رباعي الأقطاب

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة

يُعد الرباعي القطبي أو الرباعي القطبي أحد سلسلة من التكوينات لأشياء مثل الشحنة الكهربائية أو التيار أو المجالات المغناطيسية أو الكتلة الجاذبية التي يمكن أن توجد في أشكالها المثالية ولكنها عادة ما تكون مجرد جزء من توسع متعدد الأقطاب لهيكل أكثر تعقيدًا يعكس مستويات مختلفة من التعقيد.

التعريف الرياضي

موتر عزم رباعي الأقطاب Q هو موتر من الرتبة الثانية - مصفوفة 3×3. توجد عدة تعريفات له، ولكنه يُذكر عادةً في صورته عديمة الأثر (أي بدون أثر).سؤالxx+سؤالyy+سؤالzz=0{\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0}). وبالتالي فإن موتر عزم رباعي الأقطاب يحتوي على تسعة مكونات، ولكن بسبب تناظر النقل وخاصية الأثر الصفري ، فإن خمسة منها فقط مستقلة في هذا الشكل.

بالنسبة لنظام منفصل منℓ{\displaystyle \ell }شحنات نقطية أو كتل في حالة رباعي الأقطاب الجاذبي ، كل منها يحمل شحنةqℓ{\displaystyle q_{\ell }}أو كتلةمℓ{\displaystyle m_{\ell }}، والموقعرℓ=(رxℓ،رyℓ،رzℓ){\displaystyle \mathbf {r} _{\ell }=\left(r_{x\ell },r_{y\ell },r_{z\ell }\right)}بالنسبة لأصل نظام الإحداثيات، يتم تعريف مكونات مصفوفة Q على النحو التالي:

سؤالأناج=∑ℓqℓ(3رأناℓرجℓ-‖رℓ‖2دلتاأناج).{\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }\left(3r_{i\ell }r_{j\ell }-\left\|\mathbf {r} _{\ell }\right\|^{2}\delta _{ij}\right).}

المؤشراتأنا،ج{\displaystyle i,j}قم بالتمرير فوق الإحداثيات الديكارتيةx،y،z{\displaystyle x,y,z}ودلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}هي دلتا كرونكر . وهذا يعني أنx،y،z{\displaystyle x,y,z}يجب أن تكون مساوية، مع مراعاة الإشارة، للمسافات من النقطة إلىن{\displaystyle n}المستويات الفائقة المتعامدة المتبادلة لدالة كرونكر دلتا تساوي 1.

في الشكل غير عديم الأثر، يُذكر عزم رباعي الأقطاب أحيانًا على النحو التالي:

سؤالأناج=∑ℓqℓرأناℓرجℓ{\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }r_{i\ell }r_{j\ell }}

وقد استُخدم هذا الشكل في بعض المراجع المتعلقة بطريقة الأقطاب المتعددة السريعة . ويمكن التحويل بين هذين الشكلين بسهولة باستخدام عامل إزالة التتبع. [ 1 ]

بالنسبة لنظام متصل ذي كثافة شحنة، أو كثافة كتلة،ρ(x،y،z){\displaystyle \rho (x,y,z)}يتم تعريف مكونات Q عن طريق التكامل على الفضاء الديكارتي r : [ 2 ]

سؤالأناج=∫ρ(ر)(3رأنارج-‖ر‖2دلتاأناج)د3ر{\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left(3r_{i}r_{j}-\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} }

كما هو الحال مع أي عزم متعدد الأقطاب، إذا كان عزم من رتبة أدنى، أحادي القطب أو ثنائي القطب في هذه الحالة، غير صفري، فإن قيمة عزم رباعي الأقطاب تعتمد على اختيار نقطة الأصل . على سبيل المثال، يمكن لثنائي قطب مكون من شحنتين نقطيتين متساويتين في القوة ومتعاكستين في الإشارة، والذي لا يمتلك عزمًا أحادي القطب، أن يمتلك عزمًا رباعي الأقطاب غير صفري إذا تم إزاحة نقطة الأصل بعيدًا عن مركز التكوين بحيث تقع تمامًا بين الشحنتين؛ أو يمكن تقليل عزم رباعي الأقطاب إلى الصفر إذا كانت نقطة الأصل في المركز. في المقابل، إذا انعدم عزم أحادي القطب وثنائي القطب، ولكن لم ينعدم عزم رباعي الأقطاب، كما في حالة أربع شحنات متساوية القوة مرتبة في مربع بإشارات متناوبة، فإن عزم رباعي الأقطاب يكون مستقلًا عن الإحداثيات.

