طريقة الخصائص

في الرياضيات ، تُعدّ طريقة الخصائص أسلوبًا لحلّ معادلات تفاضلية جزئية مُحدّدة . وهي تُطبّق عادةً على معادلات الرتبة الأولى ، مع أنّه يُمكن عمومًا إيجاد منحنيات الخصائص لمعادلات تفاضلية جزئية زائدية ومكافئة . وتتمثّل هذه الطريقة في اختزال المعادلة التفاضلية الجزئية إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية ، حيث يُمكن تكامل الحلّ انطلاقًا من بيانات أولية مُعطاة على سطح فائق مناسب .

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى، تكشف طريقة الخصائص عن ما يُسمى بالمنحنيات المميزة التي تتحول عندها المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة تفاضلية عادية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وبمجرد إيجاد المعادلة التفاضلية العادية، يمكن حلها على طول المنحنيات المميزة وتحويلها إلى حل للمعادلة التفاضلية الجزئية الأصلية.

معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية ثنائية الأبعاد

لتبسيط الأمور، سنوجه انتباهنا في البداية إلى حالة دالة لمتغيرين مستقلين x و y . لنعتبر معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية من الشكل ^{[ 3 ].}

${\displaystyle a(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial x}}+b(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial y}}=c(x,y,u).}$

1

لدالة قابلة للتفاضل${\displaystyle (x,y)\mapsto u(x,y)}$لننظر إلى الرسم البياني لـ u ، وهو المجموعة $${\displaystyle \operatorname {gph} (u)=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z=u(x,y)\}}$$ متجه عمودي إلى${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle n(x,y)=\left({\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y),-1\right).}$$

ضع في اعتبارك حقل المتجهات

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{bmatrix}a(x,y,z)\\b(x,y,z)\\c(x,y,z)\end{bmatrix}}.}$

2

حاصل الضرب النقطي لحقل المتجهات ( 2 ) مع المتجه العمودي على${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$في كل${\displaystyle (x,y,u(x,y))\in \operatorname {gph} (u)}$يكون$$\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}(x,y)\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}(x,y)\\-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\\b{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\\c{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\end{bmatrix}}=a{\big (}x,y,u(x,y){\big )}{\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)+b{\big (}x,y,u(x,y){\big )}{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)-c{\big (}x,y,u(x,y){\big )}.}$$

بمقارنة الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه مع ( 1 )، يتضح أن العبارات التالية متكافئة:

• الطرف الأيمن من المعادلة أعلاه يساوي صفرًا؛
• ${\displaystyle u}$هو حل لـ ( 1 )؛
• الحقل المتجهي ( 2 ) متعامد مع المتجهات العمودية لـ${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$في كل نقطة${\displaystyle (x,y,z)\in \operatorname {gph} (u)}$؛
• يكون حقل المتجهات ( 2 ) مماساً للسطح${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$في كل نقطة${\displaystyle (x,y,z)\in \operatorname {gph} (u)}$؛

بمعنى آخر، فإن رسم حل المعادلة ( 1 ) هو اتحاد منحنيات التكامل لحقل المتجهات ( 2 ). يُسمى كل منحنى تكامل منحنى مميزًا لمعادلة التفاضل الجزئي ( 1 )، ويتبع ذلك حلول المعادلات المميزة : ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\dfrac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\[4pt]{\dfrac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\[4pt]{\dfrac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}\right.}$$

الشكل الثابت للمعادلات لاغرانج-شاربيت هو: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}$

المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية وشبه الخطية ذات الأبعاد N

لنفترض الآن معادلة تفاضلية جزئية من الشكل التالي

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}$

لكي تكون هذه المعادلة التفاضلية الجزئية خطية ، يجب _أن تكون المعاملات aᵢ دوالًا للمتغيرات المكانية فقط، ومستقلة عن u . ولكي تكون شبه خطية، ^{[ 6 ]} _يجب أن تعتمد aᵢ أيضًا على قيمة الدالة، ولكن ليس على أي مشتقات. إن التمييز بين هاتين الحالتين غير جوهري في سياق هذه المناقشة.

