إعادة العقاب

في الرياضيات الترفيهية ، يُعرف العدد المتكرر (repunit) بأنه عدد مثل 11 أو 111 أو 1111 يحتوي على الرقم 1 فقط ، وهو نوع أكثر تحديدًا من الأرقام المتكررة (repdigit) . ويشير المصطلح إلى "الوحدة المتكررة"، وقد صاغه ألبرت هـ. بيلر عام 1966 في كتابه " التسلية في نظرية الأعداد ". ^{[ ملاحظة 1 ]}

العدد الأولي المتكرر هو عدد متكرر وهو أيضًا عدد أولي . الأعداد الأولية المتكررة في النظام الثنائي هي أعداد ميرسين الأولية . اعتبارًا من مايو 2025، فإن أكبر عدد أولي معروف 2^ ^136,279,841 - 1 ، وأكبر عدد أولي محتمل R^ _8177207 ، وأكبر عدد أولي مثبت أوليته بواسطة منحنى إهليلجي R^ _109297، جميعها أعداد متكررة في أنظمة عد مختلفة.

تعريف

يتم تعريف العوائد الأساسية b على النحو التالي (يمكن أن تكون قيمة b موجبة أو سالبة ).

R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1.

وبالتالي، يتكون العدد R _n^{( b ) من}n نسخة من الرقم 1 في التمثيل ذي الأساس b . أول نسختين في التمثيل ذي الأساس b لـ n = 1 و n = 2 هما

R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{و}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{لـ}}\ |b|\geq 2.

وعلى وجه الخصوص، تُعرَّف العوائد العشرية (الأساس 10 ) التي يُشار إليها غالبًا ببساطة باسم العوائد على النحو التالي:

R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.

وبالتالي، فإن العدد R _n = R _n⁽¹⁰⁾ يتكون من n نسخة من الرقم 1 في التمثيل العشري. يبدأ تسلسل التكرارات في النظام العشري بـ

1 ، 11 ، 111 ، 1111، 11111، 111111، ... (التسلسل A002275 في OEIS ) .

وبالمثل، تُعرَّف نقاط الإعادة ذات الأساس 2 على النحو التالي:

R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.

وبالتالي، يتكون العدد Rⁿ ₍²⁾ من n نسخة من الرقم 1 في التمثيل الثنائي. في الواقع، تُعرف هذه النسخ الثنائية بأعداد ميرسين المعروفة Mⁿ = _2ⁿ^- 1 ، وتبدأ بـ

1، 3، 7، 15، 31، 63، 127، 255، 511، 1023، 2047، 4095، 8191، 16383، 32767، 65535، ... (التسلسل A000225 في OEIS ) .

ملكيات

أي عدد في أي نظام عد ذي عدد أرقام مركبة يكون بالضرورة عددًا مركبًا. على سبيل المثال،
R ₃₅^{( b )} = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1 000010000100001000010000100001 = 1111111 × 1 0000001000000100000010000001 ,

بما أن 35 = 7 × 5 = 5 × 7. فإن تحليل التكرار هذا لا يعتمد على الأساس b الذي يُعبَّر به عن التكرار.

لا يمكن أن تكون الأعداد أولية إلا إذا كانت أعدادها (بأي نظام عددي) تتكون من عدد أولي من الأرقام. هذا شرط ضروري ولكنه غير كافٍ . على سبيل المثال،

R ₁₁⁽²⁾ = 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.

إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا، فإن كل عدد أولي q يقسم R _p^{( b )} يجب أن يكون إما 1 زائد مضاعفًا لـ 2 p، أو عاملًا من عوامل b − 1. على سبيل المثال، العامل الأولي لـ R ₂₉ هو 62003 = 1 + 2 × 29 × 1069. والسبب هو أن العدد الأولي p هو أصغر أس أكبر من 1 بحيث يقسم q العدد b ^p − 1، لأن p عدد أولي. لذلك، ما لم يقسم q العدد b − 1، فإن p يقسم دالة كارمايكل لـ q ، وهي دالة زوجية وتساوي q − 1.
أي مضاعف موجب للعدد R _n^{( b )} يحتوي على الأقل n من الأرقام غير الصفرية في الأساس b .
أي عدد x هو عدد مكون من رقمين في النظام العددي ذي الأساس x − 1.
العددان الوحيدان المعروفان اللذان يُمثلان تكرارًا لثلاثة أرقام على الأقل في أكثر من نظام عد في آن واحد هما 31 (111 في النظام الخماسي، و11111 في النظام الثنائي) و8191 (111 في النظام التسعيني، و1111111111111 في النظام الثنائي). وتفترض فرضية غورماغتيغ وجود هاتين الحالتين فقط.
باستخدام مبدأ خانة الحمام، _يمكن إثبات أنه لأي عددين طبيعيين أوليين نسبيًا n و b ، يوجد عدد متبقٍ في الأساس b يكون من مضاعفات n . ولإثبات ذلك، لننظر إلى الأعداد المتبقية _R₁( ^b⁾^، ...، Rₙ ⁽^b⁾ . نظرًا لوجود n عددًا متبقٍ ^، ولكن n - 1 فقط من البواقي غير الصفرية بتردد n، _فإنه يوجد عددان متبقٍ Rᵢ ⁽^b₎ و Rⱼ ⁽^b⁾ حيث 1 ≤ i < j ≤ n، ^{بحيث يكون لـ Rᵢ(b) و Rⱼ(b)} نفس ^الباقيبتردد _n^.^ويترتب على ذلك _أن^Rⱼ⁽ b ₎ - Rᵢ ⁽^b) _له^باقي^يساوي صفرًا بتردد _n^،^أي^أنه يقبل القسمة _على n . وبما أن Rⱼ ₍^b⁾ - Rᵢ ⁽^b⁾ يتكون من j - i ^آحاد متبوعة _بـ i أصفار ^،^فإنRⱼ ₍^b⁾ - Rᵢ ⁽^b⁾ = _Rⱼ ( _-i⁾^× bᵢ . الآن n يقسم الجانب الأيسر من هذه المعادلة، لذلك فهو يقسم الجانب الأيمن أيضًا، ولكن بما أن n و b أوليان نسبيًا، فإن n يجب أن يقسم R _j₋_i⁽^b⁾ .
تخمين فيت -تومسون هو أن R _q^{( p )} لا يقسم R _p^{( q )} أبدًا لعددين أوليين مختلفين p و q .
باستخدام خوارزمية إقليدس لتعريف إعادة التوجيه: R ₁^{( b )} = 1؛ R _n^{( b )} = R _{n −1}^{( b )} × b + 1، فإن أي إعادة توجيه متتالية R _{n −1}^{( b )} و R _n^{( b )} تكون أولية نسبياً في أي أساس b لأي n .
إذا كان للعددين m و n قاسم مشترك d ، فإن R _m^{( b )} و R _n^{( b )} لهما القاسم المشترك R _d^{( b )} في أي أساس b لأي قيمتين m و n . أي أن تكرارات أساس ثابت تُشكل متتالية قسمة قوية . ونتيجة لذلك، إذا كان m و n أوليين فيما بينهما، فإن R _m^{( b )} و R _n^{ ( b )} أوليان فيما بينهما. تعتمد خوارزمية إقليدس على القاسم المشترك الأكبر gcd ( m , n ) = gcd ( m - n , n ) عندما m > n . وبالمثل، باستخدام R _m^{( b )} - R _n^{( b )} × b ^{m - n} = R _{m - n}^{( b )} ، يمكن إثبات أن gcd ( R _m^{( b )} , R _n^{( b )} ) = gcd ( R  _{m - n}^{( b )} , R _n^{( b )} ) عندما m > n . لذلك، إذا كان القاسم المشترك الأكبر ( م ، ن ) = د ، فإن القاسم المشترك الأكبر ( ر _م^{( ب )} ، ر _ن^{( ب )} ) = ر _د^{( ب )} .