إذا كانت كل شحنة مصدرًا لـ "1/ر{\displaystyle 1/r}في مجال "الجهد"، مثل المجال الكهربائي أو مجال الجاذبية ، تكون مساهمة عزم رباعي الأقطاب في جهد المجال كما يلي: Vq(R)=ك|R|3∑أنا،ج12سؤالأناجR^أناR^ج ،{\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}

حيث R متجه منشؤه في نظام الشحنات، و R̂ متجه الوحدة في اتجاه R. أي،R^أنا{\displaystyle {\hat {R}}_{i}}لأنا=x،y،z{\displaystyle i=x,y,z}هي المركبات الديكارتية لمتجه الوحدة الذي يشير من نقطة الأصل إلى نقطة الحقل. هنا،ك{\displaystyle k}هو ثابت يعتمد على نوع الحقل والوحدات المستخدمة.

أمثلة

مخطط كفافي لأسطح تساوي الجهد لحقل كهربائي رباعي الأقطاب

رباعي الأقطاب الكهربائية

يتكون مثال بسيط لرباعي الأقطاب الكهربائية من شحنات موجبة وسالبة متناوبة، مرتبة على زوايا مربع. عزم أحادي القطب - الشحنة الكلية - لهذا الترتيب يساوي صفرًا. وبالمثل، فإن عزم ثنائي القطب يساوي صفرًا، بغض النظر عن نقطة الأصل المختارة. ونتيجة لذلك، فإن رباعي الأقطاب في مجال منتظم لا يتعرض لقوة محصلة ولا لعزم دوران محصل، على الرغم من أنه قد يتعرض لقوة محصلة أو عزم دوران محصل في مجال غير منتظم اعتمادًا على تدرجات المجال عند مواقع الشحنات المختلفة. [ 3 ] على عكس عزمي أحادي القطب وثنائي القطب، لا يمكن اختزال عزم رباعي الأقطاب للترتيب الموضح في الرسم التخطيطي إلى الصفر، بغض النظر عن مكان وضع نقطة الأصل. يُعطى الجهد الكهربائي لرباعي أقطاب الشحنة الكهربائية بالعلاقة [ 4 ].Vq(R)=14πε01|R|3∑أنا،ج12سؤالأناجR^أناR^ج ،{\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}

أينε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}هي السماحية الكهربائية ، وسؤالأناج{\displaystyle Q_{ij}}يتبع التعريف أعلاه.

أو بدلاً من ذلك، تتضمن مصادر أخرى [ 5 ] عامل النصف فيسؤالأناج{\displaystyle Q_{ij}}الموتر نفسه، بحيث:

سؤالأناج=∫ρ(ر)(32رأنارج-12‖ر‖2دلتاأناج)د3ر،{\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left({\frac {3}{2}}r_{i}r_{j}-{\frac {1}{2}}\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} ,} و Vq(R)=14πε01|R|3∑أنا،جسؤالأناجR^أناR^ج ،{\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}

مما يوضح بشكل أكثر صلةً بكثيرات حدود ليجندر الناتجة عن توسيع متعدد الأقطاب، وتحديداً هناP2(x)=32x2-12.{\textstyle P_{2}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}.}

في نوى الذرات، يُستخدم عزم رباعي الأقطاب الكهربائي كمقياس لميل النواة، ويُعطى عزم رباعي الأقطاب في النواة بالعلاقة التالية: سؤال≡1هـ∫ر2(كوس2⁡(θ)-1)ρ(ر)د3ر{\displaystyle Q\equiv {\frac {1}{e}}\int r^{2}(\cos ^{2}(\theta )-1)\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} } أينر{\displaystyle \mathbf {r} }هو الموضع داخل النواة وρ{\displaystyle \rho }يعطي كثافة الشحنة عندر{\displaystyle \mathbf {r} }[ 6 ]​

