نقطة التوازن (الرياضيات)

في الرياضيات ، وتحديداً في المعادلات التفاضلية ، نقطة التوازن هي حل ثابت للمعادلة التفاضلية.

النقطة${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$ تمثل نقطة توازن للمعادلة التفاضلية

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

لو${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$للجميع${\displaystyle t}$.

وبالمثل، النقطة ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$هي نقطة توازن (أو نقطة ثابتة ) لمعادلة الفرق

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (ك,\mathbf {x} _{k})}$

لو${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$ل${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$.

يمكن تصنيف حالات التوازن من خلال النظر إلى إشارات القيم الذاتية لخطية المعادلات المتعلقة بهذه الحالات. أي، بتقييم مصفوفة جاكوبي عند كل نقطة توازن للنظام، ثم إيجاد القيم الذاتية الناتجة، يمكن تصنيف حالات التوازن. بعد ذلك، يمكن تحديد سلوك النظام في جوار كل نقطة توازن نوعيًا (أو حتى كميًا في بعض الحالات) من خلال إيجاد المتجه الذاتي (أو المتجهات الذاتية) المرتبط بكل قيمة ذاتية.

تكون نقطة التوازن زائدية إذا لم يكن لأي من القيم الذاتية جزء حقيقي يساوي صفرًا. إذا كانت جميع القيم الذاتية ذات أجزاء حقيقية سالبة، فإن النقطة مستقرة . إذا كانت قيمة ذاتية واحدة على الأقل ذات جزء حقيقي موجب، فإن النقطة غير مستقرة . إذا كانت قيمة ذاتية واحدة على الأقل ذات جزء حقيقي سالب وأخرى ذات جزء حقيقي موجب، فإن نقطة التوازن هي نقطة سرجية وهي غير مستقرة. إذا كانت جميع القيم الذاتية حقيقية ولها نفس الإشارة، تُسمى النقطة عقدة .

• معادلة مستقلة
• نقطة حرجة
• حالة مستقرة

• بويس، ويليام إي.؛ ديبريما، ريتشارد سي. (2012). المعادلات التفاضلية الأولية ومسائل القيم الحدية (  الطبعة العاشرة). وايلي. ISBN 978-0-470-45831-0.
• بيركو، لورانس (2001). المعادلات التفاضلية والأنظمة الديناميكية (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. الصفحات 102-104 . ISBN  1-4613-0003-7.