محرك متغير

في الرياضيات ، تُعرَّف دالة المتغير الحركي بأنها دالة ذات وسائط وقيم في مستوى الأعداد المركبة المنقسمة ، تمامًا كما هو الحال مع دوال المتغير المركب التي تتضمن أعدادًا مركبة عادية . وقد صاغ ويليام كينغدون كليفورد مصطلح " المحرك" للإشارة إلى المؤثر الحركي في كتابه "مخطط أولي للثنائيات الرباعية" (1873). واستخدم الأعداد المركبة المنقسمة للدلالة على الكميات القياسية في ثنائياته الرباعية المنقسمة . ويُستخدم مصطلح "المتغير الحركي" هنا بدلًا من "المتغير المركب المنقسم" تسهيلًا للفهم والانسجام مع التقاليد.

على سبيل المثال،

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

تُوفّر دوال المتغيرات الحركية سياقًا لتوسيع التحليل الحقيقي ، وتُقدّم تمثيلًا مُختصرًا لتطبيقات المستوى. مع ذلك، لا تزال هذه النظرية قاصرة عن نظرية الدوال في المستوى المركب العادي . ومع ذلك، يُمكن تفسير بعض جوانب التحليل المركب التقليدي باستخدام المتغيرات الحركية، وبشكل أعم في التحليل المركب الفائق .

ليكن D =${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in R\}}$، المستوى المركب المنقسم. الدوال النموذجية التالية f لها مجال ومدى في D :

فعل المقلوب الزائدي${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$يتم دمجها مع الترجمة لإنتاج التحويل الأفيني

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$عندما تكون قيمة c = 0، تكون الدالة مكافئة لعملية ضغط .

لا يوجد نظير لدالة التربيع في الحساب المركب العادي. ليكن

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$ولاحظ أن${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

والنتيجة هي أن الأرباع الأربعة يتم تحويلها إلى ربع واحد، وهو المكون المحايد :

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$وهناك أربعة جذور تربيعية لعناصر هذا المكون، ولكن لا توجد جذور تربيعية لعناصر المكونات الثلاثة الأخرى.

لاحظ أن${\displaystyle zz^{*}=1\ }$يشكل القطع الزائد الوحدوي${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$وبالتالي، فإن المعاملة بالمثل

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{حيث}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

يتضمن ذلك القطع الزائد كمنحنى مرجعي بدلاً من الدائرة في C.

باستخدام مفهوم الخط الإسقاطي فوق حلقة ، يتم تكوين الخط الإسقاطي P( D ). يعتمد هذا البناء على إحداثيات متجانسة ذات مركبات عددية مركبة منقسمة. يتم تحويل الخط الإسقاطي P( D ) بواسطة تحويلات كسرية خطية .

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],}$أحيانًا مكتوبة

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$بشرط أن يكون cz + d وحدة في D.

تشمل التحويلات الخطية الكسرية الأولية ما يلي

• الدوران الزائدي${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},}$
• الترجمات${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},}$و
• الانعكاس${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

لكلٍّ من هذه التحويلات معكوس، وتُشكّل تركيباتها مجموعةً من التحويلات الكسرية الخطية. يتميّز المتغير الحركي بزاوية زائدية في إحداثياته ​​القطبية، وتُحفظ هذه الزاوية بواسطة التحويلات الكسرية الخطية للمتغير الحركي تمامًا كما تُحفظ الزاوية الدائرية بواسطة تحويلات موبيوس للمستوى المركب العادي. تُسمى التحويلات التي تحافظ على الزوايا بالتحويلات المطابقة ، لذا فإن التحويلات الكسرية الخطية هي خرائط مطابقة .

يمكن مقارنة التحويلات التي تحدد المناطق: على سبيل المثال، في المستوى المركب العادي، ينقل تحويل كايلي النصف العلوي من المستوى إلى قرص الوحدة ، وبالتالي يحدده. يوفر تحويل عنصر الوحدة U1 _من D إلى مستطيل عملية تحديد مماثلة.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

حيث T = { z = x + j y  : | y | < x < 1 أو | y | < 2 – x عندما 1 ≤ x <2}.

لتحقيق التحويلات الكسرية الخطية كدوال تقابل على الخط الإسقاطي، يتم استخدام تكثيف D. انظر القسم الوارد أدناه.

الدالة الأسية تنقل المستوى D بأكمله إلى U ₁ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$.

وبالتالي، عندما يكون x = b j، فإن e ^x يكون متجهًا زائديًا. بالنسبة لمتغير الحركة العام z = a + b j، يكون لدينا

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$.

