فئة الخواتم

تُعتبر فئة Ring فئةً كاملةً ومُكمّلةً ، أي أن جميع النهايات الصغيرة والنهايات المشتركة موجودة في Ring . ومثل العديد من الفئات الجبرية الأخرى، فإن الدالة النسيانية U  : Ring → Set تُنشئ (وتحفظ) النهايات والنهايات المشتركة المُصفّاة ، لكنها لا تحفظ الضرب المشترك أو المُساويات المشتركة . كما تُنشئ الدوال النسيانية إلى Ab و Mon النهايات وتحفظها أيضًا.

تتضمن أمثلة النهايات والنهايات المشتركة في Ring ما يلي:

• حلقة الأعداد الصحيحة Z هي كائن أولي في Ring .
• الحلقة الصفرية هي كائن طرفي في Ring .
• يُعطى حاصل الضرب في الحلقة بالضرب المباشر للحلقات . وهو ببساطة حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات الأساسية مع تعريف الجمع والضرب لكل عنصر على حدة.
• يوجد حاصل الضرب المشترك لمجموعة من الحلقات، ويُعطى ببنية مماثلة لحاصل الضرب الحر للمجموعات. يمكن أن يكون حاصل الضرب المشترك للحلقات غير الصفرية هو الحلقة الصفرية؛ ويحدث هذا تحديدًا عندما تكون خصائص العوامل أولية نسبيًا (لأن خاصية حاصل الضرب المشترك لـ ( R _i ) _{i ∈ I} يجب أن تقسم خصائص كل حلقة من الحلقات R _i ).
• المعادل في الحلقة هو مجرد المعادل النظري للمجموعات (المعادل لاثنين من تشاكلات الحلقة هو دائمًا حلقة فرعية ) .
• إن المعادل المشترك لتشاكلين حلقيين f و g من R إلى S هو خارج قسمة S على المثالي المتولد بواسطة جميع العناصر من الشكل f ( r ) − g ( r ) لـ r ∈ R .
• بالنظر إلى تشاكل حلقي f  : R → S، فإن زوج النواة لـ f ( وهو ببساطة سحب f إلى نفسه) يمثل علاقة تطابق على R. والمثالي المحدد بهذه العلاقة هو تحديدًا نواة f (في نظرية الحلقات) . تجدر الإشارة إلى أن النوى في نظرية الفئات لا معنى لها في Ring لعدم وجود تشاكلات صفرية (انظر أدناه).

على عكس العديد من التصنيفات المدروسة في الرياضيات، لا توجد دائمًا تشاكلات بين أزواج من العناصر في الحلقة . هذا نتيجة لحقيقة أن تشاكلات الحلقة يجب أن تحافظ على العنصر المحايد. على سبيل المثال، لا توجد تشاكلات من الحلقة الصفرية 0 إلى أي حلقة غير صفرية. الشرط الضروري لوجود تشاكلات من R إلى S هو أن تكون خاصية S تقسم خاصية R.

لاحظ أنه على الرغم من أن بعض مجموعات التماثل فارغة، إلا أن فئة الحلقة لا تزال متصلة لأنها تحتوي على كائن أولي.

تتضمن بعض الفئات الخاصة من التشكلات في الحلقة ما يلي :

• التشاكلات في الحلقة هي التشاكلات الحلقية التقابلية .
• التشاكلات الأحادية في الحلقة هي التشاكلات الحقنية . مع ذلك، ليس كل تشاكل أحادي منتظم .
• كل تشاكل شامل هو تشاكل فوقي في الحلقة ، لكن العكس ليس صحيحًا. التضمين Z → Q هو تشاكل فوقي غير شامل. التشاكل الحلقي الطبيعي من أي حلقة تبديلية R إلى أي موضع من مواضعها هو تشاكل فوقي ليس بالضرورة شاملًا.
• يمكن وصف التشاكلات الشاملة بأنها التشاكلات المنتظمة أو المتطرفة في الحلقة (تتطابق هاتان الفئتان).
• تُعرف التشاكلات الثنائية في الحلقة باسم التشاكلات الفوقية الحقنية. ويُعدّ التضمين Z → Q مثالاً على التشاكلات الثنائية التي لا تُعتبر تماثلاً.