يشكل المجال الكهربائي المُنشأ باستخدام أربعة قضبان معدنية مع تطبيق جهد كهربائي أساس محلل الكتلة الرباعي ، حيث يفصل المجال الكهربائي الأيونات بناءً على نسبة كتلتها إلى شحنتها (m/z). [ 7 ]

رباعي الأقطاب المغناطيسي

ملفات تولد مجالًا رباعي الأقطاب
رسم تخطيطي لمغناطيس رباعي الأقطاب (" أربعة أقطاب ")

تُنتج جميع المصادر المغناطيسية المعروفة مجالات ثنائية القطب. مع ذلك، يُمكن تكوين مجال مغناطيسي رباعي الأقطاب بوضع أربعة مغناطيسات قضيبية متطابقة متعامدة على بعضها بحيث يكون القطب الشمالي لأحدها مجاورًا للقطب الجنوبي للآخر. يُلغي هذا التكوين عزم ثنائي القطب ويُنتج عزم رباعي الأقطاب، ويتناقص مجاله عند المسافات الكبيرة أسرع من مجال ثنائي القطب.

يُظهر الشكل على اليمين مثالاً على مغنط رباعي الأقطاب مغناطيسي، يستخدم مغناطيسات دائمة. تُستخدم المغناطيسات الكهربائية ذات التصميم المفاهيمي المماثل (وتُسمى مغنطات رباعية الأقطاب ) بشكل شائع لتركيز حزم الجسيمات المشحونة في مسرعات الجسيمات وخطوط نقل الحزم، وهي طريقة تُعرف بالتركيز القوي . وبما أن تكوينًا معينًا للمغنطات رباعية الأقطاب يحرف الجسيمات المشحونة في اتجاه واحد ويركزها في اتجاه آخر، فإنه باستخدام مغنطات رباعية الأقطاب متناوبة، يمكن تركيز حزمة الجسيمات في اتجاه حركتها. [ 8 ] يتكون المغنط من أربعة رؤوس أقطاب فولاذية، قطبان شماليان مغناطيسيان متعاكسان وقطبان جنوبيان مغناطيسيان متعاكسان. يتم مغنطة الفولاذ بواسطة تيار كهربائي كبير يتدفق في ملفات الأنابيب الملفوفة حول الأقطاب.

ينتج عن تغير عزم رباعي الأقطاب المغناطيسي إشعاع كهرومغناطيسي .

رباعي الأقطاب الجاذبية

يُشابه عزم الكتلة الرباعي عزم الشحنة الكهربائية الرباعي، حيث تُستبدل كثافة الشحنة بكثافة الكتلة، وتُضاف إشارة سالبة لأن الكتل موجبة دائمًا والقوة جاذبة. ويُعبّر عن جهد الجاذبية على النحو التالي: Vq(R)=-جي2|R|3∑أنا،جسؤالأناجR^أناR^ج .{\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )=-{\frac {G}{2|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ .}

فعلى سبيل المثال، نظرًا لدوران الأرض، فإنها مفلطحة (مفلطحة عند القطبين). وهذا يُكسبها عزمًا رباعي الأقطاب غير صفري. وبينما تُعد مساهمة هذا العزم الرباعي في مجال جاذبية الأرض بالغة الأهمية للأقمار الصناعية القريبة من الأرض، فإنها أقل أهمية بالنسبة للقمر لأن1/|R|3{\displaystyle {1}/{|\mathbf {R} |^{3}}}يتراجع العمر بسرعة.

