نمذجة الاضطراب

في ديناميكا الموائع ، يُعرَّف نمذجة الاضطراب بأنها بناء نموذج رياضي واستخدامه للتنبؤ بآثار الاضطراب . وتُعدّ التدفقات المضطربة شائعة في معظم سيناريوهات الحياة الواقعية. وعلى الرغم من عقود من البحث، لا توجد نظرية تحليلية للتنبؤ بتطور هذه التدفقات المضطربة. ولا يمكن حل المعادلات التي تحكم التدفقات المضطربة مباشرةً إلا في حالات التدفق البسيطة. أما بالنسبة لمعظم التدفقات المضطربة في الحياة الواقعية، فتستخدم محاكاة ديناميكا الموائع الحسابية نماذج اضطراب للتنبؤ بتطور الاضطراب. وتُعدّ نماذج الاضطراب هذه معادلات تأسيسية مبسطة تتنبأ بالتطور الإحصائي للتدفقات المضطربة. ^{[ 1 ]}

تحكم معادلات نافيير -ستوكس سرعة وضغط تدفق المائع. في التدفق المضطرب، يمكن تحليل كل من هاتين الكميتين إلى جزء متوسط ​​وجزء متذبذب. وبأخذ متوسط ​​المعادلات، نحصل على معادلات نافيير-ستوكس المتوسطة زمنياً (RANS) ، التي تحكم التدفق المتوسط. مع ذلك، فإن اللاخطية في معادلات نافيير-ستوكس تعني أن تذبذبات السرعة لا تزال تظهر في معادلات RANS، في الحد اللاخطي.${\displaystyle -\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}}$من التسارع الحملي. يُعرف هذا المصطلح باسم إجهاد رينولدز .${\displaystyle R_{ij}}$[ ^{2 ]} تأثيره على التدفق المتوسط ​​يشبه تأثير مصطلح الإجهاد، مثل الضغط أو اللزوجة ^.

للحصول على معادلات تحتوي فقط على متوسط ​​السرعة والضغط، نحتاج إلى إغلاق معادلات RANS عن طريق نمذجة حد إجهاد رينولدز${\displaystyle R_{ij}}$كدالة للتدفق المتوسط، مع إزالة أي إشارة إلى الجزء المتذبذب من السرعة. هذه هي مسألة الإغلاق .

كان جوزيف فالنتين بوسينسك أول من تناول مشكلة الإغلاق، ^{[ 3 ]} من خلال تقديم مفهوم لزوجة الدوامات . في عام 1877، اقترح بوسينسك ربط إجهادات الاضطراب بالتدفق المتوسط ​​لإغلاق نظام المعادلات. هنا، تُطبَّق فرضية بوسينسك لنمذجة حد إجهاد رينولدز. تجدر الإشارة إلى وجود ثابت تناسب جديد.${\displaystyle \nu _{t}>0}$تم تقديم مفهوم لزوجة الدوامة (الحركية) للاضطراب. تُعرف النماذج من هذا النوع باسم نماذج لزوجة الدوامة (EVMs ) .

$${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$ والتي يمكن كتابتها باختصار على النحو التالي: $${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime}v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\tfrac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$ أين

• ${\displaystyle S_{ij}}$هو متوسط ​​معدل موتر الإجهاد
• ${\displaystyle \nu _{t}}$لزوجة الدوامة (الحركية)
• ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}}$هي طاقة الحركة الاضطرابية
• و${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

في هذا النموذج، تُعطى إجهادات الاضطراب الإضافية عن طريق زيادة اللزوجة الجزيئية بلزوجة دوامية. ^{[ 4 ]} يمكن أن تكون هذه لزوجة دوامية ثابتة بسيطة (والتي تعمل بشكل جيد لبعض تدفقات القص الحر مثل النفاثات المتناظرة محوريًا، والنفاثات ثنائية الأبعاد، وطبقات الخلط).

تقوم فرضية بوسينسك - رغم عدم ذكرها صراحةً من قِبَل بوسينسك آنذاك - على افتراض أن موتر إجهاد رينولدز متوافق مع موتر انفعال التدفق المتوسط ​​(أي أن إجهادات القص الناتجة عن الاضطراب تعمل في نفس اتجاه إجهادات القص الناتجة عن التدفق المتوسط). وقد تبيّن لاحقًا أنها أقل دقةً بكثير مما يفترضه معظم المختصين. ^{[ 5 ]} ومع ذلك، فقد أثبتت نماذج الاضطراب التي تستخدم فرضية بوسينسك قيمةً عمليةً كبيرة. في الحالات التي تتميز بطبقات قص محددة جيدًا، يُعزى ذلك على الأرجح إلى هيمنة مركبات القص في اتجاه التدفق، بحيث تظل الأخطاء النسبية الكبيرة في المركبات العمودية على اتجاه التدفق ضئيلةً من حيث القيمة المطلقة . علاوةً على ذلك، تحتوي معظم نماذج اضطراب لزوجة الدوامات على معاملات مُعايرة بناءً على القياسات، وبالتالي تُنتج نتائج إجمالية دقيقة إلى حد معقول لحقول التدفق من النوع المماثل المستخدم في المعايرة.

لاحقًا، قدّم لودفيج براندتل مفهومًا إضافيًا هو طول المزج، ^{[ 6 ]} إلى جانب فكرة الطبقة الحدية . في التدفقات المضطربة المحصورة بجدران، يجب أن تتغير لزوجة الدوامات مع المسافة من الجدار، ومن هنا جاءت إضافة مفهوم "طول المزج". في أبسط نموذج للتدفق المحصور بجدران، تُعطى لزوجة الدوامات بالمعادلة التالية: $${\displaystyle \nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}}$$ أين

• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$هي المشتقة الجزئية للسرعة في اتجاه التدفق (u) بالنسبة إلى الاتجاه العمودي على الجدار (y).
• ${\displaystyle l_{m}}$هي مدة الخلط.

هذا النموذج البسيط هو الأساس لـ " قانون الجدار "، وهو نموذج دقيق بشكل مدهش لحقول التدفق المرتبطة بالجدار (غير المنفصلة) ذات تدرجات الضغط الصغيرة .

لقد تطورت نماذج الاضطراب الأكثر عمومية بمرور الوقت، حيث يتم إعطاء معظم نماذج الاضطراب الحديثة بواسطة معادلات المجال المشابهة لمعادلات نافيير-ستوكس .

كان جوزيف سماغورينسكي أول من اقترح صيغة للزوجة الدوامية في نماذج محاكاة الدوامات الكبيرة ، ^{[ 7 ]} استنادًا إلى المشتقات المحلية لحقل السرعة وحجم الشبكة المحلية:

${\displaystyle \nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}}$

في سياق محاكاة الدوامات الكبيرة، يشير نمذجة الاضطراب إلى ضرورة تحديد معلمات الإجهاد على مستوى الشبكة الفرعية بدلالة خصائص حقل السرعة المُصفّى. ويُطلق على هذا الحقل اسم نمذجة النطاق الفرعي .

تُستخدم فرضية بوسينسك في نماذج سبالارت-ألماراس (S-A) و k -ε ( k -epsilon) و k -ω ( k -omega)، وتوفر حسابًا منخفض التكلفة نسبيًا للزوجة الاضطرابية.${\displaystyle \nu _{t}}$يستخدم نموذج S-A معادلة إضافية واحدة فقط لنمذجة نقل لزوجة الاضطراب، بينما يستخدم نموذجا k -ε و k -ω معادلتين.

فيما يلي نظرة عامة موجزة على النماذج الشائعة الاستخدام في التطبيقات الهندسية الحديثة.