مينكوفسكي الوظيفي

في الرياضيات ، في مجال التحليل الوظيفي ، الدالة الوظيفية مينكوفسكي (نسبة إلى هيرمان مينكوفسكي ) أو دالة القياس هي دالة تستعيد مفهوم المسافة على فضاء خطي.

لو ${\textstyle K}$ هي مجموعة جزئية من فضاء متجهي حقيقي أو مركب ${\textstyle X,}$ ثم دالة مينكوفسكي أو مقياسها ${\textstyle K}$ تُعرَّف بأنها الدالة ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ القيم في الأعداد الحقيقية الموسعة ، المعرفة بواسطة $p_{K}(x)=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\},\quad x\in X,$ حيث يتم تعريف الحد الأدنى للمجموعة الفارغة على أنه اللانهاية الموجبة .

المجموعة ${\textstyle K}$ يُفترض غالباً أن لها خصائص، مثل كونها قرصاً ماصاً في ${\textstyle X}$ ، وهذا يضمن أن ${\textstyle p_{K}}$ سيكون ذلك شبه طبيعي في ${\textstyle X.}$ في الواقع، كل شبه معياري ${\textstyle p}$ على ${\textstyle X}$ يساوي دالة مينكوفسكي (أي، ${\textstyle p=p_{K}}$ ) من أي مجموعة جزئية ${\textstyle K}$ ل ${\textstyle X}$ مُرضٍ

$\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}$

(حيث تكون جميع هذه المجموعات الثلاث بالضرورة مستوعبة في ${\textstyle X}$ والأول والأخير عبارة عن أقراص أيضًا).

وبالتالي، يمكن ربط كل شبه معيار (وهو دالة معرفة بخصائص جبرية بحتة) (بشكل غير فريد) بقرص ماص (وهو مجموعة ذات خصائص هندسية معينة)، وبالعكس، يمكن ربط كل قرص ماص بدالة مينكوفسكي الخاصة به (والتي ستكون بالضرورة شبه معيار). تُعد هذه العلاقات بين أنصاف المعايير ودوال مينكوفسكي والأقراص الماصة سببًا رئيسيًا لدراسة دوال مينكوفسكي واستخدامها في التحليل الوظيفي. وعلى وجه الخصوص، تسمح دوال مينكوفسكي، من خلال هذه العلاقات، بـ"ترجمة" خصائص هندسية معينة لمجموعة فرعية من ${\textstyle X}$ في خصائص جبرية معينة لدالة على ${\textstyle X.}$

دالة مينكوفسكي دائماً غير سالبة (بمعنى ${\textstyle p_{K}\geq 0}$ تتناقض هذه الخاصية المتمثلة في كونها غير سالبة مع فئات أخرى من الدوال، مثل الدوال شبه الخطية والدوال الخطية الحقيقية ، التي تسمح بقيم سالبة. ومع ذلك، ${\textstyle p_{K}}$ قد لا تكون ذات قيمة حقيقية لأنه لأي قيمة معينة ${\textstyle x\in X,}$ القيمة ${\textstyle p_{K}(x)}$ يكون عددًا حقيقيًا إذا وفقط إذا ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ليست فارغة . وبالتالي، ${\textstyle K}$ يُفترض عادةً أن لها خصائص (مثل كونها ماصة في ${\textstyle X,}$ على سبيل المثال) الذي سيضمن ذلك ${\textstyle p_{K}}$ له قيمة حقيقية.

تعريف

يترك ${\textstyle K}$ ليكن مجموعة جزئية من فضاء متجهي حقيقي أو مركب ${\textstyle X.}$ حدد مقياس ${\textstyle K}$ أو دالة مينكوفسكي المرتبطة بـ أو الناتجة عن ${\textstyle K}$ باعتبارها الوظيفة ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ القيم في الأعداد الحقيقية الموسعة ، المعرفة بواسطة

$p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},$

(تذكر أن الحد الأدنى للمجموعة الفارغة هو ${\textstyle \,\infty }$ ، إنه، ${\textstyle \inf \varnothing =\infty }$ ). هنا، ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ هو اختصار لـ ${\textstyle \{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}.}$

لأي ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty }$ إذا وفقط إذا ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ليست فارغة. العمليات الحسابية على ${\textstyle \mathbb {R} }$ يمكن توسيع نطاق التشغيل ليشمل ${\textstyle \pm \infty ,}$ أين ${\textstyle {\frac {r}{\pm \infty }}:=0}$ لجميع الأعداد الحقيقية غير الصفرية ${\textstyle -\infty <r<\infty .}$ المنتجات ${\textstyle 0\cdot \infty }$ و ${\textstyle 0\cdot -\infty }$ يبقى غير محدد.

بعض الشروط التي تجعل المقياس ذا قيمة حقيقية

في مجال التحليل المحدب ، الخريطة ${\textstyle p_{K}}$ اكتساب قيمة ${\textstyle \,\infty \,}$ ليس بالضرورة أن يكون ذلك مشكلة. ومع ذلك، في التحليل الوظيفي ${\textstyle p_{K}}$ تكون ذات قيمة حقيقية في أغلب الأحيان (أي أنها لا تأخذ قيمة من نوع معين). ${\textstyle \,\infty \,}$ ، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كانت المجموعة ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ غير فارغ لكل ${\textstyle x\in X.}$

لكي ${\textstyle p_{K}}$ لكي تكون ذات قيمة حقيقية، يكفي أن يكون أصلها ${\textstyle X}$ أن ينتمي إلى الجزء الداخلي الجبري أو جوهر ${\textstyle K}$ في ${\textstyle X.}$ ^{[ 1 ]} إذا ${\textstyle K}$ يستوعب ${\textstyle X,}$ حيث تذكر أن هذا يعني أن ${\textstyle 0\in K,}$ إذن، الأصل ينتمي إلى الجزء الجبري الداخلي لـ ${\textstyle K}$ في ${\textstyle X}$ وبالتالي ${\textstyle p_{K}}$ ذات قيمة حقيقية. خصائص متى ${\textstyle p_{K}}$ القيم الحقيقية موضحة أدناه.