تحليل التكرارات العشرية إلى عواملها الأولية

(العوامل الأولية (أو القوى الأولية) الموضوعة بين قوسين والملونة (باللون الأحمر) هي "عوامل جديدة"، أي أن العامل الأولي (أو القوة) يقسم R _n ولكنه لا يقسم R _k لجميع k < n ) (المتتالية A102380 في OEIS ) ^{[ 2 ]}

R ₁ =	1
R ₂ =	(11)
R ₃ =	(3) · (37)
R ₄ =	11 · (101)
R ₅ =	(41) · (271)
R ₆ =	3 · (7) · 11 · (13) · 37
R ₇ =	(239) · (4649)
R ₈ =	11 · (73) · 101 · (137)
R ₉ =	3 ⁽²⁾ · 37 · (333667)
R ₁₀ =	11 · 41 · 271 · (9091)

R ₁₁ =	(21649) · (513239)
R ₁₂ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · (9901)
R ₁₃ =	(53) · (79) · (265371653)
R ₁₄ =	11 · 239 · 4649 · (909091)
R ₁₅ =	3 · (31) · 37 · 41 · 271 · (2906161)
R ₁₆ =	11 · (17) · 73 · 101 · 137 · (5882353)
R ₁₇ =	(2071723) · (5363222357)
R ₁₈ =	3 ² · 7 · 11 · 13 · (19) · 37 · (52579) · 333667
R ₁₉ =	(111111111111111111)
R ₂₀ =	11 · 41 · 101 · 271 · (3541) · 9091 · (27961)

R ₂₁ =	3 · 37 · (43) · 239 · (1933) · 4649 · (10838689)
R ₂₂ =	11 ⁽²⁾ · (23) · (4093) · (8779) · 21649 · 513239
R ₂₃ =	(1111111111111111111111)
R ₂₄ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · (99990001)
R ₂₅ =	41 · 271 · (21401) · (25601) · (182521213001)
R ₂₆ =	11 · 53 · 79 · (859) · 265371653 · (1058313049)
R ₂₇ =	3 ⁽³⁾ · 37 · (757) · 333667 · (440334654777631)
R ₂₈ =	11 · (29) · 101 · 239 · (281) · 4649 · 909091 · (121499449)
R ₂₉ =	(3191) · (16763) · (43037) · (62003) · (77843839397)
R ₃₀ =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · (211) · (241) · 271 · (2161) · 9091 · 2906161

أصغر عامل أولي للعدد R _n حيث n > 1 هو

11، 3، 11، 41، 3، 239، 11، 3، 11، 21649، 3، 53، 11، 3، 11، 2071723، 3، 1111111111111111111، 11، 3، 11، 111111111111111111111111، 3، 41، 11، 3، 11، 3191، 3، 2791، 11، 3، 11، 41، 3، 2028119، 11، 3، 11، 83، 3، 173، 11، 3، 11، 35121409، 3، 239، 11، ... (التسلسل A067063 في OEIS )

إعادة بناء الأعداد الأولية

كان الدافع وراء تعريف العوائد هو بحث علماء الرياضيات الهواة عن العوامل الأولية لمثل هذه الأرقام.

من السهل إثبات أنه إذا كان n قابلاً للقسمة على a ، فإن R _n^{( b )} قابل للقسمة على R _a^{( b )} :

R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),

أين $\Phi _{d}(x)$ هو $d^{\mathrm {th} }$ متعددة الحدود الدائرية و d تتراوح على قواسم n . بالنسبة لـ p عدد أولي،

\Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},

والتي تأخذ الشكل المتوقع لـ repunit عند استبدال x بـ b .

