اللا موضعية الكمومية

في ورقة بحثية نُشرت عام 1935 بعنوان EPR ، ^{[ 10 ]} وصف ألبرت أينشتاين وبوريس بودولسكي وناثان روزن "جسيمين منفصلين مكانيًا لهما مواقع وزخم مترابطان تمامًا" ^{[ 11 ]} كنتيجة مباشرة لنظرية الكم. كان هدفهم استخدام مبدأ الموضعية الكلاسيكي لتحدي فكرة أن دالة الموجة الكمومية وصف كامل للواقع، لكنهم أثاروا بدلًا من ذلك جدلًا حول طبيعة الواقع. ^{[ 12 ]} بعد ذلك، قدم أينشتاين صيغة معدلة لهذه الأفكار في رسالة إلى إرفين شرودنغر ، ^{[ 13 ]} وهي الصيغة المعروضة هنا. الحالة والرموز المستخدمة هنا أكثر حداثة، وتُشبه تفسير ديفيد بوم لنظرية EPR. ^{[ 14 ]} يمكن كتابة الحالة الكمومية للجسيمين قبل القياس على النحو التالي: $${\displaystyle \left|\psi _{AB}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle _{A}\left|1\right\rangle _{B}-\left|1\right\rangle _{A}\left|0\right\rangle _{B}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|-\right\rangle _{A}\left|+\right\rangle _{B}-\left|+\right\rangle _{A}\left|-\right\rangle _{B}\right)}$$ أين${\textstyle \left|\pm \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \pm \left|1\right\rangle \right)}$[ ^{15 ]​}

هنا، يميز الرمزان السفليان "A" و"B" الجسيمين، مع أنه من الأنسب والأكثر شيوعًا الإشارة إلى هذين الجسيمين على أنهما بحوزة باحثين تجريبيين يُدعيان أليس وبوب . تُقدم قواعد نظرية الكم تنبؤات بنتائج القياسات التي يُجريها الباحثان. على سبيل المثال، ستقيس أليس جسيمها على أنه ذو دوران لأعلى في 50% من القياسات في المتوسط. مع ذلك، ووفقًا لكتاب ميكانيكا الكم، فإن قياس أليس يتسبب في انهيار حالة الجسيمين ، بحيث إذا أجرت أليس قياسًا للدوران في اتجاه المحور z، أي بالنسبة للأساس${\displaystyle \{\left|0\right\rangle _{A},\left|1\right\rangle _{A}\}}$ثم سيتم ترك نظام بوب في إحدى الولايات${\displaystyle \{\left|0\right\rangle _{B},\left|1\right\rangle _{B}\}}$وبالمثل، إذا قامت أليس بقياس الدوران في اتجاه المحور السيني، أي بالنسبة للأساس${\displaystyle \{\left|+\right\rangle _{A},\left|-\right\rangle _{A}\}}$ثم سيتم ترك نظام بوب في إحدى الولايات${\displaystyle \{\left|+\right\rangle _{B},\left|-\right\rangle _{B}\}}$أشار شرودنغر إلى هذه الظاهرة باسم " التوجيه ". ^{[ 16 ]} يحدث هذا التوجيه بطريقة لا تسمح بإرسال أي إشارة من خلال تحديث الحالة؛ إذ لا يمكن استخدام اللا-محلية الكمومية لإرسال الرسائل بشكل فوري، وبالتالي فهي لا تتعارض بشكل مباشر مع اعتبارات السببية في النسبية الخاصة . ^{[ 15 ]}