يُعدّ عزم الكتلة الرباعي القطبي مهمًا أيضًا في النسبية العامة ، لأنه إذا تغيّر مع الزمن، فإنه يُمكن أن يُنتج إشعاعًا جاذبيًا ، على غرار الإشعاع الكهرومغناطيسي الناتج عن ثنائيات الأقطاب الكهربائية أو المغناطيسية المتذبذبة ومتعددات الأقطاب الأعلى. مع ذلك، فإن عزم الكتلة الرباعي القطبي وما فوقها فقط هو الذي يُمكنه الإشعاع جاذبيًا. يُمثل عزم الكتلة الأحادي القطب إجمالي طاقة الكتلة في النظام، وهي كمية محفوظة، وبالتالي لا يُصدر أي إشعاع. وبالمثل، يُقابل عزم الكتلة الثنائي القطبي مركز كتلة النظام، ومشتقه الأول يُمثل الزخم، وهو أيضًا كمية محفوظة، لذا فإن عزم الكتلة الثنائي القطبي لا يُصدر أي إشعاع. أما عزم الكتلة الرباعي القطبي، فيُمكن أن يتغير مع الزمن، وهو المساهمة الأدنى في الإشعاع الجاذبي. [ 9 ] ولأن عزم الكتلة متعدد الأقطاب الأعلى من عزم الكتلة الثنائي القطبي فقط هو الذي يُمكنه المساهمة في الإشعاع الجاذبي، فإن الإشعاع الجاذبي أضعف بكثير من الإشعاع الكهرومغناطيسي. [ 10 ] يمكن وصف مقدار الإشعاع الثقالي، أو الموجة الثقالية، بواسطة صيغة أينشتاين الرباعية الأقطاب . [ 11 ]

أبسط وأهم مثال على نظام إشعاعي هو زوج من النقاط ذات الكتل المتساوية التي تدور حول بعضها البعض في مدار دائري، وهو تقريب لحالة خاصة من الثقوب السوداء الثنائية . بما أن عزم ثنائي القطب ثابت، يمكننا، تسهيلاً للأمر، وضع نقطة الأصل بين النقطتين. عندئذٍ، سيكون عزم ثنائي القطب صفرًا، وإذا قمنا أيضًا بتغيير مقياس الإحداثيات بحيث تكون النقاط على بُعد وحدة واحدة من المركز، في اتجاهين متعاكسين، فسيكون عزم رباعي الأقطاب للنظام ببساطة سؤالأناج=م(3xأناxج-|x|2دلتاأناج){\displaystyle Q_{ij}=M\left(3x_{i}x_{j}-|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}\right)}

حيث M هي كتلة كل نقطة،xأنا{\displaystyle x_{i}}هي مكونات متجه الموضع (الوحدة) لإحدى النقاط، ودلتاأناج{\displaystyle \displaystyle \delta _{ij}}هي دالة كرونكر دلتا. [ 12 ] أثناء دوران النجمين، سيدور متجه x هذا ، مما يعني أن له مشتقة زمنية أولى غير صفرية، ومشتقة زمنية ثانية غير صفرية أيضًا (وهذا صحيح بغض النظر عن نظام الإحداثيات المُختار). لذلك، سيشع النظام موجات جاذبية. وقد رُصدت الطاقة المفقودة بهذه الطريقة لأول مرة في تغير دورة نجم هولس-تايلور الثنائي ، وهو نجم نابض يدور حول نجم نيوتروني آخر ذي كتلة مماثلة.

كما تُساهم الشحنة الكهربائية ومتعددات أقطاب التيار في المجال الكهرومغناطيسي، تُساهم الكتلة ومتعددات أقطاب الكتلة والتيار في المجال الجاذبي في النسبية العامة، مما يُسبب ما يُعرف بالتأثيرات الجاذبية المغناطيسية . كما يُمكن أن تُصدر متعددات أقطاب الكتلة والتيار المتغيرة إشعاعًا جاذبيًا. مع ذلك، فإن مساهمات متعددات أقطاب التيار عادةً ما تكون أقل بكثير من مساهمة رباعي أقطاب الكتلة. [ 13 ]

