اتصال ويل

في الهندسة التفاضلية ، يُعدّ اتصال فايل (أو بنية فايل ) تعميمًا لاتصال ليفي-سيفيتا، وهو ذو معنى على مشعب توافقي . وقد قدّمه هيرمان فايل ( فايل، 1918 ) في محاولة لتوحيد النسبية العامة والكهرومغناطيسية. ورغم أن منهجه لم يُفضِ إلى نظرية ناجحة، ^{[ 1 ]} فقد أدى إلى مزيد من التطورات في نظرية الهندسة التوافقية ، بما في ذلك دراسة تفصيلية أجراها إيلي كارتان ( كارتان، 1943 ) . كما نوقش هذا الاتصال في كتاب أيزنهاورت (1927) .

على وجه التحديد، دع${\displaystyle M}$أن يكون مشعبًا أملسًا، و${\displaystyle [g]}$فئة مطابقة من موترات القياس (غير المنحلة) على${\displaystyle M}$، أين${\displaystyle h,g\in [g]}$إذا${\displaystyle h=e^{2\gamma }g}$لبعض الوظائف السلسة${\displaystyle \gamma }$(انظر تحويل فايل ). وصلة فايل هي وصلة أفينية خالية من الالتواء على${\displaystyle M}$بحيث يكون لأي${\displaystyle g\in [g]}$، $${\displaystyle \nabla g=\alpha _{g}\otimes g}$$ أين${\displaystyle \alpha _{g}}$هو شكل واحد يعتمد على${\displaystyle g}$.

لو${\displaystyle \nabla }$هناك صلة بـ Weyl و${\displaystyle h=e^{2\gamma }g}$، ثم ${\textstyle \nabla h=(2\,d\gamma +\alpha _{g})\otimes h}$ لذا يتحول الشكل الأحادي بواسطة ${\textstyle \alpha _{e^{2\gamma }g}=2\,d\gamma +\alpha _{g}.}$ وبالتالي فإن مفهوم اتصال ويل ثابت توافقياً، ويتم التوسط في التغيير في الشكل الأحادي بواسطة دورة دي رام المشتركة .

ومن الأمثلة على اتصال فايل اتصال ليفي-سيفيتا لأي مقياس في الفئة المطابقة${\displaystyle [g]}$، مع${\displaystyle \alpha _{g}=0}$لكن هذه ليست الحالة الأكثر عمومية، إذ أن أي اتصال من هذا القبيل من نوع فايل يتميز بخاصية الشكل الأحادي${\displaystyle \alpha _{h}}$مغلق أمام الجميع${\displaystyle h}$ينتمي إلى فئة التوافق. بشكل عام، لا يكون انحناء ريتشي لوصلة فايل متناظرًا. الجزء المائل منه يساوي البعد مضروبًا في الشكل الثنائي.${\displaystyle d\alpha _{g}}$وهو أمر مستقل عن${\displaystyle g}$في فئة المطابقة، لأن الفرق بين اثنين${\displaystyle \alpha _{g}}$هي دورة دي رام. وبالتالي، وفقًا لفرضية بوانكاريه ، يكون انحناء ريتشي متناظرًا إذا وفقط إذا كان اتصال ويل هو اتصال ليفي-سيفيتا محليًا لعنصر ما من الفئة المطابقة. ^{[ 2 ]}

كان أمل ويل الأصلي هو أن يكون الشكل${\displaystyle \alpha _{g}}$يمكن أن يمثل الجهد المتجه للكهرومغناطيسية (كمية تعتمد على المقياس)، و${\displaystyle d\alpha _{g}}$شدة المجال (كمية ثابتة تحت التحويلات القياسية). هذا التركيب غير ناجح جزئيًا لأن مجموعة القياس خاطئة: الكهرومغناطيسية مرتبطة بـ${\displaystyle U(1)}$مجال القياس، وليس${\displaystyle \mathbb {R} }$مجال القياس.

أظهر هول (1992) أن الاتصال الأفيني يكون اتصال فايل إذا وفقط إذا كانت زمرة التماثل الخاصة به زمرة جزئية من الزمرة المطابقة . وقد تم تحليل جبر التماثل الممكن في التوقيع اللورنتزي في ديكاريف (2021) .

مشعب فايل هو مشعب يقبل اتصال فايل شامل. ويجري حاليًا دراسة التحليل الشامل لمشعبات فايل بشكل مكثف. فعلى سبيل المثال، درس ليبرون وماسون (2009) مشعبات فايل الكاملة التي تتحقق فيها معادلات فراغ أينشتاين ، وهي هندسة أينشتاين-فايل ، وحصلا على توصيف كامل لها في ثلاثة أبعاد.

تُستخدم وصلات فايل أيضاً في تطبيقات نظرية الأوتار والتصوير المجسم . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تم تعميم اتصالات ويل إلى سياق الهندسة المكافئة ، والتي تعتبر الهندسة المطابقة حالة خاصة منها، في Čap & Slovák (2003) .