على سبيل المثال، العدد 9 يقبل القسمة على 3، وبالتالي فإن R ₉ يقبل القسمة على R ₃— في الواقع، 111111111 = 111 × 1001001. كثيرات الحدود الدائرية المقابلة $\Phi _{3}(x)$ و $\Phi _{9}(x)$ نكون $x^{2}+x+1$ و $x^{6}+x^{3}+1$ على التوالي. بالتالي، لكي يكون Rⁿ عددًا أوليًا _، يجب بالضرورة أن يكون n عددًا أوليًا، ولكن ليس كافيًا أن يكون n عددًا أوليًا. على سبيل المثال، R³ = ₁₁₁ = 3 × 37 ليس عددًا أوليًا. باستثناء هذه الحالة من R³ ، لا يمكن لـ p أن يقسم _Rⁿإذا كان n _عددًا أوليًا إلا إذا كان p = 2kn + 1 لبعض قيم k .

الأعداد العشرية المتكررة الأولية

العدد R _n أولي عندما n = 2، 19، 23، 317، 1031، 49081، 86453، 109297 ... (المتتالية A004023 في OEIS ). في 15 يوليو 2007، أعلن ماكسيم فوزني أن R ₂₇₀₃₄₃ عدد أولي محتمل. ^{[ 3 ]} وفي 20 أبريل و8 مايو 2021، وجد سيرج باتالوف وريان بروبر أن R _5794777 و R _8177207 عددان أوليان محتملان. ^{[ 4 ]} عند اكتشافهما، كان كل منهما أكبر عدد أولي محتمل معروف. وفي 22 مارس 2022، تم إثبات أن العدد الأولي المحتمل R ₄₉₀₈₁ هو عدد أولي. ^{[ 5 ]} في 15 مايو 2023، تم إثبات أن العدد الأولي المحتمل R _{86453 هو عدد أولي.}^{[ 6 ]} في 26 مايو 2025، تم إثبات أن العدد الأولي المحتمل R _{109297 هو عدد أولي.}^{[ 7 ]}

لقد تم التكهن بأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية المتكررة ^{[ 8 ]} ويبدو أنها تحدث تقريبًا بنفس القدر الذي تتوقعه نظرية الأعداد الأولية : يكون أس العدد الأولي المتكرر رقم N بشكل عام حول مضاعف ثابت لأس العدد ( N -1).

الأعداد الأولية المتكررة هي مجموعة فرعية تافهة من الأعداد الأولية القابلة للتبديل ، أي الأعداد الأولية التي تظل أولية بعد أي تبديل لأرقامها.

خصائص معينة هي

باقي قسمة Rⁿ على ₃ يساوي باقي قسمة n على 3. باستخدام 10a ^≡ 1 (mod 3) لأي a ≥ 0، فإن n ≡ 0 (mod 3) ⇔ Rⁿ ≡ 0 (mod 3) ⇔ _Rⁿ ≡ 0 (mod R³ ₎ ، و n ≡ 1 (mod 3) ⇔ Rⁿ ≡ 1 (mod 3) ⇔ Rⁿ _≡_R¹ ≡ 1 ₍ mod R³ ₎ ، و n ≡ 2 (mod 3) ⇔ Rⁿ _≡₂_{(mod 3 )} ⇔ Rⁿ ≡ R² ≡ ₁₁ (mod R³ ₎ . بالتالي، 3 | n _⇔₃ | Rⁿ ⇔ R³ | R _n .
باقي قسمة R _n على 9 يساوي باقي قسمة n على 9. باستخدام 10 ^a ≡ 1 (mod 9) لأي a ≥ 0، فإن n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ )، وذلك لـ 0 ≤ r < 9. بالتالي، 9 | n ⇔ 9 | R _n ⇔ R ₉ | R _n .

