زوايا أويلر

تُرمز محاور الإطار الأصلي بـ x و y و z ، بينما تُرمز محاور الإطار المُدار بـ X و Y و Z. يبدأ التعريف الهندسي (الذي يُشار إليه أحيانًا بالتعريف الساكن) بتعريف خط العقد ( N ) على أنه نقطة تقاطع المستويين xy و XY (ويمكن تعريفه أيضًا على أنه العمود المشترك على المحورين z و Z ، ويُكتب حينها على شكل حاصل الضرب الاتجاهي N = z × Z ). وباستخدام هذا التعريف، يمكن تعريف زوايا أويلر الثلاث كما يلي:

• α (أو φ ) هي الزاوية الموقعة بين المحور x والمحور N ( اتفاقية x - يمكن تعريفها أيضًا بين y و N ، وتسمى اتفاقية y ).
• β (أو θ ) هي الزاوية بين المحور z والمحور Z.
• γ (أو ψ ) هي الزاوية الموقعة بين المحور N والمحور X ( اصطلاح x ).

يتم تعريف زوايا أويلر بين إطارين مرجعيين فقط إذا كان لكلا الإطارين نفس اليد .

الدورانات الذاتية هي دورانات أساسية تحدث حول محاور نظام إحداثيات XYZ متصل بجسم متحرك. ولذلك، يتغير اتجاهها بعد كل دوران أساسي. يدور نظام XYZ ، بينما يبقى نظام xyz ثابتًا. بدءًا من تراكب XYZ مع xyz ، يمكن استخدام تركيبة من ثلاثة دورانات ذاتية للوصول إلى أي اتجاه مستهدف لنظام XYZ .

يمكن تعريف زوايا أويلر من خلال الدورانات الذاتية. يمكن تخيل الإطار XYZ المُدار على أنه مُحاذي مبدئيًا مع المحور xyz ، قبل أن يخضع للدورانات الأساسية الثلاثة المُمثلة بزوايا أويلر. ويمكن الإشارة إلى اتجاهاته المتتالية كما يلي:

• x - y - z أو x ₀ - y ₀ - z ₀ (الابتدائي)
• x ′- y ′- z ′ أو x ₁ - y ₁ - z ₁ (بعد الدوران الأول)
• x ″- y ″- z ″ أو x ₂ - y ₂ - z ₂ (بعد الدوران الثاني)
• X - Y - Z أو x ₃ - y ₃ - z ₃ (النهائي)

بالنسبة لتسلسل الدورانات المذكور أعلاه، يمكن تعريف خط العقد N ببساطة على أنه اتجاه X بعد الدوران الأولي الأول. وبالتالي، يمكن الإشارة إلى N ببساطة بـ x ′ . علاوة على ذلك، بما أن الدوران الأولي الثالث يحدث حول Z ، فإنه لا يغير اتجاه Z. لذا، يتطابق Z مع z ″ . وهذا يسمح لنا بتبسيط تعريف زوايا أويلر كما يلي:

• يمثل α (أو φ ) دورانًا حول المحور z ،
• يمثل β (أو θ ) دورانًا حول المحور x ′ ،
• يمثل γ (أو ψ ) دورانًا حول المحور z ″ .

أمثلة: يستخدم ويغنر ^{[ 2 ]} ترتيب ZX′Z′ لتعريف زوايا أويلر. ويستخدم هيرشفيلدر وآخرون ^{[ 3 ]} ترتيب ZY′Z′ لتعريف زوايا أويلر.

الدورانات الخارجية هي دورانات أساسية تحدث حول محاور نظام الإحداثيات الثابت xyz . يدور نظام XYZ بينما يبقى نظام xyz ثابتًا. بدءًا من تداخل XYZ مع xyz ، يمكن استخدام تركيبة من ثلاثة دورانات خارجية للوصول إلى أي اتجاه مستهدف لنظام XYZ . زوايا أويلر أو تايت-برايان ( α ، β ، γ ) هي سعات هذه الدورانات الأساسية. على سبيل المثال، يمكن الوصول إلى الاتجاه المستهدف كما يلي (لاحظ الترتيب المعكوس لتطبيق زوايا أويلر):

• يدور نظام XYZ حول المحور z بزاوية γ . يصبح المحور X الآن بزاوية γ بالنسبة للمحور x .
• يدور نظام XYZ مرة أخرى، ولكن هذه المرة حول المحور x بزاوية β . أصبح المحور Z الآن بزاوية β بالنسبة للمحور z .
• يدور نظام XYZ للمرة الثالثة، حول المحور z مرة أخرى، بزاوية α .