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية أو شبه الخطية، تُعطى المنحنيات المميزة بشكل وسيطي بواسطة

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(X_{1}(s),\dots ,X_{n}(s),U(s))}$

${\displaystyle u(\mathbf {X} (s))=U(s)}$

بالنسبة لبعض الدوال أحادية المتغير${\displaystyle s\mapsto (X_{i}(s))_{i},U(s)}$ متغير حقيقي واحد${\displaystyle s}$ تحقق نظام المعادلات التفاضلية العادية التالي

${\displaystyle X_{i}'=a_{i}(X_{1},\dots ,X_{n},U){\text{ for }}i=1,\dotsc ,n}$

4

${\displaystyle U'=c(X_{1},\dots ,X_{n},U).}$

5

المعادلتان ( 4 ) و ( 5 ) تعطيان خصائص المعادلة التفاضلية الجزئية.

برهان الحالة شبه الخطية

في الحالة شبه الخطية، يُبرر استخدام طريقة الخصائص بمتباينة غرونوال . ويمكن كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$$ يجب أن نميز بين حلول المعادلة التفاضلية العادية وحلول المعادلة التفاضلية الجزئية، والتي لا نعلم مسبقًا أنها متساوية. بفرض أن الأحرف الكبيرة تمثل حلول المعادلة التفاضلية العادية، نجد $${\displaystyle \mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))}$$$${\displaystyle U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))}$$ فحص${\displaystyle \Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}}$، نجد عند التفاضل أن $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}}$$ وهو نفس $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}}$$ لا يمكننا استنتاج أن ما سبق يساوي صفرًا كما نود، لأن المعادلة التفاضلية الجزئية تضمن لنا فقط أن هذه العلاقة محققة لـ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$،${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$ولا نعلم ذلك حتى الآن${\displaystyle U(s)=u(\mathbf {X} (s))}$. لكن يمكننا أن نرى ذلك $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}$$ بما أن الحد الأخير يساوي صفرًا وفقًا للمعادلة التفاضلية الجزئية، فإن هذا يساوي $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}$$ باستخدام متباينة المثلث، لدينا $${\displaystyle |\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}}$$ بافتراض${\displaystyle \mathbf {a} ,c}$هم على الأقل${\displaystyle C^{1}}$يمكننا تحديد هذا لفترات زمنية قصيرة. اختر حيًا${\displaystyle \Omega }$حول${\displaystyle \mathbf {X} (0),U(0)}$صغيرة بما يكفي بحيث${\displaystyle \mathbf {a} ,c}$محلياً، هي ليبشيتز . بالاستمرارية،${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))}$سيبقى في${\displaystyle \Omega }$لصغير بما فيه الكفاية${\displaystyle s}$. منذ${\displaystyle U(0)=u(\mathbf {X} (0))}$لدينا ذلك أيضاً${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))}$سيكون في${\displaystyle \Omega }$لصغير بما فيه الكفاية${\displaystyle s}$بالاستمرارية. لذا،${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega }$و${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega }$ل${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$. بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M}$بالنسبة للبعض${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ل${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$بسبب خاصية التراص. ومن هذا، نجد أن ما سبق محدود كما يلي: $${\displaystyle |\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$. إنه تطبيق مباشر لمتباينة غرونوال لإثبات أنه بما أن${\displaystyle \Delta (0)=0}$لدينا${\displaystyle \Delta (s)=0}$طالما أن هذه المتباينة قائمة. لدينا فترة معينة${\displaystyle [0,\varepsilon )}$بحيث${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$في هذه الفترة. اختر الأكبر${\displaystyle \varepsilon }$بحيث يكون هذا صحيحًا. ثم، بالاستمرارية،${\displaystyle U(\varepsilon )=u(\mathbf {X} (\varepsilon ))}$بشرط أن تظل المعادلة التفاضلية العادية تمتلك حلاً في فترة ما بعد${\displaystyle \varepsilon }$يمكننا تكرار الحجة المذكورة أعلاه لنكتشف أن${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$في فترة زمنية أكبر. وبالتالي، طالما أن المعادلة التفاضلية العادية لها حل، فإننا نحصل على${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$.

