دالة شبه دورية

في الرياضيات ، تُعرَّف الدالة شبه الدورية ، بشكل عام، بأنها دالة لمتغير حقيقي تتسم بالدورية ضمن أي مستوى دقة مطلوب، وذلك بشرط وجود "فترات شبه دورية" طويلة وموزعة توزيعًا جيدًا. درس هذا المفهوم لأول مرة هارالد بور ، ثم عمّمه لاحقًا كلٌّ من فياتشيسلاف ستيبانوف ، وهيرمان فايل، وأبرام سامويلوفيتش بيسيكوفيتش ، وغيرهم. كما يوجد مفهوم للدوال شبه الدورية على الزمر الأبيلية المدمجة محليًا ، وقد درسه جون فون نيومان لأول مرة .

شبه الدورية خاصيةٌ للأنظمة الديناميكية التي تبدو وكأنها تعيد رسم مساراتها عبر فضاء الطور ، ولكن ليس بدقة تامة. مثال على ذلك نظام كوكبي ، حيث تدور الكواكب في مدارات ذات فترات غير متناسبة (أي، بمتجه فترة لا يتناسب مع متجه الأعداد الصحيحة ). يمكن استخدام نظرية كرونكر من التقريب الديوفانتي لإثبات أن أي تكوين معين يحدث مرة واحدة، سيتكرر ضمن أي دقة محددة: إذا انتظرنا لفترة كافية، يمكننا ملاحظة عودة جميع الكواكب إلى مواقعها السابقة في حدود ثانية قوسية ، على سبيل المثال.

توجد عدة تعريفات غير متكافئة للدوال شبه الدورية. أولها قدمه هارالد بور، الذي انصب اهتمامه في البداية على متسلسلات ديريشليه المنتهية . في الواقع، بتقليص متسلسلة دالة زيتا لريمان ζ ( s ) لجعلها منتهية، نحصل على مجاميع منتهية من الحدود من النوع

${\displaystyle e^{s\log n}\,}$

حيث يُكتب s على الصورة σ  + it – مجموع جزئه الحقيقي σ وجزئه التخيلي it . بتثبيت σ ، وبالتالي حصر الانتباه على خط رأسي واحد في المستوى المركب ، يمكننا أن نرى هذا أيضًا على النحو التالي: 

${\displaystyle n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,}$

إن أخذ مجموع محدود من هذه الحدود يتجنب صعوبات الاستمرار التحليلي إلى المنطقة σ  <  1. هنا لن تكون "الترددات" log n قابلة للقياس كلها (فهي مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية بقدر استقلال الأعداد الصحيحة n ضربيًا - وهو ما يؤول إلى تحليلها إلى عواملها الأولية).

انطلاقاً من هذا الدافع الأولي للنظر في أنواع كثيرات الحدود المثلثية ذات الترددات المستقلة، تم تطبيق التحليل الرياضي لمناقشة إغلاق هذه المجموعة من الدوال الأساسية، في معايير مختلفة .

تم تطوير هذه النظرية باستخدام معايير أخرى من قبل بيسيكوفيتش ، وستيبانوف ، وويل ، وفون نيومان ، وتورينج ، وبوخنر، وغيرهم في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين.

في معالجة الكلام ، ومعالجة الإشارات الصوتية ، وتوليف الموسيقى ، تُعرف الإشارة شبه الدورية ، والتي تُسمى أحيانًا الإشارة شبه التوافقية ، بأنها شكل موجي دوري تقريبًا على المستوى المجهري، ولكنه ليس بالضرورة دوريًا على المستوى العياني. وهذا لا يُعطي دالة شبه دورية ، بل ما هو أقرب إلى دالة شبه دورية، حيث تكون كل دورة متطابقة تقريبًا مع الدورات المجاورة لها، ولكنها ليست بالضرورة مشابهة للدورات الأبعد زمنيًا. وينطبق هذا على النغمات الموسيقية (بعد بداية النغمة العابرة) حيث تكون جميع النغمات الجزئية أو التوافقية توافقية (أي أن جميع النغمات التوافقية تكون بترددات تُشكل مضاعفات صحيحة للتردد الأساسي للنغمة).

عندما تكون الإشارة${\displaystyle x(t)\ }$دورية كاملة ذات فترة${\displaystyle P\ }$إذن، فإن الإشارة تحقق الشرط تمامًا.

${\displaystyle x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$

أو

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\ }$

سيكون تمثيل متسلسلة فورييه كالتالي :

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}}$

أو

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})}$

أين${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{P}}}$التردد الأساسي ومعاملات فورييه هي

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\ }$

${\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }$

أين ${\displaystyle t_{0}\ }$يمكن أن يحدث في أي وقت: ${\displaystyle -\infty <t_{0}<+\infty \ }$.

