التدفق المحتمل

يمكن أيضًا استخدام نظرية التدفق الكامن لنمذجة التدفق الانضغاطي غير الدوراني. اشتقاق المعادلة الحاكمة لـ${\displaystyle \varphi }$إن استنتاج معادلات أويلر أمرٌ بسيطٌ للغاية. تُعطى معادلات الاستمرارية ومعادلات الزخم (التدفق الكامن) للتدفقات المستقرة كما يلي:

$$// }$$

حيث تُستنتج المعادلة الأخيرة من حقيقة أن الإنتروبيا ثابتة بالنسبة لجزيء سائل وأن مربع سرعة الصوت هو${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$. القضاء على${\displaystyle \nabla \rho }$ينتج عن المعادلتين الحاكمتين ما يلي:

$${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}$$

تظهر النسخة غير القابلة للانضغاط في النهاية${\displaystyle c\to \infty }$. استبدال هنا${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$النتائج في ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$$// _ {xy}+\varphi _ {y}\varphi _ {z}\varphi _ {yz}+\varphi _ {z}\varphi _ {x}\phi _ {zx}) = 0}$$

أين${\displaystyle c=c(v)}$يتم التعبير عنها كدالة لمقدار السرعة${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$بالنسبة للغاز متعدد الخواص ،${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$، أين${\displaystyle \gamma }$هي نسبة الحرارة النوعية و${\displaystyle h_{0}}$هي إنثالبي الركود . في بعدين، تُبسط المعادلة إلى

$${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$$

الصلاحية: في وضعها الحالي، تُعدّ المعادلة صالحة لأي تدفقات كامنة غير لزجة، بغض النظر عما إذا كان التدفق دون صوتي أو فوق صوتي (مثل تدفق براندتل-ماير ). مع ذلك، في التدفقات فوق الصوتية والتدفقات الانتقالية، قد تحدث موجات صدمية تُدخل إنتروبيا ودوامية في التدفق، مما يجعله دورانيًا. ومع ذلك، توجد حالتان يسود فيهما التدفق الكامن حتى في وجود الموجات الصدمية، وهما مُفسَّرتان من معادلة الزخم (التي ليست بالضرورة كامنة) المكتوبة بالشكل التالي.

$${\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}$$

أين${\displaystyle h}$هي المحتوى الحراري النوعي ،${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هو حقل الدوامة ،${\displaystyle T}$درجة الحرارة و${\displaystyle s}$هي الإنتروبيا النوعية. وبما أن لدينا تدفقًا كامنًا أمام الموجة الصدمية الأمامية، فإن معادلة برنولي تُظهر أن${\displaystyle h+v^{2}/2}$ثابت، وهو ثابت أيضًا عبر موجة الصدمة ( شروط رانكين-هوغونيو ) وبالتالي يمكننا كتابة ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}$$

1) عندما تكون شدة الموجة الصدمية ثابتة، يكون عدم استمرارية الإنتروبيا عبر الموجة الصدمية ثابتًا أيضًا، أي${\displaystyle \nabla s=0}$وبالتالي، يكون إنتاج الدوامات معدومًا. تتميز موجات الصدمة عند الحافة الأمامية المدببة للوتد ثنائي الأبعاد أو المخروط ثلاثي الأبعاد ( تدفق تايلور-ماكول ) بشدة ثابتة. 2) بالنسبة لموجات الصدمة الضعيفة، تكون قفزة الإنتروبيا عبر موجة الصدمة كمية من الدرجة الثالثة بالنسبة لقوة موجة الصدمة، وبالتالي${\displaystyle \nabla s}$يمكن إهمالها. تقع موجات الصدمة في الأجسام النحيلة بشكل شبه موازٍ للجسم وهي ضعيفة.

التدفقات شبه المتوازية: عندما يكون التدفق أحادي الاتجاه في الغالب مع انحرافات صغيرة كما هو الحال في التدفق حول الأجسام النحيلة، يمكن تبسيط المعادلة الكاملة بشكل أكبر. لنفترض${\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}$لنفترض أن السرعة هي التيار السائد، ولنأخذ في الاعتبار الانحرافات الطفيفة عن مجال السرعة هذا. ويمكن كتابة جهد السرعة المقابل على النحو التالي:${\displaystyle \varphi =xU+\phi }$أين${\displaystyle \phi }$يُحدد هذا الانحراف الطفيف عن التدفق المنتظم، ويُحقق الصيغة الخطية للمعادلة الكاملة. ويُعطى هذا بواسطة

$${\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$$

أين${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$يمثل عدد ماخ الثابت المقابل للتدفق المنتظم. وتكون هذه المعادلة صحيحة بشرط${\displaystyle M}$لا يقترب من الوحدة. عندما${\displaystyle |M-1|}$إذا كانت صغيرة (تدفق فوق صوتي)، فلدينا المعادلة غير الخطية التالية ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$$

أين${\displaystyle \alpha _{*}}$القيمة الحرجة لمشتقة لاندو${\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}}$^{[ 6 ] [ 7 ]} و${\displaystyle \upsilon =1/\rho }$يمثل الحجم النوعي . يتميز التدفق فوق الصوتي تمامًا بمعامل واحد.${\displaystyle \alpha _{*}}$، والتي تأخذ القيمة بالنسبة للغاز متعدد الخواص${\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}$. تحت تحويل الهودوغراف ، تصبح المعادلة فوق الصوتية في بعدين معادلة أويلر-تريكومي .

