الطبقة الحدية

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 121 صور
الموسوعة الحرة
الطبقة الحدية المحيطة باليد البشرية، صورة شليرين . الطبقة الحدية هي الحدود الخضراء الزاهية، وهي أكثر وضوحًا على ظهر اليد (انقر للحصول على صورة عالية الدقة).

في الفيزياء وميكانيكا الموائع ، تُعرف الطبقة الحدية بأنها طبقة رقيقة من المائع تقع في الجوار المباشر لسطح حدودي ، وتتشكل نتيجة تدفق المائع على طول هذا السطح. يؤدي تفاعل المائع مع الجدار إلى حالة انعدام الانزلاق (سرعة صفرية عند الجدار). ثم تزداد سرعة التدفق بشكل مطرد فوق السطح حتى تعود إلى سرعة التدفق الكلية. تُسمى الطبقة الرقيقة المكونة من المائع الذي لم تعد سرعته بعد إلى سرعة التدفق الكلية بطبقة السرعة الحدية.

يسخن الهواء المحيط بالإنسان، مما يؤدي إلى تيارات هوائية حملية بفعل الجاذبية، ينتج عنها طبقة حدية حرارية وطبقة حدية للسرعة. تعمل نسمة الهواء على زعزعة هذه الطبقة الحدية، بينما يحميها الشعر والملابس، مما يجعل الإنسان يشعر ببرودة أو دفء. على جناح الطائرة ، تُعرف الطبقة الحدية للسرعة بأنها جزء التدفق القريب من الجناح، حيث تُشوه قوى اللزوجة التدفق غير اللزج المحيط. أما في الغلاف الجوي للأرض ، فتُعرف الطبقة الحدية الجوية بأنها طبقة الهواء (حوالي 1 كم) القريبة من سطح الأرض. وتتأثر هذه الطبقة بالسطح؛ بتدفقات الحرارة الليلية والنهارية الناتجة عن تسخين الشمس للأرض، والرطوبة، أو انتقال الزخم من وإلى السطح. 

أنواع الطبقات الحدية

تصوير الطبقة الحدية، يوضح الانتقال من حالة التدفق الصفائحي إلى حالة التدفق المضطرب

يمكن تصنيف الطبقات الحدية الصفائحية بشكل عام وفقًا لبنيتها والظروف التي تتشكل فيها. تُعد طبقة القص الرقيقة التي تتشكل على جسم متذبذب مثالًا على طبقة ستوكس الحدية ، بينما تشير طبقة بلازيوس الحدية إلى حل التشابه المعروف بالقرب من صفيحة مسطحة متصلة بتدفق أحادي الاتجاه، وطبقة فولكنر-سكان الحدية هي تعميم لطبقة بلازيوس. عندما يدور سائل وتتوازن قوى اللزوجة بفعل تأثير كوريوليس (بدلًا من القصور الذاتي الحملي)، تتشكل طبقة إيكمان . في نظرية انتقال الحرارة، تتشكل طبقة حدية حرارية. يمكن أن يحتوي السطح على أنواع متعددة من الطبقات الحدية في آن واحد.

تُقلل لزوجة تدفق الهواء من السرعات الموضعية على السطح، وهي المسؤولة عن الاحتكاك السطحي. تُعرف طبقة الهواء فوق سطح الجناح، التي تتباطأ أو تتوقف بفعل اللزوجة، بالطبقة الحدية. يوجد نوعان من تدفق الطبقة الحدية: التدفق الصفائحي والتدفق المضطرب. [ 1 ]

تدفق الطبقة الحدية الصفائحية

تتميز الطبقة الحدية الصفائحية بانسيابية عالية، بينما تحتوي الطبقة الحدية المضطربة على دوامات أو "تيارات دوامية". يُولّد التدفق الصفائحي مقاومة احتكاك سطحية أقل من التدفق المضطرب، ولكنه أقل استقرارًا. يبدأ تدفق الطبقة الحدية فوق سطح الجناح كتدفق صفائحي انسيابي. ومع استمرار التدفق عائدًا من الحافة الأمامية، تزداد سماكة الطبقة الحدية الصفائحية.

تدفق الطبقة الحدية المضطربة

على مسافة معينة من الحافة الأمامية، يتلاشى التدفق الصفائحي المنتظم ويتحول إلى تدفق مضطرب. من منظور مقاومة الهواء، يُنصح بأن يكون الانتقال من التدفق الصفائحي إلى المضطرب في أقصى نقطة ممكنة من مؤخرة الجناح، أو أن تكون مساحة كبيرة من سطح الجناح ضمن الجزء الصفائحي من الطبقة الحدية. مع ذلك، يميل التدفق الصفائحي منخفض الطاقة إلى التلاشي بشكل مفاجئ أكثر من الطبقة المضطربة.

مفهوم طبقة براندتل الحدية

لودفيج براندتل
ملف تعريف سرعة الطبقة الحدية الصفائحية

افترض لودفيج براندتل لأول مرة مفهوم الطبقة الحدية الديناميكية الهوائية في ورقة بحثية قُدّمت في 12 أغسطس 1904، في المؤتمر الدولي الثالث للرياضيات في هايدلبرغ، ألمانيا . تُبسّط هذه الطبقة معادلات تدفق الموائع بتقسيم مجال التدفق إلى منطقتين: منطقة داخل الطبقة الحدية، تهيمن عليها اللزوجة وتُشكّل الجزء الأكبر من مقاومة الهواء التي يتعرض لها الجسم الحدودي؛ ومنطقة خارج الطبقة الحدية، حيث يمكن إهمال اللزوجة دون تأثير يُذكر على الحل. يُتيح هذا الحل صيغة مغلقة للتدفق في كلتا المنطقتين من خلال تبسيط معادلات نافيير-ستوكس الكاملة بشكل كبير . ينطبق هذا الافتراض نفسه على الموائع الأخرى (إلى جانب الهواء) ذات اللزوجة المتوسطة إلى المنخفضة، مثل الماء. في حالة وجود فرق في درجة الحرارة بين السطح والسائل، وُجد أن معظم انتقال الحرارة من وإلى الجسم يحدث بالقرب من الطبقة الحدية للسرعة. وهذا يسمح بتبسيط المعادلات في مجال التدفق خارج الطبقة الحدية. ويبقى توزيع الضغط في جميع أنحاء الطبقة الحدية في الاتجاه العمودي على السطح (مثل سطح جناح الطائرة ) ثابتًا نسبيًا في جميع أنحاء الطبقة الحدية، وهو نفسه على السطح نفسه.

