اضرب عددًا مثاليًا

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة
عرض توضيحي، باستخدام قضبان كويزنير ، للكمال الثنائي للرقم 6

في الرياضيات ، العدد الكامل المضاعف (يسمى أيضًا العدد الكامل المتعدد أو العدد الكامل المطلق ) هو تعميم للعدد الكامل .

بالنسبة لعدد طبيعي مُعطى k ، يُسمى العدد n عددًا مثاليًا من الرتبة k (أو مثاليًا من الرتبة k ) إذا كان مجموع جميع قواسمه الموجبة ( دالة القاسم ، σ ( n )) يساوي kn ؛ وبالتالي، يكون العدد مثاليًا إذا وفقط إذا كان مثاليًا من الرتبة 2. ويُسمى العدد الذي يكون مثاليًا من الرتبة k لقيمة معينة لـ k عددًا مثاليًا من الرتبة الضربية. اعتبارًا من عام 2026من المعروف أن الأعداد المثالية من الرتبة k موجودة لكل قيمة من قيم k حتى 11. [ 1 ]

من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد كاملة فردية قابلة للضرب غير العدد 1. أما الأعداد الكاملة القليلة الأولى القابلة للضرب فهي:

1، 6، 28، 120، 496، 672، 8128، 30240، 32760، 523776، 2178540، 23569920، 33550336، 45532800، 142990848، 459818240، 14182439040، 4364925090، 8589869056 ... (التسلسل A007691 في OEIS ) .

مثال

مجموع قواسم العدد 120 هو

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

وهو 3 × 120. لذلك فإن 120 هو عدد مثالي من الدرجة 3 .

أصغر الأعداد الكاملة المعروفة من الرتبة k

يقدم الجدول التالي نظرة عامة على أصغر الأعداد المثالية المعروفة من الرتبة k لـ k ≤ 11 (التسلسل A007539 في OEIS ) :

كأصغر عدد مثالي kعواملتم العثور عليه بواسطة
11عتيق
262 × 3عتيق
31202 3 × 3 × 5عتيق
4302402 5 × 3 3 × 5 × 7رينيه ديكارت ، حوالي عام 1638
5141824390402 7 × 3 4 × 5 × 7 × 11 2 × 17 × 19رينيه ديكارت، حوالي عام 1638
6154345556085770649600 (21 رقمًا)2 15 × 3 5 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257روبرت دانيال كارمايكل ، 1907
7141310897947438348259849...523264343544818565120000 (57 رقمًا)2 32 × 3 11 × 5 4 × 7 5 × 11 2 × 13 2 × 17 × 19 3 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479تي إي ماسون، 1911
8826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 رقمًا)2 62 × 3 15 × 5 9 × 7 7 × 11 3 × 13 3 × 17 2 × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521 2 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 عاملاً أولياً مختلفاً)ستيفن إف. جريتون، 1990 [ 1 ]
9561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 رقمًا)2 104 × 3 43 × 5 9 × 7 12 × 11 6 × 13 4 × 17 × 19 4 × 23 2 × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 عاملاً أولياً مختلفاً)فريد هيلينيوس، 1995 [ 1 ]
10448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 رقمًا)2 175 × 3 69 × 5 29 × 7 18 × 11 19 × 13 8 × 17 9 × 19 7 × 23 9 × 29 3 × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 عاملًا أوليًا مختلفًا)جورج وولتمان ، 2013 [ 1 ]
11312633142338546946283331...000000000000000000000000 (1739 رقمًا)2 413 × 3 145 × 5 73 × 7 49 × 11 27 × 13 22 × 17 11 × 19 13 × 23 10 × 29 9 × ... × 31280679788951 × 42166482463639 × 45920153384867 × 9460375336977361 × 18977800907065531 × 79787519018560501 × 455467221769572743 × 2519545342349331183143 × 38488154120055537150068589763279 × 6113142872404227834840443898241613032969 (241 عامل أولي مميز)جورج وولتمان، 2022 [ 1 ]

ملكيات

يمكن إثبات ما يلي:

  • بالنسبة لعدد أولي مُعطى p ، إذا كان n عددًا مثاليًا من الدرجة p ، وكان p لا يقسم n ، فإن pn يكون عددًا مثاليًا من الدرجة ( p  + 1) . وهذا يعني أن العدد الصحيح n هو عدد مثالي من الدرجة 3، يقبل القسمة على 2 ولا يقبل القسمة على 4، إذا وفقط إذا كان n /2 عددًا مثاليًا فرديًا ، ولا يوجد أي عدد مثالي فردي معروف.
  • إذا كان 3 n مثاليًا من الدرجة 4 k و 3 لا يقسم n ، فإن n مثالي من الدرجة 3 k .