تُعطى معادلات الاستمرارية ومعادلات الزخم (التدفق الكامن) للتدفقات غير المستقرة كما يلي:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}$$

يُعطى التكامل الأول لمعادلة الزخم (التدفق الكامن) بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}$$

أين${\displaystyle f(t)}$هي دالة اختيارية. وبدون فقدان للعمومية، يمكننا أن نضع${\displaystyle f(t)=0}$منذ${\displaystyle \varphi }$لا يتم تعريفها بشكل فريد. بدمج هذه المعادلات، نحصل على

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}$$

استبدال هنا${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$النتائج في

$${\displaystyle \varphi _{tt}+(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}$$

التدفقات شبه المتوازية: كما في السابق، بالنسبة للتدفقات شبه المتوازية، يمكننا كتابة (بعد إدخال وقت مُعاد حسابه)${\displaystyle \tau =c_{\infty }t}$)

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$$

بشرط ثبات عدد ماخ${\displaystyle M}$لا يقترب من الوحدة. عندما${\displaystyle |M-1|}$إذا كانت صغيرة (تدفق فوق صوتي)، فلدينا المعادلة غير الخطية التالية ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}$$

الموجات الصوتية: في الموجات الصوتية، مقدار السرعة${\displaystyle v}$(أو عدد ماخ) صغير جدًا، على الرغم من أن الحد غير المستقر أصبح الآن قابلاً للمقارنة مع الحدود الرئيسية الأخرى في المعادلة. وبالتالي، بإهمال جميع الحدود التربيعية والحدود ذات الرتب الأعلى، وملاحظة أنه في نفس التقريب،${\displaystyle c}$ثابت (على سبيل المثال، في الغاز متعدد الخواص)${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}$لدينا ^{[ 8 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}$$

وهي معادلة موجية خطية لكمون السرعة φ . وكما في السابق، يرتبط الجزء التذبذبي من متجه السرعة v بكمون السرعة بالعلاقة v = ∇ φ ، بينما Δ هو مؤثر لابلاس ، و c هي متوسط ​​سرعة الصوت في الوسط المتجانس . تجدر الإشارة إلى أن الأجزاء التذبذبية للضغط p والكثافة ρ ، كلٌ على حدة، تحقق المعادلة الموجية في هذا التقريب.

أمثلة على التحويلات المطابقة لقانون القوة w = Az ⁿ

أمثلة على التحويلات المطابقة لقانون القوة w = Az ⁿ ، لقيم مختلفة للقوة n . يظهر المستوى z ، موضحًا خطوط الجهد الثابت φ ودالة التدفق ψ ، بينما w = φ + iψ .

في حالة تطبيق التحويل المطابق لقانون القوة التالي ، من z = x + iy إلى w = φ + iψ : ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$$

ثم، بكتابة z في الإحداثيات القطبية على النحو التالي: z = x + iy = re ^iθ ، لدينا ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$$

تُظهر الأشكال على اليمين أمثلةً لعدة قيم لـ n . الخط الأسود هو حدود التدفق، بينما الخطوط الزرقاء الداكنة هي خطوط الانسياب، والخطوط الزرقاء الفاتحة هي خطوط تساوي الجهد. بعض قوى n المهمة هي: ^{[ 12 ]}

• n = 1 / 2 : هذا يتوافق مع التدفق حول صفيحة شبه لانهائية ،
• n = 2 / 3 : التدفق حول زاوية يمين ،
• n = 1 : حالة بسيطة من التدفق المنتظم،
• n = 2 : التدفق عبر زاوية، أو بالقرب من نقطة ركود، و
• n = −1 : التدفق الناتج عن مصدر مزدوج

الثابت A هو معلمة قياس: قيمته المطلقة | A | تحدد المقياس، بينما وسيطه arg( A ) يُدخل دورانًا (إذا كان غير صفري).

مصدر أو مصب للقوة${\displaystyle Q}$(${\displaystyle Q>0}$للحصول على المصدر و${\displaystyle Q<0}$يُعطى (للحوض) بواسطة الجهد

$${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$$

أين${\displaystyle Q}$في الواقع، يمثل التدفق الحجمي لكل وحدة طول عبر سطح يحيط بالمصدر أو المصرف. حقل السرعة في الإحداثيات القطبية هو

$${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$$

أي، تدفق شعاعي بحت.

دوامة خطية من القوة${\displaystyle \Gamma }$يُعطى بواسطة

$${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$$

أين${\displaystyle \Gamma }$هي الدوران حول أي محيط مغلق بسيط يحيط بالدوامة. حقل السرعة في الإحداثيات القطبية هو

$${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$$

أي، تدفق دائري بحت.

جهد السرعة لمصدر نقطي أو مصب ذي قوة${\displaystyle Q}$(${\displaystyle Q>0}$للحصول على المصدر و${\displaystyle Q<0}$بالنسبة للحوض، يُعطى في الإحداثيات القطبية الكروية بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$$

أين${\displaystyle Q}$في الواقع، يمثل التدفق الحجمي عبر سطح مغلق يحيط بالمصدر أو المصرف. حقل السرعة في الإحداثيات القطبية الكروية هو

$${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$$