مشغل بانيتز

في مجال الهندسة التفاضلية ، يُعرف مؤثر بانيتز بأنه مؤثر تفاضلي من الرتبة الرابعة مُعرَّف على مشعب ريماني ذي بُعد n . سُمِّيَ هذا المؤثر نسبةً إلى ستيفن بانيتز ، الذي اكتشفه عام 1983، ونُشرت ورقته البحثية الأولية بعد وفاته في Paneitz 2008. في الواقع، سبق أن اكتشف إي. فرادكين وأ . تسيتلين المؤثر نفسه في سياق نظرية الجاذبية الفائقة المطابقة عام 1982 (Phys Lett B 110 (1982) 117 وNucl Phys B 1982 (1982) 157). ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle P=\Delta ^{2}-\delta \left\{(n-2)J-4V\cdot \right\}d+(n-4)Q}$

حيث Δ هو مؤثر لابلاس-بيلترامي ، وd هو المشتق الخارجي ، وδ هو مرافقه الشكلي، وV هو موتر شوتين ، و J هو أثر موتر شوتين، وتشير النقطة إلى انكماش الموتر على أي من الدليلين. هنا Q هو الثابت القياسي

${\displaystyle (-4|V|^{2}+nJ^{2}+2\Delta J)/4,}$

حيث Δ هو لابلاس الموجب. في أربعة أبعاد، ينتج عن ذلك انحناء Q.

يُعدّ هذا المؤثر ذا أهمية خاصة في الهندسة المطابقة ، لأنه يعتمد، بمعنى مناسب، على البنية المطابقة فقط . ومن المؤثرات الأخرى من هذا النوع مؤثر لابلاس المطابق . ولكن، بينما يكون مؤثر لابلاس المطابق من الرتبة الثانية، ورمزه الرئيسي مضاعف لمؤثر لابلاس - بيلترامي، فإن مؤثر بانيتز من الرتبة الرابعة، ورمزه الرئيسي مربع مؤثر لابلاس - بيلترامي. يتميز مؤثر بانيتز بثباته المطابق، بمعنى أنه يُحوّل الكثافات المطابقة ذات الوزن 2 − n /2 إلى كثافات مطابقة ذات وزن − 2 − n /2 . وبشكل ملموس، باستخدام التبسيط الكنسي لحزم الكثافة في وجود مقياس، يمكن تمثيل مؤثر بانيتز P بدلالة المقياس الريماني g كمؤثر عادي على الدوال يتحول وفقًا للقاعدة g ↦ Ω ² g تحت تغيير مطابق.

${\displaystyle \Omega ^{n/2+2}P(g)\phi =P(\Omega ^{2}g)\Omega ^{n/2-2}\phi .\,}$

تم اشتقاق المؤثر في الأصل من خلال حساب حدود التصحيح ذات الرتبة الأدنى تحديدًا لضمان الثبات المطابق. وقد وضعت الدراسات اللاحقة مؤثر بانيتز ضمن تسلسل هرمي من المؤثرات المماثلة الثابتة مطابقةً على الكثافات: مؤثرات GJMS .

تمت دراسة مؤثر بانيتز بشكلٍ مُعمق في البُعد الرابع، حيث يظهر بشكلٍ طبيعي في سياق مسائل القيم القصوى للمُحدد الوظيفي لمؤثر لابلاس (عبر صيغة بولياكوف ؛ انظر برانسون وأورستيد 1991 ). في البُعد الرابع فقط، يُعد مؤثر بانيتز مؤثر GJMS "الحرج"، مما يعني وجود جزء قياسي مُتبقٍ ( انحناء Q ) لا يُمكن استعادته إلا من خلال التحليل التقاربي . كما يظهر مؤثر بانيتز في مسائل القيم القصوى لمتباينة موزر-ترودينجر في البُعد الرابع أيضًا ( تشانغ 1999 ).