الأعداد الفردية تضرب الأعداد الكاملة

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل توجد أعداد كاملة قابلة للضرب في عدد فردي؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

من غير المعروف ما إذا كانت هناك أي أعداد مثالية فردية الضرب غير 1. ومع ذلك، إذا وُجد عدد مثالي فردي من الرتبة k، وهو n حيث k > 2، فيجب أن يستوفي الشروط التالية: [ 2 ]

  • أكبر عامل أولي هو ≥ 100129
  • ثاني أكبر عامل أولي هو ≥ 1009
  • العامل الأولي الثالث الأكبر هو ≥ 101

إذا وُجد عدد ثلاثي كامل فردي، فلا بد أن يكون أكبر من 10128. [ 3 ]

وجد توث عدة أعداد تُعتبر أعدادًا فردية متعددة كاملة إذا كان أحد عواملها مربعًا. مثال على ذلك العدد 8999757، الذي يُعتبر عددًا فرديًا متعددًا كاملًا إذا كان أحد عوامله الأولية فقط، وهو 61، مربعًا. [ 4 ] يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بمفهوم أعداد ديكارت .

الحدود

في تدوين θ الصغير ، يكون عدد الأعداد الكاملة القابلة للضرب الأقل من x هوo(xε){\displaystyle o(x^{\varepsilon })}لكل ε > 0. [ 2 ]

عدد الأعداد المثالية من الرتبة k، n، حيث n ≤ x، أقل منجxج′سجل⁡سجل⁡سجل⁡x/سجل⁡سجل⁡x{\displaystyle cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}}حيث c و c' ثابتان مستقلان عن k . [ 2 ]

بافتراض صحة فرضية ريمان ، فإن المتباينة التالية صحيحة لجميع الأعداد الكاملة من الرتبة k ، حيث k > 3

سجل⁡سجل⁡ن>ك⋅هـ-γ{\displaystyle \log \log n>k\cdot e^{-\gamma }}

أينγ{\displaystyle \gamma }هو ثابت غاما لأويلر . ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية روبن .

عدد القواسم τ( n ) لعدد مثالي من الرتبة k n ، حيث k > 2 ، يحقق المتباينة [ 5 ]

τ(ن)>هـك-γ.{\displaystyle \tau (n)>e^{k-\gamma }.}

عدد العوامل الأولية المختلفة ω( n ) للعدد n يحقق [ 6 ]

ω(ن)≥ك2-1،  لو ن غريب{\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}-1,~~{\text{if }}n{\text{ is odd}}}
ω(ن)≥ك2/4،  لو ن بل إنه كذلك{\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}/4,~~{\text{if }}n{\text{ is even}}}

إذا كانت العوامل الأولية المختلفة للعدد n هيص1،ص2،...،صر{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}ثم: [ 7 ]

ر(3/2ر-1)<∑أنا=1ر1صأنا<ر(1-6/(كπ2)ر)،  لو ن بل إنه كذلك{\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{if }}n{\text{ is even}}}
ر(ك23ر-1)<∑أنا=1ر1صأنا<ر(1-8/(كπ2)ر)،  لو ن غريب{\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{if }}n{\text{ is odd}}}

قيم محددة لـ k

أرقام مثالية

العدد n الذي يحقق σ( n ) = 2n هو عدد مثالي .

الأعداد الثلاثية الكاملة

العدد n الذي يحقق σ( n ) = 3n هو عدد ثلاثي مثالي . لا يوجد سوى ستة أعداد ثلاثية مثالية معروفة، ويُعتقد أنها تشمل جميع هذه الأعداد.

120، 672، 523776، 459818240، 1476304896، 51001180160 (التسلسل A005820 في OEIS )

إذا وُجد عدد فردي كامل m (وهي مسألة مفتوحة شهيرة )، فإن 2^ m سيكون عددًا ثلاثيًا كاملًا ، لأن σ(2^ m ) = σ(2)σ( m ) = 3 × 2^ m . يجب أن يكون العدد الثلاثي الكامل عددًا مربعًا أكبر من 10 ^70 وأن يحتوي على 12 عاملًا أوليًا مختلفًا على الأقل، أكبرها أكبر من 10 ^5 . [ 8 ]

الاختلافات

ضرب الأعداد الكاملة في النظام الوحدوي

يمكن تطبيق امتداد مماثل على الأعداد الكاملة الوحدوية . يُسمى العدد الصحيح الموجب n عددًا كاملًا وحدويًا من الرتبة k إذا كان σ * ( n ) = kn، حيث σ * ( n ) هو مجموع قواسمه الوحدوية . العدد الكامل الوحدوي المضاعف هو عدد كامل وحدوي من الرتبة k لعدد صحيح موجب k . يُسمى العدد الكامل الوحدوي من الرتبة 2 أيضًا عددًا كاملًا وحدويًا .