أمثلة محفزة

المثال 1

لنفترض فضاء متجه معياري ${\textstyle (X,\|\,\cdot \,\|),}$ مع الوضع الطبيعي ${\textstyle \|\,\cdot \,\|}$ ودع ${\textstyle U:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ كن الكرة الموحدة في ${\textstyle X.}$ ثم لكل ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle \|x\|=p_{U}(x).}$ وبالتالي فإن دالة مينكوفسكي ${\textstyle p_{U}}$ هذا هو الوضع الطبيعي في ${\textstyle X.}$

المثال 2

يترك ${\textstyle X}$ ليكن فضاء متجهي بدون طوبولوجيا مع حقل قياسي أساسي ${\textstyle \mathbb {K} .}$ يترك ${\textstyle f:X\to \mathbb {K} }$ ليكن أي دالة خطية على ${\textstyle X}$ (ليس بالضرورة مستمرًا). إصلاح ${\textstyle a>0.}$ يترك ${\textstyle K}$ كن المجموعة $K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}$ ودع ${\textstyle p_{K}}$ كن دالة مينكوفسكي لـ ${\textstyle K.}$ ثم $p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{ لجميع }}x\in X.$ الوظيفة ${\textstyle p_{K}}$ له الخصائص التالية:

إنها شبه جمعية : ${\textstyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).}$
إنه متجانس تمامًا : ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ لجميع الكميات القياسية ${\textstyle s.}$
إنها غير سالبة : ${\textstyle p_{K}\geq 0.}$

لذلك، ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه معيار في ${\textstyle X,}$ مع طوبولوجيا مستحثة. هذه سمة مميزة لدوال مينكوفسكي المعرفة عبر مجموعات "مُلائمة". ثمة تطابق تام بين أنصاف المعايير ودالة مينكوفسكي المُعطاة بواسطة هذه المجموعات. سيتم توضيح المقصود بـ "مُلائمة" تحديدًا في القسم التالي.

لاحظ أنه على عكس اشتراط وجود معيار أقوى، ${\textstyle p_{K}(x)=0}$ لا يشترط أن يعني ذلك ${\textstyle x=0.}$ في المثال أعلاه، يمكن للمرء أن يأخذ قيمة غير صفرية ${\textstyle x}$ من نواة ${\textstyle f.}$ وبالتالي، فإن الطوبولوجيا الناتجة ليست بالضرورة من نوع هاوسدورف .

الشروط الشائعة التي تضمن أن تكون المقاييس شبه طبيعية

لضمان ذلك ${\textstyle p_{K}(0)=0,}$ سيفترض من الآن فصاعدًا أن ${\textstyle 0\in K.}$

لكي ${\textstyle p_{K}}$ لكي يكون شبه معيار، يكفي أن ${\textstyle K}$ أن يكون قرصًا (أي محدبًا ومتوازنًا) ويمتص ${\textstyle X,}$ ما هي أكثر الافتراضات شيوعًا التي يتم وضعها على ${\textstyle K.}$

النظرية ^{[ 2 ]} — إذا ${\textstyle K}$ قرص ماص في فضاء متجهي ${\textstyle X}$ ثم دالة مينكوفسكي لـ ${\textstyle K,}$ وهي الخريطة ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty )}$ محدد بواسطة $p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},$ هو شبه معيار في ${\textstyle X.}$ علاوة على ذلك، $p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.$

وبشكل أعم، إذا ${\textstyle K}$ محدبة، ونقطة الأصل تنتمي إلى الجزء الجبري الداخلي لـ ${\textstyle K,}$ ثم ${\textstyle p_{K}}$ دالة فرعية غير سالبة على ${\textstyle X,}$ وهذا يعني على وجه الخصوص أنها شبه جمعية ومتجانسة موجبة . إذا ${\textstyle K}$ يستوعب ${\textstyle X}$ ثم ${\textstyle p_{[0,1]K}}$ متجانس إيجابي، مما يعني أن ${\textstyle p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}$ لكل حقيقي ${\textstyle s\geq 0,}$ أين ${\textstyle [0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.}$ ^{[ 3 ]} إذا ${\textstyle q}$ هي دالة حقيقية غير سالبة على ${\textstyle X}$ أي أن المجموعات متجانسة موجبة، ${\textstyle U:=\{x\in X:q(x)<1\}}$ و ${\textstyle D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}}$ مُرضٍ ${\textstyle [0,1]U=U}$ و ${\textstyle [0,1]D=D;}$ بالإضافة إلى ذلك ${\textstyle q}$ إذا كان متجانسًا تمامًا، فكلاهما ${\textstyle U}$ و ${\textstyle D}$ متوازنة . ^[³^]

مقاييس الأقراص الماصة

يمكن القول إن أكثر المتطلبات شيوعاً التي توضع على مجموعة ${\textstyle K}$ لضمان ذلك ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه معيار هو ذلك ${\textstyle K}$ كن قرصًا ماصًا في ${\textstyle X.}$ نظراً لشيوع هذه الافتراضات، فإن خصائص دالة مينكوفسكي ${\textstyle p_{K}}$ متى ${\textstyle K}$ سيتم الآن دراسة القرص الممتص. بما أن جميع النتائج المذكورة أعلاه لم تفترض سوى القليل من الافتراضات (إن وجدت) بشأن ${\textstyle K,}$ يمكن تطبيقها في هذه الحالة الخاصة.

نظرية — افترض أن ${\textstyle K}$ هي مجموعة فرعية ممتصة من ${\textstyle X.}$ وقد تبين أن:

لو ${\textstyle K}$ إذا كان محدبًا ، ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه إضافي.
لو ${\textstyle K}$ إذا كان متوازناً ${\textstyle p_{K}}$ متجانس تمامًا ؛ أي ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ لجميع الكميات القياسية ${\textstyle s.}$

إثبات أن مقياس القرص الممتص هو شبه معياري

التحدب والجمع الفرعي

حجة هندسية بسيطة تُظهر تحدب ${\textstyle K}$ يستلزم ذلك خاصية الجمع الجزئي كما يلي. لنفترض للحظة أن ${\textstyle p_{K}(x)=p_{K}(y)=r.}$ ثم للجميع ${\textstyle e>0,}$ ${\textstyle x,y\in K_{e}:=(r,e)K.}$ منذ ${\textstyle K}$ محدب و ${\textstyle r+e\neq 0,}$ ${\textstyle K_{e}}$ وهو محدب أيضاً. لذلك، ${\textstyle {\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\in K_{e}.}$ بحسب تعريف دالة مينكوفسكي ${\textstyle p_{K},}$ $p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+e={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+e.$

لكن الجانب الأيسر هو ${\textstyle {\frac {1}{2}}p_{K}(x+y),}$ لهذا السبب. $p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+2e.$

منذ ${\textstyle e>0}$ إذا كان الأمر تعسفياً، فإن ذلك يترتب عليه ${\textstyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y),}$ وهي المتباينة المطلوبة. الحالة العامة ${\textstyle p_{K}(x)>p_{K}(y)}$ يتم الحصول عليها بعد التعديل الواضح.

