مشعب CR

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 105 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تعد CR manifold ، أو Cauchy–Riemann manifold ، [ 1 ] عبارة عن manifold قابل للتفاضل مع بنية هندسية مصممة على غرار سطح فائق حقيقي في فضاء متجه معقد ، أو بشكل عام مصممة على حافة إسفين .

بصورة رسمية، فإن مشعب CR هو مشعب قابل للتفاضل M مع توزيع عقدي مفضل L ، أو بعبارة أخرى حزمة فرعية عقدية من حزمة المماس المعقدةجتيم=تيم⊗Rج{\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }بحيث

  • [ل،ل]⊆ل{\displaystyle [L,L]\subseteq L}( L قابلة للتكامل رسميًا )
  • ل∩ل¯={0}{\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}.

تُسمى الحزمة الفرعية L بنية CR على المتشعب M. وهي تُنتج مؤثرًا تفاضليًا قانونيًا يُسقط الدوال المعرفة محليًا على المقاطع المحلية للحزمة الثنائية.ل*{\displaystyle L^{*}}هذا هو∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}-عامل؛ يتم تعريفه بواسطة

∂ب¯و=دو↾ل¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}f=df\upharpoonright _{\overline {L}}}.

يرمز الاختصار CR إلى " كوشي-ريمان " أو "الأعداد المركبة الحقيقية". [ 1 ] [ 2 ] دالة CR، وهي تعميم للدالة التحليلية، هي حل لنظام المعادلات∂ب¯و=0{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}f=0}.

مقدمة ودوافع

يحاول مفهوم بنية CR وصف خاصية كونها سطحًا فائقًا (أو بعض التشعبات الحقيقية ذات البعد المشترك الأعلى ) في الفضاء المركب من خلال دراسة خصائص حقول المتجهات الهولومورفية التي تمس السطح الفائق.

لنفترض على سبيل المثال أن M هو السطح الفائق لـج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}معطى بالمعادلة

F(z،w):=|z|2+|w|2=1،{\displaystyle F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,}

حيث z و w هما الإحداثيات المركبة المعتادة علىج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}الحزمة المماسية الهولومورفية لـج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}يتكون من جميع التركيبات الخطية للمتجهات

∂∂z،∂∂w.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.}

يتكون التوزيع L على M من جميع تركيبات هذه المتجهات المماسية لـ M. يجب أن تُبطل المتجهات المماسية المعادلة المُعرِّفة لـ M ، لذا يتكون L من مضاعفات عددية مركبة لـ

w¯∂∂z-z¯∂∂w.{\displaystyle {\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}.}

على وجه الخصوص، يتكون L من حقول المتجهات الهولومورفية التي تُفني F. لاحظ أن L يُعطي بنية CR على M ، من أجل [ L , L ] = 0 (لأن L أحادي البعد) ول∩ل¯={0}{\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}بما أن ∂/∂ z و ∂/∂ w مستقلان خطيًا عن مرافقاتهما المركبة.

بشكل أعم، لنفترض أن M سطح فائق حقيقي فيجن،{\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}بتعريف المعادلة F ( z 1 , ..., z n ) = 0. عندئذٍ، يتكون هيكل CR L من تلك التراكيب الخطية للمتجهات الهولومورفية الأساسية علىجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}:

∂∂z1،...،∂∂zن{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}}

والتي تقضي على الوظيفة الأساسية. في هذه الحالة،ل∩ل¯={0}{\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}وللسبب نفسه كما في السابق. علاوة على ذلك، فإن [ L , L ] ⊂ L لأن مبدل حقول المتجهات الهولومورفية التي تُفني F هو أيضاً حقل متجهات هولومورفي يُفني F.

مشعبات CR المضمنة والمجردة

يوجد تباين واضح بين نظريات مشعبات CR المضمنة (السطح الفائق وحواف الأوتاد في الفضاء المركب) ومشعبات CR المجردة (تلك المعطاة بالتوزيع المركب L ). تتشابه العديد من السمات الهندسية الشكلية، ومنها:

  • مفهوم التحدب (المستمد من صيغة ليفي )
  • مؤثر تفاضلي معياري ، مماثل لمؤثر دولبو ، وتماثل مرتبط به ( مؤثر كوشي-ريمان المماسي أو∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}- معقد ).

تمتلك مشعبات CR المضمنة بعض البنية الإضافية، على الرغم من ذلك: مشكلة نيومان وديريشلي لمعادلات كوشي-ريمان.

تتناول هذه المقالة أولاً هندسة مشعبات CR المضمنة، وتوضح كيفية تعريف هذه الهياكل بشكل جوهري، ثم تعممها على الإطار المجرد.

مشعبات CR المدمجة

التصفيات

تُعدّ مشعبات CR المضمنة، في المقام الأول، مشعبات فرعية منجن.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}عرّف زوجًا من الحزم الفرعية للحزمة المماسية المعقدةج⊗تيجن{\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}بواسطة:

تي(1،0)جن=فترة⁡(∂∂z1،...،∂∂zن).{\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}
  • تي(0،1)جن{\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}يتكون من المتجهات المركبة التي تُفني الدوال التحليلية . في الإحداثيات:
تي(0،1)جن=فترة⁡(∂∂z¯1،...،∂∂z¯ن).{\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}

ومن الأمور ذات الصلة أيضاً خصائص المدمرات من مجمع دولبو :

  • Ω(1،0)جن=(تي(0،1)جن)⊥.{\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}بالإحداثيات،
Ω(1،0)جن=فترة⁡(دz1،...،دzن).{\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}
  • Ω(0،1)جن=(تي(1،0)جن)⊥.{\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}بالإحداثيات،
Ω(0،1)جن=فترة⁡(دz¯1،...،دz¯ن).{\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}

يُرمز إلى الضرب الخارجي لهذه العناصر بالرمز البديهي Ω ( p , q ) ، ويُرمز إلى عامل دولبو وخريطته المركبة المترافقة بين هذه الفضاءات عبر:

∂:Ω(ص،q)→Ω(ص+1،q){\displaystyle \partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}
∂¯:Ω(ص،q)→Ω(ص،q+1){\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}

علاوة على ذلك، يوجد تفكيك للمشتق الخارجي المعتاد عبرد=∂+∂¯{\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}.