التحليل الجبري لأعداد التكرار المعممة

إذا كان b قوة كاملة (يمكن كتابتها على الصورة mⁿ ^، حيث m و n عددان صحيحان، و n > 1) تختلف عن 1، فإنه يوجد على الأكثر عنصر ريبونيت واحد في النظام ذي الأساس b . أما إذا كان n قوة أولية (يمكن كتابتها على الصورة pⁿ ^، حيث p عدد أولي، و r عدد صحيح، و p و r > 0)، فإن جميع عناصر الريبونيت في النظام ذي الأساس b ليست أولية باستثناء Rⁿ و _R²_. يمكن أن يكون R _p عددًا أوليًا أو مركبًا، ومن الأمثلة على ذلك: b = −216، −128، 4، 8، 16، 27، 36، 100، 128، 256، إلخ.، ومن الأمثلة على ذلك: b = −243، −125، −64، −32، −27، −8، 9، 25، 32، 49، 81، 121، 125، 144، 169، 196، 216، 225، 243، 289، إلخ.، ويمكن أن يكون R ₂ عددًا أوليًا (عندما يختلف p عن 2) فقط إذا كان b سالبًا، أي قوة للعدد −2، على سبيل المثال: b = −8، −32، −128. −8192، إلخ، في الواقع، يمكن أن يكون R ₂ أيضًا عددًا مركبًا، على سبيل المثال، b = −512، −2048، −32768، إلخ. إذا لم يكن n قوة أولية، فلن يوجد عدد أولي ذو أساس b ، على سبيل المثال، b = 64، 729 (مع n = 6)، b = 1024 (مع n = 10)، و b = −1 أو 0 (مع n أي عدد طبيعي). ثمة حالة خاصة أخرى هي b = −4k⁴ ، ^حيث k عدد صحيح موجب، والتي لها تحليل أوريفويلي ، على سبيل المثال، b = −4 (حيث k = 1، وبالتالي R² و _R³ عددان أوليان)، و b = −64، −324، −1024، −2500، −5184، ... (حيث k = 2 ، 3، 4، 5 _، 6، ...)، فلا يوجد عدد أولي ذو أساس b . ويُفترض أيضًا أنه عندما لا يكون b قوة كاملة ولا −4k⁴ حيث k عدد صحيح ^موجب ، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ذات الأساس b .

التخمين العام للعقاب

تخمين متعلق بالأعداد الأولية المعممة من نوع ريبونيت: ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} (يتنبأ التخمين بمكان كون هو العدد الأولي المعمم التالي من نوع ميرسين ، إذا كان التخمين صحيحًا، فسيكون هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من نوع ريبونيت لجميع القواعد). $b$ )

لأي عدد صحيح $b$ ، وهو ما يفي بالشروط التالية:

$|b|>1$ .
$b$ ليست قوة مثالية . (منذ متى $b$ مثالي $r$ بالقوة n، يمكن إثبات أن هناك على الأكثر واحد $n$ قيمة بحيث ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ هو عدد أولي، وهذا $n$ القيمة هي $r$ نفسها أو جذر $r$ )
$b$ ليس بالشكل المطلوب $-4k^{4}$ (إذا كان الأمر كذلك، فإن العدد له تحليل أوريفويلي )

يحتوي على أعداد أولية معممة من الشكل

R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}

برايم $p$ ، ستتوزع الأعداد الأولية بالقرب من خط أفضل ملاءمة

Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,

حيث الحد $n\rightarrow \infty$ ، $G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...$

وهناك حوالي

\left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}

الأساس b يكرر الأعداد الأولية الأقل من N.

$e$ هو أساس اللوغاريتم الطبيعي .
$\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .
$\log _{|b|}$ هو اللوغاريتم في الأساس $|b|$
$R_{(b)}(n)$ هو $n$ العدد الأولي المعمم المتكرر في الأساس b (مع العدد الأولي p )
$C$ هو ثابت ملاءمة البيانات الذي يتغير مع $b$ .
$\delta =1$ لو $b>0$ ، $\delta =1.6$ لو $b<0$ .
$m$ هو أكبر عدد طبيعي بحيث $-b$ هو $2^{m-1}$ القوة th.