تحدب ${\textstyle K,}$ بالإضافة إلى الافتراض الأولي بأن المجموعة ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ إذا كانت غير فارغة، فهذا يعني أن ${\textstyle K}$ إنه أمرٌ مُثير للاهتمام .

التوازن والتجانس المطلق

لاحظ أن ${\textstyle K}$ يعني التوازن أن $\lambda x\in rK\quad {\mbox{if and only if}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K.$

لذلك $p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x).$

الخصائص الجبرية

يترك ${\textstyle X}$ ليكن فضاء متجه حقيقي أو مركب، وليكن ${\textstyle K}$ كن قرصًا ماصًا في ${\textstyle X.}$

${\textstyle p_{K}}$ هو شبه معيار في ${\textstyle X.}$
${\textstyle p_{K}}$ هو أمر طبيعي في ${\textstyle X}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle K}$ لا يحتوي على فضاء متجهي غير تافه. ^{[ 4 ]}
${\textstyle p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}}$ لأي كمية قياسية ${\textstyle s\neq 0.}$ ^{[ 4 ]}
لو ${\textstyle J}$ هو قرص ماص في ${\textstyle X}$ و ${\textstyle J\subseteq K}$ ثم ${\textstyle p_{K}\leq p_{J}.}$
لو ${\textstyle K}$ مجموعة مرضية ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ثم ${\textstyle K}$ يستوعب ${\textstyle X}$ و ${\textstyle p=p_{K},}$ أين ${\textstyle p_{K}}$ هل دالة مينكوفسكي مرتبطة بـ ${\textstyle K;}$ أي أنه مقياس ${\textstyle K.}$ ^{[ 5 ]}
على وجه الخصوص، إذا ${\textstyle K}$ كما هو مذكور أعلاه و ${\textstyle q}$ هل أي شبه معياري على ${\textstyle X,}$ ثم ${\textstyle q=p}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle \{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ^{[ 5 ]}
لو ${\textstyle x\in X}$ يرضي ${\textstyle p_{K}(x)<1}$ ثم ${\textstyle x\in K.}$

الخصائص الطوبولوجية

افترض أن ${\textstyle X}$ هي فضاء متجهي طوبولوجي (حقيقي أو مركب) (ليس بالضرورة هاوسدورف أو محدب محليًا ) ولتكن ${\textstyle K}$ كن قرصًا ماصًا في ${\textstyle X.}$ ثم

$\operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,$

أين ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}K}$ هو الجزء الداخلي الطوبولوجي و ${\textstyle \operatorname {Cl} _{X}K}$ هو الإغلاق الطوبولوجي لـ ${\textstyle K}$ في ${\textstyle X.}$ ^{[ 6 ]} والأهم من ذلك، أنهلميُفترض أن ${\textstyle p_{K}}$ لم يكن مستمراً، ولم يُفترض ذلك. ${\textstyle K}$ لم تكن لها أي خصائص طوبولوجية.

علاوة على ذلك، فإن دالة مينكوفسكي ${\textstyle p_{K}}$ تكون متصلة إذا وفقط إذا ${\textstyle K}$ هو حي من أحياء الأصل في ${\textstyle X.}$ ^{[ 6 ]} إذا ${\textstyle p_{K}}$ إذا كانت متصلة ^{[ 6 ]} $\operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Cl} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.$

الحد الأدنى من المتطلبات في موقع التصوير

سيبحث هذا القسم في الحالة الأكثر عمومية لمقياس أي مجموعة جزئية ${\textstyle K}$ ل ${\textstyle X.}$ الحالة الخاصة الأكثر شيوعاً حيث ${\textstyle K}$ يُفترض أن يكون قرصًا ماصًا في ${\textstyle X}$ تمت مناقشته أعلاه.

ملكيات

يمكن تطبيق جميع النتائج الواردة في هذا القسم على الحالة التي ${\textstyle K}$ هو قرص ماص.

طَوَال، ${\textstyle K}$ هي أي مجموعة جزئية من ${\textstyle X.}$

ملخص — لنفترض أن ${\textstyle K}$ هي مجموعة جزئية من فضاء متجهي حقيقي أو مركب ${\textstyle X.}$

