مبدأ التقييد المنتظم

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 165 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعد مبدأ التقييد المنتظم، أو نظرية باناخ-شتاينهاوس، أحد النتائج الأساسية في التحليل الوظيفي . ويُعتبر، إلى جانب نظرية هان-باناخ ونظرية التطبيقات المفتوحة ، أحد أركان هذا المجال. وينص المبدأ، في أبسط صوره، على أنه بالنسبة لمجموعة من المؤثرات الخطية المتصلة (وبالتالي المؤثرات المقيدة ) التي يكون مجالها فضاء باناخ ، فإن التقييد النقطي يُكافئ التقييد المنتظم في معيار المؤثر .

تم نشر النظرية لأول مرة في عام 1927 بواسطة ستيفان باناش وهوجو شتاينهاوس ، ولكن تم إثباتها بشكل مستقل أيضًا بواسطة هانز هان .

نظرية

مبدأ التقييد المنتظم — ليكنX{\displaystyle X}كن فضاء باناش ،Y{\displaystyle Y}فضاء متجهي معياري وب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}فضاء جميع المؤثرات الخطية المتصلة منX{\displaystyle X}داخلY{\displaystyle Y}لنفترض أنF{\displaystyle F}هي مجموعة من المؤثرات الخطية المتصلة منX{\displaystyle X}لY.{\displaystyle Y.}إذا، لكلx∈X{\displaystyle x\in X}، رشفةتي∈F‖تي(x)‖Y<∞،{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,} ثم رشفةتي∈F‖تي‖ب(X،Y)<∞.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}

المتباينة الأولى (أي،رشفةتي∈F‖تي(x)‖<∞{\textstyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|<\infty }للجميعx{\displaystyle x}ينص على أن الدوال فيF{\displaystyle F}تكون محدودة نقطيًا، بينما تنص الثانية على أنها محدودة بشكل منتظم. القيمة العليا الثانية تساوي دائمًا رشفةتي∈F‖تي‖ب(X،Y)=رشفة‖x‖≤1تي∈F‖تي(x)‖Y=رشفةتي∈Fرشفة‖x‖≤1‖تي(x)‖Y{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F}{\|x\|\leq 1}}\|T(x)\|_{Y}=\sup _{T\in F}\sup _{\|x\|\leq 1}\|T(x)\|_{Y}} وإذاX{\displaystyle X}ليست فضاءً متجهيًا تافهًا (أو إذا تم أخذ القيمة العليا).[0،∞]{\displaystyle [0,\infty ]}بدلاً من[-∞،∞]{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}ثم يمكن استبدال كرة الوحدة المغلقة بكرة الوحدة رشفةتي∈F‖تي‖ب(X،Y)=رشفة‖x‖=1تي∈F،‖تي(x)‖Y.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|=1}}\|T(x)\|_{Y}.}

اكتمال فضاء باناخX{\displaystyle X}يُمكّن من البرهان القصير التالي، باستخدام نظرية فئة باير .

دليل

يفترضX{\displaystyle X}هو فضاء باناش، وهذا لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}رشفةتي∈F‖تي(x)‖Y<∞.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

لكل عدد صحيحن∈شمال،{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}يترك Xن={x∈X : رشفةتي∈F‖تي(x)‖Y≤ن}.{\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.}

كل مجموعةXن{\displaystyle X_{n}}هي مجموعة مغلقة، وبناءً على الافتراض، ⋃ن∈شمالXن=X≠∅.{\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}

بحسب نظرية باير للفئات للفضاء المتري الكامل غير الفارغX،{\displaystyle X,}يوجد بعضم∈شمال{\displaystyle m\in \mathbb {N} }بحيث Xم{\displaystyle X_{m}}له باطن غير فارغ ؛ أي أنه موجودx0∈Xم{\displaystyle x_{0}\in X_{m}}وε>0{\displaystyle \varepsilon >0}بحيث بε(x0)¯ := {x∈X:‖x-x0‖≤ε} ⊆ Xم.{\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}.}