• الكائن الوحيد القابل للحقن في الحلقة حتى التشاكل هو الحلقة الصفرية (أي الكائن النهائي).
• بسبب افتقارها إلى التشكلات الصفرية ، لا يمكن أن تكون فئة الحلقات فئة ما قبل الجمع . (ومع ذلك، فإن كل حلقة - إذا اعتبرت فئة ذات عنصر واحد - هي فئة ما قبل الجمع).
• فئة الحلقات هي فئة أحادية متناظرة، حيث يمثل حاصل الضرب الموتري للحلقات ⊗ _Z حاصل الضرب الأحادي، وحلقة الأعداد الصحيحة Z هي العنصر المحايد. ويترتب على نظرية إيكمان-هيلتون أن أي أحادي في فئة الحلقات هو حلقة تبديلية . ويُعرف تأثير أي أحادي (حلقة تبديلية) R على عنصر (حلقة) A من فئة الحلقات باسم جبر R.

تُعدّ فئة الحلقات التبديلية ، التي يُرمز لها بـ CRing ، فئة فرعية كاملة من فئة Ring ، وجميع عناصرها حلقات تبديلية . وتُعتبر هذه الفئة من أهمّ المواضيع التي تُدرس في مجال الجبر التبديلي .

يمكن جعل أي حلقة تبديلية بأخذ خارج القسمة على المثالي المُوَلَّد من جميع العناصر التي تأخذ الشكل ( xy - yx ). يُعرِّف هذا دالة Ring → CRing، وهي دالة مُرافقة يسارية لدالة التضمين، بحيث تكون CRing فئة فرعية انعكاسية من Ring . الحلقة التبديلية الحرة على مجموعة مولدات E هي حلقة كثيرات الحدود Z [ E ] التي تُؤخذ متغيراتها من E. يُعطي هذا دالة مُرافقة يسارية للدالة النسيانية من CRing إلى Set .

الحلقة CRing مغلقة من حيث النهايات في الحلقة Ring ، مما يعني أن النهايات في CRing هي نفسها في الحلقة Ring . أما النهايات المشتركة، فهي تختلف عمومًا. ويمكن تكوينها بأخذ خارج القسمة التبادلي للنهايات المشتركة في الحلقة Ring . ويُعطى حاصل الضرب المشترك لحلقتين تبادليتين بحاصل الضرب الموتري للحلقتين . ومرة ​​أخرى، يمكن أن يكون حاصل الضرب المشترك لحلقتين تبادليتين غير صفريتين صفرًا.

تُكافئ الفئة المقابلة لحلقة CRing فئة المخططات الأفينية . ويُعطى هذا التكافؤ بواسطة الدالة المتغايرة Spec التي تُرسل حلقة تبديلية إلى طيفها ، وهو مخطط أفيني .

فئة الحقول ، التي يُرمز لها بـ Field ، هي الفئة الفرعية الكاملة من CRing التي تكون عناصرها حقولًا . لا تتمتع فئة الحقول بنفس الانضباط الذي تتمتع به الفئات الجبرية الأخرى. فعلى وجه الخصوص، لا توجد حقول حرة (أي لا يوجد مُرافق أيسر للدالة النسيانية Field → Set ). وبناءً على ذلك، فإن Field ليست فئة فرعية انعكاسية من CRing .

فئة الحقول ليست كاملة منتهية ولا كاملة مشتركة منتهية. على وجه الخصوص، لا تحتوي فئة الحقول على منتجات ولا منتجات مشتركة.

من الجوانب الأخرى المثيرة للاهتمام في فئة الحقول أن كل تشاكل هو تشاكل أحادي . وينتج هذا عن حقيقة أن المثاليّين الوحيدين في الحقل F هما المثالي الصفري والحقل F نفسه. وبالتالي، يمكن اعتبار التشاكلات في الحقل بمثابة امتدادات للحقل .

فئة الحقول غير متصلة . لا توجد تشاكلات بين الحقول ذات الخصائص المختلفة . المكونات المتصلة للحقل هي الفئات الفرعية الكاملة للخاصية p ، حيث p = 0 أو عدد أولي . لكل فئة فرعية من هذا القبيل عنصر ابتدائي : الحقل الأولي للخاصية p (وهو Q إذا كان p = 0، وإلا فهو الحقل المنتهي F _p ).