التجانس الإيجابي الصارم : ${\textstyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ وكل شيء إيجابي حقيقي ${\textstyle r>0.}$ ${\textstyle r>0.}$
- التجانس الإيجابي/غير السلبي : ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ تكون متجانسة غير سالبة إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ له قيمة حقيقية.
  - خريطة ${\textstyle p}$ يُطلق عليه اسم متجانس غير سالب ^{[ 7 ]} إذا ${\textstyle p(rx)=rp(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة ${\textstyle r\geq 0.}$ منذ ${\textstyle 0\cdot \infty }$ إذا كانت الدالة غير معرفة، فإن الدالة التي تأخذ اللانهاية كقيمة ليست متجانسة غير سالبة.
القيم الحقيقية : ${\textstyle (0,\infty )K}$ ${\textstyle (0,\infty )K}$ هي مجموعة جميع النقاط التي ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ له قيمة حقيقية. ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ تكون ذات قيمة حقيقية إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,\infty )K=X,}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X,}$ وفي هذه الحالة ${\textstyle 0\in K.}$ ${\textstyle 0\in K.}$
- القيمة عند ${\textstyle 0}$ : ${\textstyle p_{K}(0)\neq \infty }$ إذا وفقط إذا ${\textstyle 0\in K}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{K}(0)=0.}$
- مساحة فارغة : إذا ${\textstyle x\in X}$ ثم ${\textstyle p_{K}(x)=0}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,\infty )x\subseteq (0,1)K}$ إذا وفقط إذا وُجدت متتالية متباعدة من الأعداد الحقيقية الموجبة ${\textstyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty }$ بحيث ${\textstyle t_{n}x\in K}$ للجميع ${\textstyle n.}$ علاوة على ذلك، فإن المجموعة الصفرية لـ ${\textstyle p_{K}}$ يكون ${\textstyle \ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K.}$
مقارنة بثابت : إذا ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ثم لأي ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)<r}$ ${\textstyle p_{K}(x)<r}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle x\in (0,r)K;}$ ${\textstyle x\in (0,r)K;}$ ويمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: إذا ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ثم ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$
- ويترتب على ذلك أنه إذا ${\textstyle 0\leq R<\infty }$ هل هذا حقيقي إذن؟ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K,}$ حيث تشير المجموعة الموجودة على الجانب الأيمن ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]}$ وليس مجموعتها الفرعية ${\textstyle \left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.}$ لو ${\textstyle R>0}$ إذن، تكون هذه المجموعات متساوية إذا وفقط إذا ${\textstyle K}$ يتضمن ${\textstyle \left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.}$
- على وجه الخصوص، إذا ${\textstyle x\in RK}$ أو ${\textstyle x\in (0,R]K}$ ثم ${\textstyle p_{K}(x)\leq R,}$ لكن الأهم من ذلك، أن العكس ليس صحيحاً بالضرورة.
مقارنة المقاييس : لأي مجموعة فرعية ${\textstyle L\subseteq X,}$ ${\textstyle L\subseteq X,}$ ${\textstyle p_{K}\leq p_{L}}$ ${\textstyle p_{K}\leq p_{L}}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ ${\textstyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ هكذا ${\textstyle p_{L}=p_{K}}$ ${\textstyle p_{L}=p_{K}}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K.}$ ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K.}$
- المهمة ${\textstyle L\mapsto p_{L}}$ هو عكس الترتيب بمعنى أنه إذا ${\textstyle K\subseteq L}$ ثم ${\textstyle p_{L}\leq p_{K}.}$ ^{[ 8 ]}
- لأن المجموعة ${\textstyle L:=(0,1)K}$ يرضي ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K,}$ ويترتب على ذلك استبدال ${\textstyle K}$ مع ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K}$ لن يُغير ذلك دالة مينكوفسكي الناتجة. وينطبق الأمر نفسه على ${\textstyle L:=(0,1]K}$ و من ${\textstyle L:=p_{K}^{-1}([0,1]).}$
- لو ${\textstyle D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ or }}p_{K}(y)=0\right\}}$ ثم ${\textstyle p_{D}=p_{K}}$ و ${\textstyle D}$ يتمتع بخاصية مميزة للغاية وهي أنه إذا ${\textstyle r>0}$ هل هذا حقيقي إذن؟ ${\textstyle x\in rD}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ أو ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$ ^{[ ملاحظة 1 ]} علاوة على ذلك، إذا ${\textstyle r>0}$ هل هذا حقيقي إذن؟ ${\textstyle p_{D}(x)\leq r}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle x\in (0,r]D.}$
متباينة شبه الجمعية / متباينة المثلث : ${\textstyle p_{K}}$ تكون شبه جمعية إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,1)K}$ محدب. إذا ${\textstyle K}$ إذا كان محدبًا، فكلاهما محدبان. ${\textstyle (0,1)K}$ و ${\textstyle (0,1]K}$ وعلاوة على ذلك، ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه إضافي.
توسيع نطاق المجموعة : إذا ${\textstyle s\neq 0}$ إذا كان كمية قياسية ${\textstyle p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)}$ للجميع ${\textstyle y\in X.}$ وبالتالي إذا ${\textstyle 0<r<\infty }$ هل هذا حقيقي إذن؟ ${\textstyle p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y).}$
متناظر : ${\textstyle p_{K}}$ متناظر (بمعنى أن ${\textstyle p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ للجميع ${\textstyle y\in X}$ ) إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,1)K}$ هي مجموعة متناظرة (بمعنى أن ${\textstyle (0,1)K=-(0,1)K}$ ، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{K}=p_{-K}.}$
التجانس المطلق : ${\textstyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ وجميع الكميات القياسية ذات الطول الواحد ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ ^{[ ملاحظة 2 ]} إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ لجميع الكميات القياسية ذات الطول الواحد ${\textstyle u,}$ ${\textstyle u,}$ وفي هذه الحالة ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ وجميع القيم العددية غير الصفرية ${\textstyle s\neq 0.}$ ${\textstyle s\neq 0.}$ بالإضافة إلى ذلك ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ إذا كانت القيمة حقيقية أيضًا، فإن هذا ينطبق على جميع القيم العددية. ${\textstyle s}$ ${\textstyle s}$ (إنه، ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ متجانس تمامًا ^{[ ملاحظة 3 ]} ).
- ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ لجميع أطوال الوحدة ${\textstyle u}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,1)uK=(0,1)K}$ لجميع أطوال الوحدة ${\textstyle u.}$
- ${\textstyle sK\subseteq K}$ لجميع الكميات القياسية للوحدة ${\textstyle s}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle sK=K}$ لجميع الكميات القياسية للوحدة ${\textstyle s;}$ إذا كان هذا هو الحال، ${\textstyle (0,1)K=(0,1)sK}$ لجميع الكميات القياسية للوحدة ${\textstyle s.}$
- الدالة الوظيفية لمينكوفسكي لأي مجموعة متوازنة هي دالة متوازنة . ^{[ 8 ]}
الامتصاص : إذا ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ هل هو محدب أم متوازن، وإذا ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ ثم ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ يستوعب ${\textstyle X.}$ ${\textstyle X.}$
- إذا كانت مجموعة ${\textstyle A}$ يستوعب ${\textstyle X}$ و ${\textstyle A\subseteq K}$ ثم ${\textstyle K}$ يستوعب ${\textstyle X.}$
- لو ${\textstyle K}$ محدب و ${\textstyle 0\in K}$ ثم ${\textstyle [0,1]K=K,}$ وفي هذه الحالة ${\textstyle (0,1)K\subseteq K.}$
التقييد على فضاء جزئي متجهي : إذا ${\textstyle S}$ هو فضاء متجهي جزئي من ${\textstyle X}$ وإذا ${\textstyle p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]}$ يرمز إلى دالة مينكوفسكي لـ ${\textstyle K\cap S}$ على ${\textstyle S,}$ ثم ${\textstyle p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S},}$ أين ${\textstyle p_{K}{\big \vert }_{S}}$ يشير إلى تقييد ${\textstyle p_{K}}$ ل ${\textstyle S.}$

دليل

إن إثبات هذه الخصائص الأساسية عبارة عن تمارين مباشرة، لذلك يتم تقديم إثباتات أهم العبارات فقط.