يتركu∈X{\displaystyle u\in X}مع‖u‖≤1{\displaystyle \|u\|\leq 1}وتي∈F.{\displaystyle T\in F.} ثم: ‖تي(u)‖Y=ε-1‖تي(x0+εu)-تي(x0)‖Y[بسبب خطية تي]≤ε-1(‖تي(x0+εu)‖Y+‖تي(x0)‖Y)≤ε-1(م+م).[منذ  x0+εu، x0∈Xم]{\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}

السيطرة علىu{\displaystyle u}في كرة الوحدة منX{\displaystyle X}وما بعدهتي∈F{\displaystyle T\in F}ويترتب على ذلك أن رشفةتي∈F‖تي‖ب(X،Y) ≤ 2ε-1م < ∞.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty .}

وهناك أيضًا براهين بسيطة لا تستخدم نظرية باير ( سوكال 2011 ) .

النتائج المترتبة

النتيجة — إذا كان لدينا سلسلة من المؤثرات المحدودة(تين){\displaystyle \left(T_{n}\right)}يتقارب نقطيًا، أي أن نهاية(تين(x)){\displaystyle \left(T_{n}(x)\right)}موجود للجميعx∈X،{\displaystyle x\in X,}ثم تحدد هذه النهايات النقطية مؤثرًا خطيًا محدودًاتي.{\displaystyle T.}

لا تدعي النتيجة المذكورة أعلاه أنتين{\displaystyle T_{n}}يتقارب إلىتي{\displaystyle T}في معيار المؤثر، أي بشكل منتظم على المجموعات المحدودة. ومع ذلك، بما أن{تين}{\displaystyle \left\{T_{n}\right\}}محدود في معيار المؤثر، ومؤثر النهايةتي{\displaystyle T}مستمر، معياري3ε{\displaystyle 3\varepsilon }تشير التقديرات إلى أنتين{\displaystyle T_{n}}يتقارب إلىتي{\displaystyle T}بشكل موحد على الأجهزة المدمجة .

دليل

وهو في الأساس نفس برهان أن متتالية متقاربة نقطياً من الدوال المتساوية الاستمرارية على مجموعة مضغوطة تتقارب إلى دالة مستمرة.

بموجب مبدأ التقييد المنتظم، ليكنم=الأعلى{رشفةن‖تين‖،‖تي‖}{\displaystyle M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,\|T\|\}}أن يكون حدًا أعلى موحدًا لمعايير المشغل.

أصلح أي جهاز صغيرك⊂X{\displaystyle K\subset X}ثم لأيϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}تغطية محدودة (استخدام التراص)ك{\displaystyle K}بواسطة مجموعة محدودة من الكرات المفتوحة{ب(xأنا،ر)}أنا=1،...،شمال{\displaystyle \{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}}نصف قطرر=ϵم{\displaystyle r={\frac {\epsilon }{M}}}.

منذتين→تي{\displaystyle T_{n}\to T}نقطة بنقطة على كل منx1،...،xشمال{\displaystyle x_{1},...,x_{N}}، لجميع الأحجام الكبيرةن{\displaystyle n}،‖تين(xأنا)-تي(xأنا)‖≤ϵ{\displaystyle \|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon }للجميعأنا=1،...،شمال{\displaystyle i=1,...,N}.

ثم باستخدام متباينة المثلث، نجد لجميع القيم الكبيرةن{\displaystyle n}،∀x∈ك،‖تين(x)-تي(x)‖≤3ϵ{\displaystyle \forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon }.

النتيجة — أي مجموعة جزئية محدودة بشكل ضعيفS⊆Y{\displaystyle S\subseteq Y}في فضاء معياريY{\displaystyle Y}محدود.

في الواقع، عناصرS{\displaystyle S}نُعرّف عائلة محدودة نقطيًا من الأشكال الخطية المتصلة على فضاء باناخX:=Y′،{\displaystyle X:=Y',}وهو الفضاء الثنائي المتصل لـY.{\displaystyle Y.} بموجب مبدأ التقييد المنتظم، فإن معايير عناصرS،{\displaystyle S,}كوظائف علىX،{\displaystyle X,}أي المعايير في الثنائية الثانيةY"،{\displaystyle Y'',}محدودة. ولكن لكلs∈S،{\displaystyle s\in S,}المعيار في المثنى الثاني يتطابق مع المعيار فيY،{\displaystyle Y,}كنتيجة لنظرية هان-باناخ .

