مشتقات الاستقرار

مشتقات الاستقرار ، وكذلك مشتقات التحكم ، هي مقاييس لكيفية تغير قوى وعزوم معينة على الطائرة بتغير معايير أخرى متعلقة بالاستقرار (مثل سرعة الهواء ، والارتفاع، وزاوية الهجوم ، إلخ). في حالة طيران "متوازن" محدد، تحدث تغيرات وتذبذبات في هذه المعايير. تُستخدم معادلات الحركة لتحليل هذه التغيرات والتذبذبات. تُستخدم مشتقات الاستقرار والتحكم لتبسيط معادلات الحركة هذه، مما يُسهّل تحليل استقرار المركبة.

تتغير مشتقات الاستقرار والتحكم بتغير ظروف الطيران. وتُسمى مجموعة مشتقات الاستقرار والتحكم، عند تغيرها ضمن نطاق واسع من ظروف الطيران، بالنموذج الديناميكي الهوائي . تُستخدم النماذج الديناميكية الهوائية في أجهزة محاكاة الطيران الهندسية لتحليل الاستقرار، وفي أجهزة محاكاة الطيران في الوقت الفعلي لأغراض التدريب والترفيه.

ترتبط مشتقات الاستقرار ومشتقات التحكم ببعضها لأنها جميعًا مقاييس للقوى والعزوم المؤثرة على المركبة مع تغير المعايير الأخرى. غالبًا ما تُستخدم المصطلحات معًا ويُشار إليها اختصارًا بـ "مشتقات الاستقرار والتحكم". ويكمن الاختلاف بينهما في أن مشتقات الاستقرار تقيس تأثيرات التغيرات في ظروف الطيران، بينما تقيس مشتقات التحكم تأثيرات التغيرات في مواضع أسطح التحكم.

مشتق الاستقرار

يقيس مقدار التغير الذي يحدث في القوة أو العزم المؤثر على المركبة عند حدوث تغيير طفيف في أحد معايير حالة الطيران مثل زاوية الهجوم ، وسرعة الهواء، والارتفاع، وما إلى ذلك. (تسمى هذه المعايير "الحالات").

مشتق التحكم

يقيس مقدار التغير الذي يحدث في القوة أو العزم المؤثر على المركبة عندما يكون هناك تغيير طفيف في انحراف سطح التحكم مثل الجنيحات والمصعد والدفة.

تستخدم المركبات الجوية نظام إحداثيات للمحاور للمساعدة في تحديد المعايير المهمة المستخدمة في تحليل الاستقرار. تمر جميع المحاور عبر مركز الثقل (المسمى "CG").

• يمتد المحور "X" أو "x" من الخلف إلى الأمام على طول الجسم، ويسمى محور الدوران .
• المحور "Y" أو "y" يمتد من اليسار إلى اليمين على طول الجناح، ويسمى محور الميل .
• "Z" أو "z" يمتد من الأعلى إلى الأسفل، ويسمى محور الانحراف .

يتم استخدام نوعين مختلفين قليلاً من محاذاة هذه المحاور اعتمادًا على الحالة: "محاور ثابتة للجسم"، و "محاور الاستقرار".

يُعدّ استخدام مشتقات الاستقرار أكثر ملاءمةً عند تطبيقها على تكوينات الصواريخ، نظرًا لتناظرها الأكبر مقارنةً بالطائرات، وبالتالي تبسيط معادلات الحركة. بافتراض أن المركبة تُتحكم في دورانها الجانبي، يمكن معالجة حركتي الانحراف والالتفاف بشكل منفصل. ومن الممارسات الشائعة دراسة مستوى الانعطاف، بحيث لا يلزم سوى دراسة الحركة ثنائية الأبعاد. علاوةً على ذلك، يُفترض أن قوة الدفع تساوي قوة السحب، وبالتالي يمكن إهمال معادلة الحركة الطولية.

الجسم موجه بزاوية${\displaystyle \psi }$(psi) بالنسبة لمحاور القصور الذاتي. الجسم موجه بزاوية${\displaystyle \beta }$(بيتا) بالنسبة لمتجه السرعة، بحيث تكون مركبات السرعة في محاور الجسم هي:

${\displaystyle u=U\cos \beta }$

${\displaystyle v=U\sin \beta }$

أين${\displaystyle U}$السرعة هي العامل الحاسم.

تتولد القوى الديناميكية الهوائية بالنسبة لمحاور الجسم، وهو ليس إطارًا مرجعيًا قصوريًا. لحساب الحركة، يجب ربط هذه القوى بالمحاور القصورية. يتطلب ذلك تحليل مركبات سرعة الجسم من خلال زاوية الاتجاه.${\displaystyle (\beta )}$في محاور القصور الذاتي.