ثمة ارتباط وثيق بين الهندسة المطابقة رباعية الأبعاد وهندسة CR ثلاثية الأبعاد، وذلك من خلال دراسة مشعبات CR . يوجد مؤثر من الرتبة الرابعة مُعرَّف طبيعيًا على مشعبات CR، قدمه سي. روبن غراهام وجون لي، ويتمتع بخصائص عديدة مشابهة لمؤثر بانيتز الكلاسيكي المُعرَّف على مشعبات ريمان رباعية الأبعاد. ^{[ 1 ]} يُسمى هذا المؤثر في هندسة CR بمؤثر CR بانيتز . على الرغم من أن المؤثر الذي عرّفه غراهام ولي مُعرَّف على جميع مشعبات CR ذات الأبعاد الفردية، إلا أنه غير معروف بأنه متغاير توافقيًا في البعد الحقيقي 5 وما فوق. وقد أثبت كينغو هيراتشي التغاير التوافقي لهذا المؤثر في البعد الحقيقي 3. وهو دائمًا مؤثر غير سالب في البعد الحقيقي 5 وما فوق. هنا، على عكس تغيير المقياس بعامل توافقي كما في حالة ريمان المذكورة سابقًا، يتم تغيير شكل التماس على مشعب CR 3 بعامل توافقي. عدم سلبية مؤثر بانِتز CR في البعد 3 شرط ثابت CR كما هو مُثبت أدناه. وينتج هذا عن خصائص التغاير المطابق لمؤثر بانِتز CR التي لاحظها كينغو هيراتشي لأول مرة . ^{[ 2 ]} علاوة على ذلك، يلعب مؤثر بانِتز CR دورًا هامًا في الحصول على الحد الأدنى الدقيق للقيم الذاتية لمؤثر لابلاس لكوهن. هذه نتيجة لساغون شانيلو ، وهونغ-لين تشيو، وبول سي. يانغ . ^{[ 3 ]} يُعد هذا الحد الأدنى الدقيق للقيم الذاتية النظير الدقيق في هندسة CR للحد الأدنى الشهير لأندريه ليشنيروفيتش لمؤثر لابلاس-بيلترامي على مشعبات ريمانية متراصة. يسمح هذا بتضمين مشعبات CR المجردة، المتراصة، شبه المحدبة تمامًا، بشكل شامل في${\displaystyle C^{n}}$وبشكل أدق، فإن الشروط الواردة في [3] لتضمين مشعب CR في${\displaystyle C^{n}}$تُصاغ عبارات CR بشكل ثابت وغير اضطرابي. وهناك أيضًا عكس جزئي للنتيجة المذكورة أعلاه، حيث توصل المؤلفون، جيه إس كيس، وإس شانيلو، وبي يانغ، إلى شروط تضمن أن يكون لمتشعبات CR المدمجة والمضمنة مؤثرات بانتز CR غير سالبة. ^{[ 4 ]} التعريف الرسمي لمؤثر بانتز CR${\displaystyle P_{4}}$على مشعبات CR ذات البعد الحقيقي ثلاثة يكون كما يلي (الرمز السفلي${\displaystyle 4}$(وذلك لتذكير القارئ بأن هذا عامل من الدرجة الرابعة)

${\displaystyle P_{4}\phi ={\frac {1}{8}}((\Box _{b}{\overline {\Box _{b}}}+{\overline {\Box _{b}}}\Box _{b})\phi +8Im(A^{11}\phi _{1})_{1})}$

${\displaystyle \Box _{b}}$يشير إلى لابلاس كون الذي يلعب دورًا أساسيًا في هندسة CR والعديد من المتغيرات المركبة، وقد قدمه جوزيف ج. كون . يمكن الرجوع إلى مُركب كوشي-ريمان المماسي (لابلاس كون، مُركب كون-روسي) لتعريف لابلاس كون. علاوة على ذلك،${\displaystyle A^{11}}$يرمز إلى موتر الالتواء ويبستر-تاناكا و${\displaystyle \phi _{1}}$المشتقة المتغيرة للدالة${\displaystyle \phi }$فيما يتعلق بوصلة ويبستر-تاناكا، يمكن الاطلاع على شرحٍ لهذه الوصلة، بالإضافة إلى موتر الالتواء وموتر الانحناء، في مقالات جون إم. لي وسيدني إم. ويبستر. ^{[ 5 ] [ 6 ]} وهناك طريقة أخرى للنظر إلى مؤثر بانِتز CR في البعد الثالث. فقد قام جون إم. لي بإنشاء مؤثر من الرتبة الثالثة.${\displaystyle P_{3}}$والتي تتميز بخاصية أن نواة${\displaystyle P_{3}}$يتكون من دوال CR التوافقية المتعددة (الأجزاء الحقيقية من دوال CR الهولومورفية). ^{[ 5 ]} إن مؤثر بانيتز الموضح أعلاه هو بالضبط تباعد هذا المؤثر من الرتبة الثالثة${\displaystyle P_{3}}$المؤثر من الدرجة الثالثة${\displaystyle P_{3}}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle P_{3}\phi =({{\phi _{\bar {1}}}^{\bar {1}}}_{1}+{\sqrt {-1}}A_{11}\phi ^{1})\theta ^{1}}$