يتركل(X،Y){\displaystyle L(X,Y)}نرمز إلى المؤثرات المستمرة منX{\displaystyle X}لY،{\displaystyle Y,}مزودة بمعيار المؤثر . إذا كانت المجموعةF{\displaystyle F}غير محدود فيل(X،Y)،{\displaystyle L(X,Y),}وبناءً على ذلك، فإن مبدأ التقييد المنتظم يستلزم ما يلي: R={x∈X : رشفةتي∈F‖تيx‖Y=∞}≠∅.{\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .}

في الحقيقة،R{\displaystyle R}كثيف فيX.{\displaystyle X.}مكمل لـR{\displaystyle R}فيX{\displaystyle X}هو الاتحاد القابل للعد للمجموعات المغلقة⋃Xن.{\textstyle \bigcup X_{n}.} بحسب الحجة المستخدمة في إثبات النظرية، كلXن{\displaystyle X_{n}}ليست كثيفة في أي مكان ، أي المجموعة الجزئية⋃Xن{\textstyle \bigcup X_{n}}وهو من الفئة الأولى . لذلكR{\displaystyle R}هي متممة مجموعة جزئية من الفئة الأولى في فضاء باير. وبحسب تعريف فضاء باير، فإن هذه المجموعات (التي تُسمى مجموعات متبقية أو مجموعات مكتملة ) كثيفة. ويؤدي هذا المنطق إلى مبدأ تكثيف النقاط الشاذة ، والذي يمكن صياغته على النحو التالي:

نظرية — ليكنX{\displaystyle X}كن فضاء باناش،(Yن){\displaystyle \left(Y_{n}\right)}سلسلة من فضاءات المتجهات المعيارية، ولكلن،{\displaystyle n,}يتركFن{\displaystyle F_{n}}عائلة غير محدودة فيل(X،Yن).{\displaystyle L\left(X,Y_{n}\right).}ثم المجموعة R:={x∈X :  للجميع ن∈شمال،رشفةتي∈Fن‖تيx‖Yن=∞}{\displaystyle R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ لكل }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}} هي مجموعة متبقية، وبالتالي كثيفة فيX.{\displaystyle X.}

دليل

مكمل لـR{\displaystyle R}الاتحاد القابل للعد ⋃ن،م{x∈X : رشفةتي∈Fن‖تيx‖Yن≤م}{\displaystyle \bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}} من مجموعات الفئة الأولى. لذلك، مجموعتها المتبقيةR{\displaystyle R}كثيف.

مثال: التقارب النقطي لمتسلسلة فورييه

يتركتي{\displaystyle \mathbb {T} }لِتَكُنْ الدائرة ، وَلْيَكُنْج(تي){\displaystyle C(\mathbb {T} )}ليكن فضاء باناخ للدوال المتصلة علىتي،{\displaystyle \mathbb {T} ,}باستخدام المعيار المنتظم . وباستخدام مبدأ التقييد المنتظم، يمكن إثبات وجود عنصر فيج(تي){\displaystyle C(\mathbb {T} )}والتي لا تتقارب فيها متسلسلة فورييه نقطياً.

لو∈ج(تي)،{\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),}يتم تعريف متسلسلة فورييه الخاصة بها بواسطة∑ك∈Zو^(ك)هـأناكx=∑ك∈Z12π(∫02πو(ت)هـ-أناكتدت)هـأناكx،{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},} والمجموع الجزئي المتناظر من الرتبة N هو Sشمال(و)(x)=∑ك=-شمالشمالو^(ك)هـأناكx=12π∫02πو(ت)دشمال(x-ت)دت،{\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,} أيندشمال{\displaystyle D_{N}}هوشمال{\displaystyle N}نواة ديريشليه رقم -th . إصلاحx∈تي{\displaystyle x\in \mathbb {T} }وتأمل في تقارب{Sشمال(و)(x)}.{\displaystyle \left\{S_{N}(f)(x)\right\}.} الوظيفةφشمال،x:ج(تي)→ج{\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C} }محدد بواسطة φشمال،x(و)=Sشمال(و)(x)،و∈ج(تي)،{\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),} محدود. معيارφشمال،x،{\displaystyle \varphi _{N,x},}في ثنائيةج(تي)،{\displaystyle C(\mathbb {T} ),}هو معيار القياس الموقّع(2(2π)-1دشمال(x-ت)دت،{\displaystyle (2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,}أي ‖φشمال،x‖=12π∫02π|دشمال(x-ت)|دت=12π∫02π|دشمال(s)|دs=‖دشمال‖ل1(تي).{\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}