يُعرَّف سُمك طبقة السرعة الحدية عادةً بأنه المسافة من الجسم الصلب إلى النقطة التي تكون عندها سرعة التدفق اللزج 99% من سرعة التدفق الحر (سرعة السطح في حالة التدفق غير اللزج ). [ 2 ] يُعد سُمك الإزاحة تعريفًا بديلًا، حيث يُشير إلى أن الطبقة الحدية تُمثل نقصًا في تدفق الكتلة مقارنةً بالتدفق غير اللزج مع الانزلاق عند الجدار. وهي المسافة التي يجب أن يُزاح بها الجدار في حالة التدفق غير اللزج للحصول على نفس إجمالي تدفق الكتلة كما في حالة التدفق اللزج. يتطلب شرط عدم الانزلاق أن تكون سرعة التدفق عند سطح الجسم الصلب صفرًا، وأن تكون درجة حرارة المائع مساوية لدرجة حرارة السطح. عندئذٍ، ستزداد سرعة التدفق بسرعة داخل الطبقة الحدية، وفقًا لمعادلات الطبقة الحدية الموضحة أدناه.

يُعرَّف سُمك الطبقة الحدية الحرارية بأنه المسافة من الجسم التي تكون عندها درجة الحرارة 99% من درجة حرارة التيار الحر. وتُحدَّد نسبة السُمكين بواسطة عدد برانتل . إذا كان عدد برانتل يساوي 1، فإن الطبقتين الحديتين متساويتان في السُمك. إذا كان عدد برانتل أكبر من 1، فإن الطبقة الحدية الحرارية تكون أرق من الطبقة الحدية للسرعة. أما إذا كان عدد برانتل أقل من 1، كما هو الحال بالنسبة للهواء في الظروف القياسية، فإن الطبقة الحدية الحرارية تكون أسمك من الطبقة الحدية للسرعة.

في التصاميم عالية الأداء، مثل الطائرات الشراعية والطائرات التجارية، يُولى اهتمام كبير للتحكم في سلوك الطبقة الحدية لتقليل السحب. يجب مراعاة تأثيرين: أولاً، تُضيف الطبقة الحدية إلى السُمك الفعال للجسم، من خلال سُمك الإزاحة ، مما يزيد من سحب الضغط. ثانياً، تُولّد قوى القص على سطح الجناح سحب احتكاك سطحي .

عند أرقام رينولدز العالية ، الشائعة في الطائرات كاملة الحجم، يُفضّل وجود طبقة حدية انسيابية . ينتج عن ذلك احتكاك سطحي أقل نظرًا لملف السرعة المميز للتدفق الصفائحي. مع ذلك، تزداد سماكة الطبقة الحدية حتمًا وتصبح أقل استقرارًا مع تطور التدفق على طول جسم الطائرة، حتى تتحول في النهاية إلى تدفق مضطرب ، وهي العملية المعروفة بانتقال الطبقة الحدية . إحدى طرق معالجة هذه المشكلة هي سحب الطبقة الحدية بعيدًا عبر سطح مسامي (انظر: سحب الطبقة الحدية ). يمكن لهذه الطريقة أن تقلل من مقاومة الهواء، لكنها عادةً ما تكون غير عملية نظرًا لتعقيدها الميكانيكي والطاقة اللازمة لتحريك الهواء والتخلص منه. تعمل تقنيات التدفق الصفائحي الطبيعي على دفع انتقال الطبقة الحدية نحو الخلف عن طريق إعادة تشكيل الجنيح أو جسم الطائرة بحيث تكون أثخن نقطة فيه أقرب إلى الخلف وأقل سماكة. هذا يقلل من السرعات في الجزء الأمامي، ويتم تحقيق نفس رقم رينولدز بطول أكبر.

عند أرقام رينولدز المنخفضة ، كما هو الحال في الطائرات النموذجية، يسهل نسبيًا الحفاظ على التدفق الصفائحي. وهذا يُقلل الاحتكاك السطحي، وهو أمر مرغوب فيه. مع ذلك، فإن نفس توزيع السرعة الذي يُعطي الطبقة الحدية الصفائحية احتكاكها السطحي المنخفض يجعلها أيضًا عرضة لتأثيرات تدرجات الضغط المعاكسة . عندما يبدأ الضغط بالارتفاع فوق الجزء الخلفي من وتر الجناح، تميل الطبقة الحدية الصفائحية إلى الانفصال عن السطح. يُسبب هذا الانفصال زيادة كبيرة في مقاومة الضغط ، نظرًا لأنه يزيد بشكل كبير من الحجم الفعال لمقطع الجناح. في هذه الحالات، قد يكون من المفيد إحداث اضطراب في الطبقة الحدية عمدًا عند نقطة تسبق موقع الانفصال الصفائحي، باستخدام مُحسِّن اضطراب . يسمح توزيع السرعة الأكثر اكتمالًا للطبقة الحدية المضطربة لها بتحمل تدرج الضغط المعاكس دون الانفصال. وبالتالي، على الرغم من زيادة الاحتكاك السطحي، تنخفض المقاومة الكلية. هذا هو المبدأ الكامن وراء النتوءات الموجودة على كرات الغولف، وكذلك مولدات الدوامات في الطائرات. كما صُممت أقسام أجنحة خاصة تُعدّل استعادة الضغط بحيث يقلّ الانفصال الصفائحي أو حتى يُزال تمامًا. وهذا يُمثل حلاً وسطًا مثاليًا بين مقاومة الضغط الناتجة عن انفصال التدفق والاحتكاك السطحي الناتج عن الاضطراب المُستحث.

عند استخدام النماذج النصفية في أنفاق الرياح، يتم استخدام جهاز البينيش أحيانًا لتقليل أو إزالة تأثير الطبقة الحدية.

معادلات الطبقة الحدية

كان استنتاج معادلات الطبقة الحدية أحد أهم التطورات في ديناميكا الموائع. وباستخدام تحليل رتبة المقدار ، يمكن تبسيط معادلات نافيير-ستوكس المعروفة لتدفق الموائع اللزجة بشكل كبير داخل الطبقة الحدية. والجدير بالذكر أن خصائص المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) تصبح قطعًا مكافئًا، بدلًا من الشكل الإهليلجي لمعادلات نافيير-ستوكس الكاملة. وهذا يُبسط حل المعادلات بشكل كبير. من خلال تقريب الطبقة الحدية، يُقسم التدفق إلى جزء غير لزج (يسهل حله بعدة طرق) والطبقة الحدية، التي تحكمها معادلة تفاضلية جزئية أسهل في الحل . تُعطى معادلات الاستمرارية ونافييه-ستوكس لتدفق ثنائي الأبعاد مستقر وغير قابل للانضغاط في الإحداثيات الديكارتية كما يلي:

∂u∂x+∂υ∂y=0{\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}
u∂u∂x+υ∂u∂y=-1ρ∂ص∂x+ν(∂2u∂x2+∂2u∂y2){\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}
u∂υ∂x+υ∂υ∂y=-1ρ∂ص∂y+ν(∂2υ∂x2+∂2υ∂y2){\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}

أينu{\displaystyle u}وυ{\displaystyle \upsilon }هي مركبات السرعة،ρ{\displaystyle \rho }الكثافة،ص{\displaystyle p}هو الضغط، وν{\displaystyle \nu }هي اللزوجة الحركية للسائل عند نقطة معينة.