التحليل إلى محاور ثابتة (قصورة):

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )}$

${\displaystyle v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )}$

يتم إيجاد التسارع بالنسبة للمحاور العطالية عن طريق اشتقاق مكونات السرعة هذه بالنسبة للزمن:

${\displaystyle {\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta +\psi )}$

${\displaystyle {\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta +\psi )}$

بحسب قانون نيوتن الثاني ، فإن هذا يساوي القوة المؤثرة مقسومة على الكتلة . تنشأ القوى من توزيع الضغط على الجسم، وبالتالي تتولد في محاور الجسم، وليس في محاور القصور الذاتي، لذا يجب تحليل قوى الجسم إلى محاور القصور الذاتي ، لأن قانون نيوتن الثاني لا ينطبق في أبسط صوره على إطار مرجعي متسارع .

حل قوى الجسم:

${\displaystyle X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )}$

${\displaystyle Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )}$

قانون نيوتن الثاني، بافتراض ثبات الكتلة:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

حيث m هي الكتلة. وبمساواة قيم القصور الذاتي للتسارع والقوة، وتحليلها مرة أخرى إلى محاور الجسم، نحصل على معادلات الحركة:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta ) -mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )}$

${\displaystyle Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )}$

الانزلاق الجانبي،${\displaystyle \beta }$, is a small quantity, so the small perturbation equations of motion become:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}}$

The first resembles the usual expression of Newton's second law, whilst the second is essentially the centrifugal acceleration. The equation of motion governing the rotation of the body is derived from the time derivative of angular momentum:

${\displaystyle N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}}$

where C is the moment of inertia about the yaw axis. Assuming constant speed, there are only two state variables; ${\displaystyle \beta }$ and ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}}$, which will be written more compactly as the yaw rate r. There is one force and one moment, which for a given flight condition will each be functions of ${\displaystyle \beta }$, r and their time derivatives. For typical missile configurations the forces and moments depend, in the short term, on ${\displaystyle \beta }$ and r. The forces may be expressed in the form:

${\displaystyle Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r}$

where ${\displaystyle Y_{0}}$ is the force corresponding to the equilibrium condition (usually called the trim) whose stability is being investigated. It is common practice to employ a shorthand:

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }}$

The partial derivative${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}}$ and all similar terms characterising the increments in forces and moments due to increments in the state variables are called stability derivatives. Typically, ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial r}}}$ is insignificant for missile configurations, so the equations of motion reduce to:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r}$

Each stability derivative is determined by the position, size, shape and orientation of the missile components. In aircraft, the directional stability determines such features as dihedral of the main planes, size of fin and area of tailplane, but the large number of important stability derivatives involved precludes a detailed discussion within this article. The missile is characterised by only three stability derivatives, and hence provides a useful introduction to the more complex aeroplane dynamics.

Consider first ${\displaystyle Y_{\beta }}$, a body at an angle of attack${\displaystyle \beta }$ generates a lift force in the opposite direction to the motion of the body. For this reason ${\displaystyle Y_{\beta }}$ is always negative.

At low angles of attack, the lift is generated primarily by the wings, fins and the nose region of the body. The total lift acts at a distance ${\displaystyle x_{cp}}$يقع مركز الضغط أمام مركز الثقل (وهو ذو قيمة سالبة في الشكل)، ويُعرف في مصطلحات الصواريخ بهذا الاسم. إذا كان الرفع يؤثر أمام مركز الثقل، فسيكون عزم الدوران سالبًا، وسيؤدي ذلك إلى زيادة زاوية الهجوم، مما يزيد من كلٍّ من الرفع وعزم الدوران. وبناءً على ذلك، يجب أن يقع مركز الضغط خلف مركز الثقل لتحقيق الاستقرار الساكن. ${\displaystyle x_{cp}}$يمثل هامش الاستقرار الساكن ، ويجب أن يكون سالبًا لتحقيق الاستقرار الساكن الطولي . أو بعبارة أخرى، يجب أن تولد زاوية الهجوم الموجبة عزم انحراف موجبًا على صاروخ مستقر ساكنًا، أي${\displaystyle N_{\beta }}$يجب أن يكون إيجابياً. من الممارسات الشائعة تصميم الصواريخ القابلة للمناورة بهامش ثابت شبه معدوم (أي استقرار ثابت محايد).

الحاجة إلى الإيجابية${\displaystyle N_{\beta }}$يشرح هذا لماذا تحتوي الأسهم والسهام على ريش، بينما تحتوي الصواريخ غير الموجهة على زعانف.

يتمثل تأثير السرعة الزاوية بشكل أساسي في تقليل رفع مقدمة الطائرة وزيادة رفع ذيلها، وكلاهما يعمل بمعنى ما على معارضة الدوران. ${\displaystyle N_{r}}$لذا، تكون القوة سالبة دائمًا. صحيح أن للجناح مساهمة، لكن نظرًا لأن الصواريخ تميل إلى امتلاك هوامش ثابتة صغيرة (عادةً أقل من عيار )، فإن هذه المساهمة تكون ضئيلة في الغالب. كما أن مساهمة الزعنفة أكبر من مساهمة مقدمة الصاروخ، وبالتالي توجد قوة محصلة.${\displaystyle Y_{r}}$لكن هذا عادة ما يكون ضئيلاً مقارنة بـ${\displaystyle Y_{\beta }}$وعادة ما يتم تجاهله.