في نظرية دوال متغير المحرك، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لدالتي الجذر التربيعي واللوغاريتم. وعلى وجه الخصوص، يتكون مستوى الأعداد المركبة المنقسمة من أربعة مكونات متصلة.${\displaystyle \{U_{1},-U_{1},jU_{1},-jU_{1}\},}$ومجموعة النقاط الشاذة التي ليس لها دالة عكسية: الأقطار z = x ± x j، حيث x ∈ R. يمثل العنصر المحايد ، أي { z  : x > | y | } = U ₁ ، مدى دالة التربيع والدالة الأسية. وبالتالي، فهو مجال دالتي الجذر التربيعي واللوغاريتم. أما الأرباع الثلاثة الأخرى فلا تنتمي إلى هذا المجال لأن دالتي الجذر التربيعي واللوغاريتم تُعرفان كدالتين عكسيتين أحاديتين لدالة التربيع والدالة الأسية.

يُقدّم موتر وروزا وصفًا بيانيًا للوغاريتم D في مقالتهما "حساب التفاضل والتكامل الزائدي" (1998). ^{[ 1 ]}

تُشابه معادلات كوشي-ريمان، التي تُميز الدوال الهولومورفية على نطاق في المستوى المركب، دوال متغيرات المحرك. وقد قدم موتر وروسا منهجًا للدوال الهولومورفية من النوع D باستخدام مشتقة ويرتينجر : ^{[ 1 ]}

تُسمى الدالة f = u + j v دالة تامة الشكل من النوع D عندما

${\displaystyle 0\ =\ \left({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y}\right)(u+jv)=\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

بأخذ المكونات الحقيقية والخيالية في الاعتبار، فإن الدالة الهولومورفية من النوع D تحقق ما يلي:

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

نُشرت هذه المعادلات ^{[ 2 ]} في عام 1893 بواسطة جورج شيفيرز ، ولذلك سُميت بشروط شيفيرز . ^{[ 3 ]}

يمكن الاطلاع على النهج المماثل في نظرية الدوال التوافقية في نص لبيتر دورين. ^{[ 4 ]} من الواضح أن المركبتين u و v للدالة الهولومورفية D f تحققان معادلة الموجة المرتبطة بدالمبير ، بينما تحقق مركبات الدوال الهولومورفية C معادلة لابلاس .

في عام 1935، ساهم جيه سي فينيو، الخبير في تقارب المتسلسلات اللانهائية ، في الجامعة الوطنية في لا بلاتا ، بأربع مقالات حول المتغير الحركي في الدورية السنوية للجامعة. ^{[ 5 ]} وهو المؤلف الوحيد للمقالة التمهيدية، واستشار رئيس قسمه أ. دورانونا إي فيديا بشأن المقالتين الأخريين. في مقالته "حول متسلسلات الأعداد المركبة الزائدية" يقول (ص 123): 

إن نظام الأعداد المركبة الزائدية [المتغيرات الحركية] هو المجموع المباشر لحقلين متماثلين مع حقل الأعداد الحقيقية؛ تسمح هذه الخاصية بتفسير نظرية المتسلسلات ودوال المتغير المركب الزائدي من خلال استخدام خصائص حقل الأعداد الحقيقية.

ثم يشرع، على سبيل المثال، في تعميم النظريات التي تعود إلى كوشي، وآبل، وميرتنز، وهاردي إلى مجال المتغير الحركي.

في المقال الأساسي، المذكور أدناه، يتناول المؤلف الدوال التحليلية من الرتبة D، وتحقيق معادلة دالمبير بواسطة مركباتها. ويُطلق على المستطيل الذي توازي أضلاعه القطرين y = x و y = − x اسم المستطيل المتجانس الخواص ، لأن أضلاعه تقع على خطوط متجانسة الخواص . ويختتم ملخصه بهذه الكلمات:

تلعب المستطيلات المتساوية الخواص دورًا أساسيًا في هذه النظرية لأنها تشكل مجالات الوجود للدوال الهولومورفية، ومجالات تقارب متسلسلات القوى ، ومجالات تقارب المتسلسلات الوظيفية.

اختتم فينيو سلسلته بملاحظة من ست صفحات حول تقريب الدوال الهولومورفية من الرتبة D في مستطيل متساوي الخواص باستخدام كثيرات حدود برنشتاين . ورغم وجود بعض الأخطاء المطبعية وبعض الهفوات التقنية في هذه السلسلة، فقد نجح فينيو في عرض الخطوط العريضة للنظرية التي تقع بين التحليل الحقيقي والتحليل العقدي العادي. يتميز النص بكونه وثيقة تعليمية قيّمة للطلاب والمعلمين، وذلك بفضل تطوره النموذجي انطلاقًا من العناصر الأساسية. علاوة على ذلك، فإنّ هذه الرحلة الفكرية برمتها متجذرة في "علاقتها بهندسة إميل بوريل " لتبرير دوافعها.

في عام 1892، استذكر كورادو سيغري جبر التيسارين باعتباره أعدادًا ثنائية المركب . ^{[ 6 ]} وبطبيعة الحال، نشأ الجبر الفرعي للتيسارينات الحقيقية وأصبح يُطلق عليه اسم الأعداد الثنائية الحقيقية .