ينص التقريب على أنه بالنسبة لرقم رينولدز مرتفع بما فيه الكفاية ، يمكن تقسيم التدفق فوق سطح ما إلى منطقة خارجية ذات تدفق غير لزج لا يتأثر باللزوجة (معظم التدفق)، ومنطقة قريبة من السطح حيث تكون اللزوجة مهمة (الطبقة الحدية).u{\displaystyle u}وυ{\displaystyle \upsilon }لنفترض أن و هما السرعتان في اتجاه التدفق وعرضيًا (عموديًا على الجدار) داخل الطبقة الحدية على التوالي. باستخدام تحليل المقياس ، يمكن إثبات أن معادلات الحركة المذكورة أعلاه تختزل داخل الطبقة الحدية لتصبح

u∂u∂x+υ∂u∂y=-1ρ∂ص∂x+ν∂2u∂y2{\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}
1ρ∂ص∂y=0{\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}

وإذا كان السائل غير قابل للانضغاط (كما هو الحال بالنسبة للسوائل في الظروف القياسية):

∂u∂x+∂υ∂y=0{\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}

يفترض تحليل رتبة المقدار أن مقياس الطول في اتجاه التدفق أكبر بكثير من مقياس الطول العرضي داخل الطبقة الحدية. ويترتب على ذلك أن التغيرات في الخصائص في اتجاه التدفق تكون عمومًا أقل بكثير من تلك الموجودة في الاتجاه العمودي على الجدار. بتطبيق هذا على معادلة الاستمرارية، يتضح أنυ{\displaystyle \upsilon }، وهي السرعة العمودية على الجدار، صغيرة مقارنة بـu{\displaystyle u}السرعة في اتجاه التدفق.

بما أن الضغط الساكنص{\displaystyle p}مستقل عنy{\displaystyle y}إذاً، فإن الضغط عند حافة الطبقة الحدية هو الضغط في جميع أنحاء الطبقة الحدية عند موضع معين في اتجاه التدفق. ويمكن الحصول على الضغط الخارجي من خلال تطبيق معادلة برنولي .يو{\displaystyle U}لتكن سرعة المائع خارج الطبقة الحدية، حيثu{\displaystyle u}ويو{\displaystyle U}كلاهما متوازيان. وهذا يعطي عند التعويض عنص{\displaystyle p}النتيجة التالية

u∂u∂x+υ∂u∂y=يوديودx+ν∂2u∂y2{\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}

بالنسبة للتدفق الذي يكون فيه الضغط الساكنص{\displaystyle p}كما أنه لا يتغير في اتجاه التدفق

دصدx=0{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}

لذايو{\displaystyle U}يبقى ثابتاً.

وبالتالي، تتبسط معادلة الحركة لتصبح

u∂u∂x+υ∂u∂y=ν∂2u∂y2{\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}

تُستخدم هذه التقريبات في العديد من مسائل التدفق العملية ذات الأهمية العلمية والهندسية. ينطبق التحليل المذكور أعلاه على أي طبقة حدية لحظية، سواء كانت انسيابية أو مضطربة ، ولكنه يُستخدم بشكل أساسي في دراسات التدفق الانسيابي لأن التدفق المتوسط ​​هو نفسه التدفق اللحظي لعدم وجود تقلبات في السرعة. هذه المعادلة المبسطة هي معادلة تفاضلية جزئية مكافئة، ويمكن حلها باستخدام حل تشابهي يُشار إليه غالبًا باسم طبقة بلازيوس الحدية .

نظرية براندتل في النقل

لاحظ براندتل أنه من أي محلولu(x،y،ت)، v(x،y،ت){\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}والتي تحقق معادلات الطبقة الحدية، الحل الإضافيu*(x،y،ت)، v*(x،y،ت){\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}ويمكن إنشاء ، والتي تحقق أيضًا معادلات الطبقة الحدية، عن طريق كتابة [ 3 ]

u*(x،y،ت)=u(x،y+و(x)،ت)،v*(x،y،ت)=v(x،y+و(x)،ت)-و′(x)u(x،y+و(x)،ت){\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}

أينو(x){\displaystyle f(x)}هو اختياري. بما أن الحل ليس فريدًا من الناحية الرياضية، [ 4 ] يمكن إضافة أي دالة ذاتية من مجموعة لانهائية إلى الحل، كما أوضح ستيوارتسون [ 5 ] وبول أ. ليبي . [ 6 ] [ 7 ]

زخم فون كارمان لا يتجزأ

استنتج فون كارمان المعادلة التكاملية بتكامل معادلة الطبقة الحدية عبر الطبقة الحدية في عام 1921. [ 8 ] المعادلة هي

τwρيو2=1يو2∂∂ت(يودلتا1)+∂دلتا2∂x+2دلتا2+دلتا1يو∂يو∂x+vwيو{\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}

أين

τw=μ(∂u∂y)y=0،vw=v(x،0،ت)،دلتا1=∫0∞(1-uيو)دy،دلتا2=∫0∞uيو(1-uيو)دy{\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}
τw{\displaystyle \tau _{w}}يمثل إجهاد القص على الجدار،vw{\displaystyle v_{w}}هي سرعة السحب/الحقن عند الجدار،دلتا1{\displaystyle \delta _{1}}يمثل سمك الإزاحة ودلتا2{\displaystyle \delta _{2}}يمثل سمك الزخم. ويُشتق تقريب كارمان-بولهاوزن من هذه المعادلة.

الطاقة المتكاملة

تم اشتقاق التكامل الطاقي بواسطة ويغاردت . [ 9 ] [ 10 ]

2ερيو3=1يو∂∂ت(دلتا1+دلتا2)+2دلتا2يو2∂يو∂ت+1يو3∂∂x(يو3دلتا3)+vwيو{\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}

أين

ε=∫0∞μ(∂u∂y)2دy،دلتا3=∫0∞uيو(1-u2يو2)دy{\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}
ε{\displaystyle \varepsilon }يمثل معدل تبديد الطاقة الناتج عن اللزوجة عبر الطبقة الحدية ودلتا3{\displaystyle \delta _{3}}يمثل سمك الطاقة. [ 11 ]

تحويل فون ميزس

بالنسبة للطبقات الحدية ثنائية الأبعاد المستقرة، قدم فون ميزس [ 12 ] تحويلاً يأخذx{\displaystyle x}وψ{\displaystyle \psi }( دالة التدفق ) كمتغيرات مستقلة بدلاً منx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}ويستخدم متغيرًا تابعًاχ=يو2-u2{\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}بدلاً منu{\displaystyle u}تصبح معادلة الطبقة الحدية عندئذٍ

∂χ∂x=νيو2-χ∂2χ∂ψ2{\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}

يتم استعادة المتغيرات الأصلية من

y=∫يو2-χدψ،u=يو2-χ،v=u∫∂∂x(1u)دψ.{\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}

تم توسيع هذا التحويل لاحقًا ليشمل الطبقة الحدية القابلة للانضغاط بواسطة فون كارمان و إتش إس تسين . [ 13 ]