في التفسير التقليدي لهذه التجربة، يؤثر قياس أليس -وخاصةً اختيارها للقياس- تأثيرًا مباشرًا على حالة بوب. مع ذلك، وبافتراض مبدأ الموضعية، فإن أي إجراء على نظام أليس لا يؤثر على الحالة "الحقيقية" أو "الوجودية" لنظام بوب. نلاحظ أن الحالة الوجودية لنظام بوب يجب أن تكون متوافقة مع إحدى الحالات الكمومية.${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle _{B}}$أو${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle _{B}}$بما أن أليس تستطيع إجراء قياس ينتهي بأن تكون إحدى تلك الحالات هي الوصف الكمومي لنظامها، فيجب في الوقت نفسه أن تكون هذه الحالة متوافقة مع إحدى الحالات الكمومية.${\displaystyle \left|\leftarrow \right\rangle _{B}}$أو${\displaystyle \left|\rightarrow \right\rangle _{B}}$وللسبب نفسه. لذلك، يجب أن تكون الحالة الوجودية لنظام بوب متوافقة مع حالتين كموميتين على الأقل؛ وبالتالي، فإن الحالة الكمومية ليست وصفًا كاملاً لنظامه. رأى أينشتاين وبودولسكي وروزن في ذلك دليلاً على عدم اكتمال نظرية الكم، لأن الدالة الموجية ليست وصفًا كاملاً لنظام كمومي في ظل هذا الافتراض للمحلية. وخلصت ورقتهم البحثية إلى ما يلي: ^{[ 10 ]}

مع أننا قد بيّنا بذلك أن الدالة الموجية لا تُقدّم وصفًا كاملاً للواقع الفيزيائي، إلا أننا تركنا مسألة وجود مثل هذا الوصف مفتوحة. ومع ذلك، نعتقد أن مثل هذه النظرية ممكنة.

على الرغم من انتقاد العديد من المؤلفين (وأبرزهم نيلز بور ) للمصطلحات المبهمة في ورقة إي بي آر، ^{[ 17 ] [ 18 ]} إلا أن التجربة الفكرية أثارت اهتمامًا كبيرًا. وقد تمّ لاحقًا صياغة مفهومهم عن "الوصف الكامل" من خلال اقتراح متغيرات خفية تحدد إحصائيات نتائج القياس، والتي لا يمكن للمراقب الوصول إليها. ^{[ 19 ]} توفر ميكانيكا بوهم هذا الإكمال لميكانيكا الكم، من خلال إدخال المتغيرات الخفية؛ ومع ذلك، فإن النظرية غير محلية بشكل صريح. ^{[ 20 ]} وبالتالي، لا يقدم هذا التفسير إجابة على سؤال أينشتاين، وهو ما إذا كان من الممكن تقديم وصف كامل لميكانيكا الكم من حيث المتغيرات الخفية المحلية بما يتوافق مع "مبدأ الفعل المحلي". ^{[ 21 ]}

في عام 1964، أجاب جون بيل على سؤال أينشتاين مُبينًا أن هذه المتغيرات الخفية المحلية لا يمكنها أبدًا إعادة إنتاج النطاق الكامل للنتائج الإحصائية التي تنبأت بها نظرية الكم. ^{[ 22 ]} أوضح بيل أن فرضية المتغيرات الخفية المحلية تُؤدي إلى قيود على قوة ارتباطات نتائج القياس. إذا تم انتهاك متباينات بيل تجريبيًا كما تنبأت به ميكانيكا الكم، فلن يكون بالإمكان وصف الواقع بواسطة المتغيرات الخفية المحلية، وسيظل لغز السببية غير المحلية في ميكانيكا الكم قائمًا. مع ذلك، يُشير بيل إلى أن نموذج بوم للمتغيرات الخفية غير المحلية يختلف: ^{[ 22 ]}

هذا [البنية غير المحلية بشكل كبير] هو سمة مميزة ... لأي نظرية من هذا القبيل تعيد إنتاج تنبؤات ميكانيكا الكم بدقة.

أعاد كل من كلاوزر وهورن وشيموني وهولت (CHSH) صياغة هذه المتباينات بطريقة أكثر ملاءمة للاختبار التجريبي (انظر متباينة CHSH ). ^{[ 23 ]}

في السيناريو الذي اقترحه بيل (سيناريو بيل)، يقوم اثنان من الباحثين التجريبيين، أليس وبوب، بإجراء تجارب في مختبرين منفصلين. في كل جولة، تقوم أليس (بوب) بإجراء تجربة${\displaystyle x}$${\displaystyle (y)}$في مختبرها (مختبره)، الحصول على النتيجة${\displaystyle a}$${\displaystyle (b)}$إذا كررت أليس وبوب تجاربهما عدة مرات، فسيتمكنان من تقدير الاحتمالات.${\displaystyle P(a,b|x,y)}$أي، احتمال أن تلاحظ أليس وبوب النتائج على التوالي${\displaystyle a,b}$عندما يُجريان التجربتين x و y على التوالي. وفيما يلي، كل مجموعة من هذه الاحتمالات${\displaystyle \{P(a,b|x,y):a,b,x,y\}}$سيتم الإشارة إليه بـ${\displaystyle P(a,b|x,y)}$في لغة اللا-محلية الكمومية العامية،${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يُطلق عليه اسم صندوق. ^{[ 24 ]}