هنا${\displaystyle A_{11}}$هو موتر الالتواء ويبستر-تاناكا. تُحسب المشتقات باستخدام اتصال ويبستر-تاناكا و${\displaystyle \theta ^{1}}$هو الشكل الثنائي من الدرجة الأولى لمتجه المماس الهولومورفي CR الذي يحدد بنية CR على المشعب المضغوط. وبالتالي${\displaystyle P_{3}}$يرسل وظائف إلى${\displaystyle (1,0)}$الأشكال. وبالتالي، فإن تباعد هذا المؤثر سيحول الدوال إلى دوال. المؤثر من الرتبة الثالثة الذي ابتكره ج. لي يصف فقط الدوال التوافقية المتعددة CR على مشعبات CR ذات البعد الحقيقي ثلاثة.

صيغة التحويل المتغير لهيراتشي لـ${\displaystyle P_{4}}$فيما يلي تعريف العلاقة بين مشعبات CR ثلاثية الأبعاد. ليكن مشعب CR هو ${\displaystyle (M,\theta ,J)}$، أين${\displaystyle \theta }$نموذج الاتصال و${\displaystyle J}$بنية CR على نواة${\displaystyle \theta }$هذا على مستويات الاتصال. لنقم بتحويل نموذج الاتصال الخلفي${\displaystyle \theta }$عن طريق تحويل مطابق إلى${\displaystyle {\tilde {\theta }}=e^{2f}\theta }$لاحظ أن نموذج الاتصال الجديد هذا، الذي تم الحصول عليه من خلال تغيير مطابق لنموذج الاتصال القديم أو نموذج الاتصال الخلفي، لم يغير جوهر${\displaystyle \theta }$. إنه${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$و${\displaystyle \theta }$لها نفس النواة، أي أن مستويات التلامس ظلت دون تغيير. بنية CR${\displaystyle J}$لم يطرأ أي تغيير. مشغل CR Paneitz${\displaystyle {\tilde {P}}_{4}}$نموذج الاتصال الجديد${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$يبدو الآن أن الأمر مرتبط بمشغل نموذج الاتصال CR Paneitz${\displaystyle \theta }$وفقًا لصيغة هيراتشي:

${\displaystyle {\tilde {P}}_{4}=e^{-4f}P_{4}}$

لاحظ بعد ذلك أن الحجم يتشكل على المشعب${\displaystyle M}$مُرضٍ

${\displaystyle d{\tilde {V}}={\tilde {\theta }}\wedge d{\tilde {\theta }}=e^{4f}\theta \wedge d\theta =e^{4f}dV}$

باستخدام صيغة تحويل هيراتشي، يتبين أن،

${\displaystyle \int _{M}{\tilde {P}}_{4}\phi \phi d{\tilde {V}}=\int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

وبالتالي نستنتج بسهولة ما يلي:

${\displaystyle \int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

هو ثابت CR. أي أن التكامل الموضح أعلاه له نفس القيمة لأشكال التلامس المختلفة التي تصف نفس بنية CR${\displaystyle J}$.