تحوّل كروكو

بالنسبة لطبقة حدودية ثنائية الأبعاد مستقرة وقابلة للانضغاط، قدم لويجي كروكو [ 14 ] تحويلاً يأخذx{\displaystyle x}وu{\displaystyle u}كمتغيرات مستقلة بدلاً منx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}ويستخدم متغيرًا تابعًاτ=μ∂u/∂y{\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}(إجهاد القص) بدلاً منu{\displaystyle u}تصبح معادلة الطبقة الحدية عندئذٍ

μρu∂∂x(1τ)+∂2τ∂u2-μدصدx∂∂u(1τ)=0،لو دصدx=0، ثم μρτ2∂τ∂x=1u∂2τ∂u2.{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}

يتم استعادة الإحداثيات الأصلية من

y=μ∫دuτ.{\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}

طبقات حدودية مضطربة

يُعدّ التعامل مع الطبقات الحدية المضطربة أكثر صعوبةً نظرًا لتغير خصائص التدفق مع الزمن. ومن أكثر التقنيات شيوعًا في معالجة التدفقات المضطربة تطبيق تحليل رينولدز . في هذه التقنية، تُحلّل خصائص التدفق اللحظية إلى مُركّب متوسط ​​ومُركّب متذبذب، بافتراض أن متوسط ​​المُركّب المتذبذب يساوي صفرًا دائمًا. بتطبيق هذه التقنية على معادلات الطبقة الحدية، نحصل على معادلات الطبقة الحدية المضطربة الكاملة، والتي نادرًا ما تُذكر في المراجع العلمية.

∂u¯∂x+∂v¯∂y=0{\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}
u¯∂u¯∂x+v¯∂u¯∂y=-1ρ∂ص¯∂x+ν(∂2u¯∂x2+∂2u¯∂y2)-∂∂y(u′v′¯)-∂∂x(u′2¯){\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}
u¯∂v¯∂x+v¯∂v¯∂y=-1ρ∂ص¯∂y+ν(∂2v¯∂x2+∂2v¯∂y2)-∂∂x(u′v′¯)-∂∂y(v′2¯){\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}

باستخدام تحليل مماثل لترتيب المقادير، يمكن اختزال المعادلات المذكورة أعلاه إلى حدود الرتبة الرئيسية. باختيار مقاييس الطولدلتا{\displaystyle \delta }للتغيرات في الاتجاه العرضي، ول{\displaystyle L}بالنسبة للتغيرات في اتجاه التدفق، معدلتا<<ل{\displaystyle \delta <<L}، وتتبسط معادلة الزخم في الاتجاه السيني إلى:

u¯∂u¯∂x+v¯∂u¯∂y=-1ρ∂ص¯∂x+ν∂2u¯∂y2-∂∂y(u′v′¯).{\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}

لا تحقق هذه المعادلة شرط عدم الانزلاق عند الجدار. وكما فعل براندتل في معادلات الطبقة الحدية، يجب استخدام مقياس طول جديد أصغر للسماح للحد اللزج بأن يصبح الحد الرئيسي في معادلة الزخم. باختيارη<<دلتا{\displaystyle \eta <<\delta }باعتبارها مقياس y ، فإن معادلة الزخم من الرتبة الأولى لهذه "الطبقة الحدية الداخلية" تُعطى بواسطة:

0=-1ρ∂ص¯∂x+ν∂2u¯∂y2-∂∂y(u′v′¯).{\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}

في حالة عدد رينولدز اللانهائي، يمكن إثبات أن حد تدرج الضغط لا يؤثر على المنطقة الداخلية للطبقة الحدية المضطربة. مقياس الطول الداخلي الجديدη{\displaystyle \eta }هو مقياس طول لزج، وهو من رتبةνu*{\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}، معu*{\displaystyle u_{*}}كونها مقياس سرعة التقلبات المضطربة، وفي هذه الحالة سرعة الاحتكاك .

على عكس معادلات الطبقة الحدية الصفائحية، فإن وجود نظامين تحكمهما مجموعات مختلفة من مقاييس التدفق (أي المقياس الداخلي والخارجي) جعل إيجاد حل تشابهي شامل للطبقة الحدية المضطربة أمرًا صعبًا ومثيرًا للجدل. ولإيجاد حل تشابهي يشمل كلا منطقتي التدفق، من الضروري مطابقة الحلول من كلا المنطقتين تقاربًا. وسيؤدي هذا التحليل إما إلى ما يُسمى بقانون اللوغاريتم أو قانون القوة .

وقد طُبقت مناهج مماثلة للتحليل المذكور أعلاه على الطبقات الحدية الحرارية، باستخدام معادلة الطاقة في التدفقات القابلة للانضغاط. [ 15 ] [ 16 ]

المصطلح الإضافيu′v′¯{\displaystyle {\overline {u'v'}}}في معادلات الطبقة الحدية المضطربة، يُعرف هذا المتغير بإجهاد القص لريونولدز، وهو غير معروف مسبقًا . لذا، يتطلب حل هذه المعادلات استخدام نموذج اضطراب يهدف إلى التعبير عن إجهاد القص لريونولدز بدلالة متغيرات التدفق المعروفة أو مشتقاتها. ويُعدّ افتقار هذه النماذج إلى الدقة والعمومية عائقًا رئيسيًا أمام التنبؤ الناجح بخصائص التدفق المضطرب في ديناميكا الموائع الحديثة.

توجد طبقة إجهاد ثابتة في المنطقة القريبة من الجدار. وبسبب تخامد تقلبات السرعة الرأسية قرب الجدار، يصبح حد إجهاد رينولدز ضئيلاً، فنلاحظ وجود توزيع خطي للسرعة. هذا ينطبق فقط على المنطقة القريبة جدًا من الجدار .

انتقال الحرارة والكتلة

في عام 1928، لاحظ المهندس الفرنسي أندريه ليفيك أن انتقال الحرارة بالحمل في سائل متدفق يتأثر فقط بقيم السرعة القريبة جدًا من السطح. [ 17 ] [ 18 ] بالنسبة للتدفقات ذات عدد برانتل الكبير، يحدث انتقال درجة الحرارة/الكتلة من درجة حرارة السطح إلى درجة حرارة التيار الحر عبر منطقة رقيقة جدًا قريبة من السطح. لذلك، فإن أهم سرعات السائل هي تلك الموجودة داخل هذه المنطقة الرقيقة جدًا، حيث يمكن اعتبار تغير السرعة خطيًا مع المسافة العمودية من السطح. وبهذه الطريقة، لـ

u(y)=يو[1-(y-ح)2ح2]=يوyح[2-yح]،{\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}

متىy→0{\displaystyle y\rightarrow 0}، ثم

u(y)≈2يوyح=θy،{\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}

حيث θ هي زاوية مماس القطع المكافئ لبوازوي الذي يتقاطع مع الجدار. على الرغم من أن حل ليفيك كان خاصًا بانتقال الحرارة في تدفق بوازوي، إلا أن رؤيته ساعدت علماء آخرين في التوصل إلى حل دقيق لمسألة الطبقة الحدية الحرارية. [ 19 ] لاحظ شوه أنه في الطبقة الحدية، تكون u دالة خطية لـ y ، ولكن في هذه الحالة، يكون مماس الجدار دالة لـ x . [ 20 ] وقد عبّر عن ذلك بنسخة معدلة من منحنى ليفيك.

