الفئة الفرعية

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ، فئة فرعية من فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي فئة${\displaystyle {\mathcal {S}}}$التي تكون كائناتها كائنات في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$والتي تكون تشاكلاتها تشاكلات في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بنفس الهويات وتكوين التشكلات. وبشكل بديهي، فئة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي فئة مستمدة من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$عن طريق "إزالة" بعض عناصرها وأسهمها.

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$أن تكون فئة. فئة فرعية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يُعطى بواسطة

• مجموعة فرعية من الأشياء${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، المشار إليه${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$،
• مجموعة فرعية من التشكلات لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، المشار إليه${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$.

بحيث

• لكل${\displaystyle X}$في${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$، التشكل التطابقي id_{${\displaystyle X}$}هو في${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$،
• لكل تشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$في${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$المصدر${\displaystyle X}$والهدف${\displaystyle Y}$في${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$،
• لكل زوج من التشكلات${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$في${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$المركب${\displaystyle f\circ g}$هو في${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$متى تم تعريفها.

تضمن هذه الشروط أن${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي فئة بحد ذاتها: مجموعة الأشياء التي تتضمنها هي${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$، ومجموعة التشكلات الخاصة بها هي${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$وهوياتها وتكوينها كما في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هناك دالة أمينة واضحة${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$، وهو ما يسمى دالة التضمين التي تأخذ الكائنات والتشاكلات إلى نفسها.

يترك${\displaystyle {\mathcal {S}}}$أن تكون فئة فرعية من فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$نقول ذلك${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هوالفئة الفرعية الكاملة لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إذا كان لكل زوج من الكائنات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle {\mathcal {S}}}$،

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

الفئة الفرعية الكاملة هي التي تشمل جميع التشكلات في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بين أشياء${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. لأي مجموعة من الكائنات${\displaystyle A}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، هناك فئة فرعية كاملة فريدة من نوعها${\displaystyle {\mathcal {C}}}$الأشياء التي هي تلك الموجودة في${\displaystyle A}$.

• تشكل فئة المجموعات المنتهية فئة فرعية كاملة من فئة المجموعات .
• تشكل الفئة التي تكون عناصرها مجموعات والتي تكون مورفيزماتها تقابلات فئة فرعية غير كاملة من فئة المجموعات.
• تشكل فئة المجموعات الأبيلية فئة فرعية كاملة من فئة المجموعات .
• تشكل فئة الحلقات (التي تكون مورفيزماتها عبارة عن مورفيزمات حلقية تحافظ على الوحدة ) فئة فرعية غير كاملة من فئة rngs .
• لمجال​${\displaystyle K}$، فئة${\displaystyle K}$- تشكل الفضاءات المتجهة فئة فرعية كاملة من فئة (يسار أو يمين)${\displaystyle K}$- وحدات .

بالنظر إلى فئة فرعية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، دالة التضمين${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$هي دالة أمينة وحقنية على الكائنات. وهي كاملة إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي فئة فرعية كاملة.

يُعرّف بعض المؤلفين التضمين بأنه دالة كاملة ودقيقة . وتكون هذه الدالة بالضرورة حقنية على الكائنات حتى التشاكل . على سبيل المثال، يُعد تضمين يونيدا تضمينًا بهذا المعنى.

يعرّف بعض المؤلفين التضمين بأنه دالة كاملة ودقيقة قابلة للحقن على الكائنات. ^{[ 1 ]}

يُعرّف مؤلفون آخرون الدالة بأنها تضمين إذا كانت أمينة وحقنية على الكائنات. وبصورة مكافئة،${\displaystyle F}$يكون تضمينًا إذا كان أحاديًا على التشكلات. دالة${\displaystyle F}$يُطلق عليه حينها اسم التضمين الكامل إذا كان دالة كاملة وتضمينًا.

مع تعريفات الفقرة السابقة، لأي تضمين (كامل)${\displaystyle F:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$صورة​​${\displaystyle F}$هي فئة فرعية (كاملة)${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، و${\displaystyle F}$يؤدي ذلك إلى تماثل الفئات بين${\displaystyle {\mathcal {B}}}$و${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. لو${\displaystyle F}$إذا كانت دالة كاملة ودقيقة ولكنها ليست بالضرورة أحادية على الكائنات، فإن صورة${\displaystyle F}$يعادل​​${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

في بعض الفئات، يمكن للمرء أيضًا أن يتحدث عن التشكلات الخاصة بالفئة باعتبارها تضمينات .

فئة فرعية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يقال إن المجموعة مغلقة بالتشاكل أو مكتملة إذا كان كل تشاكل${\displaystyle k:X\to Y}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بحيث${\displaystyle Y}$هو في${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ينتمي أيضًا إلى${\displaystyle {\mathcal {S}}}$يُقال إن الفئة الفرعية الكاملة المغلقة بالتماثل هي فئة كاملة تمامًا .

فئة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تكون واسعة أو lluf (مصطلح طرحه بيتر فريد لأول مرة ^{[ 2 ]} ) إذا كانت تحتوي على جميع عناصر${\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ ^{3 ]} عادةً ما لا تكون الفئة الفرعية الواسعة كاملة: الفئة الفرعية الكاملة الواسعة الوحيدة لفئة ما هي تلك الفئة نفسها ^.

الفئة الفرعية لـ Serre هي فئة فرعية كاملة غير فارغة.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$من فئة أبيلية${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بحيث يكون ذلك لجميع المتتاليات التامة القصيرة

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$،${\displaystyle M}$ينتمي إلى${\displaystyle {\mathcal {S}}}$إذا وفقط إذا كان كلاهما${\displaystyle M'}$و ${\displaystyle M''}$هذا المفهوم ينشأ من نظرية سي لسير .

• فئة فرعية انعكاسية
• الفئة المحددة ، وهي فئة فرعية كاملة مغلقة بموجب الامتدادات.