يوجد مُؤثِّر طبيعي من الحلقة إلى فئة الزمر ، Grp ، يُرسِل كل حلقة R إلى زمرة وحداتها U ( R )، وكل تشاكل حلقي إلى التقييد على U ( R ). لهذا المُؤثِّر مُرافق أيسر يُرسِل كل زمرة G إلى حلقة الزمر التكاملية Z [ G ].

يقوم عامل آخر بين هذه الفئات بإرسال كل حلقة R إلى مجموعة وحدات حلقة المصفوفة M ₂ ( R ) التي تعمل على الخط الإسقاطي فوق حلقة P( R ).

بالنظر إلى حلقة تبديلية R، يمكن تعريف الفئة R -Alg التي تكون كائناتها جميعها جبر R وتكون تشاكلاتها تشاكلات جبر R.

يمكن اعتبار فئة الحلقات حالة خاصة. فكل حلقة يمكن اعتبارها جبرًا من نوع Z بطريقة فريدة. وتشاكلات الحلقات هي تحديدًا تشاكلات الجبر من نوع Z. وبالتالي، فإن فئة الحلقات متماثلة مع فئة Z-Alg . ^{[ 2 ]} ويمكن تعميم العديد من العبارات المتعلقة بفئة الحلقات لتشمل عبارات تتعلق بفئة الجبر من نوع R.

لكل حلقة تبديلية R، يوجد مُؤثر R -Alg → Ring يتجاهل بنية R -module. يمتلك هذا المُؤثر مُرافقًا أيسرًا يُحوّل كل حلقة A إلى حاصل الضرب الموتري R ⊗ _Z A ، والذي يُمكن اعتباره جبرًا R -algebra عن طريق وضع r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

لا يشترط العديد من المؤلفين وجود عنصر محايد ضربي في الحلقات، وبالتالي لا يشترطون أن يحافظ تشاكل الحلقات على هذا العنصر (إن وُجد). وهذا يُؤدي إلى فئة مختلفة نوعًا ما. وللتمييز، نُطلق على هذه البنى الجبرية اسم rngs، وعلى تشاكلاتها اسم rng homomorphisms . وسنرمز إلى فئة جميع rngs بالرمز Rng .

فئة الحلقات، Ring ، هي فئة فرعية غير كاملة من Rng . وهي غير كاملة لوجود تشاكلات rng بين الحلقات لا تحافظ على العنصر المحايد، وبالتالي فهي ليست تشاكلات في Ring . يحتوي مُعامل التضمين Ring → Rng على مُرافق أيسر يُلحق رسميًا عنصرًا محايدًا بأي rng. يُراعي مُعامل التضمين Ring → Rng النهايات ولكنه لا يُراعي النهايات المشتركة.

تُعدّ الحلقة الصفرية كائنًا ابتدائيًا ونهائيًا في Rng (أي أنها كائن صفري ). وبناءً على ذلك، فإن Rng ، مثل Grp ولكن على عكس Ring ، تحتوي على تشاكلات صفرية . هذه التشاكلات هي ببساطة تشاكلات rng التي تُسقط كل شيء على الصفر. على الرغم من وجود التشاكلات الصفرية، فإن Rng لا تزال ليست فئة ما قبل الجمع . وبشكل عام، فإن المجموع النقطي لتشاكلين من rng ليس تشاكلًا من rng.

يوجد دالة أمينة تمامًا من فئة المجموعات الأبيلية إلى Rng ترسل مجموعة أبيلية إلى Rng المرتبط بها من المربع الصفري .

تعتبر الإنشاءات الحرة أقل طبيعية في Rng مقارنةً بـ Ring . على سبيل المثال، فإن Rng الحر المولد بواسطة مجموعة { x } هو حلقة جميع كثيرات الحدود الصحيحة على x بدون حد ثابت، بينما الحلقة الحرة المولدة بواسطة { x } هي ببساطة حلقة كثيرات الحدود Z [ x ].