرانس، سي. (1981). "حول توزيع الأعداد الأولية الزائفة" . الرياضيات الحاسوبية 37 ( 156): 587-593 . doi : 10.1090/s0025-5718-1981-0628717-0 . JSTOR 2007448 . 
  21. ↑ لارسن، دانيال (20 يوليو 2022). "مسلمة برتراند لأعداد كارمايكل" . إشعارات البحوث الرياضية الدولية . 2023 (15): 13072-13098 . arXiv : 2111.06963 . doi : 10.1093/imrn/rnac203 .
  22. ↑ إيفريت دبليو. هاو (أكتوبر 2000). "أعداد كارمايكل من الرتب العليا". رياضيات الحساب . 69 (232): 1711-1719 . arXiv : math.NT/9812089 . Bibcode : 2000MaCom..69.1711H . doi : 10.1090/s0025-5718-00-01225-4 . JSTOR 2585091. S2CID 6102830 .  

مراجع