المشغل${\displaystyle P_{4}}$هو مؤثر ذاتي الترافق حقيقي . على مشعبات CR مثل${\displaystyle S^{3}}$عندما يكون موتر الالتواء ويبستر-تاناكا صفرًا، يتضح من الصيغة المعروضة أعلاه أن الحدود الرئيسية التي تتضمن لابلاس كون فقط هي التي تبقى. بعد ذلك، من صيغ تبادل الموترات الواردة في [5]، يمكن التحقق بسهولة من أن المؤثرات${\displaystyle \Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}}$التنقل عندما يكون موتر الالتواء ويبستر-تاناكا${\displaystyle A_{11}}$يختفي. بتعبير أدق، يمتلك المرء

${\displaystyle [\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}]=4{\sqrt {-1}}ImQ}$

أين

${\displaystyle Q\phi =2{\sqrt {-1}}(A_{11}\phi _{1})_{1}}$

هكذا${\displaystyle \Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}}$يمكن إجراء عملية التقطير المتزامنة في ظل افتراض انعدام الالتواء. لاحظ الآن أن${\displaystyle \Box _{b}}$و${\displaystyle {\overline {\Box _{b}}}}$لها نفس تسلسل القيم الذاتية التي هي بالضرورة حقيقية. ومن ثم نستنتج من الصيغة الخاصة بـ${\displaystyle P_{4}}$أن هياكل CR التي تتميز بانعدام الالتواء لها مؤثرات بانيتز CR غير سالبة. تُظهر المقالة [4]، من بين أمور أخرى، أن القطع الناقص الحقيقي في${\displaystyle C^{2}}$تحمل بنية CR موروثة من البنية المعقدة لـ${\displaystyle C^{2}}$يتميز هذا التركيب CR على الأسطح الإهليلجية بأن مؤثر بانِتز CR الخاص به غير سالب. كما يتميز هذا التركيب بالتواء ويبستر-تاناكا غير صفري. وبذلك، يقدم المرجع [4] أولى الأمثلة على مشعبات CR حيث يكون مؤثر بانِتز CR غير سالب، ولا ينعدم موتر الالتواء أيضًا. وبما أننا لاحظنا سابقًا أن بانِتز CR هو تباعد مؤثر نواته هي الدوال التوافقية المتعددة، فإنه يترتب على ذلك أيضًا أن نواة مؤثر بانِتز CR تحتوي على جميع الدوال التوافقية المتعددة CR. لذا، فإن نواة مؤثر بانِتز CR، على عكس حالة ريمان، لها نواة لا نهائية الأبعاد. ويمكن الاطلاع على نتائج تتعلق بحالات كون النواة هي الدوال التوافقية المتعددة تحديدًا، وطبيعة ودور الفضاء التكميلي في النواة، وما إلى ذلك، في المقالة المشار إليها بالمرجع [4] أدناه.

يُعدّ أحد التطبيقات الرئيسية لمؤثر بانِتز CR والنتائج الواردة في [3] هو نظير CR لنظرية الكتلة الموجبة التي وضعها جيه-هسين تشينغ، وأندريا مالكيودي ، وبول سي. يانغ . ^{[ 7 ]} وهذا يسمح بالحصول على نتائج بشأن مسألة يامابي CR .

يمكن الحصول على المزيد من الحقائق المتعلقة بدور عامل بانايتز CR في هندسة CR من مقالة CR manifold .

• تخمين كالابي
• معادلات مونج-أمبير
• تخمين الكتلة الإيجابية
• تخمين يامابي

• برانسون، توماس ب.؛ أورستيد، بنت (1991)، "المحددات الوظيفية الصريحة في أربعة أبعاد"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 113 (3): 669-682 ، doi : 10.2307/2048601 ، ISSN 0002-9939 ، JSTOR 2048601 ، MR 1050018   .
• تشانغ، سون-يونغ أ. (1999)، "مؤثر تفاضلي من الرتبة الرابعة في الهندسة المطابقة"، في م. كريست؛ سي. كينيغ؛ سي. سادورسكي (محررون)، التحليل التوافقي والمعادلات التفاضلية الجزئية؛ مقالات تكريمًا لألبرتو ب. كالديرون ، محاضرات شيكاغو في الرياضيات، ص 127-150 .
• بانيتز، ستيفن م. (2008)، "مؤثر تفاضلي رباعي متغاير توافقيًا لمتشعبات ريمان الزائفة العشوائية (ملخص)"، التناظر، التكاملية والهندسة: الأساليب والتطبيقات ، 4 : ورقة 036، 3، arXiv : 0803.4331 ، Bibcode : 2008SIGMA...4..036P ، doi : 10.3842/SIGMA.2008.036 ، ISSN 1815-0659 ، MR 2393291 ، S2CID 115155901   .