الفضاءات الفرعية الحقيقية للفضاء المركب

يتركم⊂جن{\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}ليكن فضاءً جزئياً حقيقياً ، معرفاً محلياً على أنه موضع نظام من الدوال الملساء ذات القيم الحقيقية

F1=0،F2=0،...،Fك=0.{\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}

لنفترض أن الجزء الخطي المعقد من تفاضل هذا النظام له رتبة قصوى، بمعنى أن التفاضلات تحقق شرط الاستقلال التالي :

∂F1∧⋯∧∂Fك≠0.{\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}

لاحظ أن هذا الشرط أقوى بكثير من الشرط اللازم لتطبيق نظرية الدالة الضمنية : على وجه الخصوص، M عبارة عن متعدد شعب ذي بُعد حقيقي2ن-ك.{\displaystyle 2n-k.}نقول إن M عبارة عن فضاء فرعي CR مضمن عام ذو بُعد مشترك CR k . تشير الصفة "عام" إلى أن الفضاء المماسي تيم{\displaystyle TM}يمتد على الفضاء المماسي لـجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}على الأعداد المركبة . في معظم التطبيقات، k  =  1، وفي هذه الحالة يقال إن المتشعب من نوع السطح الفائق .

يتركل⊂تي(1،0)جن|م{\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}لتكن الحزمة الفرعية من المتجهات التي تلغي جميع الدوال المحددةF1،...،Fك.{\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}تجدر الإشارة إلى أنه، وفقًا للاعتبارات المعتادة للتوزيعات القابلة للتكامل على الأسطح الفائقة، فإن L دالة انعكاسية. علاوة على ذلك، فإن شرط الاستقلال يعني أن L عبارة عن حزمة ذات رتبة ثابتة n − k .  

ومن الآن فصاعدًا، افترض أن k  =  1 (بحيث يكون مشعب CR من نوع السطح الفائق)، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

نموذج ليفي

ليكن M متعدد شعب CR من نوع السطح الفائق بدالة تعريفية واحدة F = 0. يُعرف شكل ليفي لـ M ، نسبةً إلى يوجينيو إيليا ليفي ، [ 3 ] بالشكل الهرميتي 2.

ح=أنا∂∂¯F|ل∧ل¯.{\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}

يُحدد هذا مقياسًا على L. يُقال إن M محدبة زائفة تمامًا (من الجانب F<0 ) إذا كانت h موجبة تمامًا (أو محدبة زائفة في حالة كونها شبه موجبة). [ 4 ] تعتمد العديد من نتائج الوجود والوحدانية التحليلية في نظرية مشعبات CR على التحدب الزائف.

تأتي هذه التسمية من دراسة المجالات شبه المحدبة : M هي حدود مجال شبه محدب (بشكل صارم) فيجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}إذا وفقط إذا كانت (بشكل صارم) شبه محدبة كمتشعب CR من جانب المجال. (انظر الدوال التوافقية الفرعية المتعددة ومتشعب شتاين .)

هياكل CR المجردة

تتألف بنية CR المجردة على مشعب حقيقي M ذي بُعد حقيقي n من حزمة فرعية معقدة L من حزمة المماس المعقدة، وهي قابلة للتكامل شكليًا، بمعنى أن [ L , L ] ⊂ L ، ولها تقاطع صفري مع مرافقها المعقد. البُعد المشترك CR لبنية CR هوك=ن-2خافت⁡ل،{\displaystyle k=n-2\dim L,}حيث يمثل dim L البعد المركب. في حالة k = 1، يُقال إن بنية CR من نوع السطح الفائق . معظم أمثلة بنى CR المجردة هي من نوع السطح الفائق.   

شكل ليفي والتحدب الزائف

لنفترض أن M عبارة عن مشعب CR من نوع السطح الفائق. صيغة ليفي هي صيغة ثنائية ذات قيم متجهة، معرفة على L ، بقيم في حزمة الخط

V=تيم⊗جل⊕ل¯{\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}

مقدم من

ح(v،w)=12أنا[v،w¯]تعديلل⊕ل¯،v،w∈ل.{\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}

يُعرّف h شكلاً شبه خطي على L لأنه لا يعتمد على كيفية تمديد v و w إلى مقاطع من L ، وذلك بحسب شرط التكامل. يمتد هذا الشكل إلى شكل هيرميتي على الحزمةل⊕ل¯{\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}بنفس التعبير. ويُشار إلى الصيغة الموسعة أحيانًا باسم صيغة ليفي.

يمكن وصف صيغة ليفي، بدلاً من ذلك، من حيث الازدواجية. لنفترض الحزمة الفرعية الخطية للحزمة المماسية المعقدة التي تُفني V

ح0م=V*=(ل⊕ل¯)⊥⊂تي*م⊗ج.{\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}

لكل مقطع محلي α ∈ Γ( H 0 M )، ليكن

حα(v،w)=دα(v،w¯)=-α([v،w¯])،v،w∈ل⊕ل¯.{\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}

الشكل h α هو شكل هيرميتي ذو قيم مركبة مرتبط بـ α. الشكل 1α{\displaystyle \alpha }حقيقي؛ حزمة المستويات الفائقة المعقدةل⊕ل¯{\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}هو تعقيد حزمة المستوى الفائق الحقيقي،VR=كير⁡α{\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\ker \alpha }في حالة التحدب الزائف التام، تحدد هذه الحزمة بنية تلامس علىم{\displaystyle M}، معα{\displaystyle \alpha }نموذج اتصال. فئة نموذج الاتصال المطابقة محددة جيدًا.

يُحدد اختيار نموذج الاتصال حقلًا متجهيًا،تي{\displaystyle T}بشكل عرضي بالنسبة لبنية التلامس،VR{\displaystyle V_{\mathbb {R} }}يُعرَّف حقل المتجهات هذا، المسمى حقل متجهات ريب، بواسطة

أناتيدα=0،α(تي)=1{\displaystyle i_{T}d\alpha =0,\quad \alpha (T)=1}.