u(y)=θ(x)y.{\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}

ينتج عن ذلك تقريب جيد للغاية، حتى بالنسبة للقيم المنخفضةPر{\displaystyle Pr}الأرقام، بحيث لا تحتوي إلا المعادن السائلة علىPر{\displaystyle Pr}لا يمكن التعامل مع القيم الأقل بكثير من 1 بهذه الطريقة. [ 19 ] في عام 1962، نشر كيستين وبيرسن ورقة بحثية تصف حلولًا لانتقال الحرارة عندما تكون الطبقة الحدية الحرارية محصورة بالكامل داخل طبقة الزخم، وذلك لتوزيعات مختلفة لدرجة حرارة الجدار. [ 21 ] بالنسبة لمسألة الصفيحة المسطحة ذات قفزة درجة الحرارة عندx=x0{\displaystyle x=x_{0}}يقترحون استبدالًا يُختزل معادلة الطبقة الحدية الحرارية المكافئة إلى معادلة تفاضلية عادية . ويمكن التعبير عن حل هذه المعادلة، أي درجة الحرارة عند أي نقطة في المائع، بدالة غاما غير كاملة . [ 18 ] اقترح شليشتينغ استبدالًا مكافئًا يُختزل معادلة الطبقة الحدية الحرارية إلى معادلة تفاضلية عادية يكون حلها هو دالة غاما غير كاملة نفسها. [ 22 ] يمكن اشتقاق حلول تحليلية باستخدام فرضية التشابه الذاتي المعتمدة على الزمن لمعادلات الطبقة الحدية غير القابلة للانضغاط، بما في ذلك التوصيل الحراري. [ 23 ]

كما هو معروف في العديد من الكتب الدراسية، يميل انتقال الحرارة إلى التناقص مع ازدياد سماكة الطبقة الحدية. وقد لوحظ مؤخرًا، على نطاق عملي واسع، أن الرياح المتدفقة عبر مولدات الطاقة الشمسية تميل إلى "حبس" الحرارة في الألواح الشمسية في ظل نظام مضطرب نتيجة لانخفاض انتقال الحرارة. [ 24 ] وعلى الرغم من افتراض أن الرياح مضطربة بطبيعتها، إلا أن هذه الملاحظة العرضية تُظهر أن الرياح الطبيعية تتصرف عمليًا بشكل قريب جدًا من سلوك المائع المثالي، على الأقل في ملاحظة تُحاكي السلوك المتوقع في صفيحة مسطحة، مما قد يُسهّل تحليل هذا النوع من الظواهر على نطاق أوسع.

ثوابت انتقال الحمل الحراري من تحليل الطبقة الحدية

استنتج بول ريتشارد هاينريش بلاسيوس حلاً دقيقاً لمعادلات الطبقة الحدية الصفائحية المذكورة أعلاه . [ 25 ] سُمك الطبقة الحديةدلتا{\displaystyle \delta }هي دالة لرقم رينولدز للتدفق الصفائحي.

دلتا≈5.0xRهـ{\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}
دلتا{\displaystyle \delta }= سُمك الطبقة الحدية: منطقة التدفق حيث تكون السرعة أقل من 99% من سرعة المجال البعيدv∞{\displaystyle v_{\infty }}؛x{\displaystyle x}يقع على طول الصفيحة شبه اللانهائية، وRهـ{\displaystyle Re}رقم رينولدز هو الذي يُعطى بواسطةρv∞x/μ{\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }(ρ={\displaystyle \rho =}الكثافةμ={\displaystyle \mu =}اللزوجة الديناميكية).

يستخدم حل بلاسيوس الشروط الحدية في شكل لا بُعدي:

vx-vSv∞-vS=vxv∞=vyv∞=0{\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}     في     y=0{\displaystyle y=0}
vx-vSv∞-vS=vxv∞=1{\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}     في     y=∞{\displaystyle y=\infty }وx=0{\displaystyle x=0}
تتشابه طبقات الحدود الخاصة بالسرعة ودرجة الحرارة في الشكل الوظيفي
تشترك طبقة حدود السرعة (أعلى، برتقالي) وطبقة حدود درجة الحرارة (أسفل، أخضر) في شكل وظيفي بسبب التشابه في توازنات الزخم/الطاقة والشروط الحدودية.

لاحظ أنه في كثير من الحالات، يتحقق شرط عدم الانزلاق على الحدود.vS{\displaystyle v_{S}}تكون سرعة المائع على سطح الصفيحة مساوية لسرعة الصفيحة في جميع المواقع. إذا كانت الصفيحة ثابتة، فإنvS=0{\displaystyle v_{S}=0}يتطلب الأمر اشتقاقًا أكثر تعقيدًا إذا سُمح بانزلاق السوائل. [ 26 ]

في الواقع، يمكن بسهولة توسيع حل بلازيوس لملف تعريف السرعة الصفائحية في الطبقة الحدية فوق صفيحة شبه لانهائية ليشمل وصف الطبقات الحدية الحرارية والتركيزية لانتقال الحرارة والكتلة على التوالي. وبدلاً من معادلة توازن الزخم التفاضلي في الاتجاه السيني (معادلة الحركة)، يستخدم هذا الحل معادلة توازن الطاقة والكتلة المشتقة بطريقة مماثلة.

طاقة:        vx∂تي∂x+vy∂تي∂y=كρجص∂2تي∂y2{\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}

كتلة:          vx∂جأ∂x+vy∂جأ∂y=دأب∂2جأ∂y2{\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}

لتحقيق توازن الزخم، اللزوجة الحركيةν{\displaystyle \nu }يمكن اعتبارها معامل انتشار الزخم . في موازنة الطاقة، يتم استبدالها بمعامل الانتشار الحراري.α=ك/ρجP{\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}وبواسطة الانتشار الكتليدأب{\displaystyle D_{AB}}في موازنة الكتلة. في الانتشار الحراري للمادة،ك{\displaystyle k}هي موصليتها الحرارية،ρ{\displaystyle \rho }كثافتها وجP{\displaystyle C_{P}}هي سعتها الحرارية. يشير الرمز السفلي AB إلى معامل انتشار المادة A في المادة B.

بافتراض أنα=دأب=ν{\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }تصبح هذه المعادلات مكافئة لمعادلة توازن الزخم. وبالتالي، بالنسبة لعدد برانتلPر=ν/α=1{\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}ورقم شميدتSج=ν/دأب=1{\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}ينطبق حل بلاسيوس بشكل مباشر.

وبناءً على ذلك، يستخدم هذا الاشتقاق شكلاً مشابهاً لشروط الحدود، بدلاً منv{\displaystyle v}معتي{\displaystyle T}أوجأ{\displaystyle c_{A}}(درجة الحرارة المطلقة أو تركيز النوع A). يشير الرمز السفلي S إلى حالة السطح.

vx-vSv∞-vS=تي-تيSتي∞-تيS=جأ-جأSجأ∞-جأS=0{\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}     في     y=0{\displaystyle y=0}
vx-vSv∞-vS=تي-تيSتي∞-تيS=جأ-جأSجأ∞-جأS=1{\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}     في     y=∞{\displaystyle y=\infty }وx=0{\displaystyle x=0}

باستخدام دالة خط الانسياب، حصل بلاسيوس على الحل التالي لإجهاد القص على سطح الصفيحة.