لدينا أيضًا الخصائص الثلاث التالية:

عدد الأعداد الأولية التي تأخذ الشكل ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ (مع عدد أولي) $p$ ) أقل من أو يساوي $n$ يتعلق الأمر بـ $e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}$ .
العدد المتوقع للأعداد الأولية من الشكل ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ مع برايم $p$ بين $n$ و $|b|\cdot n$ يتعلق الأمر بـ $e^{\gamma }$ .
احتمال أن يكون العدد على شكل ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ هو عدد أولي (لعدد أولي) $p$ ) يتعلق بـ ${\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}$ .

تاريخ

على الرغم من أنها لم تكن معروفة بهذا الاسم آنذاك، فقد درس العديد من علماء الرياضيات الأعداد المتكررة في النظام العشري خلال القرن التاسع عشر في محاولة لإيجاد وتوقع الأنماط الدورية للأعداد العشرية المتكررة . ^{[ 11 ]}

تبين مبكراً أنه لأي عدد أولي p أكبر من 5، فإن دورة التمثيل العشري لـ 1/ p تساوي طول أصغر عدد مقلوب يقبل القسمة على p . وبحلول عام 1860، نُشرت جداول دورات مقلوب الأعداد الأولية حتى 60,000، مما سمح لعلماء رياضيات مثل رويشلي بتحليل جميع الأعداد المقلوبة حتى R _16، والعديد من الأعداد الأكبر منها، إلى عواملها الأولية . وبحلول عام 1880، تم تحليل الأعداد من R ₁₇ إلى R ₃₆^[¹¹^] . ومن المثير للاهتمام أنه على الرغم من أن إدوارد لوكاس أثبت أن أي عدد أولي أقل من ثلاثة ملايين له دورة 19 ، لم تُجرَ أي محاولة لاختبار أولية أي عدد مقلوب حتى أوائل القرن العشرين. أثبت عالم الرياضيات الأمريكي أوسكار هوب أن R ₁₉ عدد أولي في عام 1916، ^[¹²^] ووجد ليمر وكرايتشيك بشكل مستقل أن R ₂₃ عدد أولي في عام 1929.

لم تشهد دراسة الأعداد المتكررة مزيدًا من التقدم حتى ستينيات القرن العشرين، حين أتاحت الحواسيب اكتشاف العديد من عواملها الجديدة وتصحيح الثغرات في جداول الفترات الأولية السابقة. وُجد أن R ₃₁₇ عدد أولي محتمل في عام 1966 تقريبًا، وثبت أوليته بعد أحد عشر عامًا، حين تبين أن R ₁₀₃₁ هو العدد الأولي المتكرر الوحيد الممكن الذي يقل عدد أرقامه عن عشرة آلاف. ثبت أوليته في عام 1986، لكن عمليات البحث عن أعداد أولية متكررة أخرى في العقد التالي باءت بالفشل. مع ذلك، شهد مجال الأعداد المتكررة المعممة تطورًا جانبيًا هامًا، أسفر عن اكتشاف عدد كبير من الأعداد الأولية الجديدة والأعداد الأولية المحتملة.

منذ عام 1999، تم العثور على أربعة أعداد أولية أخرى محتملة، ولكن من غير المرجح أن يتم إثبات أولية أي منها في المستقبل المنظور بسبب حجمها الهائل.

يسعى مشروع كونينغهام إلى توثيق التحليلات العددية الصحيحة (من بين أعداد أخرى) للوحدات الأساسية 2 و3 و5 و6 و7 و10 و11 و12.