التعميم: متعددات الأقطاب العليا

يمكن تعميم ذلك على النحو التالي (" قطب ثماني نقطي "): ثماني شحنات نقطية متناوبة عند الزوايا الثمانية لمتوازي مستطيلات ، مثل مكعب طول ضلعه a . يتوافق "عزم القطب الثماني" لهذا الترتيب، في "حد القطب الثماني"، معليمأ→0أ3⋅سؤال→ثابت. {\textstyle \lim _{a\to 0}{a^{3}\cdot Q}\to {\text{const. }}}إلى موتر قطري غير صفري من الرتبة الثالثة. ومتعددات أقطاب أعلى، على سبيل المثال من الرتبة2ℓ{\displaystyle 2^{\ell }}، ويمكن الحصول عليها من خلال ترتيبات ثنائية القطب (رباعية القطب، ثمانية القطب، ...) لثنائيات القطب النقطية (رباعية القطب، ثمانية القطب، ...)، وليس أحاديات القطب النقطية، من رتبة أدنى، على سبيل المثال،2ℓ-1{\displaystyle 2^{\ell -1}}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أبلكويست، ج. (1989). "أشكال الموتر الديكارتي عديمة الأثر للدوال التوافقية الكروية: نظريات جديدة وتطبيقات في الكهروستاتيكا للأوساط العازلة". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 22 (20): 4303-4330 . رمز Bibcode : 1989JPhA...22.4303A . doi : 10.1088/0305-4470/22/20/011 .
  2. ↑ وايسشتاين، إريك. "عزم رباعي الأقطاب الكهربائي" . عالم الفيزياء لإريك وايسشتاين . وولفرام ريسيرش . تم الاطلاع عليه في 8 مايو 2012 .
  3. ↑ "3.8: عزم رباعي الأقطاب" . نصوص الفيزياء الحرة . 2016-12-20 . تم الاسترجاع في 2024-11-16 .
  4. ↑ جاكسون، جون ديفيد (1975). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . جون وايلي وأولاده . ISBN 0-471-43132-X.
  5. ↑ غريفيث، ديفيد ج. (2013). مقدمة في الديناميكا الكهربائية، الطبعة الرابعة . بيرسون. ص 153، 165. 
  6. ↑ أمسلر، كلود (2015). الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات . سلسلة فيزياء التوسع (الإصدار: 20150501 ). بريستول، المملكة المتحدة: دار نشر IOP. ISBN  978-0-7503-1140-3.
  7. ↑ سمولوش، ماريك؛ غراسو، جوزيبي؛ سودر، بيوتر؛ سيلبرينغ، جيرزي، محرران. (2019). قياس الطيف الكتلي: منهج تطبيقي . سلسلة وايلي في قياس الطيف الكتلي ( الطبعة الثانية). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN  978-1-119-37733-7.
  8. ↑ داتولي، جوزيبي؛ دوريا، أندريا؛ سابيا، إليو؛ أرتيولي، مارسيلو (2017-09-01). ديناميكيات الحزم المشحونة، ومسرعات الجسيمات، وليزر الإلكترون الحر . دار نشر IOP. ISBN 978-0-7503-1239-4.
  9. ↑ ثورن، كيب س. (أبريل 1980). "توسعات متعددة الأقطاب للإشعاع الجاذبي" (ملف PDF) . مراجعات الفيزياء الحديثة . 52 (2): 299-339 . Bibcode : 1980RvMP...52..299T . doi : 10.1103/RevModPhys.52.299 .
  10. ↑ كينيفيك، دانيال (2016). السفر بسرعة الفكر: أينشتاين والبحث عن موجات الجاذبية . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-1-4008-8274-8.
  11. ↑ خروشيل، بيوتر ت. (2019). "مبادئ النسبية العامة" . كتب مختصرة في الرياضيات . doi : 10.1007/978-3-030-28416-9 . ISBN 978-3-030-28415-2ISSN 2296-4568​​ 
  12. ↑ ميلر، إم. كولمان؛ يونس، نيكولاس (2021). موجات الجاذبية في الفيزياء والفيزياء الفلكية: دليل عملي . علم الفلك AAS-IOP. [مجموعة 2021]. بريستول [إنجلترا] (تيمبل سيركس، تيمبل واي، بريستول BS1 6HG، المملكة المتحدة): دار نشر IOP. ISBN 978-0-7503-3051-0.{{cite book}}: CS1 maint: location ( link )
  13. ↑ ميلر، إم. كولمان؛ يونس، نيكولاس (2021). موجات الجاذبية في الفيزياء والفيزياء الفلكية: دليل عملي . علم الفلك AAS-IOP. [مجموعة 2021]. بريستول [إنجلترا] (تيمبل سيركس، تيمبل واي، بريستول BS1 6HG، المملكة المتحدة): دار نشر IOP. ISBN 978-0-7503-3051-0.{{cite book}}: CS1 maint: location ( link )