دالة شبه خطية

في الجبر الخطي ، الدالة شبه الخطية (أو الدالة الوظيفية ، كما هو شائع في التحليل الوظيفي )، والتي تُسمى أيضًا شبه المعيار ، هي دالة حقيقية ذات قيم في فضاء متجهي ، وتتمتع ببعض خصائص شبه المعيار . على عكس شبه المعايير، لا يشترط أن تكون الدالة شبه الخطية ذات قيم غير سالبة في فضاء متجهي ، كما لا يشترط أن تكون متجانسة تمامًا . تُعد شبه المعايير تجريدًا لمفهوم المعايير الأكثر شيوعًا ، حيث تمتلك شبه المعيار جميع خصائص المعيار باستثناء أنها لا تُلزم بتحويل المتجهات غير الصفرية إلى قيم غير صفرية.

في التحليل الوظيفي، يُستخدم أحيانًا مصطلح " دالة باناخ" ، مما يعكس شيوع استخدامها عند تطبيق الصيغة العامة لنظرية هان-باناخ . وقد قدّم ستيفان باناخ مفهوم الدالة شبه الخطية عندما برهن على نظرية هان-باناخ . ^{[ 1 ]}

يوجد أيضًا مفهوم مختلف في علوم الحاسوب ، موصوف أدناه، يُعرف أيضًا باسم "الدالة شبه الخطية".

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي على حقل${\displaystyle \mathbb {K} ,}$أين${\displaystyle \mathbb {K} }$إما أن تكون أعدادًا حقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} .}$ وظيفة${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ يُطلق عليه اسمشبه خطي إذا كان له هاتان الخاصيتان: ^{[ 1 ]}

1. التجانس الإيجابي ، ^{[ 2 ]} أي${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$للجميع${\displaystyle r\geq 0}$و ${\displaystyle x\in X}$.
2. خاصية الجمع الجزئي ، ^{[ 2 ]} أي${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ل${\displaystyle x,y\in X.}$

وظيفة${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسمإيجابي ^{[ 3 ]} أوغير سالب إذا${\displaystyle p(x)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x\in X,}$على الرغم من أن بعض المؤلفين ^{[ 4 ]} يُعرّفونإيجابي بمعنى أن${\displaystyle p(x)\neq 0}$حينما${\displaystyle x\neq 0;}$هذه التعريفات ليست متكافئة. إنهدالة متناظرة إذا${\displaystyle p(-x)=p(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$ كل دالة متناظرة شبه جمعية تكون بالضرورة غير سالبة. ^{[ البرهان 1 ]} تكون الدالة شبه الخطية على فضاء متجهي حقيقي متناظرة إذا وفقط إذا كانت شبه معيار . وتكون الدالة شبه الخطية على فضاء متجهي حقيقي أو مركب شبه معيار إذا وفقط إذا كانت دالة متوازنة ، أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$لكل وحدة طول قياسية${\displaystyle u}$و${\displaystyle x\in X.}$

مجموعة جميع الدوال شبه الخطية على${\displaystyle X,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle X^{\#},}$يمكن ترتيبها جزئياً عن طريق الإعلان${\displaystyle p\leq q}$إذا وفقط إذا${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$ تُسمى الدالة شبه الخطية بالدالة الدنيا إذا كانت عنصرًا أدنى من${\displaystyle X^{\#}}$في هذا الترتيب، تكون الدالة شبه الخطية دنيا إذا وفقط إذا كانت دالة خطية حقيقية . ^{[ 1 ]}

كل معيار ، وشبه معيار ، ودالة خطية حقيقية هي دالة شبه خطية. دالة التطابق على${\displaystyle \mathbb {R} }$يُعد مثالاً على دالة شبه خطية (بل هي دالة خطية في الواقع) ليست موجبة ولا شبه معيارية؛ وينطبق الشيء نفسه على نفي هذه الدالة.${\displaystyle x\mapsto -x.}$^{[ 5 ]} بشكل عام، لأي حقيقي${\displaystyle a\leq b,}$الخريطة

${\displaystyle S_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}ax,&{\text{if }}x\leq 0,\\bx,&{\text{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

هي دالة شبه خطية على${\displaystyle \mathbb {R} }$وعلاوة على ذلك، كل دالة شبه خطية${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$يكون على هذا الشكل؛ تحديداً، إذا${\displaystyle a=-p(-1)}$و${\displaystyle b=p(1)}$ثم${\displaystyle a\leq b}$و${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

لو${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$هي دوال شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$إذن، كذلك هي الخريطة${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$وبشكل أعم، إذا${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هي أي مجموعة غير فارغة من الدوال شبه الخطية على فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$وإن كان ذلك للجميع${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle q(x)=\sup\{p(x)\,;\,p\in {\mathcal {P}}\},}$ثم${\displaystyle q}$دالة شبه خطية على${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