يمكن التحقق من ذلك 12π∫02π|دشمال(ت)|دت≥12π∫02π|الخطيئة⁡((شمال+12)ت)|ت/2دت→∞.{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}

لذا فإن المجموعة(φشمال،x){\displaystyle \left(\varphi _{N,x}\right)}غير محدود فيج(تي)*،{\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast },}ثنائيةج(تي).{\displaystyle C(\mathbb {T} ).} وبالتالي، وفقًا لمبدأ التقييد المنتظم، لأيx∈تي،{\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}مجموعة الدوال المتصلة التي تتباعد متسلسلات فورييه الخاصة بها عندx{\displaystyle x}كثيف فيج(تي).{\displaystyle C(\mathbb {T} ).}

يمكن استخلاص المزيد من النتائج بتطبيق مبدأ تكثيف النقاط الشاذة. ليكن(xم){\displaystyle \left(x_{m}\right)}أن تكون متتالية كثيفة فيتي.{\displaystyle \mathbb {T} .} يُعرِّفφشمال،xم{\displaystyle \varphi _{N,x_{m}}}بنفس الطريقة المذكورة أعلاه. ينص مبدأ تكثيف النقاط الشاذة على أن مجموعة الدوال المتصلة التي تتباعد متسلسلات فورييه الخاصة بها عند كل نقطة شاذة هي مجموعة الدوال المتصلة التي تتباعد متسلسلات فورييه الخاصة بها عند كل نقطة شاذة.xم{\displaystyle x_{m}} كثيف فيج(تي){\displaystyle C(\mathbb {T} )}(ومع ذلك، فإن متسلسلة فورييه لدالة متصلةو{\displaystyle f}يتقارب إلىو(x){\displaystyle f(x)}لكل شيء تقريبًاx∈تي،{\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}(بحسب نظرية كارلسون ).

التعميمات

في فضاء متجهي طوبولوجي (TVS)X،{\displaystyle X,}يشير مصطلح "المجموعة الجزئية المحدودة" تحديدًا إلى مفهوم المجموعة الجزئية المحدودة وفقًا لفون نيومان .X{\displaystyle X}يُصادف أيضًا أن يكون فضاءً معياريًا أو شبه معياري ، على سبيل المثال مع (شبه) معياري‖⋅‖،{\displaystyle \|\cdot \|,}ثم مجموعة فرعيةب{\displaystyle B}تكون دالة فون نيومان محدودة إذا وفقط إذا كانت محدودة بالمعيار ، وهو ما يعني بحكم التعريفرشفةب∈ب‖ب‖<∞.{\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}

مساحات برميلية

أدت محاولات إيجاد فئات من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدبة محليًا والتي ينطبق عليها مبدأ التقييد المنتظم في نهاية المطاف إلى ظهور الفضاءات البرميلية . أي أن أقل إطار تقييدي لمبدأ التقييد المنتظم هو الفضاء البرميلي، حيث ينطبق عليه الشكل المعمم التالي من النظرية ( بورباكي 1987 ، النظرية III.2.1) :

نظرية — بالنظر إلى فضاء أسطوانيX{\displaystyle X}وفضاء محدب محليًاY،{\displaystyle Y,}ثم أي عائلة من التطبيقات الخطية المستمرة المحدودة نقطيًا منX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}هي متصلة بشكل متساوٍ (بل ومتصلة بشكل متساوٍ بشكل منتظم ).

