البنية الداخلية (الطوبولوجيا)

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا ، يُعرَّف باطن مجموعة جزئية S من فضاء طوبولوجي X بأنه اتحاد جميع المجموعات الجزئية المفتوحة من S في X. وتُسمى النقطة التي تقع في باطن S نقطة داخلية لـ S. كما أن باطن S هو مكمل إغلاق مكمل S. وبهذا المعنى ، يُعتبر كل من الباطن والإغلاق مفهومين متلازمين .

الجزء الخارجي لمجموعة S هو مكمل إغلاق S ؛ ويتكون من النقاط التي لا تنتمي إلى المجموعة ولا إلى حدودها . يقسم الجزء الداخلي والحدودي والخارجي لمجموعة جزئية الفضاء بأكمله إلى ثلاثة أقسام (أو أقل إذا كان واحد أو أكثر منها فارغًا ).

• في أي فضاء، يكون الجزء الداخلي من المجموعة الفارغة هو المجموعة الفارغة نفسها.
• في أي مكان${\displaystyle X,}$لو${\displaystyle S\subseteq X,}$ثم${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• لو${\displaystyle X}$هذا هو الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$(مع الطوبولوجيا القياسية)، ثم${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$بينما الجزء الداخلي من المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} }$قائمة الأعداد النسبية فارغة:${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• لو${\displaystyle X}$المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ثم${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C}$ {z ∈ C :|z|<1} = {z ∈ C  :|z|<1}.}
• في أي فضاء إقليدي ، يكون الجزء الداخلي لأي مجموعة منتهية هو المجموعة الفارغة.

على مجموعة الأعداد الحقيقية ، يمكن وضع طوبولوجيات أخرى بدلاً من الطوبولوجيا القياسية:

• لو${\displaystyle X}$هي الأرقام الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$مع الحد الأدنى للطوبولوجيا ، إذن${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• إذا أخذ المرء في الاعتبار${\displaystyle \mathbb {R} }$الطوبولوجيا التي تكون فيها كل مجموعة مفتوحة ، إذن${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• إذا أخذ المرء في الاعتبار${\displaystyle \mathbb {R} }$الطوبولوجيا التي تكون فيها المجموعات المفتوحة الوحيدة هي المجموعة الفارغة و${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم نفسها${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$هي المجموعة الفارغة.

تُظهر هذه الأمثلة أن بنية المجموعة الداخلية تعتمد على طوبولوجيا الفضاء الأساسي. المثالان الأخيران هما حالتان خاصتان مما يلي.

• في أي فضاء منفصل ، بما أن كل مجموعة مفتوحة، فإن كل مجموعة تساوي داخلها.
• في أي فضاء غير منفصل${\displaystyle X,}$بما أن المجموعات المفتوحة الوحيدة هي المجموعة الفارغة و${\displaystyle X}$نفسها،${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ولكل مجموعة جزئية فعلية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$هي المجموعة الفارغة.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا وليكن${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$لتكن مجموعات جزئية من${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$مفتوح في​${\displaystyle X.}$
• لو${\displaystyle T}$مفتوح في${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle T\subseteq S}$إذا وفقط إذا${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle S}$متى${\displaystyle S}$يتم إعطاء طوبولوجيا الفضاء الجزئي .
• ${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• كثيف :${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• التكرار :${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• يحافظ على / يوزع على التقاطع الثنائي :${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • ومع ذلك، فإن المشغل الداخلي لا يوزع على النقابات لأن فقط${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$مضمونة بشكل عام، وقد لا تتحقق المساواة. ^{[ ملاحظة 1 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$و${\displaystyle T=(0,\infty )}$ثم${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$هي مجموعة جزئية مناسبة من${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• رتيب / غير متناقص بالنسبة إلى${\displaystyle \subseteq }$: لو${\displaystyle S\subseteq T}$ثم${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

وتشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

• لو${\displaystyle S}$مغلق في${\displaystyle X}$و${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$ثم${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

علاقة تنتهي بنهاية

ستظل العبارات المذكورة أعلاه صحيحة إذا كانت جميع حالات الرموز/الكلمات

"داخلي"، "داخلي"، "مفتوح"، "مجموعة فرعية"، و"الأكبر"