في عام ١٩٤٦، نشر يو. بينسيفينغا مقالًا ^{[ ٧ ]} حول الأعداد الثنائية والأعداد المركبة المنقسمة، حيث استخدم مصطلح العدد الثنائي الحقيقي. كما وصف بعضًا من نظرية الدوال للمتغير الثنائي الحقيقي. دُرِس هذا المقال في جامعة كولومبيا البريطانية عام ١٩٤٩، عندما كتب جيفري فوكس أطروحته للماجستير بعنوان "نظرية الدوال الأولية لمتغير فائق التعقيد ونظرية التحويل المطابق في المستوى الزائدي". في الصفحة ٤٦، يذكر فوكس أن "بينسيفينغا قد بيّن أن دالة لمتغير ثنائي حقيقي تُحوّل المستوى الزائدي إلى نفسه بطريقة تحافظ على الزوايا الزائدية في التحويل عند النقاط التي توجد عندها مشتقة الدالة ولا تنعدم".

يشرع جي. فوكس في تقديم التحليل القطبي لمتغير ثنائي الواقعية، ويناقش التعامد الزائدي . وانطلاقًا من تعريف مختلف، يبرهن في الصفحة 57

النظرية 3.42  : يكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كانت متجهات الوحدة الخاصة بهما انعكاسات متبادلة لبعضها البعض في أحد الخطوط القطرية المارة بالنقطة 0.

يركز فوكس على "التحويلات الثنائية الخطية"${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$، أين${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$هي ثوابت ثنائية حقيقية. ولمعالجة التفرد، يقوم بتوسيع المستوى بنقطة واحدة عند اللانهاية (الصفحة 73).

من بين إسهاماته الجديدة في نظرية الدوال مفهوم النظام المتشابك . يوضح فوكس أنه بالنسبة لدالة ثنائية الواقع k التي تحقق

( أ - ب ) ^² < | ك | < ( أ + ب ) ^²

القطع الزائد

| z | = a² ^و | z − ^k | = b²

لا تتقاطع (تشكل نظامًا متشابكًا). ثم يوضح أن هذه الخاصية محفوظة بواسطة التحويلات الثنائية الخطية لمتغير ثنائي حقيقي.

تُعدّ الدالة العكسية الضربية بالغة الأهمية لدرجة أنه تُتخذ إجراءات استثنائية لإدراجها في تطبيقات الهندسة التفاضلية . فعلى سبيل المثال، يُطوى المستوى العقدي ليُصبح كرة ريمان في الحساب العقدي العادي. أما في الحساب العقدي المنفصل، فيُستخدم سطح زائد بدلًا من الكرة.${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$كما هو الحال مع كرة ريمان، فإن الطريقة هي إسقاط مجسم من النقطة P = (0, 0, 1) مرورًا بالنقطة t = ( x , y , 0) إلى القطع الزائد. يتم تحديد الخط L = Pt بواسطة s في${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$بحيث يمر عبر النقطة P عندما تكون قيمة s صفرًا، وعبر النقطة t عندما تكون قيمة s واحدًا.

يستنتج من H ∩ L أن

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ لذا}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

إذا كانت النقطة t تقع على المخروط الصفري ، فإن s = 2 و (2 x ، ±2 x ، – 1) تقع على H ، فإن النقاط المقابلة (2 x ، ±2 x ، 1) تشكل مخروط الضوء عند اللانهاية الذي هو صورة المخروط الصفري تحت الانعكاس.

لاحظ أنه بالنسبة لـ t مع${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$قيمة s سالبة. وهذا يعني أن الشعاع العكسي المار بالنقطة P إلى النقطة t يُحدد النقطة على H. تقع هاتان النقطتان t أعلى وأسفل القطع الزائد المرافق للقطع الزائد الواحدي.

يجب إتمام عملية التكثيف في الفضاء ثلاثي الأبعاد ^P³R باستخدام إحداثيات متجانسة ( w, x, y, z )، حيث w = 1 يحدد الفضاء الأفيني ( x, y, z ) المستخدم حتى الآن. يتم دمج القطع الزائد H في القطع المخروطي الإسقاطي.${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$وهي مساحة صغيرة .

أجرى والتر بنز عملية التكثيف باستخدام رسم تخطيطي من ابتكار هانز بيك. وقد أوضح إسحاق ياغلوم عملية تكثيف ثنائية الخطوات كما سبق، ولكن مع كون المستوى المركب المنقسم مماسًا للقطع الزائد. ^{[ 8 ]} وفي عام 2015، أجرى إيمانويلو ونولدر عملية التكثيف عن طريق تضمين المستوى الحركي أولًا في طارة ، ثم جعله إسقاطيًا بتحديد النقاط المتقابلة . ^{[ 9 ]}

• فرانشيسكو كاتوني، دينو بوكاليتي، وروبرتو كاناتا (2008) رياضيات فضاء-زمن مينكوفسكي ، دار نشر بيركهاوزر ، بازل. الفصل 7: دوال المتغير الزائدي.
• شهرام دهداشت وآخرون (2021) "البصريات القطعية المطابقة"، مجلة Physical Review Research 3,033281 doi : 10.1103/PhysRevResearch.3.033281