معادلة تفاضلية جزئية غير خطية تمامًا

لنفترض المعادلة التفاضلية الجزئية

${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0}$

6

حيث تمثل المتغيرات p _i اختصارًا للمشتقات الجزئية

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}$

يترك${\displaystyle s\mapsto (x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s),p_{1}(s),\dots ,p_{n}(s))}$ليكن منحنى في R ²ⁿ⁺¹ . لنفترض أن u هو أي حل، وأن

${\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}$

المشتقات بالنسبة إلى${\displaystyle s}$ل${\displaystyle x_{i},}$${\displaystyle u,}$و${\displaystyle p_{i}}$تُكتب على النحو التالي${\displaystyle {\dot {x}}_{i},}$،${\displaystyle {\dot {u}},}$و${\displaystyle {\dot {p}}_{i},}$على التوالي. على طول الحل، فإن اشتقاق ( 6 ) بالنسبة إلى s يعطي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.}$

تنتج المعادلة الثانية من تطبيق قاعدة السلسلة على الحل u ، وتنتج المعادلة الثالثة من خلال أخذ مشتقة خارجية للعلاقة${\displaystyle du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0}$. يؤدي التلاعب بهذه المعادلات إلى

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\dot {x}}_{i}&=\lambda F_{p_{i}},\\[5pt]{\dot {p}}_{i}&=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\\[5pt]{\dot {u}}&=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}\end{aligned}}\right.}$$

حيث λ ثابت. وبكتابة هذه المعادلات بشكل أكثر تناظرًا، نحصل على معادلات لاغرانج-شاربيت للخاصية المميزة

${\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.}$

من الناحية الهندسية، يمكن تفسير طريقة الخصائص في الحالة غير الخطية تمامًا على أنها تتطلب أن يكون مخروط مونج للمعادلة التفاضلية مماسًا في كل مكان لمخطط الحل.

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك معادلة الحمل (يفترض هذا المثال الإلمام برموز المعادلات التفاضلية الجزئية، وحلول المعادلات التفاضلية العادية الأساسية).

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

أين${\displaystyle a}$ثابت و${\displaystyle u}$هي وظيفة من${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$نريد تحويل هذه المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من الدرجة الأولى إلى معادلة تفاضلية عادية على طول المنحنى المناسب؛ أي شيء من الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),}$

أين${\displaystyle (x(s),t(s))}$هو خط مميز. أولاً، نجد

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

باستخدام قاعدة السلسلة. الآن، إذا وضعنا${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$و${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$نحصل

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

وهو الطرف الأيسر من المعادلة التفاضلية الجزئية التي بدأنا بها.

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

لذا، على طول الخط المميز${\displaystyle (x(s),t(s))}$، تصبح المعادلة التفاضلية الجزئية الأصلية معادلة تفاضلية عادية${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$أي أن الحل ثابت على طول الخصائص. وبالتالي،${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$أين${\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}$و${\displaystyle (x_{0},0)}$تقع على نفس الخاصية. لذلك، لتحديد الحل العام، يكفي إيجاد الخصائص عن طريق حل نظام الخصائص للمعادلات التفاضلية العادية:

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$، السماح${\displaystyle t(0)=0}$نحن نعلم${\displaystyle t=s}$،
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$، السماح${\displaystyle x(0)=x_{0}}$نحن نعلم${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$،
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$، السماح${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$نحن نعلم${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$.

في هذه الحالة، تكون الخطوط المميزة عبارة عن خطوط مستقيمة ذات ميل${\displaystyle a}$وقيمة${\displaystyle u}$يظل ثابتًا على طول أي خط مميز.

ليكن X مشعبًا قابلًا للتفاضل و P مؤثرًا تفاضليًا خطيًا

${\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

من الرتبة k . في نظام إحداثيات محلي x ⁱ ،

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}$

حيث يرمز α إلى مؤشر متعدد . الرمز الرئيسي لـ P ، ويرمز له _بـ σP ، هو الدالة على حزمة الظل المرافق T ^* X المعرفة في هذه الإحداثيات المحلية بواسطة

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}$

حيث تمثل ξᵢ إحداثيات الألياف على حزمة الظل التمام الناتجة عن تفاضلات الإحداثيات dxᵢ ^{. على الرغم من أن هذا يُعرَّف باستخدام نظام إحداثيات معين،} _فإن قانون التحويل الذي يربط بين _ξᵢ و xᵢ يضمن أن σₚ _دالة معرفة جيدًا على حزمة الظل التمام ^.