τ0=(∂vx∂y)y=0=0.332v∞xRهـ1/2{\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}

ومن خلال الشروط الحدية، من المعروف أن

vx-vSv∞-vS=تي-تيSتي∞-تيS=جأ-جأSجأ∞-جأS{\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}

لدينا العلاقات التالية لتدفق الحرارة/الكتلة خارج سطح الصفيحة

(∂تي∂y)y=0=0.332تي∞-تيSxRهـ1/2{\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}
(∂جأ∂y)y=0=0.332جأ∞-جأSxRهـ1/2{\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}

لذلك بالنسبة لـPر=Sج=1{\displaystyle Pr=Sc=1}

دلتا=دلتاتي=دلتاج=5.0xRهـ{\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}

أيندلتاتي،دلتاج{\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}هي مناطق التدفق حيثتي{\displaystyle T}وجأ{\displaystyle c_{A}}وهي أقل من 99% من قيمها في المجال البعيد. [ 27 ]

لأن رقم برانتل لسائل معين لا يساوي عادةً الواحد، حاول المهندس الألماني إي. بولهاوزن، الذي عمل مع لودفيج برانتل، توسيع هذه المعادلات تجريبياً لتطبيقها علىPر≠1{\displaystyle Pr\neq 1}ويمكن تطبيق نتائجه علىSج{\displaystyle Sc}كذلك. [ 28 ] وجد أنه بالنسبة لرقم برانتل الأكبر من 0.6، فإن سمك الطبقة الحدية الحرارية يُعطى تقريبًا بالمعادلة التالية:

يؤثر رقم برانتل على سُمك الطبقة الحدية الحرارية. عندما يكون رقم برانتل أقل من 1، تكون الطبقة الحرارية أكبر من طبقة السرعة. أما عندما يكون رقم برانتل أكبر من 1، فتكون الطبقة الحرارية أرق من طبقة السرعة.
رسم بياني يوضح السماكة النسبية في الطبقة الحدية الحرارية مقابل الطبقة الحدية للسرعة (باللون الأحمر) لأرقام برانتل المختلفة.Pر=1{\displaystyle Pr=1}الاثنان متساويان.
دلتادلتاتي=Pر1/3{\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}          وبالتالي          دلتادلتاج=Sج1/3{\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}

انطلاقاً من هذا الحل، يمكن تحديد ثوابت انتقال الحرارة/الكتلة بالحمل الحراري بناءً على منطقة تدفق الطبقة الحدية. ويتم دمج قانون فورييه للتوصيل وقانون نيوتن للتبريد مع حد التدفق المشتق أعلاه وسُمك الطبقة الحدية.

qأ=-ك(∂تي∂y)y=0=حx(تيS-تي∞){\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}
حx=0.332كxRهـx1/2Pر1/3{\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}

وهذا يعطي ثابت الحمل الحراري المحليحx{\displaystyle h_{x}}عند نقطة واحدة على المستوى شبه اللانهائي. التكامل على طول الصفيحة يعطي متوسطًا

حل=0.664كxRهـل1/2Pر1/3{\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}

باتباع الاشتقاق مع حدود نقل الكتلة (ك{\displaystyle k}= ثابت انتقال الكتلة بالحمل الحراري،دأب{\displaystyle D_{AB}}= معامل انتشار النوع أ في النوع ب،Sج=ν/دأب{\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}، يتم الحصول على الحلول التالية:

كx′=0.332دأبxRهـx1/2Sج1/3{\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}
كل′=0.664دأبxRهـل1/2Sج1/3{\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}

تنطبق هذه الحلول على التدفق الصفائحي مع رقم براندتل/شميدت أكبر من 0.6. [ 27 ]

تنطبق العديد من المبادئ التي تُطبق على الطائرات على السفن والغواصات والمنصات البحرية، حيث يُعد الماء السائل الأساسي محل الاهتمام بدلاً من الهواء. ولأن الماء ليس سائلاً مثالياً، فإن السفن المتحركة فيه تواجه مقاومة. تلتصق جزيئات السائل بهيكل السفينة بفعل قوة الالتصاق بينهما، مما يُنشئ طبقة حدية يكون فيها تدرج سرعة تدفق السائل صغيراً ولكنه حاد ، حيث تكون السرعة النسبية للسائل الملامس للسفينة مثاليةً صفراً، بينما تكون سرعة السائل عند حدود الطبقة الحدية هي سرعة التدفق الحر ، أو السرعة النسبية للسائل حول السفينة. [ 29 ]

بينما يواجه الجزء الأمامي من السفينة قوى ضغط طبيعية ناتجة عن السائل المحيط به، يتعرض الجزء الخلفي لمكون ضغط أقل بسبب الطبقة الحدية. ويؤدي هذا إلى مقاومة أعلى ناتجة عن الضغط تُعرف باسم "مقاومة الضغط اللزج" أو " مقاومة الشكل ". [ 29 ]

بالنسبة للسفن، على عكس الطائرات، يتم التعامل مع تدفقات غير قابلة للانضغاط، حيث يكون التغير في كثافة الماء ضئيلاً (يؤدي ارتفاع الضغط إلى ما يقارب 1000 كيلو باسكال إلى تغير لا يتجاوز 2-3  كجم/م³ ) . يُطلق على هذا المجال من ديناميكا الموائع اسم الهيدروديناميكا. يصمم مهندس السفن وفقًا للهيدروديناميكا أولاً، ثم يراعي المتانة لاحقًا. يصبح تطور الطبقة الحدية وانهيارها وانفصالها أمرًا بالغ الأهمية نظرًا لأن لزوجة الماء العالية تُنتج إجهادات قص عالية.

توربين الطبقة الحدية

استُغلّ هذا التأثير في توربين تسلا ، الذي حصل نيكولا تسلا على براءة اختراعه عام 1913. ويُشار إليه باسم التوربين عديم الشفرات لأنه يستخدم تأثير الطبقة الحدية بدلاً من تدفق سائل يصطدم بالشفرات كما في التوربينات التقليدية. وتُعرف توربينات الطبقة الحدية أيضاً باسم توربينات التماسك، والتوربينات عديمة الشفرات، وتوربينات طبقة براندتل (نسبةً إلى لودفيج براندتل ).

التنبؤ بسماكة الطبقة الحدية العابرة في أسطوانة باستخدام التحليل البُعدي

باستخدام معادلات القوة العابرة واللزجة لتدفق أسطواني، يمكنك التنبؤ بسماكة الطبقة الحدية العابرة عن طريق إيجاد رقم وومرسلي (شمالw{\displaystyle N_{w}}).

القوة العابرة =ρvw{\displaystyle \rho vw}

القوة اللزجة =μvدلتا12{\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}

بمساواة القيمتين مع بعضهما البعض نحصل على:

ρvw=μvدلتا12{\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}

بحل المعادلة لإيجاد قيمة دلتا، نحصل على:

دلتا1=μρw= v w{\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}

بصيغة لا بُعدية:

لدلتا1=لw v=شمالw{\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}

أينشمالw{\displaystyle N_{w}}= رقم وومرسلي؛ρ{\displaystyle \rho }= الكثافة؛v{\displaystyle v}= السرعة؛w={\displaystyle w=}تردد التذبذبات؛دلتا1{\displaystyle \delta _{1}}= طول الطبقة الحدية العابرة؛μ{\displaystyle \mu }= اللزوجة؛ل{\displaystyle L}= الطول المميز.

التنبؤ بظروف التدفق الحراري عند الطبقة الحدية في أسطوانة باستخدام التحليل البُعدي

باستخدام معادلات قوى الحمل الحراري واللزوجة عند الطبقة الحدية لتدفق أسطواني، يمكنك التنبؤ بظروف تدفق الحمل الحراري عند الطبقة الحدية عن طريق إيجاد رقم رينولدز غير البعدي (Rهـ{\displaystyle Re}).

قوة الحمل الحراري:ρv2 ل{\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}

القوة اللزجة:μvدلتا22{\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}

بمساواة القيمتين مع بعضهما البعض نحصل على:

ρv2 ل=μvدلتا22{\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}

بحل المعادلة لإيجاد قيمة دلتا، نحصل على:

دلتا2=μلρv{\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}

بصيغة لا بُعدية:

لدلتا2=ρvلμ=Rهـ{\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}

أينRهـ{\displaystyle Re}= رقم رينولدز؛ρ{\displaystyle \rho }= الكثافة؛v{\displaystyle v}= السرعة؛دلتا2{\displaystyle \delta _{2}}= طول طبقة الحدود الحملية؛μ{\displaystyle \mu }= اللزوجة؛ل{\displaystyle L}= الطول المميز.

امتصاص الطبقة الحدية

يُبشّر نظام امتصاص الطبقة الحدية بزيادة كفاءة استهلاك الوقود في الطائرات، حيث يقوم دافع مثبت في مؤخرة الطائرة بامتصاص الطبقة الحدية البطيئة لجسم الطائرة ، وإعادة تنشيط منطقة الاضطراب لتقليل السحب وتحسين كفاءة الدفع . ولكن، عند التشغيل في تدفق هواء مشوّه، يصبح وزن المروحة أثقل، وتقل كفاءتها، ويُصبح دمجها أكثر صعوبة. يُستخدم هذا النظام في نماذج مثل طائرة أورورا دي 8 أو طائرة نوفا التابعة لوكالة الأبحاث الفرنسية أونيرا ، حيث يُوفّر 5% من استهلاك الوقود أثناء الطيران المستقر عن طريق امتصاص 40% من الطبقة الحدية لجسم الطائرة. [ 30 ]

عرضت شركة إيرباص مفهوم نوتيلوس في مؤتمر ICAS في سبتمبر 2018: لاستيعاب طبقة الهواء المحيطة بجسم الطائرة بالكامل، مع تقليل تشوه التدفق المحيطي إلى أدنى حد، ينقسم جسم الطائرة إلى محورين بمراوح ذات نسبة تجاوز تتراوح بين 13 و18:1 . تصل كفاءة الدفع إلى 90%، وهي نسبة مماثلة للمراوح الدوارة المفتوحة ذات الدوران المعاكس ، ولكن بمحركات أصغر حجمًا وأخف وزنًا وأقل تعقيدًا وضجيجًا. ويمكن لهذا التصميم أن يقلل استهلاك الوقود بأكثر من 10% مقارنةً بمحرك تقليدي أسفل الجناح بنسبة تجاوز 15:1. [ 30 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ يونغ، أ.د. (1989). الطبقات الحدية (الطبعة الأولى المنشورة  ). واشنطن العاصمة: المعهد الأمريكي للملاحة الجوية والفضائية. رقم ISBN 0930403576.
  2. ^ شليتشتينج، هيرمان. جيرستن، كلاوس (2017). "2.1 مفهوم الطبقة الحدودية" . نظرية الطبقة الحدودية ( الطبعة التاسعة). برلين هايدلبرغ: سبرينغر. ص. 29. دوى : 10.1007/978-3-662-52919-5_2 . رقم ISBN   978-3-662-52917-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أغسطس 2023. غالبًا ما يُحدد الحد بشكل اعتباطي عند النقطة التي تصل فيها السرعة إلى نسبة مئوية معينة من السرعة الخارجية، مثل 99%. ولتوضيح ذلك، يُستخدم عادةً مؤشر، مثل δ99.
  3. ^ براندتل، إل. (1938). "Zur Berechnung der Grenzschichten". Zeitschrift für Angewandte الرياضيات والميكانيكا . 18 (1): 77– 82. بيب كود : 1938ZaMM...18...77P . دوى : 10.1002/zamm.19380180111 .
  4. ↑ فان دايك، ميلتون. أساليب الاضطراب في ميكانيكا الموائع. دار النشر بارابوليك، 1975.
  5. ↑ ستيوارتسون، ك. (1957). "حول التوسعات التقاربية في نظرية الطبقات الحدية". مجلة الرياضيات والفيزياء . 36 ( 1-4 ): 173-191 . doi : 10.1002/sapm1957361173 .
  6. ↑ ليبي، بول أ.؛ فوكس، هربرت (1963). "بعض حلول الاضطراب في نظرية الطبقة الحدية الصفائحية". مجلة ميكانيكا الموائع . 17 (3): 433. doi : 10.1017/S0022112063001439 . S2CID 123824364 . 
  7. ↑ فوكس، هربرت؛ ليبي، بول أ. (1964). "بعض حلول الاضطراب في نظرية الطبقة الحدية الصفائحية، الجزء 2: معادلة الطاقة". مجلة ميكانيكا الموائع . 19 (3): 433-451 . Bibcode : 1964JFM....19..433F . doi : 10.1017/S0022112064000830 . S2CID 120911442 . 
  8. ^ فون كارمان، ت. (1921). "Über laminare und turbulente Reibung" . Zeitschrift für Angewandte الرياضيات والميكانيكا . 1 (4): 233– 252. بيب كود : 1921ZaMM ....1.....233K . دوى : 10.1002/zamm.19210010401 .
  9. ↑ ويغاردت، ك. حول معادلة الطاقة لحساب الطبقات الحدية الصفائحية. وكالة أهداف الاستخبارات المشتركة، 1946.
  10. ^ ويغاردت، ك. (1948). "Über einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten". مهندس الأرشيف . 16 ( 3– 4): 231– 242. بيب كود : 1948AAM ....16..231W . دوى : 10.1007/BF00548007 . S2CID 119750449 . 
  11. ↑ روزنهيد، لويس، محرر. طبقات الحدود الصفائحية. مطبعة كلارندون، 1963.
  12. ^ تولمين، والتر. شليتشتينج، هيرمان؛ جورتلر، هنري. ريجلز، مهاجم (1961). "Bemerkungen zur Hydrodynamik". لودفيج براندتل جيسامليت أبهاندلونجن . ص 627 – 631. دوى : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_49 . رقم ISBN  978-3-662-11837-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  13. ↑ فون كارمان، ت.؛ تسين، هـ.س. (1938). "الطبقة الحدية في السوائل القابلة للانضغاط". مجلة العلوم الجوية . 5 (6): 227-232 . doi : 10.2514/8.591 .
  14. ↑ كروكو، ل. "تحويل مميز لمعادلات الطبقة الحدية في الغازات." ARC 4582 (1939): 1940.
  15. ↑ فون كارمان، ت. (1939). "التناظر بين احتكاك الموائع وانتقال الحرارة". معاملات الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين . 61 (8): 705-710 . doi : 10.1115/1.4021298 . S2CID 256805665 . 
  16. ↑ غو، ج.؛ يانغ، شيا؛ إهمه، م. (مارس 2022). "بنية الطبقة الحدية الحرارية في تدفقات القنوات المضطربة عند الظروف فوق الحرجة" . مجلة ميكانيكا الموائع . 934 A45. Bibcode : 2022JFM...934A..45G . doi : 10.1017/jfm.2021.1157 . ISSN 0022-1120 . S2CID 246066677 .  
  17. ^ ليفيك، أ. (1928). "Les Lois de la Transmission de Chaleur Par Convection". Annales des Mines ou Recueil de Mémoires sur l'Exploitation des Mines et sur les Sciences et les Arts qui s'y Rattachent، Mémoires (بالفرنسية). الثالث عشر (13): 201 – 239.
  18. 1 2 نيال مكماهون. "أندريه ليفيك، ص 285، مراجعة لتقريبه لملف تعريف السرعة" . مؤرشف من الأصل في 2012-06-04.
  19. 1 2 مارتن، هـ. (2002). "معادلة ليفيك المعممة واستخدامها العملي للتنبؤ بمعدلات انتقال الحرارة والكتلة من انخفاض الضغط". مجلة علوم الهندسة الكيميائية . 57 (16): 3217-3223 . Bibcode : 2002ChEnS..57.3217M . doi : 10.1016/S0009-2509(02)00194-X .
  20. ↑ شو، هـ. (1953). "حول الحلول التقاربية لانتقال الحرارة عند درجات حرارة جدارية متغيرة في طبقة حدية صفائحية مع ملامح سرعة هارتري". مجلة العلوم الجوية . 20 (2): 146-147 . doi : 10.2514/8.2566 .
  21. ↑ كيستين، ج. وبيرسن، ل. ن. (1962). "انتقال الحرارة عبر طبقة حدية مضطربة عند أرقام برانتل عالية جدًا". المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة . 5 (5): 355-371 . Bibcode : 1962IJHMT...5..355K . doi : 10.1016/0017-9310(62)90026-1 .
  22. ↑ شليشتينغ، هـ. (1979). نظرية الطبقة الحدية ( الطبعة السابعة). نيويورك (الولايات المتحدة الأمريكية): ماكجرو هيل. 
  23. ^ بارنا، إيمري فيرينك. بونار، غابرييلا. ماتياس، لازلو؛ هريتشو، كريستيان (2022). “تحليل مماثل ذاتيًا للطبقات الحدودية القابلة للضغط وغير القابلة للضغط والتي تعتمد على الوقت بما في ذلك التوصيل الحراري” . مجلة التحليل الحراري والسعرات الحرارية . 147 : 13625– 13632. أرخايف : 2101.08990 . دوى : 10.1007/s10973-022-11574-3 .
  24. ↑ روسا، كارلوس (2023). "فقدان الطاقة في مولدات الطاقة الكهروضوئية بسبب أنماط الرياح" . مجلة نيتشر كوميونيكيشنز إنجينيرينغ . 2 (66) 66. Bibcode : 2023CmEng...2...66R . doi : 10.1038/s44172-023-00119-7 . PMC 10956078 . 
  25. ^ بلاسيوس، هـ. (1908). "Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung" . Zeitschrift für الرياضيات والفيزياء . 56 : 1 – 37.( الترجمة الإنجليزية )
  26. ↑ مارتن، مايكل ج. (2001). "حل طبقة بلاسيوس الحدية مع شروط التدفق الانزلاقي". وقائع مؤتمر AIP . المجلد 585. الصفحات 518-523 . doi : 10.1063/1.1407604 . hdl : 2027.42/87372 .  
  27. 1 2 جيانكوبليس، كريستي ج. عمليات النقل ومبادئ عملية الفصل: (تشمل عمليات الوحدة). الطبعة الرابعة. أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول بروفيشنال تكنيكال ريفرنس، 2003. مطبوع.
  28. ^ بوهلهاوزن، إي. (1921). "Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner Wärmeleitung" . Zeitschrift für Angewandte الرياضيات والميكانيكا . 1 (2): 115– 121. بيب كود : 1921ZaMM ....1.....115P . دوى : 10.1002/zamm.19210010205 .
  29. 1 2 "مقاومة السفن وتزويدها بالطاقة" (ملف PDF) . usna.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 فبراير 2024 .
  30. 1 2 غراهام وارويك (19 نوفمبر 2018). "أسبوع التكنولوجيا، 19-23 نوفمبر 2018" . أسبوع الطيران وتكنولوجيا الفضاء .
  • شانسون، هـ. (2009). الديناميكا المائية التطبيقية: مقدمة في تدفقات الموائع المثالية والحقيقية . مطبعة سي آر سي، مجموعة تايلور وفرانسيس، ليدن، هولندا، 478 صفحة. ISBN 978-0-415-49271-3.
  • أ. د. بوليانين وف. ف. زايتسيف، دليل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، بوكا راتون - لندن، 2004. رقم ISBN 1-58488-355-3
  • أ. د. بوليانين، أ. م. كوتيبوف، أ. ف. فيازمين، و د. أ. كازينين، الديناميكا المائية، انتقال الكتلة والحرارة في الهندسة الكيميائية ، تايلور وفرانسيس، لندن، 2002. ISBN 0-415-27237-8
  • هيرمان شليشتينج، كلاوس جيرستن، إي. كراوس، إتش. جونيور أورتل، سي. مايز "نظرية الطبقة الحدودية" الطبعة الثامنة سبرينغر 2004 ISBN 3-540-66270-7
  • جون د. أندرسون الابن، "طبقة الحدود لودفيج براندتل" ، مجلة الفيزياء اليوم ، ديسمبر 2005
  • أندرسون، جون (1992). أساسيات الديناميكا الهوائية (  الطبعة الثانية). تورنتو: إس إس تشاند. الصفحات 711-714 . ISBN  0-07-001679-8.
  • H. Tennekes و JL Lumley ، "دورة تمهيدية في الاضطراب"، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، (1972).
  • محاضرات في الاضطرابات للقرن الحادي والعشرين بقلم ويليام ك. جورج