يتم استبدالها على التوالي بـ

" إغلاق "، "cl"، "مغلق"، "مجموعة شاملة"، و"أصغر"

ويتم تبديل الرموز التالية:

1. "${\displaystyle \subseteq }$"تم استبدالها بـ"${\displaystyle \supseteq }$"
2. "${\displaystyle \cup }$"تم استبدالها بـ"${\displaystyle \cap }$"

لمزيد من التفاصيل حول هذا الموضوع، انظر إلى عامل التشغيل الداخلي أدناه أو مقالة بديهيات إغلاق كوراتوفسكي .

المشغل الداخلي${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$وهي ثنائية لعامل الإغلاق ، والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$أو بخط فوقي ^- بمعنى أن $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$ وأيضًا $${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$ أين${\displaystyle X}$هو الفضاء الطوبولوجي الذي يحتوي${\displaystyle S,}$والخط المائل العكسي${\displaystyle \,\setminus \,}$يشير إلى الاختلاف في نظرية المجموعات . لذلك، يمكن ترجمة النظرية المجردة لمؤثرات الإغلاق وبديهيات إغلاق كوراتوفسكي بسهولة إلى لغة المؤثرات الداخلية، وذلك باستبدال المجموعات بمكملاتها في${\displaystyle X.}$

بشكل عام، لا يتبادل عامل التداخل الداخلي مع الاتحادات. ومع ذلك، في فضاء متري كامل، تتحقق النتيجة التالية:

تشير النتيجة أعلاه إلى أن كل فضاء متري كامل هو فضاء باير .

الجزء الخارجي من مجموعة فرعية${\displaystyle S}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$أو ببساطة${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$هي أكبر مجموعة مفتوحة منفصلة عن${\displaystyle S,}$أي أنها اتحاد جميع المجموعات المفتوحة في${\displaystyle X}$التي هي منفصلة عن${\displaystyle S.}$ الجزء الخارجي هو الجزء الداخلي للمكمل، وهو نفسه مكمل الإغلاق؛ ^{[ 2 ]} في الصيغ، $${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

وبالمثل، فإن الجزء الداخلي هو الجزء الخارجي للمكمل: $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

الداخل والحدود والخارج لمجموعة${\displaystyle S}$يقسمون المساحة بأكملها إلى ثلاثة أقسام (أو أقل عندما يكون واحد أو أكثر منها فارغًا): $${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$ أين${\displaystyle \partial S}$يشير إلى حدود${\displaystyle S.}$^{[ 3 ]} الداخل والخارجمفتوحان، بينما الحدودمغلقة.

تختلف بعض خصائص المشغل الخارجي عن خصائص المشغل الداخلي:

• يقوم المشغل الخارجي بعكس عمليات الإدماج؛ إذا${\displaystyle S\subseteq T,}$ثم${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• العامل الخارجي ليس متكرراً . ولكنه يمتلك الخاصية التالية:${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

شكلان${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تُسمى الأشكال الداخلية المنفصلة إذا كان تقاطع أجزائها الداخلية فارغًا. وقد تتقاطع الأشكال الداخلية المنفصلة عند حدودها أو لا تتقاطع.

• الداخل الجبري – تعميم للداخل الطوبولوجي 
• DE-9IM – النموذج الطوبولوجي 
• الجبر الداخلي – البنية الجبرية 
• نظرية منحنى جوردان – نظرية في علم الطوبولوجيا 
• الداخلية شبه النسبية – تعميم للداخلية الجبرية 
• الداخلية النسبية – تعميم للداخلية الطوبولوجية 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ديكسمير، جاك (1984). الطوبولوجيا العامة . نصوص جامعية في الرياضيات. ترجمة: بربريان، إس كيه. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• كزار، أكوس (1978). الطوبولوجيا العامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيويورك: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 . 
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
• شوبرت، هورست (1968). الطوبولوجيا . لندن: ماكدونالد وشركاه. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 . 
• ويلانسكي، ألبرت (17 أكتوبر 2008) [1970]. الطوبولوجيا للتحليل . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 . 

• التصميم الداخلي في بلانيت ماث .