التردد الأساسي${\displaystyle f_{0}\ }$ومعاملات فورييه${\displaystyle a_{n}\ }$، ${\displaystyle b_{n}\ }$،${\displaystyle r_{n}\ }$، أو${\displaystyle \varphi _{n}\ }$هي ثوابت، أي أنها ليست دوالًا للزمن. الترددات التوافقية هي مضاعفات صحيحة للتردد الأساسي.

متى${\displaystyle x(t)\ }$إذا كانت شبه دورية

${\displaystyle x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\ }$

أو

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \ }$

أين

${\displaystyle 0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\ }$

أما تمثيل متسلسلة فورييه فسيكون كالتالي

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]}$

أو

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)}$

أو

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)}$

أين${\displaystyle f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}}$يمثل التردد الأساسي الذي قد يتغير مع الزمن ، ومعاملات فورييه المتغيرة مع الزمن هي

${\displaystyle a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \ }$

${\displaystyle a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \ }$

والتردد اللحظي لكل جزء هو

${\displaystyle f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,}$

أما في هذه الحالة شبه الدورية، فإن التردد الأساسي${\displaystyle f_{0}(t)\ }$الترددات التوافقية${\displaystyle f_{n}(t)\ }$ومعاملات فورييه${\displaystyle a_{n}(t)\ }$، ${\displaystyle b_{n}(t)\ }$، ${\displaystyle r_{n}(t)\ }$، أو${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$ليست بالضرورة ثابتة، بل هي دوال للزمن، وإن كانت دوالًا متغيرة ببطء . بعبارة أخرى، فإن نطاق تردد هذه الدوال الزمنية محدود إلى أقل بكثير من التردد الأساسي لـ${\displaystyle x(t)\ }$أن تعتبر شبه دورية.

الترددات الجزئية${\displaystyle f_{n}(t)\ }$هي قريبة جدًا من التوافقية، ولكن ليس بالضرورة تمامًا. المشتق الزمني لـ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$، إنه${\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ }$، وله تأثير في تغيير تردد النغمات الجزئية عن قيمتها التوافقية الصحيحة الدقيقة${\displaystyle nf_{0}(t)\ }$. سريع التغير${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$هذا يعني أن التردد اللحظي لهذا التوافقي الجزئي يختلف اختلافًا كبيرًا عن قيمة التوافقي الصحيح، مما يعني أن${\displaystyle x(t)\ }$ليست شبه دورية.

• التخليق الإضافي
• دالة غير دورية
• الموسيقى الإلكترونية
• متسلسلة فورييه
• سلسلة التوافقيات (الموسيقى)
• دالة شبه دورية
• التبليط شبه الدوري

• أميريو، لويجي ؛ براوس، جيوفاني (1971)، الدوال شبه الدورية والمعادلات الوظيفية ، سلسلة الجامعة في الرياضيات العليا ، نيويورك - سينسيناتي - تورنتو - لندن - ملبورن: فان نوستراند رينهولد ، الصفحات:  8 + 184، رقم ISBN 0-442-20295-4، MR 0275061 ، Zbl 0215.15701  .
• أ. س. بيسيكوفيتش، "الدوال شبه الدورية"، مطبعة جامعة كامبريدج (1932)
• Bochner، S. (1926)، “Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen”، الرياضيات. أنالين ، 96 : 119-147 ، دوى : 10.1007 / BF01209156 ، S2CID 118124462 
• إس. بوخنر وج. فون نيومان، "الدالة شبه الدورية في مجموعة II"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات، 37 العدد 1 (1935) ص  21-50
• هـ. بور، "الدوال شبه الدورية"، تشيلسي، طبعة معاد طباعتها (1947)
• بريديخينا، إي. أ. (2001) [1994]، "الدالة شبه الدورية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• بريديخينا، إي. أ. (2001) [1994]، "دوال بيسيكوفيتش شبه الدورية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• بريديخينا، إي. أ. (2001) [1994]، "دوال بور شبه الدورية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• بريديخينا، إي. أ. (2001) [1994]، "دوال ستيبانوف شبه الدورية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• بريديخينا، إي. أ. (2001) [1994]، "دوال فايل شبه الدورية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• ج. فون نيومان، "الدوال شبه الدورية في المجموعة الأولى"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات، 36 رقم 3 (1934) ص  445-492

• "الدالة شبه الدورية (تعريف مكافئ)" . PlanetMath .