توجد تعميمات لصيغة ليفي عندما لا يكون المتشعب من نوع السطح الفائق، وفي هذه الحالة لا تأخذ الصيغة قيمًا في حزمة خطية، بل في حزمة متجهة . عندئذٍ يمكن الحديث، ليس عن صيغة ليفي واحدة، بل عن مجموعة من صيغ ليفي للبنية.

على مشعبات CR المجردة، من النوع شبه المحدب بقوة، يؤدي شكل ليفي إلى متري شبه هيرميتي علىل{\displaystyle L}. لوZ،دبليو∈ل{\displaystyle Z,W\in L}ثم نقوم بتعريف الضرب الداخلي الهرميتي عن طريق وضع [ 5 ]

⟨Z،دبليو⟩=1أنادα(Z،دبليو¯){\displaystyle \langle Z,W\rangle ={\frac {1}{i}}d\alpha (Z,{\overline {W}})}.

هذا يُعرّف فقط مقياسًا هيرميتيًا لمتجهات المماس الهولومورفية، وبالتالي فهو متدهور. يمكننا توسيعه لتعريف مقياس ريماني على فضاء المماس الحقيقي.تيم{\displaystyle TM}، من خلال ملاحظة أن أي حقل متجهX∈تيم{\displaystyle X\in TM}يمكن التعبير عنها على النحو التالي

X=ZX+Z¯X+أXتي أين ZX∈ل،أX∈R{\displaystyle X=Z_{X}+{\overline {Z}}_{X}+a_{X}T{\text{ where }}Z_{X}\in L,a_{X}\in {\mathbb {R} }}؛ لو X،Y∈تيم ثم ⟨X،Y⟩=ℜ⟨ZX،Zدبليو⟩+أXأY{\displaystyle X,Y\in TM{\text{ then }}\langle X,Y\rangle =\Re \langle Z_{X},Z_{W}\rangle +a_{X}a_{Y}}.

يُعرّف هذا مقياسًا ريمانيًا علىتيم{\displaystyle TM}يُعطي شكل ليفي طول إسقاط[v،w¯]{\displaystyle [v,{\overline {w}}]}فيتي{\displaystyle T}-اتجاه.

يمكن بعد ذلك تعريف اتصال والتواء وموترات الانحناء المرتبطة بهما، مثل انحناء ريتشي والانحناء القياسي، باستخدام هذا المقياس. وينتج عن ذلك مسألة يامابي CR مماثلة ، درسها ديفيد جيريسون وجون لي لأول مرة . وقد عرّف سيدني م. ويبستر الاتصال المرتبط بمشعبات CR ودرسه لأول مرة في أطروحته حول دراسة مسألة التكافؤ، كما عرّفه ودرسه تاناكا بشكل مستقل. [ 6 ] يمكن الاطلاع على شرح لهذه المفاهيم في المقالات. [ 7 ] [ 5 ] يمتلك مشعب CR شبه المحدب تمامًا اتصال كارتان أساسيًا ، يُعرّف بشكل مستقل عن اختيار شكل التماس. وقد قدّم كارتان هذا الاتصال في ثلاثة أبعاد، بينما قدّمه إس إس تشيرن وج . موزر في أبعاد أعلى . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] اتصال كارتان-تشيرن-موسر وانحنائه ثابتان تحت تحويلات CR-diffeomorphisms.

أحد الأسئلة الأساسية في هندسة CR هو متى يمكن تمثيل مشعب أملس مزود ببنية CR مجردة كمشعب مضمن في بعضجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}وبالتالي، فإننا لا نقتصر على تضمين المتشعب فحسب، بل نطالب أيضًا بالتضمين الشامل الذي تقوم به الخريطة التي تُضمّن المتشعب المجرد فيجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}يجب سحب بنية CR المستحثة للمشعب المدمج (الناتجة عن حقيقة وجودها فيجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}بحيث يتوافق هيكل CR العكسي مع هيكل CR المجرد. دوال الإحداثيات لمثل هذه الخريطة هي دوال CR، أي في الفضاء الصفري لـ∂¯ب{\displaystyle {\bar {\partial }}_{b}}عامل - من السهل إثبات أن هذا الفضاء الصفري هو جبر ذو ضرب نقطي. يمكن النظر في كل من مسألتي التضمين المحلي والتضمين العالمي.

أثبت لويس بوتيه دي مونفيل [ 11 ] أن مشعب CR-المدمج والمُحدب بقوة، والمُعرّف بشكل مجرد، ذو بُعد حقيقي 5 أو أعلى، قابل للتضمين عالميًا. ويُظهر عمله أنه إذا◻ب{\displaystyle \Box _{b}}المعامل - (انظر أدناه) الذي يعمل على الدوال، له نطاق مغلق فيل2{\displaystyle L^{2}}، عندئذٍ يكون مشعب CR قابلاً للتضمين عالميًا.

في البعد الثالث، توجد عوائق أمام إمكانية التضمين العالمي. بنية CR القياسية على الكرة الثلاثيةS3{\displaystyle S^{3}}يمتد بواسطة حقل المتجهات المركب، Z¯=z1∂z¯2-z2∂z¯1{\displaystyle {\overline {Z}}=z_{1}\partial _{{\overline {z}}_{2}}-z_{2}\partial _{{\overline {z}}_{1}}}. ل ϵ∈ج∖{0}{\displaystyle \epsilon \in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}}، مع|ϵ|<1{\displaystyle |\epsilon |<1}، حقول المتجهات المعقدةZ¯ϵ=Z¯+ϵZ{\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }={\overline {Z}}+\epsilon Z}تُعرّف هياكل CR المجردة على الكرة ثلاثية الأبعاد، وهي غير قابلة للتضمين الشامل. تُعرف هذه الهياكل غالبًا بمثال روسي، [ 12 ] على الرغم من أنها تعود إلى أعمال سابقة لهانز غراورت، وتظهر في ورقة بحثية لألدو أندريوتي ويوم -تونغ سيو . [ 13 ] هذه الأمثلة قابلة للتضمين محليًا في جوار كل نقطة، ولكنها غير قابلة للتضمين الشامل: فجبر دوال CR لا يفصل النقاط. وكما أوضح بيرنز [ 14 ]، فإن جميع حلولZ¯ϵو=0{\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }f=0}هي دوال زوجية.