برهان أن المجموعة الجزئية المحدبة ${\textstyle A\subseteq X}$ ذلك يرضي ${\textstyle (0,\infty )A=X}$ يستلزم بالضرورة استيعاب ${\textstyle X}$ الأمر بسيط ويمكن إيجاده في المقالة المتعلقة بالمجموعات الممتصة .

لأي شخص حقيقي ${\textstyle t>0,}$

$\{r>0:tx\in rK\}=\{t(r/t):x\in (r/t)K\}=t\{s>0:x\in sK\}$

بحيث أن أخذ الحد الأدنى لكلا الطرفين يُظهر أن

$p_{K}(tx)=\inf\{r>0:tx\in rK\}=t\inf\{s>0:x\in sK\}=tp_{K}(x).$

يثبت هذا أن دوال مينكوفسكي متجانسة موجبة تمامًا. ${\textstyle 0\cdot p_{K}(x)}$ لكي يكون التعريف دقيقاً، فمن الضروري والكافي أن ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty$ هكذا ${\textstyle p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة ${\textstyle t\geq 0}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{K}}$ له قيمة حقيقية.

تسمح لنا فرضية العبارة (7) بالاستنتاج بأن ${\textstyle p_{K}(sx)=p_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وجميع الكميات القياسية ${\textstyle s}$ مُرضٍ ${\textstyle |s|=1.}$ كل مقياس ${\textstyle s}$ وهو على شكل ${\textstyle re^{it}}$ لبعض الأشياء الحقيقية ${\textstyle t}$ أين ${\textstyle r:=|s|\geq 0}$ و ${\textstyle e^{it}}$ يكون حقيقياً إذا وفقط إذا ${\textstyle s}$ إنها حقيقية. النتائج الواردة في البيان المتعلق بالتجانس المطلق تتبع مباشرة من الاستنتاج المذكور آنفًا، من التجانس الإيجابي الصارم لـ ${\textstyle p_{K},}$ ومن التجانس الإيجابي لـ ${\textstyle p_{K}}$ متى ${\textstyle p_{K}}$ له قيمة حقيقية. ${\textstyle \blacksquare }$

أمثلة

لو ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ هي مجموعة غير فارغة من المجموعات الجزئية من ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ ثم ${\textstyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\textstyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ للجميع ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle x\in X,}$ أين ${\textstyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.}$ ${\textstyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.}$
- هكذا ${\textstyle p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}}$ للجميع ${\textstyle x\in X.}$
لو ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ هي مجموعة غير فارغة من المجموعات الجزئية من ${\textstyle X}$ و ${\textstyle I\subseteq X}$ يرضي

$\left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}$ ثم ${\textstyle p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ للجميع ${\textstyle x\in X.}$

تُظهر الأمثلة التالية أن الاحتواء ${\textstyle (0,R]K\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ قد يكون ذلك مناسباً.

مثال : إذا ${\textstyle R=0}$ و ${\textstyle K=X}$ ثم ${\textstyle (0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing }$ لكن ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}X=X,}$ مما يدل على أنه من الممكن لـ ${\textstyle (0,R]K}$ أن تكون مجموعة فرعية مناسبة من ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ متى ${\textstyle R=0.}$ ${\textstyle \blacksquare }$

يوضح المثال التالي أن الاحتواء يمكن أن يكون مناسبًا عندما ${\textstyle R=1;}$ يمكن تعميم المثال على أي شيء حقيقي ${\textstyle R>0.}$ بافتراض أن ${\textstyle [0,1]K\subseteq K,}$ المثال التالي يوضح كيف يحدث ذلك ${\textstyle x\in X}$ يرضي ${\textstyle p_{K}(x)=1}$ لكن ${\textstyle x\not \in (0,1]K.}$

مثال : ليكن ${\textstyle x\in X}$ ليكن غير صفري وليكن ${\textstyle K=[0,1)x}$ لهذا السبب. ${\textstyle [0,1]K=K}$ و ${\textstyle x\not \in K.}$ من ${\textstyle x\not \in (0,1)K=K}$ ويترتب على ذلك أن ${\textstyle p_{K}(x)\geq 1.}$ الذي - التي ${\textstyle p_{K}(x)\leq 1}$ ويستنتج ذلك من ملاحظة أنه لكل ${\textstyle e>0,}$ ${\textstyle (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ والذي يحتوي ${\textstyle x.}$ هكذا ${\textstyle p_{K}(x)=1}$ و ${\textstyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,1+e)K.}$ لكن، ${\textstyle (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ لهذا السبب. ${\textstyle x\not \in (0,1]K,}$ حسب الرغبة. ${\textstyle \blacksquare }$

تتميز دوال مينكوفسكي بالتجانس الإيجابي.

تُظهر النظرية التالية أن دوال مينكوفسكي هي تلك الدوال تحديدًا. ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ التي لها خاصية جبرية بحتة معينة شائعة الحدوث.

نظرية — ليكن ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ لتكن أي دالة. العبارات التالية متكافئة:

التجانس الإيجابي الصارم : ${\textstyle \;f(tx)=tf(x)}$ ${\textstyle \;f(tx)=tf(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ وكل شيء إيجابي حقيقي ${\textstyle t>0.}$ ${\textstyle t>0.}$
- هذا البيان يعادل ما يلي: ${\textstyle f(tx)\leq tf(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وكل شيء إيجابي حقيقي ${\textstyle t>0.}$
${\textstyle f}$ هي دالة مينكوفسكي: مما يعني وجود مجموعة جزئية ${\textstyle S\subseteq X}$ بحيث ${\textstyle f=p_{S}.}$
${\textstyle f=p_{K}}$ أين ${\textstyle K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$
${\textstyle f=p_{V}\,}$ أين ${\textstyle V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}.}$

علاوة على ذلك، إذا ${\textstyle f}$ لا يكتسب القيمة أبدًا ${\textstyle \,\infty \,}$ (بحيث يكون المنتج ${\textstyle 0\cdot f(x)}$ إذا كانت محددة جيدًا دائمًا، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

التجانس الإيجابي /: ${\textstyle f(tx)=tf(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة ${\textstyle t\geq 0}$ .