أرقام ديملو

عرّف د. ر. كابريكار أرقام ديملو بأنها سلسلة من ثلاثة أجزاء: أيسر وأوسط وأيمن، حيث يجب أن يكون طول الجزأين الأيسر والأيمن متساوياً (مع إمكانية إضافة صفر في البداية من اليسار)، ويجب أن يكون مجموعهما عددًا متكررًا، بينما قد يحتوي الجزء الأوسط على أي عدد إضافي من هذا الرقم المتكرر. ^{[ 13 ]} سُميت هذه الأرقام نسبةً إلى محطة سكة حديد ديملو (التي تُسمى الآن دومبيفيلي ) الواقعة على بُعد 30 ميلاً من بومباي على خط سكة حديد GIP آنذاك ، حيث بدأ كابريكار بدراستها. يُطلق على أعداد ديملو الرائعة اسم الأعداد التي تأخذ الشكل 1، 121، 12321، 1234321، ...، 12345678987654321. ولأن هذه الأعداد هي مربعات الأعداد المتكررة، فقد دفع ذلك بعض المؤلفين إلى تسمية أعداد ديملو بالمتتالية اللانهائية لهذه الأعداد، ^{[ 14 ]} 1، 121، 12321، ...، 12345678987654321، 1234567900987654321، 123456790120987654321، ... (المتتالية A002477 في OEIS ) ، مع العلم أنه يمكن التحقق من أن هذه الأعداد ليست أعداد ديملو عندما تكون قيمة p تساوي 10، 19، 28، ...

انظر أيضاً

متعددة حدود واحدة - تعميم آخر
تخمين غورماغتيغ
عدد عشري دوري
ريبديجيت
يمكن اعتبار أعداد واغستاف الأولية بمثابة أعداد أولية متكررة ذات أساس سالب $b=-2$

الحواشي

ملحوظات

↑ صاغ ألبرت هـ. بيلر مصطلح "رقم التكرار" على النحو التالي:
يُطلق على العدد الذي يتكون من تكرار رقم واحد أحيانًا اسم عدد أحادي الرقم، ولتسهيل الأمر، استخدم المؤلف مصطلح "عدد التكرار" (الوحدة المتكررة) لتمثيل الأعداد أحادية الرقم التي تتكون فقط من الرقم 1. ^{[ 1 ]}

مراجع

↑ بيلر 2013 ، ص 83
↑ لمزيد من المعلومات، انظر تحليل الأعداد المتكررة إلى عواملها الأولية .
↑ ماكسيم فوزني، New PRP Repunit R (270343)
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A004023 (مؤشرات الأعداد الأولية: الأعداد n التي يكون فيها 11...111 (مع n من 1) = (10^n - 1)/9 عددًا أوليًا.)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ "PrimePage Primes: R(49081)" . PrimePage Primes . 2022-03-21 . تم الاسترجاع في 2022-03-31 .
↑ "PrimePage Primes: R(86453)" . PrimePage Primes . 2023-05-16 . تم الاسترجاع في 2023-05-16 .
↑ "PrimePage Primes: R(109297)" . PrimePage Primes . 2025-05-27 . تم الاسترجاع في 2025-05-27 .
↑ كريس كالدويل. "العقاب" . معجم برايم . صفحات برايم .
↑ اشتقاق حدسية واغستاف ميرسين
↑ تخمين إعادة التوجيه المعمم
1 2 ديكسون وكريس 1999 ، ص 164-167
^ فرانسيس 1988 ، ص 240-246
^ كابريكار 1938 أ ، 1938 ب ، غونجيكار وكابريكار 1939
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "رقم ديملو" . عالم الرياضيات .

مراجع

بيلر، ألبرت هـ. (2013) [1964]، تسليات في نظرية الأعداد: ملكة الرياضيات تُسلّي ، سلسلة دوفر للرياضيات الترفيهية ( الطبعة الثانية المنقحة)، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-21096-4
ديكسون، ليونارد يوجين ؛ كريس، جي إتش (1999)، تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد الأول: قابلية القسمة والأعداد الأولية (الطبعة الثانية المعاد طباعتها )، بروفيدنس، رود آيلاند: دار نشر إيه إم إس تشيلسي، رقم ISBN 978-0-8218-1934-0
فرانسيس، ريتشارد ل. (1988)، "أكوام القش الرياضية: نظرة أخرى على أعداد التكرار"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 19 (3): 240-246 ، doi : 10.1080/07468342.1988.11973120
الأماكن القريبة : Kaprekar، DR ( 1939)، “نظرية أرقام ديملو” (PDF) ، مجلة جامعة بومباي ، الثامن (3): 3-9
كابريكار، د. ر. (1938أ)، "حول أعداد ديملو الرائعة" ، طالب الرياضيات ، 6 : 68
كابريكار، د. ر. (1938ب)، "أعداد ديملو"، مجلة العلوم الفيزيائية، جامعة بومباي ، المجلد السابع (3)
كابريكار، د (1948)، أرقام ديملو ، ديفلالي، الهند: خاريسوادا
ريبنبوم، باولو (2 فبراير 1996)، الكتاب الجديد لسجلات الأعداد الأولية ، الحوسبة والطب ( الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-94457-9
ييتس، صموئيل (1982)، التكرارات والمكررات ، فلوريدا: ديلراي بيتش، رقم ISBN 978-0-9608652-0-8

روابط خارجية

وايسستين، إريك دبليو. “ريبونيت” . عالم الرياضيات .
الجداول الرئيسية لمشروع كانينغهام .
إعادة النشر في الصفحات الرئيسية بقلم كريس كالدويل.
العوائد وعواملها الأولية في عالم الأرقام !
العوائد المعممة الأولية لما لا يقل عن 1000 رقم عشري بقلم آندي ستيوارد
صفحة مشروع Repunit Primes لجيوفاني دي ماريا.
أصغر عدد أولي فردي p بحيث يكون (b^p-1)/(b-1) و (b^p+1)/(b+1) عددًا أوليًا للأساسات 2<=b<=1024
تحليل أعداد التكرار
الأعداد الأولية المعممة المتكررة في الأساس من -50 إلى 50

[2] صاغ ألبرت هـ. بيلر مصطلح "رقم التكرار" على النحو التالي:
يُطلق على العدد الذي يتكون من تكرار رقم واحد أحيانًا اسم عدد أحادي الرقم، ولتسهيل الأمر، استخدم المؤلف مصطلح "عدد التكرار" (الوحدة المتكررة) لتمثيل الأعداد أحادية الرقم التي تتكون فقط من الرقم 1. ^{[ 1 ]}

[1] بيلر 2013 ، ص 83

[3] لمزيد من المعلومات، انظر تحليل الأعداد المتكررة إلى عواملها الأولية .

[4] ماكسيم فوزني، New PRP Repunit R (270343)

[5] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A004023 (مؤشرات الأعداد الأولية: الأعداد n التي يكون فيها 11...111 (مع n من 1) = (10^n - 1)/9 عددًا أوليًا.)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[6] "PrimePage Primes: R(49081)" . PrimePage Primes . 2022-03-21 . تم الاسترجاع في 2022-03-31 .

[7] "PrimePage Primes: R(86453)" . PrimePage Primes . 2023-05-16 . تم الاسترجاع في 2023-05-16 .

[8] "PrimePage Primes: R(109297)" . PrimePage Primes . 2025-05-27 . تم الاسترجاع في 2025-05-27 .

[9] كريس كالدويل. "العقاب" . معجم برايم . صفحات برايم .

[10] اشتقاق حدسية واغستاف ميرسين

[11] تخمين إعادة التوجيه المعمم

[Dickson1999-12] 1 2 ديكسون وكريس 1999 ، ص 164-167

[13] فرانسيس 1988 ، ص 240-246

[14] كابريكار 1938 أ ، 1938 ب ، غونجيكار وكابريكار 1939

[15] وايسشتاين، إريك دبليو. "رقم ديملو" . عالم الرياضيات .

[ ملاحظة 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 1 ]