أظهر جوزيف ج. كون أن إمكانية التضمين العالمي تعني أن لابلاس كون، ◻ب{\displaystyle \Box _{b}}، (انظر أدناه) التأثير على الدوال له نطاق مغلق فيل2{\displaystyle L^{2}}[ 15 ] بدمج هذا مع نتيجة بوتيه دي مونفيل، يتبين أن إمكانية التضمين العالمي لمتشعب CR مضغوط شبه محدب تمامًا تعادل انغلاق نطاق ◻ب{\displaystyle \Box _{b}}، والتي تعمل على الدوال. وبالتالي، فإن خاصية النطاق المغلق لـ◻ب{\displaystyle \Box _{b}}هو ثابت تحت تأثير CR.

تجدر الإشارة إلى أن مجموعة الاضطرابات القابلة للتضمين لبنية CR على مشعب ثلاثي الأبعاد مضغوط ذات بُعد لانهائي، وكذلك ذات بُعد مشترك لانهائي. في ظل شرط إيجابية معاملات فورييه لحد الاضطراب، أثبت دانيال بيرنز وتشارلز إبستين إمكانية التضمين الشامل للاضطرابات الصغيرة لبنية CR القياسية على الكرة ثلاثية الأبعاد. [ 16 ] في الواقع، أظهرا أن جبر دوال CR بأكمله يتشوه بثبات تحت تأثير "اضطرابات موجبة" صغيرة. بعد ذلك بوقت قصير، أثبت ليمبرت أن أي اضطراب صغير قابل للتضمين لبنية CR على سطح فائق حقيقي مضغوط وشبه محدب تمامًا فيج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}يمكن تضمينها كاضطراب طفيف للتضمين الأصلي. [ 17 ] [ 18 ] كما تفترض الورقة البحثية [ 16 ] شكلاً طبيعياً لمثل هذه الاضطرابات، يشمل الاضطرابات الموجبة القابلة للتضمين بالإضافة إلى عدد لا نهائي من العوائق التي تحول دون إمكانية التضمين. وقد أثبت جون بلاند وجود هذا الشكل الطبيعي [ 19 ] .

في البُعد الثالث، توصل ساغون شانيلو وهونغ-لين تشيو وبول سي. يانغ [ 20 ] إلى مجموعة من الشروط غير الاضطرابية التي تُحافظ على ثبات CR ، والتي تضمن إمكانية التضمين الشامل للهياكل المجردة شبه المحدبة بقوة CR المعرفة على مشعبات متراصة. بافتراض أن مُؤثر بانِتز CR غير سالب وأن ثابت يامابي CR موجب، يتحقق التضمين الشامل. ويمكن تخفيف الشرط الثاني ليصبح شرطًا غير ثابت CR باشتراط أن يكون انحناء ويبستر للمشعب المجرد محدودًا من الأسفل بثابت موجب. يُمكّن هذا الباحثين من الحصول على حد أدنى دقيق لأول قيمة ذاتية موجبة لمؤثر لابلاس لكوهن. يُعد هذا الحد الأدنى نظيرًا في هندسة CR لحد أندريه ليشنيروفيتش لأول قيمة ذاتية موجبة لمؤثر لابلاس-بيلترامي للمشعبات المتراصة في الهندسة الريمانية . [ 21 ] عدم سلبية مؤثر بانِتز CR في البعد 3 شرط ثابت CR، وذلك استنادًا إلى خصائص التغاير المطابق لمؤثر بانِتز CR على مشعبات CR ذات البعد الحقيقي 3، والتي لاحظها كينغو هيراتشي لأول مرة . [ 22 ] ظهرت نسخة CR من مؤثر بانِتز، والتي تُسمى مؤثر بانِتز CR، لأول مرة في عمل لـ سي. روبن غراهام وجون لي . من المعروف أن هذا المؤثر غير متغاير مطابقًا في البعد الحقيقي 5 وما فوق، وإنما فقط في البعد الحقيقي 3. وهو دائمًا مؤثر غير سالب في البعد الحقيقي 5 وما فوق. [ 23 ]

يمكن للمرء أن يسأل عما إذا كانت جميع مشعبات CR المدمجة بشكل مضغوط فيج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}تحتوي على مؤثرات بانيتز غير سالبة. هذا نوع من الأسئلة العكسية لنظريات التضمين التي نوقشت أعلاه. في هذا السياق، أثبت جيفري كيس، وساغون شانيلو، وبول سي. يانغ نظرية استقرار. أي، إذا بدأنا بمجموعة من مشعبات CR المدمجة المضمنة فيج2،{\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}وبنية CR للعائلةجت{\displaystyle J_{t}}تتغير بطريقة تحليلية حقيقية فيما يتعلق بالمعاملت،{\displaystyle t,}إذا كان ثابت يامابي CR لمجموعة المتشعبات محدودًا بشكل منتظم من الأسفل بثابت موجب، فإن مؤثر بانِتز CR يظل غير سالب لجميع أفراد المجموعة، بشرط أن يكون مؤثر بانِتز CR لأحد أفراد المجموعة غير سالب. [ 24 ] وقد حُلّت المسألة المعاكسة أخيرًا على يد يويا تاكيوتشي. إذ أثبت أنه بالنسبة للمتشعبات CR-3 المدمجة والمتراصة التي تكون محدبة زائفًا تمامًا، فإن مؤثر بانِتز CR المرتبط بهذا المتشعب المدمج يكون غير سالب. [ 25 ]