دليل

لو ${\textstyle f(tx)\leq tf(x)}$ ينطبق على الجميع ${\textstyle x\in X}$ وحقيقي ${\textstyle t>0}$ ثم ${\textstyle tf(x)=tf\left({\tfrac {1}{t}}(tx)\right)\leq t{\tfrac {1}{t}}f(tx)=f(tx)\leq tf(x)}$ لهذا السبب. ${\textstyle tf(x)=f(tx).}$

سيتم إثبات (1) فقط، مما يستلزم (3)، لأنه بعد ذلك، تتبع بقية النظرية مباشرةً من الخصائص الأساسية لدوال مينكوفسكي الموصوفة سابقًا؛ وهي خصائص سيتم استخدامها من الآن فصاعدًا دون تعليق. لذا افترض أن ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ هي دالة بحيث ${\textstyle f(tx)=tf(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وكلها حقيقية ${\textstyle t>0}$ ودع ${\textstyle K:=\{y\in X:f(y)\leq 1\}.}$

لكل حقيقي ${\textstyle t>0,}$ ${\textstyle f(0)=f(t0)=tf(0)}$ لذلك عن طريق أخذ ${\textstyle t=2}$ على سبيل المثال، يترتب على ذلك إما ${\textstyle f(0)=0}$ أو ${\textstyle f(0)=\infty .}$ يترك ${\textstyle x\in X.}$ يبقى أن نثبت ذلك ${\textstyle f(x)=p_{K}(x).}$

سيتبين الآن أنه إذا ${\textstyle f(x)=0}$ أو ${\textstyle f(x)=\infty }$ ثم ${\textstyle f(x)=p_{K}(x),}$ وبالتالي، سيترتب على ذلك على وجه الخصوص ما يلي: ${\textstyle f(0)=p_{K}(0).}$ لنفترض أن ${\textstyle f(x)=0}$ أو ${\textstyle f(x)=\infty$ الحالتين ${\textstyle f(tx)=tf(x)=f(x)}$ لكل حقيقي ${\textstyle t>0.}$ الآن إذا ${\textstyle f(x)=0}$ وهذا يعني أن ${\textstyle tx\in K}$ لكل حقيقي ${\textstyle t>0}$ (منذ ${\textstyle f(tx)=0\leq 1}$ مما يعني أن ${\textstyle p_{K}(x)=0,}$ كما هو مرغوب فيه. وبالمثل، إذا ${\textstyle f(x)=\infty }$ ثم ${\textstyle tx\not \in K}$ لكل حقيقي ${\textstyle t>0,}$ مما يعني أن ${\textstyle p_{K}(x)=\infty ,}$ كما هو مطلوب. وبالتالي، سيُفترض من الآن فصاعدًا أن ${\textstyle R:=f(x)}$ عدد حقيقي موجب، وذلك ${\textstyle x\neq 0}$ (والأهم من ذلك، احتمال أن ${\textstyle p_{K}(x)}$ يكون ${\textstyle 0}$ أو ${\textstyle \,\infty \,}$ لم يتم استبعاد ذلك بعد).

تذكر أن هذا يشبه ${\textstyle f,}$ الوظيفة ${\textstyle p_{K}}$ يرضي ${\textstyle p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ لكل حقيقي ${\textstyle t>0.}$ منذ ${\textstyle 0<{\tfrac {1}{R}}<\infty ,}$ ${\textstyle p_{K}(x)=R=f(x)}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1=f\left({\tfrac {1}{R}}x\right)}$ لذا افترض دون فقدان للعمومية أن ${\textstyle R=1}$ ويبقى أن نثبت ذلك ${\textstyle p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1.}$ منذ ${\textstyle f(x)=1,}$ ${\textstyle x\in K\subseteq (0,1]K,}$ مما يعني أن ${\textstyle p_{K}(x)\leq 1}$ (وبالتحديد، ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty }$ (مضمون). يبقى إثبات ذلك. ${\textstyle p_{K}(x)\geq 1,}$ يحدث الاستدعاء إذا وفقط إذا ${\textstyle x\not \in (0,1)K.}$ لذا افترض على سبيل التناقض أن ${\textstyle x\in (0,1)K}$ ودع ${\textstyle 0<r<1}$ و ${\textstyle k\in K}$ أن يكون على هذا النحو ${\textstyle x=rk,}$ حيث تجدر الإشارة إلى أن ${\textstyle k\in K}$ يشير ذلك إلى أن ${\textstyle f(k)\leq 1.}$ ثم ${\textstyle 1=f(x)=f(rk)=rf(k)\leq r<1.}$ ${\textstyle \blacksquare }$

يمكن توسيع هذه النظرية لتوصيف فئات معينة من ${\textstyle [-\infty ,\infty ]}$ الدوال ذات القيم الحقيقية (على سبيل المثال، الدوال شبه الخطية ذات القيم الحقيقية ) بدلالة دوال مينكوفسكي. على سبيل المثال، يمكن استخدامها لوصف كيفية عمل كل دالة متجانسة حقيقية ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ (مثل الدوال الخطية) يمكن كتابتها بدلالة دالة مينكوفسكي فريدة لها خاصية معينة.

توصيف دوال مينكوفسكي على مجموعات النجوم

الفرضية ^{[ 9 ]} — ليكن ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ أي دالة و ${\textstyle K\subseteq X}$ لتكن أي مجموعة جزئية. العبارات التالية متكافئة:

${\textstyle f}$ متجانس إيجابي (بشكل صارم)، ${\textstyle f(0)=0,}$ و
$\{x\in X:f(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:f(x)\leq 1\}.$
${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ دالة مينكوفسكي لـ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ (إنه، ${\textstyle f=p_{K}}$ ${\textstyle f=p_{K}}$ ) ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ يحتوي على الأصل، و ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ يكون شكله نجمي عند نقطة الأصل.
- المجموعة ${\textstyle K}$ يكون شكل النجمة عند نقطة الأصل إذا وفقط إذا ${\textstyle tk\in K}$ حينما ${\textstyle k\in K}$ و ${\textstyle 0\leq t\leq 1.}$ تُسمى المجموعة التي تتخذ شكل نجمة عند نقطة الأصل أحيانًا بالمجموعة النجمية . ^{[ 10 ]}

توصيف دوال مينكوفسكي التي هي شبه معايير

في هذه النظرية التالية، التي تترتب مباشرة على البيانات المذكورة أعلاه، ${\textstyle K}$ لا يُفترض أن يكون الامتصاص في ${\textstyle X}$ وبدلاً من ذلك، يُستنتج أن ${\textstyle (0,1)K}$ يكون الأمر ممتعاً عندما ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه معيار. كما أنه لا يُفترض أن ${\textstyle K}$ متوازن ( وهي خاصية ${\textstyle K}$ غالباً ما يكون مطلوباً أن يكون موجوداً)؛ وبدلاً منه يوجد الشرط الأضعف الذي ${\textstyle (0,1)sK\subseteq (0,1)K}$ لجميع الكميات القياسية ${\textstyle s}$ مُرضٍ ${\textstyle |s|=1.}$ الشرط الشائع هو ${\textstyle K}$ كما تم تخفيف شرط أن يكون محدبًا ليقتصر فقط على اشتراط أن ${\textstyle (0,1)K}$ يكون محدبًا.