أو بدلاً من ذلك، ينطبق البيان أيضاً في كل مرةX{\displaystyle X}هو مساحة باير وY{\displaystyle Y}هو فضاء محدب محليًا. [ 1 ]

التقييد المنتظم في الفضاءات المتجهة الطوبولوجية

عائلة​ب{\displaystyle {\mathcal {B}}}مجموعات جزئية من فضاء متجهي طوبولوجيY{\displaystyle Y}يقال إنها محدودة بشكل منتظم فيY،{\displaystyle Y,}إذا وُجدت مجموعة جزئية محدودةد{\displaystyle D}لY{\displaystyle Y}بحيث ب⊆د لكل ب∈ب،{\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},} وهذا يحدث إذا وفقط إذا ⋃ب∈بب{\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B} هي مجموعة جزئية محدودة منY{\displaystyle Y}؛ لوY{\displaystyle Y}إذا كان فضاءً معياريًا، فإن هذا يحدث إذا وفقط إذا كان هناك فضاء حقيقيم≥0{\displaystyle M\geq 0}بحيثرشفةب∈بب∈ب‖ب‖≤م.{\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.} على وجه الخصوص، إذاح{\displaystyle H}هي مجموعة من الخرائط منX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}وإذاج⊆X{\displaystyle C\subseteq X}ثم العائلة{ح(ج):ح∈ح}{\displaystyle \{h(C):h\in H\}}محدود بشكل منتظم فيY{\displaystyle Y}إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة جزئية محدودةد{\displaystyle D}لY{\displaystyle Y}بحيثح(ج)⊆د للجميع ح∈ح،{\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}وهذا يحدث إذا وفقط إذاح(ج):=⋃ح∈حح(ج){\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}هي مجموعة جزئية محدودة منY.{\displaystyle Y.}

الفرضية [ 2 ] — ليكنح⊆ل(X،Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}لتكن مجموعة من المؤثرات الخطية المتصلة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}ودعج⊆X{\displaystyle C\subseteq X}ليكن أي مجموعة جزئية محدودة منX.{\displaystyle X.} ثم عائلة المجموعات{ح(ج):ح∈ح}{\displaystyle \{h(C):h\in H\}}محدود بشكل منتظم فيY{\displaystyle Y}إذا تحققت أي من الشروط التالية:

  1. ح{\displaystyle H}هي متصلة بشكل متساوٍ.
  2. ج{\displaystyle C}هي فضاء هاوسدورف محدب ومضغوط منX{\displaystyle X}ولكلج∈ج،{\displaystyle c\in C,}المدارح(ج):={ح(ج):ح∈ح}{\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}هي مجموعة جزئية محدودة منY.{\displaystyle Y.}

التعميمات التي تتضمن مجموعات فرعية غير ضئيلة

على الرغم من استخدام مفهوم المجموعة غير الهزيلة في النسخة التالية من مبدأ الحدود المنتظمة، فإن المجالX{\displaystyle X}لا يُفترض أن يكون فضاء باير .

النظرية [ 2 ] — ليكنح⊆ل(X،Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}لتكن مجموعة من المؤثرات الخطية المتصلة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}(ليس بالضرورة هاوسدورف أو محدبة محليًا). لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}يشير إلى مدارx{\displaystyle x}بواسطة ح(x):={ح(x):ح∈ح}{\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} ودعب{\displaystyle B}يرمز إلى مجموعة جميعx∈X{\displaystyle x\in X}مدارهح(x){\displaystyle H(x)}هي مجموعة جزئية محدودة منY.{\displaystyle Y.} لوب{\displaystyle B}وهي من الفئة الثانية (أي غير ضئيلة) فيX{\displaystyle X}ثمب=X{\displaystyle B=X}وح{\displaystyle H}هي متصلة بشكل متساوٍ.

كل فضاء متجهي جزئي مناسب من فضاء متجهيX{\displaystyle X}يحتوي على مساحة داخلية فارغةX.{\displaystyle X.}[ 3 ] لذلك على وجه الخصوص، فإن كل فضاء متجهي جزئي مغلق ليس كثيفًا في أي مكانX{\displaystyle X}وبالتالي فهي من الفئة الأولى (الضئيلة) فيX{\displaystyle X}(وينطبق الأمر نفسه على جميع مجموعاتها الفرعية). وبالتالي، فإن أي فضاء متجهي فرعي من فضاء متجهي فرعي (TVS)X{\displaystyle X}أي من الفئة الثانية (غير الهزيلة) فيX{\displaystyle X}يجب أن تكون مجموعة فرعية كثيفة منX{\displaystyle X}(لأن إغلاقها خلاف ذلك فيX{\displaystyle X}هل يمكن أن يكون فضاء متجهي مغلق ومناسب منX{\displaystyle X}وبالتالي فهي من الفئة الأولى). [ 3 ]