تحقيق مشعب CR المجرد كمشعب أملس في بعضجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}سيُحدِّد هذا المفهومُ مُتنوِّعَ مُعقَّدًا قد يحتوي عمومًا على نقاطٍ شاذة. هذا هو مضمونُ مسألةِ الهضبةِ المُعقَّدةِ التي دُرِسَت في مقالةِ ف. ريس هارفي وهـ . بلين لوسون . [ 26 ] كما توجد أعمالٌ أخرى حولَ مسألةِ الهضبةِ المُعقَّدةِ لستيفن س. ت. ياو . [ 27 ]

لا يصحّ التضمين الموضعي لبنى CR المجردة في البعد الحقيقي 3، وذلك استنادًا إلى مثال لويس نيرنبرغ (يتضمن كتاب تشين ومي-تشي شو، المشار إليه أدناه، عرضًا لبرهان نيرنبرغ). [ 28 ] يمكن اعتبار مثال لويس نيرنبرغ بمثابة اضطراب سلس لحقل المتجهات العقدي غير القابل للحل لهانز ليفي . ويمكن البدء بحقل المتجهات المضاد للهولومورفي.ل¯{\displaystyle {\overline {L}}}على مجموعة هايزنبرغ المعطاة بواسطة

ل¯=∂∂z¯-أناz∂∂ت،(z،ت)∈ج×R،أنا=-1.{\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}

يحتوي حقل المتجهات المعرّف أعلاه على تكاملين أوليين مستقلين خطيًا. أي أن هناك حلين للمعادلة المتجانسة.

ل¯Zأنا=0،أنا=1،2،Z1=z،Z2=ت+أنا|z|2،دZ1∧دZ2≠0.{\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}

بما أننا في البعد الحقيقي الثالث، فإن شرط التكامل الرسمي هو ببساطة،

[ل¯،ل¯]=0{\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}

وهذا تلقائي. لاحظ أن صيغة ليفي موجبة تمامًا كما يتضح من عملية حسابية بسيطة.

[ل¯،ل]=2أنا∂∂ت،{\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}

حيث يُعطى حقل المتجهات الهولومورفي L بالصيغة التالية:

ل=∂∂z+أناz¯∂∂ت.{\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}

تسمح لنا التكاملات الأولى المستقلة خطيًا بتحقيق بنية CR كرسم بياني فيج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}مقدم من

(z،ت)→(z،ت+أنا|z|2){\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}

يُنظر إلى بنية CR إذن على أنها ليست سوى تقييد لبنية المركب لـج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}إلى الرسم البياني. يقوم نيرنبرغ بإنشاء حقل متجهي معقد واحد غير صفريP،{\displaystyle P,}محدد في جوار الأصل فيج×R.{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}ثم يوضح أنه إذاPu=0{\displaystyle Pu=0}، ثمu{\displaystyle u}يجب أن يكون ثابتًا. وبالتالي، فإن حقل المتجهاتP{\displaystyle P}لا يحتوي على تكاملات من الدرجة الأولى. حقل المتجهاتP{\displaystyle P}يتم إنشاء هذا الحقل من حقل المتجهات المضاد للهولومورفي لمجموعة هايزنبرغ الموضحة أعلاه عن طريق إحداث اضطراب فيه بواسطة دالة سلسة ذات قيم عقديةϕ{\displaystyle \phi }كما هو موضح أدناه:

P=ل¯+ϕ(z،z¯،ت)∂∂ت{\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}

وبالتالي، فإن حقل المتجهات الجديد P لا يحتوي على أي تكاملات أولى سوى الثوابت، ولذلك لا يمكن تمثيل بنية CR المضطربة هذه بأي شكل من الأشكال كرسم بياني في أيجن.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}تم توسيع عمل ل. نيرنبرغ ليشمل نتيجة عامة بواسطة هوارد جاكوبويتز وفرانسوا تريف . [ 29 ] في البعد الحقيقي 9 وما فوق، يكون التضمين المحلي لهياكل CR المجردة شبه المحدبة تمامًا صحيحًا وفقًا لعمل ماساتاكي كورانيشي، وفي البعد الحقيقي 7 وفقًا لعمل أكاهوري. [ 30 ] يُعزى عرض مبسط لبرهان كورانيشي إلى ويبستر. [ 31 ]

لا تزال مشكلة التضمين المحلي مفتوحة في البعد الحقيقي 5.

المثل العليا المميزة

مجمع كوشي - ريمان المماسي (مجمع كون لابلاس، مجمع كون-روسي)

أولاً وقبل كل شيء، يجب تعريف عامل الحدود المشتركة∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}بالنسبة لمتشعبات CR التي تنشأ كحدود لمتشعبات معقدة، يمكن اعتبار هذا المؤثر بمثابة تقييد لـ∂¯{\displaystyle {\overline {\partial }}}من الداخل إلى الحدود. يشير الرمز السفلي b إلى أننا على الحدود. يأخذ عامل الحدود المشتركة أشكالًا من (0,p) إلى (0,p+1). يمكن تعريف عامل الحدود المشتركة لمتشعب CR مجرد حتى لو لم يكن حدودًا لمتشعب معقد. يمكن القيام بذلك باستخدام اتصال ويبستر. [ 32 ] عامل الحدود المشتركة∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}يشكل مركباً، أي∂ب¯∘∂ب¯=0{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}يُطلق على هذا المركب اسم مركب كوشي-ريمان المماسي أو مركب كون-روسي. وقد أُجري بحثٌ حول هذا المركب ودراسة مجموعات التماثل الخاصة به في ورقة بحثية أساسية من تأليف جوزيف ج. كون وهوغو روسي. [ 33 ]

يرتبط بالمركب المماسي CR عنصر أساسي في هندسة CR والمتغيرات المركبة المتعددة، وهو لابلاس كون. ويُعرَّف على النحو التالي:

◻ب=∂ب¯∂ب¯⋆+∂ب¯⋆∂ب¯{\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}

هنا∂ب¯⋆{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}يشير إلى المرافق الرسمي لـ∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}بالنسبة إلىل2(م){\displaystyle L^{2}(M)}حيث يمكن اشتقاق شكل الحجم من شكل التماس المرتبط ببنية CR. انظر على سبيل المثال ورقة JM Lee في المجلة الأمريكية المشار إليها أدناه. لاحظ أن لابلاس كون يأخذ أشكال (0,p) إلى أشكال (0,p). تسمى الدوال التي يُفنيها لابلاس كون دوال CR . وهي نظائر حدودية للدوال الهولومورفية . تسمى الأجزاء الحقيقية من دوال CR دوال CR متعددة التوافقيات . لابلاس كون◻ب{\displaystyle \Box _{b}}هو مؤثر غير سالب، ذاتي الترافق شكليًا. وهو مُنحط وله مجموعة مميزة حيث يتلاشى رمزه. على مشعب CR مجرد مضغوط، شبه محدب بقوة، له قيم ذاتية موجبة منفصلة تؤول إلى اللانهاية وتقترب أيضًا من الصفر. تتكون النواة من دوال CR، وبالتالي فهي لانهائية الأبعاد. إذا كانت القيم الذاتية الموجبة لمؤثر لابلاس كون محدودة من الأسفل بثابت موجب، فإن مدى مؤثر لابلاس كون مغلق، والعكس صحيح. بالتالي، بالنسبة لهياكل CR المضمنة، باستخدام نتيجة كون المذكورة أعلاه، نستنتج أن هيكل CR المضغوط شبه المحدب بقوة يكون مضمنًا إذا وفقط إذا كان لمؤثر لابلاس كون قيم ذاتية موجبة محدودة من الأسفل بثابت موجب. دائمًا ما تكون القيمة الذاتية لمؤثر لابلاس كون صفرًا، وهي القيمة المقابلة لدوال CR.

تقديرات لـ◻ب{\displaystyle \Box _{b}}و∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}تم الحصول على هذه التقديرات في فضاءات دوال مختلفة وفي سياقات متنوعة. ويُسهل اشتقاق هذه التقديرات عندما يكون الفضاء شبه محدب بقوة، إذ يُمكن حينها استبدال الفضاء بجعله ملامسًا لمجموعة هايزنبرغ من رتبة عالية بما يكفي. ثم باستخدام خاصية المجموعة وبنية الالتفاف المصاحبة لهايزنبرغ، يُمكن كتابة المعكوسات/المعاملات أو المعاملات النسبية لـ◻ب{\displaystyle \Box _{b}}[ 34 ]​

مثال ملموس على∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}يمكن توفير عامل على مجموعة هايزنبرغ. لنأخذ مجموعة هايزنبرغ العامة كمثال.جن×R{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }ولنأخذ في الاعتبار حقول المتجهات المضادة للهولومورفية التي هي أيضًا ثابتة من اليسار بالنسبة للمجموعة،

ل¯ج=∂∂zج¯-أناzج∂∂ت،ج=1،2،...،ن،(z1،z2،...،zن)∈جن،ت∈R.{\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}

إذن، بالنسبة للدالة u، لدينا الشكل (0,1)ω{\displaystyle \omega }

ω=∂ب¯u=∑ج=1نلج¯u دzج¯.{\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}

منذ∂ب¯⋆{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}بما أن دالة لابلاس تتلاشى على الدوال، فلدينا أيضًا الصيغة التالية لدالة لابلاس كوهن للدوال على مجموعة هايزنبرغ:

◻ب=-∑ج=1نلجلج¯{\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}

أين

لج=∂∂zج+أناzج¯∂∂ت،{\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}

هي حقول متجهة ثابتة من اليسار، وهولومورفية على زمرة هايزنبرغ. يمكن إعادة كتابة صيغة لابلاس كون أعلاه على النحو التالي. أولًا، من السهل التحقق من أن

[لج،لج¯]=-2أناتي،تي=∂∂ت،ج=1،2،...،ن{\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}

وبالتالي، من خلال عملية حسابية بسيطة، نحصل على:

◻ب=-12∑ج=1ن(لجلج¯+لج¯لج)+أنانتي{\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}

المؤثر الأول على اليمين هو مؤثر حقيقي، وهو في الواقع الجزء الحقيقي من مؤثر لابلاس كون. يُسمى هذا المؤثر لابلاس الجزئي . وهو مثال أساسي لما يُعرف بمؤثر مجموع مربعات هورماندر . [ 35 ] [ 36 ] من الواضح أنه غير سالب، كما يتضح من خلال التكامل بالتجزئة. يُعرّف بعض المؤلفين لابلاس الجزئي بإشارة معاكسة. في حالتنا، لدينا تحديدًا:

Δب=-12∑ج=1ن(لجلج¯+لج¯لج){\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}

حيث الرمزΔب{\displaystyle \Delta _{b}}هو الرمز التقليدي لما يُعرف باسم "اللابلاسي الفرعي".

◻ب=Δب+أنانتي{\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}

أمثلة

المثال النموذجي لمتشعب CR المضغوط هو الحقيقي2ن+1{\displaystyle 2n+1}الكرة كجزء من متعدد الشعبجن+1{\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}الحزمةل{\displaystyle L}يُعطى الوصف أعلاه بواسطة

ل=جتيS2ن+1∩تي1،0جن+1{\displaystyle L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}

أينتي1،0جن+1{\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}هي حزمة المتجهات الهولومورفية. ويُعطى شكلها الحقيقي بواسطةP=ℜ(ل⊕ل¯){\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}الحزمة المعطاة عند نقطة ماص∈S2ن+1{\displaystyle p\in S^{2n+1}}وبشكل ملموس من حيث البنية المعقدة،أنا{\displaystyle I}، علىجن+1{\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}بواسطة

Pص={X∈تيصS2ن+1:أناX∈تيصS2ن+1⊂تيصجن+1}،{\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},}

