مجال ليبشيتز

في الرياضيات ، يُعرف المجال الليبشيتز (أو المجال ذو الحدود الليبشيتزية ) بأنه مجال في الفضاء الإقليدي تكون حدوده "منتظمة بما فيه الكفاية" بمعنى أنه يمكن اعتبارها محليًا بمثابة تمثيل بياني لدالة متصلة ليبشيتزية . سُمي هذا المصطلح نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني رودولف ليبشيتز .

يترك${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. يترك$أوميغا$أن يكون مجالاً لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ودع${\displaystyle \partial \Omega }$تشير إلى حدود$أوميغا$. ثم$أوميغا$يُطلق عليه اسم مجال ليبشيتز إذا كان لكل نقطة${\displaystyle p\in \partial \Omega }$يوجد مستوى فائق${\displaystyle H}$من الأبعاد${\displaystyle n-1}$خلال${\displaystyle p}$، دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز${\displaystyle g:H\rightarrow \mathbb {R} }$فوق ذلك المستوى الفائق، والأعداد الحقيقية${\displaystyle r>0}$و${\displaystyle h>0}$بحيث

• ${\displaystyle \Omega \cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<y<g(x)\right\}}$
• ${\displaystyle (\partial \Omega )\cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ g(x)=y\right\}}$

أين

${\displaystyle {\vec {n}}}$هو أحد متجهي الوحدة العموديين على${\displaystyle H,}$

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|xp\|<r\}}$هي كرة مفتوحة نصف قطرها${\displaystyle r}$،

${\displaystyle C:=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ {-h}<y<h\right\}.}$

بمعنى آخر، عند كل نقطة من حدودها،$أوميغا$هي محلياً مجموعة النقاط الموجودة فوق الرسم البياني لدالة ليبشيتز معينة.

ثمة مفهوم أعمّ يتمثل في نطاقات ليبشيتز الضعيفة ، وهي نطاقات يمكن تسوية حدودها محليًا بواسطة تحويل ثنائي ليبشيتز. وتُسمى نطاقات ليبشيتز بالمعنى المذكور أعلاه أحيانًا نطاقات ليبشيتز القوية، وذلك تمييزًا لها عن نطاقات ليبشيتز الضعيفة.

نطاق$أوميغا$تكون ليبشيتز ضعيفة إذا كان لكل نقطة${\displaystyle p\in \partial \Omega ,}$يوجد نصف قطر${\displaystyle r>0}$وخريطة${\displaystyle \ell _{p}:B_{r}(p)\rightarrow Q}$بحيث

• ${\displaystyle \ell _{p}}$هي دالة تقابلية ؛
• ${\displaystyle \ell _{p}}$و${\displaystyle \ell _{p}^{-1}}$كلاهما دالتان متصلتان وفقًا لشرط ليبشيتز؛
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\partial \Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{+};}$

أين${\displaystyle Q}$يرمز إلى كرة الوحدة${\displaystyle B_{1}(0)}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\};}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

المجال الذي يتمتع بخاصية ليبشيتز (بقوة) يكون دائمًا مجالًا ضعيفًا يتمتع بخاصية ليبشيتز، ولكن العكس ليس صحيحًا. ومن الأمثلة على المجالات التي تتمتع بخاصية ليبشيتز ضعيفة ولكنها لا تتمتع بخاصية ليبشيتز قوية، مجال الطوبتين ^{[ 1 ].}

تتطلب العديد من نظريات تضمين سوبوليف أن يكون مجال الدراسة مجال ليبشيتز. ونتيجة لذلك، يتم تعريف العديد من المعادلات التفاضلية الجزئية ومسائل حساب التفاضل والتكامل على مجالات ليبشيتز.

• داكورونيا، ب. (2004). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل التغيري . مطبعة إمبريال كوليدج، لندن. ISBN 1-86094-508-2.