مجال الدالة

في الرياضيات ، مجال الدالة هو مجموعة المدخلات التي تقبلها الدالة . ويُرمز إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$أو${\displaystyle \operatorname {dom} f}$حيث f هي الدالة. وبعبارة أخرى، يمكن اعتبار مجال الدالة بشكل عام "ما يمكن أن تكون عليه قيمة x". ^{[ 1 ]}

بتعبير أدق، بالنظر إلى دالة${\displaystyle f\colon X\to Y}$مجال الدالة f هو X. في اللغة الرياضية الحديثة، يُعد المجال جزءًا من تعريف الدالة وليس خاصية لها.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها كل من X و Y مجموعتين من الأعداد الحقيقية ، يمكن تمثيل الدالة f بيانيًا في نظام الإحداثيات الديكارتية . في هذه الحالة، يُمثَّل مجال الدالة على المحور x للرسم البياني، باعتباره إسقاطًا للرسم البياني للدالة على المحور x .

لوظيفة${\displaystyle f\colon X\to Y}$تُسمى المجموعة Y بالمجال المقابل : وهي المجموعة التي يجب أن تنتمي إليها جميع المخرجات. تُسمى مجموعة المخرجات المحددة التي تُسندها الدالة إلى عناصر X بالمدى أو الصورة . صورة${\displaystyle f}$هي مجموعة فرعية من Y ، موضحة بالشكل البيضاوي الأصفر في الرسم التخطيطي المصاحب.

يمكن تقييد أي دالة بمجموعة جزئية من مجالها. تقييد${\displaystyle f\colon X\to Y}$ل${\displaystyle A}$، أين${\displaystyle A\subseteq X}$، تُكتب على النحو التالي${\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}$.

إذا عُرِّفت دالة حقيقية f بصيغة، فقد لا تكون مُعرَّفة لبعض قيم المتغير. في هذه الحالة، تُسمى دالة جزئية ، وتُسمى مجموعة الأعداد الحقيقية التي يمكن عندها حساب الصيغة إلى عدد حقيقي المجال الطبيعي أو مجال تعريف f . في كثير من السياقات، تُسمى الدالة الجزئية ببساطة دالة ، ويُسمى مجالها الطبيعي ببساطة مجالها .

يُستخدم مصطلح "المجال" أيضًا بمعنى مختلف في التحليل الرياضي : المجال هو مجموعة مفتوحة متصلة غير فارغة في فضاء طوبولوجي . على وجه الخصوص، في التحليل الحقيقي والتحليل المركب ، المجال هو مجموعة جزئية مفتوحة متصلة غير فارغة من فضاء الإحداثيات الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو فضاء الإحداثيات المعقدة${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

أحيانًا يُستخدم هذا المجال كمجال لدالة، مع أن الدوال قد تُعرَّف على مجموعات أكثر عمومية. يُخلط بين المفهومين أحيانًا، كما في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية على سبيل المثال : في هذه الحالة، يكون المجال هو المجموعة الفرعية المفتوحة المتصلة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$حيث يتم طرح مشكلة، مما يجعلها مجالًا تحليليًا وأيضًا مجالًا للوظيفة (الوظائف) المجهولة المطلوبة.

على سبيل المثال، من الملائم أحيانًا في نظرية المجموعات السماح بأن يكون مجال دالة ما فئةً حقيقيةً X ، وفي هذه الحالة لا يوجد رسميًا ما يُسمى بالثلاثية ( X ، Y ، G ) . مع هذا التعريف، لا تمتلك الدوال مجالًا، على الرغم من أن بعض المؤلفين ما زالوا يستخدمونه بشكل غير رسمي بعد تقديم دالة على ^الصورة f : X → Y. [ ^{2 ]}

• وسيط الدالة
• مجال السمة
• التقابل، والحقن، والتجاوز
• كودومين
• تجزئة المجال
• النطاق الفعال
• وظيفة بطانة الأوعية الدموية
• صورة (رياضيات)
• مجال ليبشيتز
• نظرية المجموعات الساذجة
• نطاق الدالة
• الدعم (الرياضيات)

• بورباكي، نيكولاس (1970). نظرية المجموعات . عناصر الرياضيات. سبرينغر. رقم ISBN 9783540340348.
• إيكلز، بيتر ج. (11 ديسمبر 1997). مقدمة في الاستدلال الرياضي: الأعداد والمجموعات والدوال . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-59718-0.
• ماك لين، سوندرز (25 سبتمبر 1998). تصنيفات للرياضي العامل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-98403-2.
• سكوت، دانا س.؛ جيتش، توماس ج. (31 ديسمبر 1971). نظرية المجموعات البديهية، الجزء 1. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-0245-8.
• شارما، أ.ك. (2010). مقدمة في نظرية المجموعات . دار ديسكفري للنشر. رقم ISBN 978-81-7141-877-0.
• ستيوارت، إيان؛ تال، ديفيد (1977). أسس الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-853165-4.