البرهان [ 2 ]

دليل على ذلكح{\displaystyle H}متصلة بانتظام:

يتركدبليو،V⊆Y{\displaystyle W,V\subseteq Y}أن تكون الأحياء المتوازنة هي الأصل فيY{\displaystyle Y}مُرضٍV¯+V¯⊆دبليو.{\displaystyle {\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.}يجب إثبات وجود حيشمال⊆X{\displaystyle N\subseteq X}من أصل فيX{\displaystyle X}بحيثح(شمال)⊆دبليو{\displaystyle h(N)\subseteq W}لكلح∈ح.{\displaystyle h\in H.} يترك ج := ⋂ح∈حح-1(V¯)،{\displaystyle C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right),} وهي مجموعة فرعية مغلقة منX{\displaystyle X}(لأنه تقاطع مجموعات جزئية مغلقة) بحيث لكلح∈ح،{\displaystyle h\in H,}كما أنه يرضيح(ج)⊆V¯{\displaystyle h(C)\subseteq {\overline {V}}}و ح(ج-ج) = ح(ج)-ح(ج) ⊆ V¯-V¯ = V¯+V¯ ⊆ دبليو{\displaystyle h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W} (كما سيتبين لاحقًا، المجموعةج-ج{\displaystyle C-C}هي في الواقع منطقة الأصل فيX{\displaystyle X}لأن البنية الطوبولوجية الداخلية لـج{\displaystyle C}فيX{\displaystyle X}(ليس فارغًا). إذاب∈ب{\displaystyle b\in B}ثمح(ب){\displaystyle H(b)}كونها محصورة فيY{\displaystyle Y}وهذا يعني وجود عدد صحيح مان∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }بحيثح(ب)⊆نV{\displaystyle H(b)\subseteq nV}إذاح∈ح،{\displaystyle h\in H,}ثمب ∈ ح-1(نV) = نح-1(V).{\displaystyle b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).} منذح∈ح{\displaystyle h\in H}كان تعسفياً، ب ∈ ⋂ح∈حنح-1(V) = ن⋂ح∈حح-1(V) ⊆ نج.{\displaystyle b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.} وهذا يثبت أن ب ⊆ ⋃ن∈شمالنج.{\displaystyle B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.} لأنب{\displaystyle B}ينتمي إلى الفئة الثانية فيX،{\displaystyle X,}وينطبق الأمر نفسه على مجموعة واحدة على الأقل من المجموعاتنج{\displaystyle nC}بالنسبة للبعضن∈شمال.{\displaystyle n\in \mathbb {N} .} الخريطةX→X{\displaystyle X\to X}محدد بواسطةx↦1نx{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}هو تماثل ( شامل ) ، لذا فإن المجموعة1ن(نج)=ج{\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}بالضرورة ينتمي إلى الفئة الثانية فيX.{\displaystyle X.} لأنج{\displaystyle C}مغلق وينتمي إلى الفئة الثانية فيX،{\displaystyle X,}بنيتها الطوبولوجية فيX{\displaystyle X}ليس فارغًا. اخترج∈عدد صحيحX⁡ج.{\displaystyle c\in \operatorname {Int} _{X}C.} لأن الخريطةX→X{\displaystyle X\to X}محدد بواسطةx↦ج-x{\displaystyle x\mapsto c-x}هو تماثل شكلي، المجموعة شمال := ج-عدد صحيحX⁡ج = عدد صحيحX⁡(ج-ج){\displaystyle N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)} هو حي من0=ج-ج{\displaystyle 0=c-c}فيX،{\displaystyle X,}مما يعني أن الأمر نفسه ينطبق على مجموعتها الشاملةج-ج.{\displaystyle C-C.} وهكذا بالنسبة لكلح∈ح،{\displaystyle h\in H,}ح(شمال) ⊆ ح(ج-ج) = ح(ج)-ح(ج) ⊆ V¯-V¯ ⊆ دبليو.{\displaystyle h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.} وهذا يثبت أنح{\displaystyle H}هي متصلة بانتظام. وهو المطلوب إثباته.