الدالة σP متجانسة من الدرجة k في المتغير ξ . أصفار σP _، بعيدًا عن المقطع الصفري لـ T ^* X ، هي خصائص P. _يُطلق على السطح الفائق لـ X المعرّف بالمعادلة F ( x ) = c اسم السطح الفائق المميز عند x إذا  

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}$

وبشكل ثابت، فإن السطح الفائق المميز هو سطح فائق تكون حزمة متجهاته المشتركة في المجموعة المميزة لـ P.

تُعد الخصائص أيضًا أداة قوية لاكتساب فهم نوعي لمعادلة ديناميكيات المنتج.

يمكن استخدام نقاط تقاطع الخصائص لإيجاد موجات الصدمة لتدفق كامن في سائل قابل للانضغاط . وبشكل بديهي، يمكننا اعتبار كل خط مميز بمثابة حل لـ${\displaystyle u}$على طول نفسها. وبالتالي، عندما تتقاطع خاصيتان، تصبح الدالة متعددة القيم، مما ينتج عنه حل غير فيزيائي. فيزيائيًا، يُزال هذا التناقض بتكوين موجة صدمية، أو انقطاع مماس، أو انقطاع ضعيف، ويمكن أن يؤدي إلى تدفق غير كامن، مما يخالف الافتراضات الأولية. ^{[ 8 ]}

قد لا تغطي الخصائص جزءًا من نطاق المعادلة التفاضلية الجزئية. يُطلق على هذا اسم التخلخل ، ويشير إلى أن الحل موجود عادةً بمعنى ضعيف ، أي بمعنى معادلة تكاملية .

يشير اتجاه الخطوط المميزة إلى تدفق القيم عبر الحل، كما يوضح المثال أعلاه. هذه المعرفة مفيدة عند حل المعادلات التفاضلية الجزئية عدديًا، إذ يمكنها تحديد أفضل طريقة للفروق المحدودة لحل المسألة.

• طريقة الخصائص الكمومية

• كوران، ريتشارد ؛ هيلبرت، ديفيد (1962)، أساليب الفيزياء الرياضية، المجلد الثاني ، وايلي-إنترساينس
• ديميدوف، إس إس (1982). "دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 26 (4). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ​​ذ.م.م: 325-350 . doi : 10.1007/bf00418753 . ISSN 0003-9519 . 
• إيفانز، لورانس سي. (1998)، المعادلات التفاضلية الجزئية ، بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-0772-2
• جون، فريتز (1991). المعادلات التفاضلية الجزئية (  الطبعة الرابعة). نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-90609-6.
• زاودرير، إريك (2006). المعادلات التفاضلية الجزئية في الرياضيات التطبيقية . وايلي. doi : 10.1002/9781118033302 . ISBN 978-0-471-69073-3.* بوليانين، أ.د.؛ زايتسيف، ف.ف.؛ موسيو، أ. (2002)، دليل المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى ، لندن: تايلور وفرانسيس، ISBN 0-415-27267-X
• بينشوفير، يهودا؛ روبنشتاين، يعقوب (2005). مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9780511801228 . ISBN 978-0-511-80122-8.
• بوليانين، أ.د. (2002)، دليل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية للمهندسين والعلماء ، بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي برس، رقم ISBN 1-58488-299-9
• سارا، سكوت (2003)، "طريقة الخصائص مع تطبيقات على قوانين الحفظ" ، مجلة الرياضيات الإلكترونية وتطبيقاتها
• ستريتر، في إل؛ وايلي، إي بي (1998)، ميكانيكا الموائع (  الطبعة الدولية التاسعة المنقحة)، ماكجرو هيل للتعليم العالي
• زاكمانوغلو، إي سي؛ ثو، ديل دبليو. (1986). مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية مع تطبيقات . نيويورك: شركة كورير. ISBN 0-486-65251-3.

• درس تعليمي للأستاذ سكوت سارا حول طريقة الخصائص
• شرح البروفيسور آلان هود لطريقة الخصائص