الأساس الهولونومي

في الرياضيات والفيزياء الرياضية ، تُعرَّف قاعدة الإحداثيات أو القاعدة الهولونومية لمتشعب قابل للتفاضل M بأنها مجموعة من حقول متجهات الأساس { e1 _, ..., en _} المعرفة عند كل نقطة P في منطقة من المتشعب على النحو التالي :

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

حيث يمثل δ s متجه الإزاحة بين النقطة P ونقطة مجاورة Q التي تبعد إحداثياتها عن P مسافة δx ^α على طول منحنى الإحداثيات x ^α (أي المنحنى الموجود على المتشعب المار بالنقطة P والذي تتغير عنده الإحداثيات المحلية x ^α بينما تظل جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة). ^{[ 1 ]}

من الممكن الربط بين هذا الأساس ومؤثرات المشتقات الاتجاهية. بفرض وجود منحنى وسيطي ^C على المتشعب المعرف بـ xα ( λ ) مع متجه المماس u = uαeα _، حيث uα = ^⁠ dxα / dλ ^⁠ ، ودالة f ( xα ) معرفة في جوار C ، يمكن كتابة تغير f على طول C ^{على النحو} التالي ^:

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.}$

بما أن لدينا u = u ^α e _α ، فغالباً ما يتم الربط بين متجه أساس الإحداثيات e _α ومؤثر المشتقة الجزئية ⁠ ∂ / ∂ x ^α ⁠ ، وذلك بتفسير المتجهات على أنها مؤثرات تعمل على الدوال. ^{[ 2 ]}

الشرط المحلي لكي يكون الأساس { e ₁ , ..., e _n } هولونومي هو أن جميع مشتقات لي المتبادلة تختفي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.}$

يُطلق على الأساس الذي ليس هولونومي اسم أساس غير هولونومي، ^{[ 4 ]} أساس غير هولونومي أو أساس غير تنسيقي.

بالنظر إلى موتر متري g على مشعب M ، فإنه من غير الممكن عمومًا إيجاد أساس إحداثيات متعامد في أي منطقة مفتوحة U من M. ^{[ 5} ] الاستثناء الواضح هو عندما ^يكون M هو فضاء الإحداثيات الحقيقي R ⁿ الذي يعتبر مشعبًا حيث يكون g هو المقياس الإقليدي δ _ij e ⁱ ⊗ e ^j عند كل نقطة.

• حزمة جيت
• الشكلية الرباعية
• حساب ريتشي