• بيرغمان، بيتر (1942)، مقدمة في نظرية النسبية ، برنتيس هول.
• شاب، أندرياس؛ Slovák، Jan (2003)، “Weyl Structures for Parabolic Geometries”، Mathematica Scandinavica ، 93 (1): 53–90 ، أرخايف : math/0001166 ، دوى : 10.7146/math.scand.a-14413 ، JSTOR 24492421 .
• كارتان، إيلي (1943)، “Sur une classe d’espaces de Weyl”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة ، 60 (3): 1–16 ، دوى : 10.24033 / asens.901.
• سيامبيلي، لوكا؛ لي، روبرت (2020)، "وصلات فايل ودورها في التصوير المجسم"، مجلة Physical Review D ، 101 (8) 086020، arXiv : 1905.04339 ، doi : 10.1103/PhysRevD.101.086020 ، S2CID 152282710 
• ديكاريف، أ. (2021)، "حول هولونوميا اتصالات فايل في التوقيع اللورنتزي"، الهندسة التفاضلية وتطبيقاتها ، 76 (101759)، arXiv : 2005.08166 ، doi : 10.1016/j.difgeo.2021.101759 ، S2CID 218673884 .
• أيزنهارت، لوثر (1927)، الهندسة غير الريمانية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات.
• فولاند، جيرالد (1970)، "مشعبات ويل"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 4 (2): 145-153 ، doi : 10.4310/jdg/1214429379.
• هول، ج. (1992)، "مشعبات ويل والوصلات"، مجلة الفيزياء الرياضية ، 33 (7): 2633، doi : 10.1063/1.529582.
• Higa، Tatsuo (1993)، “Weyl manifolds and Einstein – Weyl manifolds”، Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli ، 42 (2): 143– 160.
• جيا، و؛ كاريداس، م (2021)، "موترات الإعاقة في هندسة فايل وشذوذ فايل الهولوغرافي" ، مجلة Physical Review D ، 104 (126031) 126031، arXiv : 2109.14014 ، doi : 10.1103/PhysRevD.104.126031 ، S2CID 238215186 
• ليبرون، كلود ؛ ماسون، ليونيل ج. (2009)، "معادلات أينشتاين-ويل، وخرائط التشتت، والأقراص الهولومورفية"، رسائل البحوث الرياضية ، 16 (2): 291-301 ، arXiv : 0806.3761 ، doi : 10.4310/MRL.2009.v16.n2.a7.
• فايل ، هيرمان (1918)، “Reine Infinitesimalgeometrie” ، Mathematische Zeitschrift ، 2 ( 3– 4): 384–411 ، دوى : 10.1007 / BF01199420 ، S2CID 186232500 .

• ماتسوزو، هيروشي (2001)، "هندسة مشعبات شبه ويل ومشعبات ويل"، مجلة كيوشو للرياضيات ، 55 : 107-117 ، doi : 10.2206/kyushujm.55.107.
• بيدرسن، هـ.؛ تود، ك.ب. (1993)، "هندسة أينشتاين-ويل ثلاثية الأبعاد"، التقدم في الرياضيات ، 97 (1): 74-109 ، doi : 10.1006/aima.1993.1002.
• هيريكا، يوليا؛ نيكولسكو، ليفيو (2004)، “On Weyl Structures”، Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo ، 53 (3): 390–400 ، دوى : 10.1007 / BF02875731 ، S2CID 123385518 .
• خيمينيز، خوسيه؛ كويفيستو، تومي (2014)، "نظريات جاذبية غاوس-بونيه الموسعة في هندسة فايل"، الجاذبية الكلاسيكية والكمية ، 31 (13) 135002، arXiv : 1402.1846 ، doi : 10.1088/0264-9381/31/13/135002 ، S2CID 118424219 .
• تشاب، أندرياس؛ ميتلر، توماس (2023)، "النظرية الهندسية لهياكل فايل"، الاتصالات في الرياضيات المعاصرة ، 25 (7): 2250026، arXiv : 1908.10325 ، doi : 10.1142/S0219199722500262 ، S2CID 201646408 .
• ميتلر، توماس؛ باتيرناين، غابرييل (2020)، "الأسطح الإسقاطية المحدبة ذات اتصال فايل المتوافق هي أسطح زائدية"، التحليل والمعادلات التفاضلية الجزئية ، 13 (4): 1073-1097 ، arXiv : 1804.04616 ، doi : 10.2140/apde.2020.13.1073 ، S2CID 119657577 .
• ألكسندروف، ب؛ إيفانوف، س (2003)، "بنى ويل ذات موتر ريتشي موجب"، الهندسة التفاضلية وتطبيقاتها ، 18 (3): 343-350 ، arXiv : math/9902033 ، doi : 10.1016/S0926-2245(03)00010-X ، S2CID 119624508 .
• فلورين بيلجون؛ أندريه مورويانو (2011)، "أشكال ويل المتوازية، والمنتجات المطابقة، ومتشعبات أينشتاين-ويل"، المجلة الآسيوية للرياضيات ، 15 (4): 499-520 ، arXiv : 0901.3647 ، doi : 10.4310/AJM.2011.v15.n4.a1 ، S2CID 55210918 .

• هندسة أينشتاين-ويل

• اتصال ويل ، موسوعة الرياضيات