نظرية — ليكن ${\textstyle K}$ ليكن مجموعة جزئية من فضاء متجهي حقيقي أو مركب ${\textstyle X.}$ ثم ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه معيار في ${\textstyle X}$ إذا وفقط إذا تحققت جميع الشروط التالية:

${\textstyle (0,\infty )K=X}$ (أو ما يعادل ذلك، ${\textstyle p_{K}}$ (ذات قيمة حقيقية).
${\textstyle (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)K}$ محدب (أو ما يعادله، ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ ( تحت الجمع ).
- يكفي (ولكن ليس ضرورياً) لـ ${\textstyle K}$ أن يكون محدبًا.
${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ لجميع الكميات القياسية للوحدة ${\textstyle u.}$ ${\textstyle u.}$
- يتحقق هذا الشرط إذا ${\textstyle K}$ متوازن أو بشكل عام إذا ${\textstyle uK\subseteq K}$ لجميع الكميات القياسية للوحدة ${\textstyle u.}$

وفي هذه الحالة ${\textstyle 0\in K}$ وكلاهما ${\textstyle (0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}}$ و ${\textstyle \bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}}$ ستكون مجموعات فرعية محدبة ومتوازنة وممتصة من ${\textstyle X.}$

على العكس من ذلك، إذا ${\textstyle f}$ هو شبه معيار في ${\textstyle X}$ ثم المجموعة ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ يستوفي الشروط الثلاثة المذكورة أعلاه (وبالتالي النتائج أيضاً) و ${\textstyle f=p_{V};}$ علاوة على ذلك، ${\textstyle V}$ هو بالضرورة محدب، ومتوازن، وجاذب، ومُرضٍ. ${\textstyle (0,1)V=V=[0,1]V.}$

النتيجة — إذا ${\textstyle K}$ هي مجموعة فرعية محدبة ومتوازنة وممتصة من فضاء متجهي حقيقي أو مركب ${\textstyle X,}$ ثم ${\textstyle p_{K}}$ هو شبه معيار في ${\textstyle X.}$

الدوال شبه الخطية الموجبة ودوال مينكوفسكي

يمكن إثبات أن الدالة الفرعية الجمعية ذات القيم الحقيقية ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ على فضاء متجهي طوبولوجي عشوائي ${\textstyle X}$ تكون الدالة متصلة عند نقطة الأصل إذا وفقط إذا كانت متصلة بانتظام، حيث إذا كان بالإضافة إلى ذلك ${\textstyle f}$ إذا كانت غير سالبة، ${\textstyle f}$ تكون متصلة إذا وفقط إذا ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ حي مفتوح في ${\textstyle X.}$ ^{[ 11 ]} إذا ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ هي شبه جمعية وتفي بالغرض ${\textstyle f(0)=0,}$ ثم ${\textstyle f}$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت قيمتها المطلقة ${\textstyle |f|:X\to [0,\infty )}$ متصل.

الدالة شبه الخطية غير السالبة هي دالة متجانسة غير سالبة ${\textstyle f:X\to [0,\infty )}$ والتي تحقق متباينة المثلث. ويترتب على ذلك مباشرة من النتائج أدناه أنه بالنسبة لمثل هذه الدالة ${\textstyle f,}$ لو ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ثم ${\textstyle f=p_{V}.}$ منح ${\textstyle K\subseteq X,}$ وظيفة مينكوفسكي ${\textstyle p_{K}}$ تكون الدالة شبه خطية إذا وفقط إذا كانت ذات قيم حقيقية وشبه جمعية، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ و ${\textstyle (0,1)K}$ محدب.

التوافق بين المجموعات المحدبة المفتوحة والدوال الخطية الفرعية الموجبة المستمرة

النظرية ^{[ 11 ]} — لنفترض أن ${\textstyle X}$ هو فضاء متجهي طوبولوجي (ليس بالضرورة محدبًا محليًا أو هاوسدورف) على الأعداد الحقيقية أو المركبة. عندئذٍ، تكون المجموعات الفرعية المفتوحة المحدبة غير الفارغة من ${\textstyle X}$ هي تحديداً تلك المجموعات التي تكون على شكل ${\textstyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$ بالنسبة للبعض ${\textstyle z\in X}$ ودالة فرعية خطية متصلة موجبة ${\textstyle p}$ على ${\textstyle X.}$

دليل

يترك ${\textstyle V\neq \varnothing }$ لتكن مجموعة جزئية مفتوحة ومحدبة من ${\textstyle X.}$ لو ${\textstyle 0\in V}$ ثم دع ${\textstyle z:=0}$ وإلا فليكن ${\textstyle z\in V}$ ليكن عشوائياً. ${\textstyle p=p_{K}:X\to [0,\infty )}$ كن دالة مينكوفسكي لـ ${\textstyle K:=V-z}$ حيث تحقق هذه الجوار المفتوح المحدب للأصل ما يلي: ${\textstyle (0,1)K=K.}$ ثم ${\textstyle p}$ هي دالة شبه خطية متصلة على ${\textstyle X}$ منذ ${\textstyle V-z}$ محدب، ماص، ومفتوح (مع ذلك، ${\textstyle p}$ ليس بالضرورة شبه معيار لأنه ليس بالضرورة متجانسًا تمامًا). من خصائص دوال مينكوفسكي، لدينا ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K,}$ ومن ثم يترتب على ذلك أن ${\textstyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\}}$ وهكذا ${\textstyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\}.}$ منذ ${\textstyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\},}$ وبهذا يكتمل البرهان. ${\textstyle \blacksquare }$

انظر أيضاً

المعيار غير المتماثل – تعميم لمفهوم المعيار
مساحة معيارية مساعدة
معادلة كوشي الوظيفية – معادلة وظيفية
أفضل طوبولوجيا محدبة محليًا – فضاء ذو طوبولوجيا مُولَّدة بواسطة مجموعات محدبة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه.
مشعب فينسلر – تعميم لمشعبات ريمان
نظرية هادويغر – نظرية في الهندسة التكاملية
هوغو هادويغر – عالم رياضيات سويسري (1908–1981)
الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا – فضاء ذو طوبولوجيا مولدة بواسطة مجموعات محدبة
معالجة الصور المورفولوجية - النظرية والتقنية للتعامل مع الهياكل الهندسية. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه.
المعيار (في الرياضيات) - الطول في فضاء متجهي
شبه المعيار - دالة رياضية
الفضاء المتجهي الطوبولوجي – الفضاء المتجهي مع مفهوم التقارب