والبنية المعقدة تقريبًا علىP{\displaystyle P}إنها مجرد قيودأنا{\displaystyle I}تُعدّ الكرة مثالًا على فضاء CR ذي انحناء ويبستر موجب ثابت والتواء ويبستر معدوم. كما تُعدّ زمرة هايزنبرغ مثالًا على فضاء CR غير متراص ذي التواء ويبستر معدوم وانحناء ويبستر معدوم. وتُقدّم حزمة دائرة الوحدة فوق أسطح ريمان المتراصة ذات الجنس الأكبر من 1 أمثلةً على فضاءات CR شبه محدبة بقوة، ذات التواء ويبستر معدوم وانحناء ويبستر سالب ثابت. يُمكن استخدام هذه الفضاءات كفضاءات مقارنة في دراسة الجيوديسيات ونظريات مقارنة الحجم على فضاءات CR ذات التواء ويبستر معدوم، على غرار نظرية مقارنة راوخ HE في الهندسة الريمانية. [ 37 ]

في السنوات الأخيرة، تمت دراسة جوانب أخرى من التحليل على مجموعة هايزنبرغ، مثل الأسطح الدنيا في مجموعة هايزنبرغ، ومسألة برنشتاين في مجموعة هايزنبرغ، وتدفقات الانحناء. [ 38 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 ليمبرت، لازلو (1997). "فضاءات مشعبات كوشي-ريمان". هندسة كوشي-ريمان والأنظمة المحددة بشكل زائد . دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة. المجلد  25. الصفحات 221-236 . doi : 10.2969/aspm/02510221 . ISBN  978-4-931469-75-4.
  2. ↑ "معهد أبحاث العلوم الرياضية - هندسة CR: التحليل المركب يلتقي بالهندسة الحقيقية ونظرية الأعداد" . secure.msri.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 26 مارس 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 يناير 2022 .
  3. ↑ انظر Levi 909 صفحة 207: صيغة Levi هي الصيغة التفاضلية المرتبطة بالمؤثر التفاضلي C ، وفقًا لترميز Levi.
  4. ↑ أوساوا، تاكيو (1984). "التحقيق العالمي لمتشعبات CR شبه المحدبة بقوة" . منشورات معهد البحوث للعلوم الرياضية . 20 (3): 599-605 . doi : 10.2977/PRIMS/1195181413 .
  5. 1 2 ويبستر، سيدني م. (1978). "البنى شبه الهرميتية على سطح فائق حقيقي" . مجلة الهندسة التفاضلية . 13 : 25-41 . doi : 10.4310/jdg/1214434345 .
  6. ↑ تاناكا، ن. (1975). "دراسة هندسية تفاضلية على مشعبات شبه محدبة بقوة" (ملف PDF) . محاضرات في الرياضيات، جامعة كيوتو . 9. طوكيو: مكتبة كينوكونيا. hdl : 2433/84914 .
  7. ↑ لي، جون م. (1988). "بنى شبه أينشتاين على مشعبات CR". المجلة الأمريكية للرياضيات . 110 (1): 157-178 . doi : 10.2307/2374543 . JSTOR 2374543 . 
  8. ↑ تشيرن، إس إس؛ موسر، جيه كيه (1974). "الأسطح الفائقة الحقيقية في المشعبات المعقدة" . أكتا ماتيماتيكا . 133 (0): 219-271 . doi : 10.1007/BF02392146 . ISSN 0001-5962 . 
  9. ^ كارتان ، إيلي (12/1933/01). "حول المطابقة الهندسية الزائفة للأسطح الفائقة في مساحة المجمعين المتغيرين" . Annali di Matematica Pura ed Applicata (باللغة الفرنسية). 11 (1): 17– 90. دوى : 10.1007 / BF02417822 . ISSN 1618-1891 . 
  10. ^ كارتان ، إيلي (1932). "Sur la géométrie pseudo-conforme des supersurfaces de l'espace de deuxvariables complexes II" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . 1 (4): 333– 354. ISSN 0391-173X . 
  11. ^ بوتيه دي مونفيل، لويس (1974). "تكامل معادلات كوشي-ريمان من خلال الأشكال النموذجية" . Séminaire Équations aux Dérivées Partielles . 9 . مدرسة البوليتكنيك: 1– 13. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2014-12-28 . تم الاسترجاع 2014/12/28 .
  12. ↑ تشين، إس.-سي.؛ شو، مي-تشي (2001). المعادلات التفاضلية الجزئية في عدة متغيرات مركبة . المجلد 19، دراسات الجمعية الأمريكية للرياضيات/معهد الفيزياء في الرياضيات المتقدمة. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. 
  13. ^ أندريوتي، ألدو. سيو، يوم تونغ (1970). "التضمين الإسقاطي للمساحات الكهفية الزائفة" . أنالي ديلا سكوولا نورم. رشفة. بيزا، كلاس دي العلوم . 24 (5): 231– 278. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 28-12-2014 . تم الاسترجاع 2014/12/28 .
  14. ↑ بيرنز، دي إم "السلوك العالمي لبعض معادلات كوشي-ريمان المماسية". المعادلات التفاضلية الجزئية والهندسة (وقائع المؤتمر، بارك سيتي، يوتا، 1977) : 51-56 .
  15. ↑ كون، جوزيف ج. (1986). "مدى مؤثر كوشي-ريمان المماسي". مجلة ديوك الرياضية . 53 (2): 525-545 . doi : 10.1215/S0012-7094-86-05330-5 .
  16. 1 2 بيرنز، دانيال م.؛ إبستين، تشارلز ل. (1990). "إمكانية التضمين لمتشعبات CR ثلاثية الأبعاد" . مجلة الجمعية الأمريكية للرياضيات . 3 (4): 809-841 . doi : 10.1090/s0894-0347-1990-1071115-4 .
  17. ↑ ليمبرت، لازلو (1992). "حول مشعبات كوشي-ريمان ثلاثية الأبعاد" . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 5 (4): 923-969 . doi : 10.1090/S0894-0347-1992-1157290-3 . ISSN 0894-0347 . 
