نظرية المتوسط ​​الهندسي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة
مساحة المربع الرمادي = مساحة المستطيل الرمادي : h² = pq ⟺ h = √pq

في الهندسة الإقليدية ، تُعرف نظرية ارتفاع المثلث القائم الزاوية، أو نظرية الوسط الهندسي، بأنها العلاقة بين الارتفاع على الوتر في المثلث القائم الزاوية والقطعتين المستقيمتين المتكونتين على هذا الوتر. وتنص هذه النظرية على أن الوسط الهندسي لهاتين القطعتين يساوي الارتفاع.

النظرية وعكسها

نظرية المتوسط ​​الهندسي كحالة خاصة من نظرية الأوتار المتقاطعة : | CD | | DE | = | AD | | DB | ⟺ h² = pq

إذا كان h يمثل الارتفاع في المثلث القائم الزاوية و p و q يمثلان القطعتين المستقيمتين على الوتر، فيمكن صياغة النظرية على النحو التالي: [ 1 ]ح=صq{\displaystyle h={\sqrt {pq}}} أو من حيث المناطق: ح2=صq.{\displaystyle h^{2}=pq.} العبارة العكسية صحيحة أيضاً. أي مثلث يكون ارتفاعه مساوياً للمتوسط ​​الهندسي للقطعتين المستقيمتين اللتين يشكلهما، هو مثلث قائم الزاوية.

ويمكن اعتبار هذه النظرية حالة خاصة من نظرية الأوتار المتقاطعة للدائرة، حيث أن عكس نظرية طاليس يضمن أن وتر المثلث القائم الزاوية هو قطر دائرته المحيطة . [ 1 ]

التطبيقات

إنشاء √p عن طريق جعل q يساوي 1
توضيح عدم المساواة بين المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي

تُتيح الصياغة بدلالة المساحات طريقةً لتربيع مستطيل باستخدام المسطرة والفرجار ، أي إنشاء مربع مساوٍ في المساحة للمستطيل الأصلي. بالنسبة لمستطيل ذي ضلعين p و q، نرمز إلى رأسه العلوي الأيسر بالرمز D. الآن، نمدد القطعة المستقيمة q إلى يساره بمقدار p (باستخدام القوس AE الذي مركزه D )، ونرسم نصف دائرة طرفاها A و B ، ويكون قطرها هو القطعة المستقيمة الجديدة p + q . ثم نرسم خطًا عموديًا على القطر عند D يتقاطع مع نصف الدائرة عند C. وبحسب نظرية طاليس، يشكل C والقطر مثلثًا قائم الزاوية ، ارتفاعه هو القطعة المستقيمة DC ، وبالتالي فإن DC هو ضلع مربع مساحته تساوي مساحة المستطيل. كما تُتيح هذه الطريقة أيضًا إنشاء الجذور التربيعية (انظر العدد القابل للإنشاء )، لأنه بدءًا من مستطيل عرضه 1، سيكون طول ضلع المربع المُنشأ مساويًا للجذر التربيعي لطول المستطيل. [ 1 ]

يُقدّم تطبيق آخر لهذه النظرية برهانًا هندسيًا لمتباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي في حالة عددين، حيث أن نصف قطر نصف الدائرة هو المتوسط ​​الحسابي للعددين p و q . ويمكن رسم هذا النصف قطر موازيًا للمتوسط ​​الهندسي المُنشأ كما سبق، مما يُبيّن أن المتوسط ​​الهندسي دائمًا أصغر من أو يساوي نصف القطر، وبالتالي تُثبت المتباينة. [ 2 ]

تاريخ

تُنسب هذه النظرية عادةً إلى إقليدس (حوالي 360-280 قبل الميلاد)، الذي ذكرها كنتيجة منطقية للمقولة الثامنة في الكتاب السادس من كتابه " الأصول" . وفي المقولة الرابعة عشرة من الكتاب الثاني، يُقدم إقليدس طريقة لتربيع المستطيل، وهي طريقة تُطابق إلى حد كبير الطريقة المذكورة هنا. ومع ذلك، يُقدم إقليدس برهانًا مختلفًا وأكثر تعقيدًا بعض الشيء لصحة هذا البناء، بدلًا من الاعتماد على نظرية المتوسط ​​الهندسي. [ 1 ] [ 3 ]

البراهين

إثبات قائم على التشابه

△ ABC ∼ △ ADC ∼ △ DBC

برهان النظرية

المثلثان △ ADC و △ BCD متشابهان ، وذلك لأن:

  • لننظر إلى المثلثين △ ABC و △ ACD ؛ هنا لدينا∠أجب=∠أدج=90∘،∠بأج=∠جأد;{\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}وبالتالي، وفقًا لمسلمة AA△أبج∼△أجد.{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}
  • علاوة على ذلك، لننظر إلى المثلثين △ ABC و △ BCD ؛ هنا لدينا∠أجب=∠بدج=90∘،∠أبج=∠جبد;{\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}وبالتالي، وفقًا لمسلمة AA△أبج∼△بجد.{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD.}

لذلك، فإن كلا المثلثين △ ACD و △ BCD متشابهان مع المثلث △ ABC ومع أنفسهما، أي△أجد∼△أبج∼△بجد.{\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.}

بسبب التشابه نحصل على المساواة التالية في النسب، وإعادة ترتيبها الجبري ينتج عنه النظرية: [ 1 ]حص=qح⟺ح2=صq⟺ح=صq(ح،ص،q>0){\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\iff \,h^{2}=pq\,\iff \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}

برهان العكس

أما بالنسبة للعكس، فلدينا المثلث △ ABC حيث h² = pq ، ونحتاج إلى إثبات أن الزاوية عند C قائمة. وبما أن h² = pq، فلدينا أيضًاحص=qح.{\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.}مع∠أدج=∠جدب{\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}المثلثان △ ADC و△ BDC لهما زوايا متساوية في القياس، ولهما أزواج متناظرة من الأضلاع بنفس النسبة. هذا يعني أن المثلثين متشابهان، مما ينتج عنه: ∠أجب=∠أجد+∠دجب=∠أجد+(90∘-∠دبج)=∠أجد+(90∘-∠أجد)=90∘{\displaystyle {\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}}

برهان قائم على نظرية فيثاغورس

البرهان باستخدام نظرية فيثاغورس

في سياق نظرية المتوسط ​​الهندسي، توجد ثلاثة مثلثات قائمة الزاوية △ ABC و △ ADC و △ DBC والتي تعطي فيها نظرية فيثاغورس ما يلي: ح2=أ2-q2ح2=ب2-ص2ج2=أ2+ب2{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}} بجمع المعادلتين الأوليين ثم استخدام المعادلة الثالثة، نحصل على: 2ح2=أ2+ب2-ص2-q2=ج2-ص2-q2=(ص+q)2-ص2-q2=2صq∴ ح2=صq،{\displaystyle {\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq,\end{aligned}}} وهذا ما يؤدي في النهاية إلى صيغة نظرية المتوسط ​​الهندسي. [ 4 ]

إثبات قائم على التشريح وإعادة الترتيب

بتقسيم المثلث القائم الزاوية على طول ارتفاعه h، نحصل على مثلثين متشابهين، يمكن تكبيرهما وترتيبهما بطريقتين مختلفتين لتكوين مثلث قائم الزاوية أكبر بأضلاع متعامدة طولها p + h و q + h . يتطلب أحد هذين الترتيبين مربعًا مساحته h² لإكماله، بينما يتطلب الآخر مستطيلًا مساحته pq . ولأن كلا الترتيبين ينتجان المثلث نفسه، فلا بد أن تكون مساحتا المربع والمستطيل متطابقتين.

إثبات قائم على خرائط القص

يمكن تحويل مربع مبني على الارتفاع إلى مستطيل متساوي المساحة بأضلاع p و q بمساعدة ثلاث عمليات تحويل القص (تحافظ عمليات تحويل القص على المساحة):

تمثيلات القص مع خطوطها الثابتة المرتبطة بها (المنقطة)، بدءًا من المربع الأصلي كصورة أصلية، يعرض كل متوازي أضلاع صورة تمثيل القص للشكل الموجود على يساره

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 هارتموت ويلستاين، بيتر كيرش: الهندسة الأولية . سبرينغر، 2009، ISBN 9783834808561، الصفحات 76-77 (نسخة ألمانية، نسخة إلكترونية ، صفحة 76، على كتب جوجل )
  2. ↑ كلاودي ألسينا، روجر ب. نيلسن: أيقونات الرياضيات: استكشاف عشرين صورة رئيسية . جمعية الرياضيات الأمريكية 2011، رقم ISBN 9780883853528، الصفحات  31-32 ( نسخة إلكترونية ، صفحة 31، على كتب جوجل )
  3. ↑ إقليدس : الأصول ، الكتاب الثاني - القضية 14، الكتاب السادس - القضية 8، ( نسخة إلكترونية )
  4. ↑ إيلكا أغريكولا ، توماس فريدريش: الهندسة الابتدائية . الجمعية الأمريكية للرياضيات 2008، رقم ISBN 9780821843475، صفحة  25 ( نسخة إلكترونية ، صفحة 25، على كتب جوجل )