ملحوظات

↑ من الخطأ عموماً أن ${\textstyle x\in rD}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ (على سبيل المثال، فكر في متى ${\textstyle p_{K}}$ (هو معيار أو شبه معيار). العبارة الصحيحة هي: إذا ${\textstyle 0<r<\infty }$ ثم ${\textstyle x\in rD}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ أو ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$
↑ ${\textstyle u}$ يعني امتلاك وحدة طول أن ${\textstyle |u|=1.}$
↑ الخريطة ${\textstyle p_{K}}$ يُطلق عليه اسم متجانس تمامًا إذا ${\textstyle |s|p_{K}(x)}$ محدد جيدًا و ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وجميع الكميات القياسية ${\textstyle s}$ (ليس فقط القيم العددية غير الصفرية).

مراجع

↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 109.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 119.
1 2 جارشو 1981 ، ص 104-108.
1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 115-154.
1 2 شيفر 1999 ، ص. 40.
1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 119-120.
↑ كوبروسلي 2011 ، ص 200.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 316.
^ شيشتر 1996 ، ص 313-317.
↑ شيشتر 1996 ، ص 303.
1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 192-193.

بربريان، ستيرلينغ ك. (1974). محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 15. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 96 ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
ديستل، جو (2008). النظرية المترية لحاصل الضرب الموتري: مراجعة ملخص غروتينديك . المجلد 16. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 9781470424831. OCLC 185095773 .
دينين، شون (1981). التحليل المركب في الفضاءات المحدبة محليًا . دراسات الرياضيات في شمال هولندا. المجلد 57. أمستردام، نيويورك: دار نشر شمال هولندا، دار نشر إلسيفير للعلوم. ISBN 978-0-08-087168-4. OCLC 16549589 .
دانفورد، نيلسون ؛ شوارتز، جاكوب ت. (1988). المؤثرات الخطية . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 1. نيويورك: وايلي-إنترساينس . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261 .
إدواردز، روبرت إي. (1995). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
هوغبي-نلاند، هنري (1977). البورنولوجيا والتحليل الوظيفي: دورة تمهيدية في نظرية طوبولوجيا الازدواجية - البورنولوجيا واستخدامها في التحليل الوظيفي . دراسات الرياضيات في شمال هولندا. المجلد 26. أمستردام، نيويورك: شمال هولندا. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064 . OCLC 316549583 .
هوغبي-نلاند، هنري ؛ موسكاتيلي، ف.ب. (1981). الفضاءات النووية والفضاءات النووية المشتركة: دورة تمهيدية في الفضاءات النووية والفضاءات النووية المشتركة في ضوء ثنائية "الطوبولوجيا-البورنولوجيا" . دراسات الرياضيات في شمال هولندا. المجلد 52. أمستردام، نيويورك: شمال هولندا. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345 .
حسين، تقدير؛ خليل الله، إس إم (1978). خاصية البرميلية في الفضاءات المتجهة الطوبولوجية والمرتبة . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد 692. برلين، نيويورك، هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665 .
كيلر، هانز (1974). حساب التفاضل والتكامل في الفضاءات المحدبة محليًا . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد 417. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-06962-1. OCLC 1103033 .
خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد 936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
كوبروسلي، كارلوس س. (2011). عناصر نظرية المؤثرات ( الطبعة الثانية). بوسطن: بيركهاوزر . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895 .
جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
كوته، جوتفريد (1979). فضاءات المتجهات الطوبولوجية II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 237. نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
بيتش، ألبريشت (1979). الفضاءات النووية المحدبة محليا . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. المجلد. 66 ( الطبعة الثانية). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541 .
روبرتسون، أليكس ب.؛ روبرتسون، ويندي ج. (1980). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات . المجلد 53. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
تومسون، أنتوني سي. (1996). هندسة مينكوفسكي . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-40472-X.
شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
شيفر، إتش إتش (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، بصمة سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
وونغ، ياو-تشوين (1979). فضاءات شوارتز، والفضاءات النووية، وحاصل الضرب الموتري . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد 726. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158 .

للمزيد من القراءة

ف. سيميسكي، أ.م.م. بويلنز، وم. إهمه. "نمذجة الامتزاز في مسام السيليكا باستخدام دوال مينكوفسكي وعزوم الكهروستاتيكية الجزيئية". مجلة Energies، المجلد 13 ، العدد 22، الصفحة 5976 (2020). doi : 10.3390/en13225976 .

[9] من الخطأ عموماً أن ${\textstyle x\in rD}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ (على سبيل المثال، فكر في متى ${\textstyle p_{K}}$ (هو معيار أو شبه معيار). العبارة الصحيحة هي: إذا ${\textstyle 0<r<\infty }$ ثم ${\textstyle x\in rD}$ إذا وفقط إذا ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ أو ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$

[10] ${\textstyle u}$ يعني امتلاك وحدة طول أن ${\textstyle |u|=1.}$

[11] الخريطة ${\textstyle p_{K}}$ يُطلق عليه اسم متجانس تمامًا إذا ${\textstyle |s|p_{K}(x)}$ محدد جيدًا و ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ للجميع ${\textstyle x\in X}$ وجميع الكميات القياسية ${\textstyle s}$ (ليس فقط القيم العددية غير الصفرية).

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011109-1] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 109.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011119-2] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 119.

[FOOTNOTEJarchow1981104–108-3] 1 2 جارشو 1981 ، ص 104-108.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011115–154-4] 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 115-154.

[FOOTNOTESchaefer199940-5] 1 2 شيفر 1999 ، ص. 40.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011119-120-6] 1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 119-120.

[FOOTNOTEKubrusly2011200-7] كوبروسلي 2011 ، ص 200.

[FOOTNOTESchechter1996316-8] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 316.

[FOOTNOTESchechter1996313–317-12] شيشتر 1996 ، ص 313-317.

[FOOTNOTESchechter1996303-13] شيشتر 1996 ، ص 303.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011192–193-14] 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 192-193.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