يؤدي التلاعب بمعادلات الحركة إلى معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية في زاوية الهجوم${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0}$

تم تناول السلوك النوعي لهذه المعادلة في المقالة المتعلقة بالاستقرار الاتجاهي .${\displaystyle Y_{\beta }}$و${\displaystyle N_{r}}$إذا كانت كلتا القيمتين سالبتين، فإن التخميد يكون موجبًا. ولا تعتمد الصلابة فقط على مصطلح الاستقرار الساكن.${\displaystyle N_{\beta }}$كما يتضمن مصطلحًا يحدد زاوية الهجوم الناتجة عن دوران الجسم. تُسمى المسافة بين مركز الرفع، بما في ذلك هذا المصطلح، ومركز الثقل بهامش المناورة . ويجب أن تكون هذه المسافة سالبة لتحقيق الاستقرار.

يُطلق على هذا التذبذب المخمد في زاوية الهجوم ومعدل الانعراج، في أعقاب اضطراب ما، اسم وضع "دوارة الرياح"، نسبة إلى ميل دوارة الرياح إلى الإشارة إلى اتجاه الرياح.

تم اختيار متغيرات الحالة لتكون زاوية الهجوم${\displaystyle \beta }$ومعدل الانعراج r، وقد تم حذف اضطراب السرعة u، بالإضافة إلى المشتقات المرتبطة به eg${\displaystyle Y_{u}}$قد يبدو هذا الأمر تعسفيًا. مع ذلك، نظرًا لأن النطاق الزمني لتغير السرعة أكبر بكثير من النطاق الزمني لتغير زاوية الهجوم، فإن تأثيراته ضئيلة فيما يتعلق بثبات اتجاه المركبة. وبالمثل، تم تجاهل تأثير الدوران على حركة الانعراج، لأن الصواريخ عمومًا تتميز بتكوينات ذات نسبة عرض إلى طول منخفضة ، وعزم القصور الذاتي للدوران أقل بكثير من عزم القصور الذاتي للانعراج، وبالتالي يُتوقع أن تكون حلقة الدوران أسرع بكثير من استجابة الانعراج، ولذا يتم تجاهلها. تمثل هذه التبسيطات للمسألة، القائمة على المعرفة المسبقة ، نهجًا هندسيًا. أما علماء الرياضيات، فيفضلون إبقاء المسألة عامة قدر الإمكان، ولا يبسطونها إلا في نهاية التحليل، إن لزم الأمر.

تُعدّ ديناميكيات الطائرات أكثر تعقيدًا من ديناميكيات الصواريخ، ويعود ذلك أساسًا إلى أن التبسيطات، مثل فصل الأنماط السريعة والبطيئة، والتشابه بين حركتي الميل والانعراج، لا تظهر بوضوح في معادلات الحركة، وبالتالي تُؤجّل إلى مرحلة متأخرة من التحليل. تتميز طائرات النقل دون سرعة الصوت بتكوينات ذات نسبة عرض إلى طول عالية، مما يجعل من المستحيل فصل حركتي الانعراج والدوران. مع ذلك، فإن هذا مجرد اختلاف في الدرجة؛ إذ تُغطّى الأفكار الأساسية اللازمة لفهم ديناميكيات الطائرات في هذا التحليل المبسط لحركة الصواريخ.

يؤدي انحراف أسطح التحكم إلى تغيير توزيع الضغط على المركبة، ويتم التعامل مع هذه التغييرات من خلال تضمين اضطرابات في القوى والعزوم الناتجة عن انحراف أسطح التحكم. ويُشار عادةً إلى انحراف الزعانف بـ${\displaystyle \zeta }$(زيتا). وبإضافة هذه الحدود، تصبح معادلات الحركة كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta }$

$//$

إن تضمين مشتقات التحكم يمكّن من دراسة استجابة المركبة، ومعادلات الحركة المستخدمة لتصميم نظام الطيار الآلي.

• سي _{إل${\displaystyle \beta }$}يُعرف هذا التأثير باسم تأثير الزاوية الثنائية ، وهو مشتق استقرار يقيس التغيرات في عزم الدوران مع تغير زاوية الانزلاق الجانبي . يشير الحرف "L" إلى عزم الدوران و${\displaystyle \beta }$يشير إلى زاوية الانزلاق الجانبي.

• الاستقرار الساكن الطولي
• نقطة محايدة
• المركز الديناميكي الهوائي
• ديناميكيات الطيران
• ثبات اتجاهي

• بابيستر، أ. و.: استقرار الطائرات الديناميكي واستجابتها . إلسيفير 1980، رقم ISBN 0-08-024768-7
• فريدلاند ب: تصميم أنظمة التحكم . شركة ماكجرو هيل للنشر، 1987. رقم ISBN 0-07-100420-3
• روسكام جان: ديناميكيات طيران الطائرات وأنظمة التحكم الآلي في الطيران . شركة روسكام للطيران والهندسة 1979. الطبعة الثانية 1982. رقم بطاقة فهرس مكتبة الكونغرس: 78-31382.