باختصار، تحدث الدورانات الأساسية الثلاثة حول المحاور z و x و z . يُشار إلى هذا التسلسل عادةً بالرمز z - x - z (أو 3-1-3). تُسمى مجموعات محاور الدوران المرتبطة بكل من زوايا أويلر وزوايا تايت-برايان باستخدام هذا الترميز (انظر أعلاه للاطلاع على الاحتمالات الستة لكل منهما).

أمثلة: يستخدم برادلي وكراكنيل ^{[ 4 ]} وإيفاريستوف ^{[ 5 ]} الدوران حول محاور ثابتة (غير مميزة).

إذا أثرت كل خطوة من خطوات الدوران على نظام الإحداثيات الدوار XYZ، فإن الدوران يكون دورانًا ذاتيًا ( ZX′-Z″ ). ويمكن أيضًا الإشارة إلى الدوران الذاتي بالرمز 3-1-3.

تُعرَّف الزوايا عادةً وفقًا لقاعدة اليد اليمنى . أي أنها تأخذ قيمًا موجبة عندما تمثل دورانًا يبدو في اتجاه عقارب الساعة عند النظر في الاتجاه الموجب للمحور، وقيمًا سالبة عندما يكون الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة. أما الاصطلاح المعاكس (قاعدة اليد اليسرى) فنادرًا ما يُعتمد.

حول النطاقات (باستخدام ترميز الفترات ):

• بالنسبة لـ α و γ ، يتم تحديد المدى بتردد 2π راديان . على سبيل المثال ، يمكن أن يكون المدى الصحيح هو [ −π , π ] .
• بالنسبة لـ β ، يغطي النطاق π راديان ( ولكن لا يمكن القول بأنه modulo π ) . على سبيل المثال ، يمكن أن يكون [ 0, π ] أو [ −π / 2 , π / 2 ] . 

تُحدد الزوايا α و β و γ بشكلٍ فريد، باستثناء الحالة الشاذة التي يكون فيها المستويان xy و XY متطابقين، أي عندما يكون للمحور z والمحور Z نفس الاتجاه أو اتجاهان متعاكسان. في الواقع، إذا كان المحور z والمحور Z متطابقين، فإن β = 0 ، ويكون مجموع α + γ فقط هو المحدد بشكلٍ فريد (وليس القيم الفردية). وبالمثل، إذا كان المحور z والمحور Z متعاكسين، فإن β = π ، ويكون الفرق بين α و γ فقط هو المحدد بشكلٍ فريد (وليس القيم الفردية). تُعرف هذه الحالات الغامضة في التطبيقات باسم "قفل جيمبال" .

توجد ستة احتمالات لاختيار محاور الدوران للحصول على زوايا أويلر الصحيحة. في جميع هذه الاحتمالات، يكون محورا الدوران الأول والثالث متطابقين. التسلسلات الستة الممكنة هي:

1. z ₁ - x ′- z ₂ ″ (دوران داخلي) أو z ₂ - x - z ₁ (دوران خارجي)
2. x ₁ - y ′- x ₂ ″ (دوران داخلي) أو x ₂ - y - x ₁ (دوران خارجي)
3. y ₁ - z ′- y ₂ ″ (دوران داخلي) أو y ₂ - z - y ₁ (دوران خارجي)
4. z ₁ - y ′- z ₂ ″ (دوران داخلي) أو z ₂ - y - z ₁ (دوران خارجي)
5. x ₁ - z ′- x ₂ ″ (دوران داخلي) أو x ₂ - z - x ₁ (دوران خارجي)
6. y ₁ - x ′- y ₂ ″ (دوران داخلي) أو y ₂ - x - y ₁ (دوران خارجي)

تُعرَّف الحركة التبادرية ، والترنح ، والدوران الذاتي بأنها الحركات الناتجة عن تغيير إحدى زوايا أويلر مع تثبيت الزاويتين الأخريين. لا تُعبَّر هذه الحركات جميعها بدلالة الإطار الخارجي، أو جميعها بدلالة إطار الجسم المتحرك والمدور، بل بمزيج منها. فهي تُشكِّل نظام محاور دوران مختلطًا ؛ إذ تُحرِّك الحركة التبادرية خط العقد حول المحور الخارجي z ، ويدور الترنح حول خط العقد N ، أما الدوران الذاتي فيدور حول المحور Z ، وهو محور ثابت في الجسم المتحرك. 