  18. ^ لامبرت ، لازلو (1994/09/01). "تضمينات مشعبات كوشي-ريمان ثلاثية الأبعاد" . الرياضيات أنالن . 300 (1): 1– 15. دوى : 10.1007/BF01450472 . ردمك 1432-1807 . 
  19. ↑ بلاند، جون س. (1994). "هندسة التلامس وبنى CR على S3" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 172 (1): 1-49 . doi : 10.1007/BF02392789 . ISSN 0001-5962 . 
  20. ^ شانيلو ، ساجون. تشيو، هونغ لين؛ يانغ، بول سي. (2012). “قابلية التضمين لمشعبات CR ثلاثية الأبعاد وثوابت CR Yamabe”. مجلة ديوك الرياضية . 161 (15): 2909– 2921. أرخايف : 1007.5020 . دوى : 10.1215/00127094-1902154 . S2CID 304301 . 
  21. ^ ليتشنيروفيتش ، أندريه (1958). هندسة مجموعات التحولات . باريس: دونود. او سي ال سي 1212521 . 
  22. ↑ هيراتشي، كينغو (1993). "الثوابت شبه الهرميتية العددية ونواة سيغو على مشعبات CR ثلاثية الأبعاد" (ملف PDF) . الهندسة المعقدة . سلسلة محاضرات في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 143. نيويورك: مارسيل ديكر. الصفحات 67-76 .  
  23. ↑ غراهام، سي. روبن؛ لي، جون م. (1988). "حلول سلسة لمعادلات لابلاس المنحلة على مجالات شبه محدبة تمامًا". مجلة ديوك الرياضية . 57 (3): 697-720 . doi : 10.1215/S0012-7094-88-05731-6 .
  24. ↑ كيس، جيفري س.؛ شانيلو، ساغون؛ يانغ، بول س. (2016). "مؤثر بانايتز CR واستقرار الدوال التوافقية المتعددة CR" . التقدم في الرياضيات . 287 : 109-122 . arXiv : 1502.01994 . doi : 10.1016/j.aim.2015.10.002 . S2CID 15964378 . 
  25. ↑ تاكيوتشي، يويا (2020). "عدم سلبية مؤثر بانايتز CR لمتشعبات CR القابلة للتضمين". مجلة ديوك الرياضية . 169 (18): 3417-3438 . arXiv : 1908.07672 . doi : 10.1215/00127094-2020-0051 . S2CID 201125743 . 
  26. ↑ هارفي، ف. ر.؛ لوسون، هـ. ب. الابن (1978). "حول حدود الأصناف التحليلية المعقدة 1". حوليات الرياضيات 102 (2): 223-290 . doi : 10.2307/1971032 . JSTOR 1971032 . 
  27. ↑ ياو، ستيفن س.-ت. (1981). " علم التماثل لكوهن-روسي وتطبيقه على مسألة الهضبة المعقدة 1". حوليات الرياضيات . 113 (1): 67-110 . doi : 10.2307/1971134 . JSTOR 1971134. S2CID 124134326 .  
  28. ↑ نيرنبرغ، لويس (1974). "حول مسألة لهانز ليفي". مجلة الرياضيات الروسية . 29 (2): 251-262 . Bibcode : 1974RuMaS..29..251N . doi : 10.1070/rm1974v029n02abeh003856 . S2CID 250837987 . 
  29. ↑ جاكوبويتز، هوارد؛ تريفز، جان فرانسوا (1982). "هياكل CR غير القابلة للتحقيق" . Inventiones Math . 66 (2): 231–250 . Bibcode : 1982InMat..66..231J . doi : 10.1007/bf01389393 . S2CID 120836413 . 
  30. ↑ أكاهوري، تاكاو (1987). "مقاربة جديدة لنظرية التضمين المحلي لهياكل CR لـن≥4{\displaystyle n\geq 4}(قابلية الحل المحلي للمؤثر∂ب¯{\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}(بالمعنى المجرد) . مذكرات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 67 (366). doi : 10.1090/memo/0366 .
  31. ↑ ويبستر، سيدني م. (1989). "حول برهان نظرية كورانيشي للتضمين" . حوليات معهد هنري بوانكاريه ج . 6 (3): 183-207 . doi : 10.1016/S0294-1449(16)30322-5 .
  32. ↑ لي، جون م. (1986). "مقياس فيفرمان والثوابت شبه الهرميتية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 296 : 411-429 . doi : 10.1090/s0002-9947-1986-0837820-2 .
  33. ↑ كون، جوزيف ج.؛ روسي، هوغو (1965). "حول امتداد الدوال الهولومورفية من حدود المشعبات المعقدة". حوليات الرياضيات . 81 (2): 451-472 . doi : 10.2307/1970624 . JSTOR 1970624 . 
  34. ↑ غرينر، بي سي؛ شتاين، إي إم (1977). تقديرات لـ∂¯{\displaystyle {\overline {\partial }}}مسألة نيومان . ملاحظات رياضية. المجلد  19. مطبعة جامعة برينستون.
  35. ↑ هورماندر، لارس (1967). "معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية ناقصة الإهليلجية" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 119 : 147-171 . doi : 10.1007/bf02392081 . S2CID 121463204 . 
  36. ↑ كون، جوزيف ج. (1979). "تقديرات شبه القطعية". التحليل التوافقي في الفضاءات الإقليدية . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة. المجلد 35 - الجزء 2. الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 143-152 .  
  37. ^ شانيلو ، ساجون. يانغ، بول سي. (2009). "نظريات قياس الأيزوبيريمتر ومقارنة الحجم على مشعبات CR" . أنالي ديلا سكوولا نورم. رشفة. بيزا، كلاس دي العلوم . 8 (2): 279-307 . دوى : 10.2422/2036-2145.2009.2.03 .
  38. ↑ كابونيا، لوكا؛ دانيلي، دوناتيلا؛ بولز، سكوت؛ تايسون، جيريمي (2007). "تطبيقات هندسة هايزنبرغ". مقدمة إلى مجموعة هايزنبرغ ومسألة المحيط المتساوي شبه الريماني . سلسلة التقدم في الرياضيات. المجلد 259. برلين: بيركهاوزر. الصفحات 45-48 .  

مراجع