في حالة k > 2، لم يُعرف بعد أي مثال لعدد مثالي من الرتبة k متعدد الأعداد الوحدوية . من المعروف أنه إذا وُجد مثل هذا العدد، فلا بد أن يكون زوجيًا وأكبر من 10² ، وأن يحتوي على 45 عاملًا أوليًا فرديًا على الأقل. [ 9 ]

الأعداد الكاملة القليلة الأولى التي يمكن ضربها في النظام الوحدوي هي:

1، 6، 60، 90، 87360 (التسلسل A327158 في OEIS )

ضرب الأعداد الكاملة في نظام ثنائي الوحدة

يُسمى العدد الصحيح الموجب n عددًا مثاليًا ثنائيًا أحاديًا متعدد k إذا كان σ ** ( n ) = kn، حيث σ ** ( n ) هو مجموع قواسمه الثنائية الأحادية . ويُسمى العدد المثالي ثنائيًا أحاديًا متعدد k عددًا مثاليًا ثنائيًا أحاديًا متعدد k لعدد صحيح موجب k . [ 10 ] ويُسمى العدد المثالي ثنائيًا أحاديًا متعدد 2 عددًا مثاليًا ثنائيًا أحاديًا ، ويُسمى العدد المثالي ثنائيًا أحاديًا متعدد 3 عددًا مثاليًا ثلاثيًا ثنائيًا أحاديًا .

في عام 1987، أثبت بيتر هاجيس أنه لا توجد أعداد ثنائية وحدوية فردية متعددة كاملة بخلاف 1. [ 10 ]

في عام 2020، درس هاوكانين وسيتارامايا الأعداد الثلاثية الكاملة ثنائية الوحدة من الشكل 2^ a u حيث u عدد فردي. وقد حلا تمامًا الحالتين 1 ≤ a ≤ 6 و a = 8، وحلا جزئيًا الحالة a = 7. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

في عام 2024، أثبت توموهيرو يامادا أن 2160 هو العدد الثلاثي الكامل الثنائي الوحدوي الوحيد الذي يقبل القسمة على 27 = 3 3. [ 17 ] وهذا يعني أن يامادا وجد جميع الأعداد الثلاثية الكاملة الثنائية الوحدوية من الشكل 3 a u حيث 3 ≤ a و u لا يقبل القسمة على 3.

الأعداد الكاملة الأولى ذات الضرب الثنائي الوحدوي هي:

1، 6، 60، 90، 120، 672، 2160، 10080، 22848، 30240 (التسلسل A189000 في OEIS )

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 فلامنكامب، أخيم. "صفحة ضرب الأعداد الكاملة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يناير 2014 .
  2. 1 2 3 ساندور، ميترينوفيتش وكريستيسي 2006 ، ص. 105 
  3. ↑ سورلي، رونالد. "الخوارزميات في دراسة الأعداد الكاملة المتعددة والأعداد الكاملة الفردية" (ملف PDF) . جامعة سيدني للتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يوليو 2025 .
  4. ↑ توث (2025)
  5. ↑ داغال، كينيث أدريان ب. (2013). "حد أدنى لـ τ(n) للعدد الكامل المتعدد من الرتبة k". arXiv : 1309.3527 [ math.NT ].
  6. ↑ مكارثي، بول ج. (1957). "ملاحظة حول الأعداد الكاملة ومضاعفاتها الكاملة" . مجلة الرياضيات البرتغالية 16 : 19-21 .
  7. ^ بنزي ميهالي (2014). “حول الأرقام المثالية k” (PDF) . ان. شارع. جامعة. أوفيديوس كونستانتا . 22 (1): 45-50 . دوى : 10.2478/auom-2014-0005 .
  8. ^ ساندور، ميترينوفيتش وكريستيسي 2006 ، ص 108-109 
  9. ↑ هاجيس الابن، بيتر (1984). "الحدود الدنيا للأعداد الكاملة المتعددة الوحدوية" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 22 (2): 140-143 . doi : 10.1080/00150517.1984.12429905 . تاريخ الاسترجاع: 10 يوليو 2025 .
  10. 1 2 هاجيس الابن، بيتر (1987). "الأعداد الثنائية الوحدوية الودية والمتعددة الكاملة" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 25 (2): 144-150 . doi : 10.1080/00150517.1987.12429711 . تاريخ الاسترجاع: 10 يوليو 2025 .
  11. ^ هوكانن وسيتارامايا 2020أ
  12. ^ هوكانن وسيتارامايا 2020ب
  13. ^ هوكانن وسيتارامايا 2020ج
  14. ^ هوكانين وسيتارامايا 2020 د
  15. ^ هوكانن وسيتارامايا 2021 أ
  16. ^ هوكانن وسيتارامايا 2021ب
  17. ↑ يامادا، توموهيرو (2024). "تحديد جميع الأعداد الثلاثية الكاملة الثنائية الوحدوية ذات شكل معين". arXiv : 2406.19331 [ math.NT ].(نُشر في مجلة متواليات الأعداد الصحيحة، المجلد 28 (2025)، المقالة 25.4.5)

مصادر

انظر أيضاً