دليل على ذلكب=X{\displaystyle B=X}:

لأنح{\displaystyle H}تكون متصلة بانتظام، إذاS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}محصور فيX{\displaystyle X}ثمح(S){\displaystyle H(S)}محدود بشكل منتظم فيY.{\displaystyle Y.} على وجه الخصوص، لأيx∈X،{\displaystyle x\in X,}لأنS:={x}{\displaystyle S:=\{x\}}هي مجموعة جزئية محدودة منX،{\displaystyle X,}ح({x})=ح(x){\displaystyle H(\{x\})=H(x)}هي مجموعة جزئية محدودة بشكل منتظم منY.{\displaystyle Y.}هكذاب=X.{\displaystyle B=X.} QED

متواليات من الخرائط الخطية المتصلة

تحدد النظرية التالية شروط أن تكون النهاية النقطية لتسلسل من الخرائط الخطية المتصلة متصلة هي نفسها.

النظرية [ 4 ] — لنفترض أنح1،ح2،...{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }هي سلسلة من الخرائط الخطية المتصلة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيينX{\displaystyle X}وY.{\displaystyle Y.}

  1. إذا كانت المجموعةج{\displaystyle C}من بين الجميعx∈X{\displaystyle x\in X}والتيح1(x)،ح2(x)،...{\displaystyle h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots }هي متتالية كوشي فيY{\displaystyle Y}ينتمي إلى الفئة الثانية فيX،{\displaystyle X,}ثمج=X.{\displaystyle C=X.}
  2. إذا كانت المجموعةل{\displaystyle L}من بين الجميعx∈X{\displaystyle x\in X}عند الحدح(x):=ليمن→∞حن(x){\displaystyle h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)}موجود فيY{\displaystyle Y}ينتمي إلى الفئة الثانية فيX{\displaystyle X}وإذاY{\displaystyle Y}إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا متريًا كاملًا (مثل فضاء فريشيه أو فضاء F )، فإنل=X{\displaystyle L=X}وح:X→Y{\displaystyle h:X\to Y}هي خريطة خطية متصلة.

النظرية [ 3 ] — إذاح1،ح2،...{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }هي سلسلة من الخرائط الخطية المتصلة من فضاء FX{\displaystyle X}إلى فضاء متجه طوبولوجي هاوسدورفY{\displaystyle Y}بحيث يكون لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}الحد ح(x) := ليمن→∞حن(x){\displaystyle h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)} موجود فيY،{\displaystyle Y,}ثمح:X→Y{\displaystyle h:X\to Y}هي خريطة خطية متصلة والخرائطح،ح1،ح2،...{\displaystyle h,h_{1},h_{2},\ldots }هي متصلة بشكل متساوٍ.

إذا كان المجال فضاء باناخ والمجال المقابل فضاءً معياريًا ،‖ح‖≤الحد الأقصى غير محدودن→∞‖حن‖<∞.{\displaystyle \|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .}

مجال قابل للقياس الكامل

يثبت ديودونيه (1970) شكلاً أضعف من هذه النظرية باستخدام فضاءات فريشيه بدلاً من فضاءات باناخ المعتادة.

النظرية [ 2 ] — ليكنح⊆ل(X،Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}لتكن مجموعة من المؤثرات الخطية المتصلة من فضاء متجهي طوبولوجي كامل قابل للقياسX{\displaystyle X}(مثل فضاء فريشيه أو فضاء F ) إلى فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورفY.{\displaystyle Y.} إذا لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}المدار​ح(x):={ح(x):ح∈ح}{\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} هي مجموعة جزئية محدودة منY{\displaystyle Y}ثمح{\displaystyle H}هي متصلة بشكل متساوٍ.

لذا على وجه الخصوص، إذاY{\displaystyle Y}وهو أيضًا فضاء معياري، وإذا رشفةح∈ح‖ح(x)‖<∞ لكل x∈X،{\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ for every }}x\in X,} ثمح{\displaystyle H}هي متصلة بشكل متساوٍ.

انظر أيضاً

ملحوظات

الاقتباسات

فهرس