لاحظ أنه إذا خضع جسم ما لتغيير معين في اتجاهه، فيمكن وصف ذلك بأنه مزيج من التبادر والترنح والدوران الداخلي، ولكن مقدار كل منها يعتمد على نظام الإحداثيات XYZ الذي تم اختياره للجسم.

كمثال، لنفترض وجود دولاب دوار . إذا اعتبرنا المحور Z محور التناظر، فإن دوران الدولاب حول محور تناظره يُسمى دورانًا ذاتيًا. كما يدور الدولاب حول محوره المحوري، حيث يدور مركز كتلته حول هذا المحور؛ وهذا الدوران يُسمى ترنحًا. أخيرًا، قد يتذبذب الدولاب صعودًا وهبوطًا (إذا لم يكن دولابًا متناظرًا )؛ ويُسمى تغير زاوية ميله تذبذبًا دورانيًا. وينطبق المثال نفسه على حركة الأرض.

على الرغم من أنه يمكن تمثيل الحركات الثلاث جميعها بواسطة مصفوفات الدوران، إلا أن التبادر فقط هو الذي يمكن التعبير عنه بشكل عام كمصفوفة في أساس الفضاء دون الاعتماد على الزوايا الأخرى.

تُعتبر هذه الحركات بمثابة نظام جيمبال. فعند وجود مجموعة من الإطارات، التي يمكن تحريك كل منها بالنسبة للإطار السابق بزاوية واحدة فقط، كما هو الحال في نظام الجيمبال، سيوجد إطار خارجي ثابت، وإطار نهائي، وإطاران وسيطان يُطلق عليهما "الإطارات الوسيطة". يعمل الإطاران الوسيطان كحلقتين جيمبال تسمحان للإطار النهائي بالوصول إلى أي وضعية في الفضاء.

تتشابه التعريفات والرموز المستخدمة لزوايا تايت-برايان مع تلك المذكورة أعلاه لزوايا أويلر الصحيحة ( التعريف الهندسي ، تعريف الدوران الداخلي ، تعريف الدوران الخارجي ). والفرق الوحيد هو أن زوايا تايت-برايان تمثل دورانات حول ثلاثة محاور مختلفة (مثل x - y - z ، أو x - y ′ - z ″ )، بينما تستخدم زوايا أويلر الصحيحة المحور نفسه لكل من الدورانين الأساسيين الأول والثالث (مثل z - x - z ، أو z - x ′ - z ″ ).

يستلزم هذا تعريفًا مختلفًا لخط العقد في البناء الهندسي. ففي حالة زوايا أويلر الصحيحة، يُعرَّف بأنه تقاطع مستويين ديكارتيين متماثلين (متوازيين عندما تكون زوايا أويلر صفرًا؛ مثل xy و XY ). أما في حالة زوايا تايت-برايان، فيُعرَّف بأنه تقاطع مستويين غير متماثلين (متعامدين عندما تكون زوايا أويلر صفرًا؛ مثل xy و YZ ).

قد تحدث الدورانات الأساسية الثلاثة إما حول محاور نظام الإحداثيات الأصلي، الذي يظل ثابتًا ( الدورانات الخارجية )، أو حول محاور نظام الإحداثيات الدوار، الذي يغير اتجاهه بعد كل دوران أساسي ( الدورانات الداخلية ).

توجد ستة احتمالات لاختيار محاور الدوران لزوايا تايت-برايان. التسلسلات الستة الممكنة هي:

• x - y ′- z ″ (دوران داخلي) أو z - y - x (دوران خارجي)
• y - z ′- x ″ (دوران داخلي) أو x - z - y (دوران خارجي)
• z - x ′- y ″ (دوران داخلي) أو y - x - z (دوران خارجي)
• x - z ′- y ″ (دوران داخلي) أو y - z - x (دوران خارجي)
• z - y ′- x ″ (دوران داخلي) أو x - y - z (دوران خارجي): تُعرف الدورانات الداخلية باسم: الانحراف، والميل، والدوران الجانبي
• y - x ′- z ″ (دوران داخلي) أو z - x - y (دوران خارجي)

يُستخدم اصطلاح تايت-برايان على نطاق واسع في الهندسة لأغراض مختلفة. توجد عدة اصطلاحات للمحاور في الممارسة العملية لاختيار المحاور المتحركة والثابتة، وتحدد هذه الاصطلاحات إشارات الزوايا. لذلك، يجب دراسة الإشارات بعناية في كل حالة.

يغطي نطاق الزاويتين ψ و φ مقدار 2π راديان. أما بالنسبة للزاوية θ، فيغطي نطاقها مقدار π راديان .

تُؤخذ هذه الزوايا عادةً كواحدة في الإطار المرجعي الخارجي ( الاتجاه ، والميل )، وواحدة في الإطار المتحرك الداخلي ( الميل )، وواحدة في إطار وسيط، يمثل ارتفاعًا أو ميلًا بالنسبة للمستوى الأفقي، وهو ما يعادل خط العقد لهذا الغرض.

بالنسبة للطائرة، يمكن الحصول عليها بثلاث دورات حول محاورها الرئيسية إذا تم ذلك بالترتيب الصحيح وبدءًا من إطار متطابق مع الإطار المرجعي.

• سيحدد الانحراف الاتجاه ،
• ستؤدي زاوية الميل إلى تحديد الارتفاع، و
• يُعطي التدحرج زاوية الضفة.

لذا، في مجال الطيران والفضاء، تُسمى هذه الحركات أحيانًا بالانعراج والميل والدوران . لاحظ أن هذا لن ينجح إذا طُبقت الدورانات بأي ترتيب آخر أو إذا بدأت محاور الطائرة من أي وضع لا يُعادل الإطار المرجعي.

تُعرف زوايا تايت-برايان، التي تتبع اصطلاح z - y ′- x ″ (الدورانات الجوهرية)، أيضًا باسم الزوايا البحرية ، لأنه يمكن استخدامها لوصف اتجاه السفينة أو الطائرة، أو زوايا كاردان ، نسبة إلى عالم الرياضيات والفيزياء الإيطالي جيرولامو كاردانو ، الذي وصف لأول مرة بالتفصيل نظام تعليق كاردان ومفصل كاردان .

بافتراض إطار ذي متجهات وحدة ( X ، Y ، Z ) معطاة بإحداثياتها كما في الرسم التخطيطي الرئيسي، يمكن ملاحظة ما يلي:

${\displaystyle \cos(\beta )=Z_{3}.}$

وبما أن

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

لدينا 0 < x < π

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

بما أن Z ₂ هو الإسقاط المزدوج لمتجه وحدوي،

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},\\&\cos(\alpha )={\frac {-Z_{2}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}}.\end{aligned}}}$

يوجد بناء مشابه لـ Y ₃ ، حيث يتم إسقاطه أولاً على المحور y ″ (المحور y الناتج بعد أول دورتين) ثم إسقاط الإسقاط على المحور z الابتدائي . بما أن الزاوية بين المحور Y والمحور y ″ هي γ ، والزاوية بين المحور y ″ والمحور z هي π / 2 − β ، وبما أن cos ( π / 2 − β ) = sin( β ) ، فإن هذا يؤدي إلى :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},\\&\cos(\gamma )={\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}},\end{aligned}}}$

وأخيرًا، باستخدام دالة جيب التمام العكسية ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos \left({\frac {-Z_{2}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}}\right),\\\beta &=\arccos \left(Z_{3}\right),\\\gamma &=\arccos \left({\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

بافتراض إطار مرجعي ذي متجهات وحدة ( X ، Y ، Z ) معطاة بإحداثياتها كما في هذا الرسم التخطيطي الجديد (لاحظ أن الزاوية θ سالبة)، يمكن ملاحظة ما يلي:

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

كما في السابق،

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

لدينا − ⁠ π / 2 ⁠ < x < ⁠ π / 2 ⁠​

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

بطريقة مماثلة للطريقة السابقة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\psi )&={\frac {X_{2}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}},\\\sin(\phi )&={\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}}.\end{aligned}}}$

أبحث عن تعابير مشابهة للتعابير السابقة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\arcsin \left({\frac {X_{2}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}}\right),\\\theta &=\arcsin(-X_{3}),\\\phi &=\arcsin \left({\frac {Y_{3}}{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

لاحظ أن دالتي الجيب وجيب التمام العكسيتين تُعطيان قيمتين محتملتين للمتغير. في هذا الوصف الهندسي، يكون حل واحد فقط صحيحًا. عندما تُعرَّف زوايا أويلر كسلسلة من الدورانات، يمكن أن تكون جميع الحلول صحيحة، ولكن سيكون هناك حل واحد فقط ضمن نطاقات الزوايا. هذا لأن سلسلة الدورانات للوصول إلى الإطار المستهدف ليست فريدة إذا لم تُحدد النطاقات مسبقًا. ^{[ 6 ]}

لأغراض حسابية، قد يكون من المفيد تمثيل الزوايا باستخدام دالة الظل الثاني ( atan2 ( y , x )) . على سبيل المثال، في حالة زوايا أويلر الصحيحة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),\\\gamma &=\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).\end{aligned}}}$

يمكن تحقيق أي اتجاه من خلال تركيب ثلاث دورات أساسية، بدءًا من اتجاه قياسي معروف. وبالمثل، يمكن تحليل أي مصفوفة دوران R إلى حاصل ضرب ثلاث مصفوفات دوران أساسية. على سبيل المثال: $${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$$ هي مصفوفة دوران يمكن استخدامها لتمثيل تركيب دورانات خارجية حول المحاور z و y و x (بهذا الترتيب)، أو تركيب دورانات داخلية حول المحاور x - y ′ - z ″ (بهذا الترتيب). مع ذلك، يعتمد كل من تعريف مصفوفات الدوران الأولية X و Y و Z ، وترتيب ضربها، على خيارات المستخدم فيما يتعلق بتعريف كل من مصفوفات الدوران وزوايا أويلر (انظر، على سبيل المثال، قسم "الغموض في تعريف مصفوفات الدوران "). لسوء الحظ، يتبنى المستخدمون مجموعات مختلفة من الاصطلاحات في سياقات مختلفة. تم إنشاء الجدول التالي وفقًا لهذه المجموعة من الاصطلاحات:

1. تهدف كل مصفوفة إلى العمل عن طريق الضرب المسبق لمتجهات الأعمدة${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$(انظر: الغموض في تعريف مصفوفات الدوران )
2. تهدف كل مصفوفة إلى تمثيل دوران نشط (من المفترض أن تعمل المصفوفات المركبة والمكونة على إحداثيات المتجهات المحددة في الإطار المرجعي الثابت الأولي وتعطي نتيجة لذلك إحداثيات متجه تم تدويره محدد في نفس الإطار المرجعي).
3. تهدف كل مصفوفة إلى تمثيل، في المقام الأول، تركيبة من الدورانات الجوهرية (حول محاور الإطار المرجعي الدوار) وثانيًا، تركيبة من ثلاثة دورانات خارجية (والتي تتوافق مع التقييم البنائي لمصفوفة R عن طريق ضرب ثلاث مصفوفات أساسية حقيقية، بترتيب عكسي).
4. يتم اعتماد أطر مرجعية يمينية ، ويتم استخدام قاعدة اليد اليمنى لتحديد إشارة الزوايا α و β و γ .

لتبسيط الأمور، يستخدم الجدول التالي لضرب المصفوفات المصطلحات التالية:

1. X و Y و Z هي المصفوفات التي تمثل الدورانات الأولية حول المحاور x و y و z للإطار الثابت (على سبيل المثال، X _α يمثل دورانًا حول x بزاوية α ).
2. يمثل s و c الجيب وجيب التمام (على سبيل المثال، s _α يمثل جيب α ).

زوايا أويلر الصحيحة	زوايا تيت-برايان
${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }&-c_{\gamma }s_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }\\c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }c_{\gamma }&-s_{\beta }&c_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }&c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }\\c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\beta }\\s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }\\-c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }c_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\gamma }&s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\alpha }\\s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }\\s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }&-c_{\gamma }s_{\beta }\\-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\beta }s_{\alpha }\\c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }c_{\gamma }&-s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }+s_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }\\c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }\\-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }&s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\beta }&c_{\beta }c_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\gamma }\\-c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }\\-c_{\gamma }s_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }&c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }\\c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }\\-s_{\beta }&c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }c_{\gamma }\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\beta }\\s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\beta }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }&s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }\\-c_{\beta }s_{\gamma }&s_{\beta }&c_{\beta }c_{\gamma }\end{bmatrix}}}$

تتوفر هذه النتائج الجدولية في العديد من الكتب الدراسية. ^{[ 7 ]} بالنسبة لكل عمود، يمثل الصف الأخير الاصطلاح الأكثر شيوعًا.

لتغيير صيغ الدوران السلبي (أو إيجاد الدوران النشط العكسي)، انقل المصفوفات (ثم تحوّل كل مصفوفة الإحداثيات الأولية لمتجه ثابت إلى إحداثيات نفس المتجه المقاسة في نظام الإحداثيات المُدار؛ نفس محور الدوران، نفس الزوايا، ولكن الآن يدور نظام الإحداثيات بدلاً من المتجه). ( عادةً ما يستخدم برنامج Crystallographic Texture الدوران السلبي).

^يحتوي الجدول التالي على صيغ للزوايا α و β و γ من عناصر مصفوفة الدوران R. [ ^{8 ]}

زوايا أويلر الصحيحة		زوايا تيت-برايان
${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{21}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{12}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_{12}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{11}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{31}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{13}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle X_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_{13}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{11}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{32}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{23}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_{23}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{22}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{12}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{21}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Y_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_{21}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{22}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{13}}}\right)\\\beta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-R_{33}^{2}}}{R_{33}}}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{31}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_{31}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{33}}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{23}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{33}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{32}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle Z_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_{32}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{33}}}\right)\end{aligned}}}$

يمكن إيجاد خصائص أخرى لزوايا أويلر والدورانات بشكل عام من الجبر الهندسي ، وهو مستوى تجريدي أعلى، حيث تُعتبر الكواترنيونات جبرًا فرعيًا زوجيًا. الأداة الرئيسية في الجبر الهندسي هي الدوّار.

${\displaystyle \mathbf {R} =\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-Iu\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]}$

حيث θ هي زاوية الدوران ، و u هو محور الدوران (متجه وحدوي)، و I هو الكمية الزائفة (متجه ثلاثي في ​​ℝ ³ ).

من الممكن تعريف معايير مماثلة لزوايا أويلر في الأبعاد الأعلى من ثلاثة. ^{[ 10 ] [ 11 ]} في أربعة أبعاد وما فوق، يفقد مفهوم "الدوران حول محور" معناه، ويصبح بدلاً منه "دورانًا في مستوى". عدد زوايا أويلر اللازمة لتمثيل المجموعة SO( n ) هو n ( n -1) / 2 ، وهو يساوي عدد المستويات التي تحتوي على محوري إحداثيات مختلفين في الفضاء الإقليدي ذي n بُعد. (بمعنى آخر، اختر من بين n بُعدًا للمحور الأول، واختر من بين الأبعاد المتبقية n -1 للمحور الثاني، ثم اقسم على اثنين لأنه لا يهم أيًّا من هذين المحورين تم اختياره أولًا).

في SO(4) يتم تعريف مصفوفة الدوران بواسطة اثنين من الكواترنيونات الوحدوية ، وبالتالي لها ست درجات من الحرية، ثلاثة من كل كواترنيون.

تتمثل ميزتها الرئيسية مقارنةً بوصفات التوجيه الأخرى في إمكانية قياسها مباشرةً من خلال محور دوران مثبت في المركبة. ولأن الجيروسكوبات تحافظ على ثبات محور دورانها، فإن الزوايا المقاسة في إطار الجيروسكوب تُعادل الزوايا المقاسة في إطار المختبر. لذلك، تُستخدم الجيروسكوبات لمعرفة التوجيه الفعلي للمركبات الفضائية المتحركة، ويمكن قياس زوايا أويلر مباشرةً. لا يمكن قراءة زاوية الدوران الذاتية من محور دوران واحد، لذا يجب أن يكون هناك أكثر من محور دوران واحد في المركبة الفضائية. عادةً ما يكون هناك ثلاثة محاور على الأقل لضمان التكرار. وهناك أيضًا علاقة بمشكلة قفل محور الدوران المعروفة في الهندسة الميكانيكية . ^{[ 12 ]}

عند دراسة الأجسام الصلبة عمومًا، يُطلق على نظام الإحداثيات xyz اسم إحداثيات الفضاء ، وعلى نظام الإحداثيات XYZ اسم إحداثيات الجسم . تُعامل إحداثيات الفضاء على أنها ثابتة، بينما تُعتبر إحداثيات الجسم جزءًا لا يتجزأ من الجسم المتحرك. غالبًا ما تكون الحسابات التي تتضمن التسارع ، والتسارع الزاوي ، والسرعة الزاوية ، والزخم الزاوي ، والطاقة الحركية أسهل باستخدام إحداثيات الجسم، لأن موتر عزم القصور الذاتي لا يتغير مع الزمن. إذا قمنا أيضًا بتحويل موتر عزم القصور الذاتي للجسم الصلب إلى مصفوفة قطرية (بتسعة مركبات، ستة منها مستقلة)، فسنحصل على مجموعة من الإحداثيات (تُسمى المحاور الرئيسية) يكون فيها لموتر عزم القصور الذاتي ثلاث مركبات فقط.

تأخذ السرعة الزاوية لجسم صلب شكلاً بسيطاً باستخدام زوايا أويلر في الإطار المتحرك. كما أن معادلات أويلر للجسم الصلب أبسط لأن موتر القصور الذاتي ثابت في ذلك الإطار.

في علم المواد، يمكن وصف البنية البلورية (أو التوجه المفضل) باستخدام زوايا أويلر. في تحليل البنية، توفر زوايا أويلر تمثيلاً رياضياً لتوجه البلورات الفردية داخل مادة متعددة البلورات، مما يسمح بالوصف الكمي للمادة على المستوى العياني. ^{[ 14 ]} التعريف الأكثر شيوعاً لهذه الزوايا يعود إلى بونج، ويتوافق مع اصطلاح ZXZ . ومع ذلك، فإن التطبيق يتضمن عموماً تحويلات محورية لكميات الموترات، أي الدوران السلبي. وبالتالي، فإن المصفوفة التي تتوافق مع زوايا أويلر لبونج هي منقولة المصفوفة الموضحة في الجدول أعلاه. ^{[ 15 ]}

تُستخدم زوايا أويلر، عادةً وفقًا لاتفاقية تايت-برايان، في مجال الروبوتات للتعبير عن درجات حرية المعصم . كما تُستخدم أيضًا في أنظمة التحكم الإلكتروني في الثبات بطريقة مماثلة، وكذلك لتوجيه الكاميرا في النمذجة ثلاثية الأبعاد .

تتطلب أنظمة التحكم في إطلاق النار تصحيح زوايا توجيه المدفع (الاتجاه والارتفاع) للتعويض عن ميلان سطح السفينة (الميلان والدوران). في الأنظمة التقليدية، يقوم جيروسكوب تثبيت ذو محور دوران رأسي بتصحيح ميلان سطح السفينة، وتثبيت المناظير البصرية وهوائي الرادار. مع ذلك، تُوجَّه فوهات المدافع في اتجاه مختلف عن خط الرؤية إلى الهدف، وذلك لتوقع حركة الهدف وسقوط القذيفة بفعل الجاذبية، بالإضافة إلى عوامل أخرى. تتحرك قواعد المدافع مع مستوى سطح السفينة، ولكنها تحتاج أيضًا إلى تثبيت. تتضمن توجيهات المدفع زوايا محسوبة من بيانات الجيروسكوب الرأسي، وتتضمن هذه الحسابات زوايا أويلر.

تُستخدم زوايا أويلر على نطاق واسع في ميكانيكا الكم للزخم الزاوي. في ميكانيكا الكم، تُعدّ الأوصاف الصريحة لتمثيلات SO(3) بالغة الأهمية للحسابات، وقد أُنجزت معظم الأعمال باستخدام زوايا أويلر. في بدايات ميكانيكا الكم، عندما أبدى الفيزيائيون والكيميائيون ردة فعل سلبية حادة تجاه أساليب نظرية الزمر المجردة (المعروفة باسم "معضلة الزمر ")، كان الاعتماد على زوايا أويلر ضروريًا أيضًا للأعمال النظرية الأساسية.

تحتوي العديد من أجهزة الحوسبة المحمولة على مقاييس تسارع قادرة على تحديد زوايا أويلر لهذه الأجهزة بالنسبة لجاذبية الأرض. وتُستخدم هذه المقاييس في تطبيقات مثل الألعاب، ومحاكاة مستوى الفقاعة ، والمناظير الكاليديوسكوبية .