وظيفة${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$وهي دالة شبه جمعية ، ومحدبة ، وتحقق الشروط التالية:${\displaystyle p(0)\leq 0}$كما أنها متجانسة إيجابياً (الشرط الأخير)${\displaystyle p(0)\leq 0}$من الضروري أن يكون ذلك مثالاً على${\displaystyle p(x)={\sqrt {x^{2}+1}}}$على${\displaystyle X=\mathbb {R} }$(يعرض). إذا${\displaystyle p}$إذا كانت الدالة متجانسة إيجابياً، فإنها تكون محدبة إذا وفقط إذا كانت شبه جمعية. لذلك، بافتراض${\displaystyle p(0)\leq 0}$، أي خاصيتين من بين خاصية الجمع الجزئي، والتحدب، والتجانس الإيجابي تستلزم الخاصية الثالثة.

كل دالة شبه خطية هي دالة محدبة : لـ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

لو${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$هي دالة شبه خطية على فضاء متجهي${\displaystyle X}$ثم ^{[ الإثبات 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$ لكل${\displaystyle x\in X,}$مما يعني أن واحداً على الأقل من${\displaystyle p(x)}$و${\displaystyle p(-x)}$يجب أن تكون غير سالبة؛ أي لكل${\displaystyle x\in X,}$^{[ 3 ]}$${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$ علاوة على ذلك، عندما${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي، فإن الخريطة${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$هو شبه معيار. ^{[ 3 ]}

خاصية الجمع الفرعي لـ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$يضمن ذلك لجميع المتجهات${\displaystyle x,y\in X,}$^{[ 1 ] [ البرهان 3 ]}$${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$$${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$ إذا${\displaystyle p}$إذا كان المتجه متناظرًا أيضًا، فإن متباينة المثلث العكسية ستتحقق لجميع المتجهات.${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

تعريف${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$ثم تضمن خاصية الجمع الفرعي أيضًا أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle x\in X,}$قيمة${\displaystyle p}$في موقع التصوير${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$ثابت ويساوي${\displaystyle p(x).}$^{[ البرهان 4 ]} على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle -\ker p=\ker p}$والمهمة${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$والذي سيرمز إليه بـ${\displaystyle {\hat {p}},}$هي دالة شبه خطية حقيقية القيمة محددة جيدًا على فضاء القسمة${\displaystyle X\,/\,\ker p}$ذلك يرضي${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$لو${\displaystyle p}$هل هو شبه معيار؟${\displaystyle {\hat {p}}}$هو مجرد المعيار الكنسي المعتاد على فضاء القسمة${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

إضافة${\displaystyle bc}$لكلا جانبي الفرضية${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$(أين${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$) وبدمج ذلك مع الاستنتاج، نحصل على $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$ مما ينتج عنه العديد من أوجه عدم المساواة الأخرى، بما في ذلك، على سبيل المثال، $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$ حيث يكون التعبير على أحد جانبي متباينة صارمة${\displaystyle \,<\,}$يمكن الحصول عليها من الآخر عن طريق استبدال الرمز${\displaystyle c}$مع${\displaystyle \mathbf {z} }$(أو العكس) ونقل القوس المغلق إلى يمين (أو يسار) الحد المجاور (تبقى جميع الرموز الأخرى ثابتة دون تغيير).

The concept can be extended to operators that are homogeneous and subadditive. This requires only that the codomain be, say, an ordered vector space to make sense of the conditions.

In computer science, a function ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$ is called sublinear if ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$ or ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ in asymptotic notation (notice the small ${\displaystyle o}$). Formally, ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ if and only if, for any given ${\displaystyle c>0,}$ there exists an ${\displaystyle N}$ such that ${\displaystyle f(n)<cn}$ for ${\displaystyle n\geq N.}$^[8] That is, ${\displaystyle f}$ينمو بشكل أبطأ من أي دالة خطية. يجب عدم الخلط بين المعنيين: فبينما تكون دالة باناخ محدبة ، فإن العكس تقريبًا صحيح بالنسبة للدوال ذات النمو شبه الخطي: كل دالة${\displaystyle f(n)\in o(n)}$يمكن تحديد حد أعلى لها بواسطة دالة مقعرة ذات نمو شبه خطي. ^{[ 9 ]}

• المعيار غير المتماثل – تعميم لمفهوم المعيار 
• مساحة معيارية مساعدة
• نظرية هان-باناخ – نظرية حول تمديد الدوال الخطية المحدودة. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• الدالة الخطية – تحويل خطي من فضاء متجهي إلى حقل القيم العددية الخاص به. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• وظيفة مينكوفسكي - وظيفة مصنوعة من مجموعة 
• المعيار (في الرياضيات) - الطول في فضاء متجهي 
• شبه المعيار - دالة رياضية 
• خاصية الجمع الفائق – خاصية من خصائص الدالة 

البراهين

• كوبروسلي، كارلوس س. (2011). عناصر نظرية المؤثرات (  الطبعة الثانية). بوسطن: بيركهاوزر . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .