محاكاة الدوامات الكبيرة

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 128 صور
الموسوعة الحرة
محاكاة الدوامات الكبيرة لحقل سرعة الغاز المضطرب .

محاكاة الدوامات الكبيرة ( LES ) هي نموذج رياضي للاضطراب يُستخدم في ديناميكا الموائع الحسابية . اقترحها جوزيف سماغورينسكي لأول مرة عام 1963 لمحاكاة تيارات الهواء في الغلاف الجوي، [ 1 ] واستكشفها جيمس ديردورف (1970). [ 2 ] تُستخدم محاكاة الدوامات الكبيرة حاليًا في مجموعة واسعة من التطبيقات الهندسية، بما في ذلك الاحتراق ، [ 3 ] وعلم الصوتيات، [ 4 ] ومحاكاة طبقة الحدود الجوية. [ 5 ] [ 6 ]

تتطلب محاكاة التدفقات المضطربة عن طريق الحل العددي لمعادلات نافيير-ستوكس تحديد نطاق واسع جدًا من المقاييس الزمنية والمكانية، والتي تؤثر جميعها على مجال التدفق. يمكن تحقيق هذه الدقة باستخدام المحاكاة العددية المباشرة (DNS)، إلا أن هذه الطريقة مكلفة حسابيًا، وتمنع تكلفتها محاكاة الأنظمة الهندسية العملية ذات الأشكال الهندسية أو تكوينات التدفق المعقدة، مثل النفاثات المضطربة والمضخات والمركبات وعجلات الهبوط.

تتمثل الفكرة الأساسية وراء طريقة المحاكاة العددية للدوامات الكبيرة (LES) في تقليل التكلفة الحسابية عن طريق تجاهل أصغر المقاييس الطولية، والتي تُعدّ الأكثر تكلفة حسابية في الحل، وذلك من خلال ترشيح الترددات المنخفضة لمعادلات نافيير-ستوكس. هذا الترشيح، الذي يُمكن اعتباره متوسطًا زمنيًا ومكانيًا، يُزيل فعليًا معلومات المقاييس الصغيرة من الحل العددي. مع ذلك، فإن هذه المعلومات ليست غير ذات صلة، ويجب نمذجة تأثيرها على مجال التدفق، وهي مهمة تُعدّ مجالًا بحثيًا نشطًا للمسائل التي يُمكن أن تلعب فيها المقاييس الصغيرة دورًا هامًا، مثل التدفقات القريبة من الجدار، [ 7 ] [ 8 ] والتدفقات التفاعلية، [ 3 ] والتدفقات متعددة الأطوار. [ 9 ]

تعريف الفلتر وخصائصه

حقل سرعة ناتج عن محاكاة عددية مباشرة (DNS) لاضطراب متجانس متلاشٍ . حجم المجال هول3{\displaystyle L^{3}}.
تم ترشيح حقل سرعة نظام أسماء النطاقات نفسه باستخدام مرشح الصندوق وΔ=ل/32{\displaystyle \Delta =L/32}.
تم ترشيح حقل سرعة نظام أسماء النطاقات نفسه باستخدام مرشح الصندوق وΔ=ل/16{\displaystyle \Delta =L/16}.

يمكن تطبيق مرشح LES على مجال مكاني وزمنيϕ(x،ت){\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}وإجراء عملية ترشيح مكاني، أو عملية ترشيح زمني، أو كليهما. يُعرَّف الحقل المُرشَّح، والمُشار إليه بخط، على النحو التالي: [ 10 ] [ 11 ]

ϕ(x،ت)¯=∫-∞∞∫-∞∞ϕ(ر،τ)جي(x-ر،ت-τ)دτدر{\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}}

أينجي{\displaystyle G}هي نواة الالتفاف المرشح. ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي:

ϕ¯=جي⋆ϕ.{\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}

نواة المرشحجي{\displaystyle G}يحتوي على مقياس طول قطع مرتبط بهΔ{\displaystyle \Delta }ونطاق زمني للقطعτج{\displaystyle \tau _{c}}يتم استبعاد المقاييس الأصغر من هذه منϕ¯{\displaystyle {\overline {\phi }}}باستخدام تعريف عامل التصفية أعلاه، أي حقلϕ{\displaystyle \phi }يمكن تقسيمها إلى جزء مُصفّى وجزء فرعي مُصفّى (يُشار إليهما بعلامة الفتحة)، كما

ϕ=ϕ¯+ϕ′.{\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}

من المهم ملاحظة أن عملية ترشيح محاكاة الدوامات الكبيرة لا تفي بخصائص عامل رينولدز .

المعادلات الحاكمة المُصفّاة

يتم الحصول على المعادلات الحاكمة لـ LES عن طريق ترشيح المعادلات التفاضلية الجزئية التي تحكم مجال التدفقρu(x،ت){\displaystyle \rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)}هناك اختلافات بين المعادلات الحاكمة لـ LES غير القابلة للانضغاط والقابلة للانضغاط، مما يؤدي إلى تعريف عملية ترشيح جديدة.

التدفق غير القابل للانضغاط

بالنسبة للتدفق غير القابل للانضغاط ، يتم ترشيح معادلة الاستمرارية ومعادلات نافيير-ستوكس، مما ينتج عنه معادلة الاستمرارية غير القابلة للانضغاط بعد الترشيح.

∂u¯أنا∂xأنا=0{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}

ومعادلات نافيير-ستوكس المُصفّاة،

∂u¯أنا∂ت+∂∂xج(uأناuج¯)=-1ρ∂ص¯∂xأنا+ν∂∂xج(∂u¯أنا∂xج+∂u¯ج∂xأنا)=-1ρ∂ص¯∂xأنا+2ν∂∂xجS¯أناج،\begin{displaystyle} \frac{\partial{\bar{u}}_{i}}{\partial t}} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\overline{u_{i}u_{j}} \right) = -\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial{\overline{p}}}{\partial x_{i}}} + \nu \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\frac{\partial{\bar{u}}_{i}}{\partial x_{j}}} + \frac{\partial{\bar{u}}_{j}}{\partial x_{i}} \right) = -\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial{\overline{p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},}

أينص¯{\displaystyle {\bar {p}}}هو مجال الضغط المُصفّى وS¯أناج{\displaystyle {\bar {S}}_{ij}}هو موتر معدل الإجهاد المحسوب باستخدام السرعة المُرشَّحة. حد الحمل المُرشَّح غير الخطيuأناuج¯{\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}يُعدّ هذا السبب الرئيسي للصعوبة في نمذجة المحاكاة العددية للدوامات الكبيرة (LES). فهو يتطلب معرفة حقل السرعة غير المُصفّى، وهو غير معروف، لذا يجب نمذجته. يُبيّن التحليل التالي الصعوبة الناجمة عن اللاخطية، وتحديدًا أنها تُسبّب تفاعلًا بين المقاييس الكبيرة والصغيرة، مما يمنع فصل المقاييس.

يمكن تقسيم مصطلح الحمل المرشح، وفقًا لليونارد (1975)، [ 12 ] على النحو التالي:

uأناuج¯=τأناج+u¯أناu¯ج{\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}}

أينτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}يمثل موتر الإجهاد المتبقي ، بحيث تصبح معادلات نافيير-ستوكس المُرشّحة

∂u¯أنا∂ت+∂∂xج(u¯أناu¯ج)=-1ρ∂ص¯∂xأنا+2ν∂∂xجS¯أناج-∂τأناج∂xج{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}}

مع موتر الإجهاد المتبقيτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}بتجميع جميع الحدود غير المغلقة. قام ليونارد بتحليل موتر الإجهاد هذا على النحو التالي:τأناج=لأناج+جأناج+Rأناج{\displaystyle \tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}}وقدم تفسيرات مادية لكل مصطلح.لأناج=u¯أناu¯ج¯-u¯¯أناu¯¯ج{\displaystyle L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\overline {\bar {u}}}_{i}{\overline {\bar {u}}}_{j}}يمثل موتر ليونارد التفاعلات بين المقاييس الكبيرة.Rأناج=uأنا′uج′¯-uأنا¯′uج¯′{\displaystyle R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime }}}-{\overline {u_{i}}}^{\prime }{\overline {u_{j}}}^{\prime }}يمثل المصطلح الشبيه بإجهاد رينولدز التفاعلات بين مقاييس المرشحات الفرعية (SFS)، وجأناج=u¯أناuج′¯+u¯جuأنا′¯-u¯¯أناuج′¯-u¯¯جuأنا′¯{\displaystyle C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}-{\overline {\bar {u}}}_{i}{\overline {u_{j}^{\prime }}}-{\overline {\bar {u}}}_{j}{\overline {u_{i}^{\prime }}}}يمثل موتر كلارك، [ 13 ] التفاعلات بين المقاييس الكبيرة والصغيرة. [ 12 ] نمذجة الحد غير المغلقτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}تتمثل مهمة نماذج النطاق الفرعي للشبكة (SGS) في ذلك. ويزداد الأمر صعوبةً بسبب حقيقة أن موتر الإجهاد الفرعي للشبكةτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}يجب مراعاة التفاعلات بين جميع المقاييس، بما في ذلك المقاييس المفلترة مع المقاييس غير المفلترة.

المعادلة الحاكمة المُصفّاة لكمية قياسية سلبيةϕ{\displaystyle \phi }يمكن كتابة المعادلات، مثل نسبة الخليط أو درجة الحرارة، على النحو التالي:

∂ϕ¯∂ت+∂∂xج(u¯جϕ¯)=∂جϕ¯∂xج+∂qج∂xج{\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}}

أينجϕ{\displaystyle J_{\phi }}هو التدفق الانتشارى لـϕ{\displaystyle \phi }، وqج{\displaystyle q_{j}}يمثل التدفق الفرعي للمرشح القياسيϕ{\displaystyle \phi }التدفق الانتشارى المُرشَّحجϕ¯{\displaystyle {\overline {J_{\phi }}}}تكون غير مغلقة، ما لم يُفترض لها شكل معين، مثل نموذج انتشار التدرج.جϕ=دϕ∂ϕ∂xأنا{\displaystyle J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}}.qج{\displaystyle q_{j}}يتم تعريفها بشكل مماثل لـτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}،

qج=ϕ¯u¯ج-ϕuج¯{\displaystyle q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}}

ويمكن تقسيمها بالمثل إلى مساهمات ناتجة عن التفاعلات بين مختلف المقاييس. ويتطلب هذا التدفق الفرعي أيضاً نموذجاً فرعياً.

الاشتقاق

باستخدام ترميز أينشتاين ، تكون معادلات نافيير-ستوكس لسائل غير قابل للانضغاط في الإحداثيات الديكارتية كما يلي:

∂uأنا∂xأنا=0{\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}
∂uأنا∂ت+∂uأناuج∂xج=-1ρ∂ص∂xأنا+ν∂2uأنا∂xج∂xج.{\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}

تؤدي عملية ترشيح معادلة الزخم إلى

∂uأنا∂ت¯+∂uأناuج∂xج¯=-1ρ∂ص∂xأنا¯+ν∂2uأنا∂xج∂xج¯.{\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.}

إذا افترضنا أن الترشيح والتفاضل يتبادلان، فإن

∂u¯أنا∂ت+∂uأناuج∂xج¯=-1ρ∂ص¯∂xأنا+ν∂2u¯أنا∂xج∂xج.{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}

تمثل هذه المعادلة التغيرات الزمنية للمتغيرات التي تم ترشيحهاu¯أنا{\displaystyle {\bar {u}}_{i}}بما أن المتغيرات غير المفلترةuأنا{\displaystyle u_{i}}إذا لم تكن معروفة، فمن المستحيل حسابها مباشرة∂uأناuج∂xج¯{\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}}ومع ذلك، فإن الكمية∂u¯أناu¯ج∂xج{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}}معروف. يتم إجراء استبدال:

∂u¯أنا∂ت+∂u¯أناu¯ج∂xج=-1ρ∂ص¯∂xأنا+ν∂2u¯أنا∂xج∂xج-(∂uأناuج∂xج¯-∂u¯أناu¯ج∂xج).{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}\right).}

يتركτأناج=uأناuج¯-u¯أناu¯ج{\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}. مجموعة المعادلات الناتجة هي معادلات LES:

∂u¯أنا∂ت+u¯ج∂u¯أنا∂xج=-1ρ∂ص¯∂xأنا+ν∂2u¯أنا∂xج∂xج-∂τأناج∂xج.{\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.}

المعادلات الحاكمة للانضغاط

بالنسبة للمعادلات الحاكمة للتدفق الانضغاطي، يتم ترشيح كل معادلة، بدءًا من قانون حفظ الكتلة. وهذا يعطينا:

∂ρ¯∂ت+∂uأناρ¯∂xأنا=0{\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0}

مما ينتج عنه حد ترشيح فرعي إضافي. ومع ذلك، يُفضّل تجنّب نمذجة مقاييس الترشيح الفرعي لمعادلة حفظ الكتلة. لهذا السبب، اقترح فافر [ 14 ] عملية ترشيح مُرجّحة بالكثافة، تُسمى ترشيح فافر، مُعرّفة لكمية اختيارية.ϕ{\displaystyle \phi }مثل:

ϕ~=ρϕ¯ρ¯{\displaystyle {\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}}

والتي، في حالة عدم الانضغاط، تصبح عملية الترشيح العادية. وهذا يجعل معادلة حفظ الكتلة:

∂ρ¯∂ت+∂ρ¯u~أنا∂xأنا=0.{\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0.}

يمكن بعد ذلك توسيع هذا المفهوم لكتابة معادلة الزخم المُصفّاة وفقًا لـ Favre للتدفق الانضغاطي. (تبعًا لـ Vreman: [ 15 ])

∂ρ¯u~أنا∂ت+∂ρ¯u~أناu~ج∂xج+∂ص¯∂xأنا-∂σ~أناج∂xج=-∂ρ¯τأناجر∂xج+∂∂xج(σ¯أناج-σ~أناج){\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}{\tilde {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}

أينσأناج{\displaystyle \sigma _{ij}}هو موتر إجهاد القص ، المعطى لسائل نيوتوني بواسطة:

σأناج=2μ(تي)Sأناج-23μ(تي)دلتاأناجSكك{\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}}

والمصطلح∂∂xج(σ¯أناج-σ~أناج){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}يمثل ذلك مساهمة لزجة من مرشح فرعي ناتجة عن تقييم اللزوجةμ(تي){\displaystyle \mu (T)}باستخدام درجة الحرارة المُرشَّحة وفقًا لـ Favreتي~{\displaystyle {\tilde {T}}}يُعطى موتر الإجهاد الفرعي لحقل الزخم المُصفّى وفقًا لـ Favre بالصيغة التالية:

τأناجر=uأنا⋅uج~-u~أناu~ج{\displaystyle \tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u}}_{i}{\tilde {u}}_{j}}

وبالمثل، يمكن أيضًا كتابة تحليل ليونارد لموتر الإجهاد المتبقي لضرب ثلاثي مُرشَّحρϕψ¯{\displaystyle {\overline {\rho \phi \psi }}}يمكن إعادة كتابة الضرب الثلاثي باستخدام عامل تصفية فافر على النحو التالي:ρ¯ϕψ~{\displaystyle {\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}}وهو مصطلح غير مغلق (يتطلب معرفة الحقول)ϕ{\displaystyle \phi }وψ{\displaystyle \psi }، عندما تكون الحقول فقطϕ~{\displaystyle {\tilde {\phi }}}وψ~{\displaystyle {\tilde {\psi }}}(معروفة). يمكن تقسيمها بطريقة مماثلة لـuأناuج¯{\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}أعلاه، مما ينتج عنه موتر إجهاد فرعيρ¯(ϕψ~-ϕ~ψ~){\displaystyle {\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)}يمكن تقسيم هذا المصطلح الفرعي للمرشح إلى مساهمات من ثلاثة أنواع من التفاعلات: موتر ليوناردلأناج{\displaystyle L_{ij}}، الذي يمثل التفاعلات بين المقاييس المحددة؛ موتر كلاركجأناج{\displaystyle C_{ij}}، والتي تمثل التفاعلات بين المقاييس المحلولة وغير المحلولة؛ وموتر رينولدزRأناج{\displaystyle R_{ij}}، وهو ما يمثل التفاعلات بين المقاييس غير المحلولة. [ 16 ]

معادلة الطاقة الحركية بعد الترشيح

بالإضافة إلى معادلات الكتلة والزخم المُصفّاة، يُمكن أن يُوفّر ترشيح معادلة الطاقة الحركية معلومات إضافية. يُمكن ترشيح مجال الطاقة الحركية للحصول على إجمالي الطاقة الحركية المُصفّاة.

هـ¯=12uأناuأنا¯{\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}}

ويمكن تقسيم إجمالي الطاقة الحركية المُرشّحة إلى حدين: الطاقة الحركية لحقل السرعة المُرشّحهـو{\displaystyle E_{f}}،

هـو=12uأنا¯uأنا¯{\displaystyle E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}}

والطاقة الحركية المتبقيةكر{\displaystyle k_{r}}،

كر=12uأناuأنا¯-12uأنا¯uأنا¯=12τأناأنار{\displaystyle k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}}

بحيثهـ¯=هـو+كر{\displaystyle {\overline {E}}=E_{f}+k_{r}}.

معادلة الحفظ لـهـو{\displaystyle E_{f}}يمكن الحصول على ذلك بضرب معادلة نقل الزخم المُرشَّح فيuأنا¯{\displaystyle {\overline {u_{i}}}}لتحقيق النتائج التالية:

∂هـو∂ت+uج¯∂هـو∂xج+1ρ∂uأنا¯ص¯∂xأنا+∂uأنا¯τأناجر∂xج-2ν∂uأنا¯S¯أناج∂xج=-ϵو-Π{\displaystyle {\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S}}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi }

أينϵو=2νS¯أناجS¯أناج{\displaystyle \epsilon _{f}=2\nu {\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}يمثل ذلك تبديد الطاقة الحركية لحقل السرعة المُرشَّح بفعل الإجهاد اللزج، وΠ=-τأناجرS¯أناج{\displaystyle \Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S}}_{ij}}يمثل تبديد الطاقة الحركية على مستوى المرشح الفرعي (SFS).

تمثل الحدود الموجودة على الجانب الأيسر النقل، بينما تمثل الحدود الموجودة على الجانب الأيمن حدود الاستهلاك التي تبدد الطاقة الحركية. [ 10 ]

الΠ{\displaystyle \Pi }يُعدّ مصطلح تبديد SFS ذا أهمية خاصة، لأنه يُمثّل انتقال الطاقة من المقاييس الكبيرة المُحَلَّلة إلى المقاييس الصغيرة غير المُحَلَّلة. في المتوسط،Π{\displaystyle \Pi }ينقل الطاقة من المقاييس الكبيرة إلى المقاييس الصغيرة. ومع ذلك، يحدث ذلك على الفورΠ{\displaystyle \Pi }يمكن أن يكون إيجابياً أو سلبياً، مما يعني أنه يمكن أن يكون أيضاً بمثابة مصطلح مصدر لـهـو{\displaystyle E_{f}}، الطاقة الحركية لحقل السرعة المُصفّى. يُطلق على انتقال الطاقة من المقاييس غير المُحَلَّلة إلى المقاييس المُحَلَّلة اسم التشتت العكسي (وبالمثل، يُطلق على انتقال الطاقة من المقاييس المُحَلَّلة إلى المقاييس غير المُحَلَّلة اسم التشتت الأمامي ). [ 17 ]

الأساليب العددية

تتضمن محاكاة الدوامات الكبيرة حل المعادلات الحاكمة المنفصلة والمفلترة باستخدام ديناميكيات الموائع الحسابية . وتعمل محاكاة الدوامات الكبيرة على تحديد المقاييس انطلاقًا من حجم المجال.ل{\displaystyle L}وصولاً إلى حجم الفلترΔ{\displaystyle \Delta }وبالتالي، يجب معالجة جزء كبير من التقلبات المضطربة ذات الأرقام الموجية العالية. ويتطلب ذلك إما استخدام مخططات عددية عالية الرتبة ، أو دقة شبكية عالية في حال استخدام مخططات عددية منخفضة الرتبة. ويتناول الفصل 13 من كتاب بوب [ 10 ] مسألة مدى دقة الشبكة المطلوبة.Δx{\displaystyle \Delta x}يلزم لحل حقل السرعة المُصفّىu¯(x){\displaystyle {\overline {u}}({\boldsymbol {x}})}وجد غوسال [ 18 ] أنه بالنسبة لخوارزميات التقطيع منخفضة الرتبة، مثل تلك المستخدمة في طرق الحجم المحدود، يمكن أن يكون خطأ الاقتطاع من نفس رتبة مساهمات مقياس المرشح الفرعي، ما لم يكن عرض المرشحΔ{\displaystyle \Delta }أكبر بكثير من تباعد الشبكةΔx{\displaystyle \Delta x}. في حين أن المخططات ذات الرتبة الزوجية تحتوي على خطأ اقتطاع، إلا أنها غير مبددة، [ 19 ] ولأن نماذج مقياس المرشح الفرعي مبددة، فإن المخططات ذات الرتبة الزوجية لن تؤثر على مساهمات نموذج مقياس المرشح الفرعي بقوة المخططات المبددة.

تطبيق المرشح

يمكن أن تكون عملية الترشيح في محاكاة الدوامات الكبيرة ضمنية أو صريحة. يعتمد الترشيح الضمني على افتراض أن نموذج مقياس المرشح الفرعي سيتلاشى بنفس طريقة العديد من الطرق العددية. وبهذه الطريقة، يمكن افتراض أن الشبكة، أو طريقة التقطيع العددي، هي مرشح التمرير المنخفض لمحاكاة الدوامات الكبيرة. ورغم أن هذا يستغل دقة الشبكة بشكل كامل، ويتجنب التكلفة الحسابية لحساب مصطلح نموذج مقياس المرشح الفرعي، إلا أنه يصعب تحديد شكل مرشح محاكاة الدوامات الكبيرة، مما قد يؤدي إلى بعض المشكلات العددية. بالإضافة إلى ذلك، قد يصبح خطأ الاقتطاع مشكلة أيضًا. [ 20 ]

في الترشيح الصريح، يُطبَّق مرشح LES على معادلات نافيير-ستوكس المتقطعة، مما يوفر شكل مرشح محددًا جيدًا ويقلل من خطأ الاقتطاع. ومع ذلك، يتطلب الترشيح الصريح شبكة أدق من الترشيح الضمني، وتزداد التكلفة الحسابية مع زيادة حجم الشبكة.(Δx)4{\displaystyle (\Delta x)^{4}}يتناول الفصل الثامن من كتاب ساجوت (2006) الحسابات العددية لمحاكاة الدوامات الكبيرة (LES) بمزيد من التفصيل. [ 11 ]

الشروط الحدية لمحاكاة الدوامات الكبيرة

تؤثر شروط الحدود عند المدخل بشكل كبير على دقة محاكاة الدوامات الكبيرة (LES)، وتُعدّ معالجة هذه الشروط مشكلة معقدة. نظريًا، يجب أن تتضمن شروط الحدود الجيدة لمحاكاة الدوامات الكبيرة الخصائص التالية: [ 21 ]

  1. توفير معلومات دقيقة عن خصائص التدفق، أي السرعة والاضطراب؛
  2. تحقيق معادلات نافيير-ستوكس وغيرها من قوانين الفيزياء؛
  3. سهولة التنفيذ والتكيف مع مختلف الحالات.

حالياً، تنقسم طرق توليد ظروف المدخل لـ LES بشكل عام إلى فئتين مصنفتين من قبل تابور وآخرون: [ 22 ]

تتمثل الطريقة الأولى لتوليد مداخل مضطربة في تركيبها وفقًا لحالات محددة، مثل تقنيات فورييه، وتحليل التحلل المتعامد الأساسي (POD)، وطرق الدوامات. تسعى تقنيات التركيب إلى بناء مجال مضطرب عند المداخل يتمتع بخصائص مشابهة للاضطراب، مما يسهل تحديد معلمات الاضطراب، مثل الطاقة الحركية الاضطرابية ومعدل تبدد الاضطراب. إضافةً إلى ذلك، فإن شروط المدخل المولدة باستخدام الأرقام العشوائية غير مكلفة حسابيًا. مع ذلك، يوجد عيب خطير في هذه الطريقة، وهو أن الاضطراب المُركّب لا يفي بالبنية الفيزيائية لتدفق الموائع الخاضع لمعادلات نافيير-ستوكس. [ 21 ]

تتضمن الطريقة الثانية إجراء حساب تمهيدي منفصل لإنشاء قاعدة بيانات اضطراب يمكن إدخالها في الحساب الرئيسي عند المداخل. يمكن إنشاء قاعدة البيانات (التي تُسمى أحيانًا "المكتبة") بعدة طرق، مثل المجالات الدورية، والمكتبة المُعدة مسبقًا، والتخطيط الداخلي. مع ذلك، تتطلب طريقة توليد التدفق الاضطرابي الداخل عن طريق عمليات المحاكاة التمهيدية قدرة حسابية كبيرة.

وجد الباحثون الذين درسوا تطبيق أنواع مختلفة من الحسابات التركيبية والتمهيدية أنه كلما كانت اضطرابات المدخل أكثر واقعية، كانت نتائج المحاكاة العددية للدوامات الكبيرة (LES) أكثر دقة. [ 21 ]

نمذجة المقاييس غير المحلولة

لمناقشة نمذجة المقاييس غير المحلولة، يجب أولاً تصنيف هذه المقاييس. وهي تنقسم إلى مجموعتين: مقاييس المرشحات الفرعية المحلولة (SFS)، ومقاييس الشبكة الفرعية (SGS).

تمثل المقاييس الفرعية للمرشحات المُحَلَّلة المقاييس ذات الأرقام الموجية الأكبر من رقم الموجة القطعيكج{\displaystyle k_{c}}لكن تأثيراتها تُخفف بواسطة المرشح. لا توجد مقاييس فرعية للمرشح إلا عند استخدام مرشحات غير محلية في فضاء الموجة (مثل مرشح الصندوق أو مرشح غاوسي ). يجب نمذجة هذه المقاييس الفرعية للمرشح باستخدام إعادة بناء المرشح.

تُعرَّف مقاييس الشبكة الفرعية بأنها أي مقاييس أصغر من عرض مرشح القطع.Δ{\displaystyle \Delta }يعتمد شكل نموذج SGS على طريقة تطبيق المرشح. وكما ذُكر في قسم الطرق العددية لمحاكاة الدوامات الكبيرة (LES) ، في حال استخدام محاكاة الدوامات الكبيرة الضمنية، لا يتم تطبيق نموذج SGS، ويُفترض أن التأثيرات العددية للتجزئة تحاكي فيزياء الحركات المضطربة غير المحلولة.

نماذج مصغرة فرعية

في غياب وصف عالمي موحد للاضطراب، لا بد من الاستعانة بالمعلومات التجريبية عند بناء وتطبيق نماذج SGS، مع مراعاة القيود الفيزيائية الأساسية كالثبات الجاليلي [ 10 ] . [ 23 ] توجد فئتان من نماذج SGS؛ الأولى هي النماذج الوظيفية ، والثانية هي النماذج الهيكلية . وقد تُصنف بعض النماذج ضمن كلتا الفئتين.

النماذج الوظيفية (اللزوجة الدوامية)

تُعدّ النماذج الوظيفية أبسط من النماذج الهيكلية، إذ تركز فقط على تبديد الطاقة بمعدل صحيح فيزيائيًا. وتعتمد هذه النماذج على منهجية اللزوجة الدوامية الاصطناعية، حيث تُجمع تأثيرات الاضطراب في لزوجة اضطرابية واحدة. وتتعامل هذه المنهجية مع تبديد الطاقة الحركية على نطاقات أصغر من الشبكة على أنه مماثل للانتشار الجزيئي. في هذه الحالة، يكون الجزء الانحرافي منτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}يتم تصميمها على النحو التالي:

τأناجر-13τككدلتاأناج=-2νتS¯أناج{\displaystyle \tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}}

أينνت{\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }}هي لزوجة الدوامات المضطربة وS¯أناج=12(∂u¯أنا∂xج+∂u¯ج∂xأنا){\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}هو موتر معدل الإجهاد.

استنادًا إلى التحليل البُعدي ، يجب أن تكون لزوجة الدوامة بوحدات من[νت]=م2s{\displaystyle \left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}معظم نماذج اللزوجة الدوامية SGS تقوم بنمذجة اللزوجة الدوامية على أنها ناتج عن مقياس طول مميز ومقياس سرعة مميز.

نموذج سماغورينسكي-ليلي

كان أول نموذج SGS تم تطويره هو نموذج Smagorinsky–Lilly SGS، الذي طوره جوزيف سماغورينسكي [ 1 ] واستُخدم في أول محاكاة LES بواسطة ديردورف. [ 2 ] وهو ينمذج لزوجة الدوامات على النحو التالي:

νت=جΔ22S¯أناجS¯أناج=جΔ2|S¯|{\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|}

أينΔ{\displaystyle \Delta }حجم الشبكة وج{\displaystyle C}ثابت.

تفترض هذه الطريقة أن إنتاج الطاقة وتبديدها على المقاييس الصغيرة في حالة توازن - أيϵ=Π{\displaystyle \epsilon =\Pi }.

النموذج الديناميكي (جيرمانو وآخرون وما بعدهم)

حدد جيرمانو وآخرون [ 24 ] عددًا من الدراسات التي استخدمت نموذج سماغورينسكي، والتي وجدت كل منها قيمًا مختلفة لثابت سماغورينسكي.ج{\displaystyle C}لتكوينات تدفق مختلفة. في محاولة لصياغة نهج أكثر شمولية لنماذج SGS، اقترح جيرمانو وآخرون نموذج سماغورينسكي الديناميكي، الذي استخدم مرشحين: مرشح LES شبكي، يُشار إليه بـو¯{\displaystyle {\overline {f}}}ومرشح LES تجريبي، يُشار إليه بـو^{\displaystyle {\hat {f}}}لأي مجال مضطربو{\displaystyle f}يتميز مرشح الاختبار بحجمه الأكبر مقارنةً بمرشح الشبكة، ويُضيف تنعيمًا إضافيًا لحقل الاضطراب فوق الحقول المُنعّمة المُمثلة بواسطة محاكاة الدوامات الكبيرة (LES). يؤدي تطبيق مرشح الاختبار على معادلات محاكاة الدوامات الكبيرة (التي يتم الحصول عليها بتطبيق مرشح الشبكة على معادلات نافيير-ستوكس) إلى مجموعة جديدة من المعادلات المتطابقة في الشكل، ولكن مع إجهاد SGS.τأناج=uأناuج¯-u¯أناu¯ج{\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}تم استبدالها بـتيأناج=uأناuج¯^-u¯^أناu¯^ج{\displaystyle T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}}لاحظ جيرمانو وآخرون أنه على الرغم من عدم وجود أي منهماτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}ولاتيأناج{\displaystyle T_{ij}}يمكن حسابها بدقة بسبب وجود مقاييس غير محلولة، وهناك علاقة دقيقة تربط هذين الموترين. هذه العلاقة، المعروفة باسم هوية جيرمانو، هي لأناج=تيأناج-τ^أناج.{\displaystyle L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.} هنالأناج=u¯أناu¯ج^-u¯أنا^u¯ج^{\displaystyle L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}}يمكن تقييمها بشكل صريح لأنها لا تتضمن سوى السرعات المُرشَّحة وعملية ترشيح الاختبار. تكمن أهمية هذه المعادلة في أنه إذا افترضنا أن الاضطراب متشابه ذاتيًا، بحيث يكون لإجهاد SGS عند مستويات الشبكة والاختبار نفس الشكلτأناج-(τكك/3)دلتاأناج=-2جΔ2|S¯أناج|S¯أناج{\displaystyle \tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}}وتيأناج-(تيكك/3)دلتاأناج=-2جΔ^2|S¯^أناج|S¯^أناج{\displaystyle T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}ثم توفر متطابقة جيرمانو معادلة يمكن من خلالها إيجاد معامل سماغورينسكيج{\displaystyle C}(الذي لم يعد "ثابتًا") يمكن تحديده نظريًا. [يتضمن الإجراء افتراضًا ضمنيًا بأن المعاملج{\displaystyle C}ثابت بغض النظر عن المقياس (انظر المراجعة [ 25 ] ). ولتحقيق ذلك، أُضيفت خطوتان إضافيتان إلى الصيغة الأصلية. أولًا، افترضنا أنه على الرغم منج{\displaystyle C}كان متغيرًا من حيث المبدأ، وكان التغير بطيئًا بما يكفي بحيث يمكن إخراجه من عملية الترشيحج(.)^=ج(.)^{\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}ثانيًا، بما أنج{\displaystyle C}بما أن الكمية كانت قياسية، فقد تم دمج متطابقة جيرمانو مع موتر من الرتبة الثانية (تم اختيار موتر معدل الإجهاد) لتحويلها إلى معادلة قياسية منهاج{\displaystyle C}يمكن تحديد ذلك. وجد ليلي [ 26 ] منهجًا أقل تعسفًا، وبالتالي أكثر إرضاءً، للحصول على C من متطابقة الموتر. ولاحظ أن متطابقة جيرمانو تتطلب تحقق تسع معادلات عند كل نقطة في الفضاء (خمس منها فقط مستقلة) لكمية واحدة.ج{\displaystyle C}مشكلة الحصول علىج{\displaystyle C}لذلك كان الأمر محددًا بشكل مفرط. واقترح بالتالي أنج{\displaystyle C}يتم تحديدها باستخدام طريقة المربعات الصغرى عن طريق تقليل البواقي. وينتج عن ذلك

ج=لأناجمأناجمكلمكل.{\displaystyle C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.}

هنا

مأناج=αأناج-β^أناج{\displaystyle m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}}

وللاختصار αأناج=-2Δ^2|S¯^|S¯^أناج{\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}، βأناج=-2Δ2|S¯|S¯أناج{\displaystyle \beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}} لم تنجح المحاولات الأولية لتطبيق النموذج في محاكاة LES. أولًا، لم يكن المعامل المحسوب "بطيئ التغير" كما هو مفترض، بل تغير بنفس قدر تغير أي حقل اضطرابي آخر. ثانيًا، المعامل المحسوبج{\displaystyle C}قد يكون إيجابيًا أو سلبيًا. ولا ينبغي اعتبار هذه الحقيقة الأخيرة في حد ذاتها عيبًا، حيث أظهرت الاختبارات المسبقة باستخدام حقول DNS المفلترة أن معدل تبديد الشبكة الفرعية المحلية -τأناجS¯أناج{\displaystyle -\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}}في حقل مضطرب، يكون احتمال أن تكون قيمة سالبة مساوية تقريبًا لاحتمال أن تكون موجبة، على الرغم من أن التكامل على نطاق المائع يكون دائمًا موجبًا، مما يمثل تبديدًا صافيًا للطاقة على المقاييس الكبيرة. وينتج عن هذا التبديد الصافي الملحوظ غلبة طفيفة للقيم الموجبة على حساب الإيجابية المطلقة للزوجة الدوامية. هذا ما يُسمى بـ"التشتت العكسي" للطاقة من المقاييس الصغيرة إلى الكبيرة يتوافق بالفعل مع قيم C السالبة في نموذج سماغورينسكي. ومع ذلك، وُجد أن صيغة جيرمانو-ليلي لا تُؤدي إلى حسابات مستقرة. ولذلك، تم اعتماد إجراء مؤقت عن طريق حساب متوسط ​​البسط والمقام على الاتجاهات المتجانسة (حيثما وُجدت هذه الاتجاهات في التدفق).

ج=⟨لأناجمأناج⟩⟨مكلمكل⟩.{\displaystyle C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.}

عندما تضمنت عملية حساب المتوسط ​​عينة إحصائية كبيرة بما يكفي بحيث تم حسابج{\displaystyle C}كانت الحسابات المستقرة ممكنة عندما كانت القيم موجبة (أو على الأقل نادرًا ما كانت سالبة). كما أن ضبط القيم السالبة على الصفر (وهي عملية تُسمى "القص")، سواءً مع أو بدون حساب المتوسط، أدى أيضًا إلى حسابات مستقرة. اقترح مينيفو [ 27 ] حساب المتوسط ​​على مسارات الموائع اللاغرانجية ذات "ذاكرة" تتلاشى أُسّيًا. يمكن تطبيق هذا على المسائل التي تفتقر إلى اتجاهات متجانسة، ويمكن أن يكون مستقرًا إذا كان الوقت الفعلي الذي يُجرى عليه حساب المتوسط ​​طويلًا بما يكفي، ولكن ليس طويلًا لدرجة إخفاء عدم التجانس المكاني ذي الأهمية.

يبدو تعديل ليلي لطريقة جيرمانو، متبوعًا بمتوسط ​​إحصائي أو إزالة اصطناعية لمناطق اللزوجة السالبة، حلًا مؤقتًا، حتى وإن كان من الممكن جعله "فعالًا". وقد اقترح غوسال وآخرون [ 28 ] صياغة بديلة لإجراء تقليل المربعات الصغرى تُعرف باسم "نموذج التوطين الديناميكي" (DLM). في هذا النهج، يتم أولًا تعريف كمية

هـأناج=لأناج-تيأناج+τ^أناج{\displaystyle E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}}

باستخدام الموتراتτأناج{\displaystyle \tau _{ij}}وتيأناج{\displaystyle T_{ij}}يتم استبدالها بنموذج SGS المناسب. يمثل هذا الموتر مقدار فشل نموذج الشبكة الفرعية في احترام هوية جيرمانو في كل موقع مكاني. في منهج ليلي،ج{\displaystyle C}ثم يتم سحبه من قبعة المشغل

ج(.)^=ج(.)^{\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}

تحضيرهـأناج{\displaystyle E_{ij}}دالة جبرية لـج{\displaystyle C}والتي يتم تحديدها بعد ذلك من خلال اشتراط أن هـأناجهـأناج{\displaystyle E_{ij}E_{ij}}عند اعتبارها دالة لـ C، يكون لها أقل قيمة ممكنة. ومع ذلك، بما أنج{\displaystyle C}اتضح أن القيمة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة متغيرة تمامًا مثل أي كمية متذبذبة أخرى في الاضطراب، وهو الافتراض الأصلي لثباتج{\displaystyle C}لا يمكن تبرير ذلك لاحقًا. في منهجية DLM، يتم تجنب هذا التناقض بعدم اللجوء إلى خطوة إزالة C من عملية ترشيح الاختبار. بدلاً من ذلك، يتم تعريف خطأ شامل على نطاق التدفق بأكمله بواسطة الكمية

هـ[ج]=∫هـأناجهـأناجدV{\displaystyle E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV}

حيث يمتد التكامل على كامل حجم السائل. هذا الخطأ الكليهـ[ج(x،y،z،ت)]{\displaystyle E[C(x,y,z,t)]}إذن، هي دالة للدالة المتغيرة مكانيًاج(x،y،z،ت){\displaystyle C(x,y,z,t)}(هنا الوقت لحظة،ت{\displaystyle t}(وهي ثابتة، وبالتالي تظهر كمعامل فقط) يتم تحديدها بحيث تقلل هذه الدالة. حل هذه المسألة التباينية هو أنج{\displaystyle C}يجب أن تحقق معادلة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني

ج(x)=و(x)+∫ك(x،y)ج(y)دy{\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}}

حيث الوظائفك(x،y){\displaystyle K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}وو(x){\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}يتم تعريفها بدلالة الحقول المُحَلَّلةلأناج،αأناج،βأناج{\displaystyle L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}}وبالتالي، تُعرف هذه القيم في كل خطوة زمنية، ويتراوح نطاق التكامل على كامل نطاق المائع. تُحل المعادلة التكاملية عدديًا باستخدام إجراء تكراري، وقد وُجد أن التقارب سريع عمومًا عند استخدامه مع مخطط تهيئة مسبقة. على الرغم من أن هذا النهج التبايني يُزيل تناقضًا متأصلًا في نهج ليلي، إلا أنج(x،y،z،ت){\displaystyle C(x,y,z,t)}لا تزال النتائج المستخلصة من المعادلة التكاملية تُظهر عدم الاستقرار المرتبط باللزوجة السالبة. ويمكن حل هذه المشكلة بالإصرار على أنهـ[ج]{\displaystyle E[C]}يتم تقليلها إلى الحد الأدنى مع مراعاة القيدج(x،y،z،ت)≥0{\displaystyle C(x,y,z,t)\geq 0}وهذا يؤدي إلى معادلة لـج{\displaystyle C}هذا غير خطي

ج(x)=[و(x)+∫ك(x،y)ج(y)دy]+{\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}}

يشير اللاحق + هنا إلى "الجزء الإيجابي من"، أيx+=(x+|x|)/2{\displaystyle x_{+}=(x+|x|)/2}على الرغم من أن هذا يبدو ظاهريًا كـ"قص"، إلا أنه ليس مخططًا مخصصًا، بل حلٌّ حقيقي لمسألة التباين المقيد. وقد وُجد أن نموذج DLM(+) هذا مستقر، وأعطى نتائج ممتازة للاضطراب المتناحي القسري والمتلاشي، وتدفقات القنوات، ومجموعة متنوعة من الأشكال الهندسية الأكثر تعقيدًا. إذا كان للتدفق اتجاهات متجانسة (لنفترض الاتجاهين x و z)، فيمكن حينها إدخال الفرضية التالية: ج=ج(y،ت){\displaystyle C=C(y,t)}. ثم يؤدي النهج التبايني مباشرة إلى نتيجة ليلي مع المتوسط ​​على الاتجاهات المتجانسة دون الحاجة إلى أي تعديلات مخصصة لنتيجة سابقة.

كان أحد أوجه القصور في نموذج DLM(+) أنه لا يصف التشتت العكسي، وهو ظاهرة حقيقية معروفة من خلال تحليل بيانات المحاكاة العددية المباشرة (DNS). وقد طُوِّر نهجان لمعالجة هذا القصور. في النهج الأول، الذي وضعه كاراتي وآخرون [ 29 ] ، تُضاف قوة متذبذبة بسعة محددة بواسطة نظرية التذبذب والتبدد، قياسًا على نظرية لانداو للديناميكا المائية المتذبذبة. أما في النهج الثاني، فيُلاحظ أن أي طاقة "متشتتة عكسيًا" تظهر في المقاييس المُحَلَّلة فقط على حساب الطاقة في المقاييس الفرعية. ويمكن تعديل نموذج DLM بطريقة بسيطة لمراعاة هذه الحقيقة الفيزيائية، مما يسمح بالتشتت العكسي مع الحفاظ على استقراره. ويحل هذا الإصدار من نموذج DLM، وهو DLM(k)، محلّ... Δ|S¯|{\displaystyle \Delta |{\bar {S}}|}في نموذج لزوجة الدوامة سماغورينسكي بواسطةك{\displaystyle {\sqrt {k}}}كمقياس سرعة مناسب. إجراء تحديدج{\displaystyle C}تبقى مطابقة للنسخة "غير المقيدة" باستثناء أن الموتراتαأناج=-2Δ^كS¯^أناج{\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}}، βأناج=-2Δ^كS¯أناج{\displaystyle \beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}}حيث ترتبط الطاقة الحركية على مستوى الاختبار الفرعي K بالطاقة الحركية على مستوى الشبكة الفرعية k بالعلاقة التاليةك=ك+لأناأنا/2{\displaystyle K=k+L_{ii}/2} (يتبع ذلك بأخذ أثر متطابقة جيرمانو). لتحديد قيمة k، نستخدم الآن معادلة النقل.

∂ك∂ت+uج∂ك∂xج=-τأناجS¯أناج-ج*Δك3/2+∂∂xج(دΔك∂ك∂xج)+ν∂2ك∂xج∂xج{\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}

أينν{\displaystyle \nu }اللزوجة الحركية وج*،د{\displaystyle C_{*},D}تمثل المعاملات الموجبة تبديد الطاقة الحركية والانتشار على التوالي. ويمكن تحديدها باتباع الإجراء الديناميكي مع تقليل مقيد كما في DLM(+). وقد وُجد أن هذا النهج، على الرغم من ارتفاع تكلفة تنفيذه مقارنةً بـ DLM(+)، مستقر ويؤدي إلى توافق جيد مع البيانات التجريبية لمجموعة متنوعة من التدفقات المختبرة. علاوة على ذلك، من المستحيل رياضيًا أن يؤدي DLM(k) إلى حساب غير مستقر، لأن مجموع طاقات النطاق الكبير وطاقات SGS غير متزايد بحكم التصميم. كلا النهجين اللذين يتضمنان التشتت العكسي يعملان بشكل جيد. فهما ينتجان نماذج أقل تبديدًا للطاقة مع أداء محسّن نوعًا ما مقارنةً بـ DLM(+). كما ينتج نموذج DLM(k) طاقة الحركة دون الشبكية، والتي قد تكون كمية فيزيائية ذات أهمية. وتتحقق هذه التحسينات بتكلفة أعلى نوعًا ما في تنفيذ النموذج.

نشأ النموذج الديناميكي في البرنامج الصيفي لعام 1990 لمركز أبحاث الاضطراب (CTR) بجامعة ستانفورد . احتفلت سلسلة من ندوات "CTR-Tea" بالذكرى الثلاثين لهذا الإنجاز المهم في نمذجة الاضطراب. (مؤرشف بتاريخ 30-10-2022 في Wayback Machine) .

انظر أيضاً

للمزيد من القراءة

References

  1. 12Smagorinsky, Joseph (March 1963). "General Circulation Experiments with the Primitive Equations". Monthly Weather Review. 91 (3): 99–164. Bibcode:1963MWRv...91...99S. doi:10.1175/1520-0493(1963)091<0099:GCEWTP>2.3.CO;2.
  2. 12Deardorff, James (1970). "A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers". Journal of Fluid Mechanics. 41 (2): 453–480. Bibcode:1970JFM....41..453D. doi:10.1017/S0022112070000691. S2CID 121884175.
  3. 12Pitsch, Heinz (2006). "Large-Eddy Simulation of Turbulent Combustion"(PDF). Annual Review of Fluid Mechanics. 38 (1): 453–482. Bibcode:2006AnRFM..38..453P. doi:10.1146/annurev.fluid.38.050304.092133. S2CID 5487815.
  4. ↑Wagner, Claus; Hüttl, Thomas; Sagaut, Pierre (2007). Large-Eddy Simulation for Acoustics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87144-0.
  5. ↑Sullivan, Peter P.; McWilliams, James C.; Moeng, Chin-Hoh (1994). "A subgrid-scale model for large-eddy simulation of planetary boundary-layer flows". Boundary-Layer Meteorology. 71 (3): 247–276. Bibcode:1994BoLMe..71..247S. CiteSeerX 10.1.1.463.6006. doi:10.1007/BF00713741. ISSN 0006-8314. S2CID 53051046.
  6. ↑ دائمي، عبد الله ب.؛ درويش، أمير أصلان؛ عينهفاند، رويا؛ رزاقيبور، أمير علي (2021). "محاكاة الدوامات الكبيرة (LES) على المباني الشاهقة المربعة والمثلثة لقياس قوة السحب" . التقدم في الهندسة المدنية . 2021 6666895: 11. doi : 10.1155/2021/6666895 . ISSN 1687-8086 . 
  7. ↑ بيوميللي، أوجو؛ إلياس بالاراس (2002). "نماذج الطبقة الجدارية لمحاكاة الدوامات الكبيرة". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 34 (34): 349-374 . Bibcode : 2002AnRFM..34..349P . doi : 10.1146/annurev.fluid.34.082901.144919 .
  8. ↑ سبالارت، فيليب ر. (2009). "محاكاة الدوامات المنفصلة". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 41 (1): 181-202 . Bibcode : 2009AnRFM..41..181S . doi : 10.1146/annurev.fluid.010908.165130 .
  9. ↑ فوكس، ر.و. (2012). "أدوات محاكاة الدوامات الكبيرة لتدفقات متعددة الأطوار". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 44 (1): 47-76 . Bibcode : 2012AnRFM..44...47F . doi : 10.1146/annurev-fluid-120710-101118 .
  10. 1 2 3 4 Pope, SB (2000). Turbulent Flows . Cambridge University Press.
  11. 1 2 ساجوت، بيير (2006). محاكاة الدوامات الكبيرة للتدفقات غير القابلة للانضغاط ( الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN  978-3-540-26344-9.
  12. 1 2 ليونارد، أ. (1975). "تتابع الطاقة في محاكاة الدوامات الكبيرة لتدفقات الموائع المضطربة". الانتشار المضطرب في التلوث البيئي، وقائع ندوة عُقدت في شارلوتسفيل . التقدم في الجيوفيزياء أ. المجلد 18. الصفحات 237-248 . Bibcode : 1975AdGeo..18..237L . doi : 10.1016/S0065-2687(08)60464-1 . ISBN   9780120188185.
  13. ↑ كلارك، ر.؛ فيرزيجر، ج.؛ رينولدز، و. (1979). "تقييم نماذج النطاق الفرعي باستخدام محاكاة دقيقة للتدفق المضطرب". مجلة ميكانيكا الموائع . 91 : 1-16 . Bibcode : 1979JFM....91....1C . doi : 10.1017/S002211207900001X . S2CID 120228458 . 
  14. ↑ فافر، ألكسندر (1983). "الاضطراب: الخصائص الإحصائية المكانية والزمانية والسلوك في التدفقات فوق الصوتية". فيزياء الموائع أ . 23 (10): 2851-2863 . Bibcode : 1983PhFl...26.2851F . doi : 10.1063/1.864049 .
  15. ↑ فريمان، بيرت؛ جورتس، برنارد؛ كويرتن، هانز (1995). "نمذجة الشبكة الفرعية في المحاكاة العددية للدوامات الكبيرة لتدفق الموائع القابلة للانضغاط" . البحوث العلمية التطبيقية . 45 (3): 191-203 . Bibcode : 1995FTC....54..191V . doi : 10.1007/BF00849116 .
  16. ↑ غارنييه، إي.؛ آدامز، ن.؛ ساغوت، ب. (2009). محاكاة الدوامات الكبيرة للتدفقات القابلة للانضغاط . سبرينغر. doi : 10.1007/978-90-481-2819-8 . ISBN 978-90-481-2818-1.
  17. ↑ بيوميللي، يو.؛ كابوت، دبليو.؛ موين، بي .؛ لي، إس. (1991). "التشتت الخلفي على نطاق دون الشبكة في التدفقات المضطربة والانتقالية". فيزياء الموائع أ . 3 (7): 1766-1771 . Bibcode : 1991PhFlA...3.1766P . doi : 10.1063/1.857956 . S2CID 54904570 . 
  18. ↑ غوسال، س. (أبريل 1996). "تحليل الأخطاء العددية في محاكاة الدوامات الكبيرة للاضطراب" . مجلة الفيزياء الحاسوبية . 125 (1): 187-206 . Bibcode : 1996JCoPh.125..187G . doi : 10.1006/jcph.1996.0088 .
  19. ↑ راندال ج. ليفيك (1992). الطرق العددية لقوانين الحفظ ( الطبعة الثانية). بيركهاوزر بازل. ISBN  978-3-7643-2723-1.
  20. ↑ غرينشتاين، فرناندو؛ مارغولين، لين؛ رايدر، ويليام (2007). محاكاة الدوامات الكبيرة الضمنية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86982-9.
  21. 1 2 3 لي، ب.؛ إيكلز، س.؛ مان، ج.؛ تشانغ، ن. (2018). "طريقة لقياس هياكل التدفق المضطرب باستخدام قياس سرعة صورة الجسيمات ودمجها في الشروط الحدية لمحاكاة الدوامات الكبيرة". مجلة هندسة الموائع . 140 (7). الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين الدولية. 071401-071401-11. doi : 10.1115/1.4039256 .
  22. ↑ تابور، جي آر؛ بابا أحمدي، إم إتش (2010). "شروط الدخول لمحاكاة الدوامات الكبيرة: مراجعة". الحوسبة والموائع . 39 (4): 553-567 . doi : 10.1016/j.compfluid.2009.10.007 .
  23. ↑ مينيفو، سي. (2010). "الاضطراب: نمذجة النطاق الفرعي" . سكولاربيديا . 5 (1): 9489. Bibcode : 2010SchpJ...5.9489M . doi : 10.4249/scholarpedia.9489 .
  24. ↑ جيرمانو، م.؛ بيوميللي، يو.؛ موين، ب .؛ كابوت، و. (1991). "نموذج لزوجة دوامية ديناميكي على نطاق الشبكة الفرعية". فيزياء الموائع أ . 3 (7): 1760-1765 . Bibcode : 1991PhFlA...3.1760G . doi : 10.1063/1.857955 . S2CID 55719851 . 
  25. ↑ مينيفو، سي.؛ كاتز، ج. (2000). "نماذج الثبات المقياسي والاضطراب لمحاكاة الدوامات الكبيرة". المجلة السنوية لميكانيكا الموائع 32 ( 1): 1-32 . Bibcode : 2000AnRFM..32....1M . doi : 10.1146/annurev.fluid.32.1.1 .
  26. ↑ ليلي، د.ك. (1992). "تعديل مقترح لطريقة إغلاق مقياس الشبكة الفرعية لجيرمانو". فيزياء السوائل أ . 4 (3): 633-636 . Bibcode : 1992PhFlA...4..633L . doi : 10.1063/1.858280 .
  27. ↑ مينيفو، سي.؛ لوند، تي إس؛ كابوت، دبليو إتش (1996). "نموذج لاغرانجي ديناميكي فرعي للاضطراب". مجلة ميكانيكا الموائع . 319 (1): 353-385 . Bibcode : 1996JFM...319..353M . doi : 10.1017/S0022112096007379 . hdl : 2060/19950014634 . S2CID 122183534 . 
  28. ↑ غوسال، س.؛ لوند، ت.س.؛ موين، ب.؛ أكسلفول، ك. (1995). "نموذج تحديد الموقع الديناميكي لمحاكاة الدوامات الكبيرة في التدفقات المضطربة". مجلة ميكانيكا الموائع . 286 : 229-255 . Bibcode : 1995JFM...286..229G . doi : 10.1017/S0022112095000711 . S2CID 124586994 . 
  29. ↑ كاراتي، د.؛ غوسال، س.؛ موين، ب. (1995). "حول تمثيل التشتت العكسي في نماذج التوطين الديناميكي" . فيزياء الموائع . 7 (3): 606-616 . Bibcode : 1995PhFl....7..606C . doi : 10.1063/1.868585 .