قام بيل بصياغة فكرة المتغير الخفي من خلال تقديم المعلمة${\displaystyle \lambda }$لتوصيف نتائج القياس محليًا على كل نظام: ^{[ 22 ]} "لا يهمّ إن كان λ يرمز إلى متغير واحد أو مجموعة، أو إن كانت المتغيرات منفصلة أو متصلة". ومع ذلك، من المكافئ (والأكثر بديهية) التفكير في${\displaystyle \lambda }$باعتبارها "استراتيجية" أو "رسالة" محلية تحدث باحتمالية معينة${\displaystyle \rho (\lambda )}$عندما تُعيد أليس وبوب تشغيل إعدادهما التجريبي، ينص افتراض بيل للسببية المحلية على أن كل استراتيجية محلية تُحدد توزيعات النتائج المستقلة إذا أجرت أليس التجربة س وأجرى بوب التجربة س.${\displaystyle y}$:

$${\displaystyle P(a,b|x,y,\lambda _{A},\lambda _{B})=P_{A}(a|x,\lambda _{A})P_{B}(b|y,\lambda _{B})}$$

هنا${\displaystyle P_{A}(a|x,\lambda _{A})}$(${\displaystyle P_{B}(b|y,\lambda _{B})}$) يرمز إلى احتمال حصول أليس (بوب) على النتيجة${\displaystyle a}$${\displaystyle (b)}$عندما يقوم (يقوم) بإجراء التجربة${\displaystyle x}$${\displaystyle (y)}$والمتغير المحلي الذي يصف تجربتها (تجربته) له قيمة${\displaystyle \lambda _{A}}$(${\displaystyle \lambda _{B}}$).

لنفترض أن ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}}$يمكن أن تأخذ القيم من مجموعة معينة${\displaystyle \Lambda }$إذا كان كل زوج من القيم${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}\in \Lambda }$احتمالية مرتبطة بالهيجان${\displaystyle \rho (\lambda _{A},\lambda _{B})}$يتم اختيارها (يُسمح بالعشوائية المشتركة، أي${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}}$إذا أمكن ربطها)، فيمكن للمرء أن يحسب متوسط ​​هذا التوزيع للحصول على صيغة للاحتمال المشترك لكل نتيجة قياس:

$${\displaystyle P(a,b|x,y)=\sum _{\lambda _{A},\lambda _{B}\in \Lambda }\rho (\lambda _{A},\lambda _{B})P_{A}(a|x,\lambda _{A})P_{B}(b|y,\lambda _{B})}$$

يُطلق على الصندوق الذي يسمح بهذا التفكيك اسم صندوق بيل المحلي أو الصندوق الكلاسيكي. تحديد عدد القيم الممكنة التي${\displaystyle a,b,x,y}$يمكن لكل شخص أن يأخذ، ويمكن لشخص واحد أن يمثل كل صندوق.${\displaystyle P(a,b|x,y)}$كمتجه محدود ذي عناصر${\displaystyle \left(P(a,b|x,y)\right)_{a,b,x,y}}$في هذا التمثيل، تُشكّل مجموعة جميع الصناديق الكلاسيكية متعدد سطوح محدب . في سيناريو بيل الذي درسه CHSH، حيث${\displaystyle a,b,x,y}$يمكن أن تأخذ قيمًا ضمن${\displaystyle {0,1}}$أي صندوق بريد محلي من بيل${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يجب أن تحقق متباينة CHSH:

$${\displaystyle S_{\rm {CHSH}}\equiv E(0,0)+E(1,0)+E(0,1)-E(1,1)\leq 2,}$$

أين $${\displaystyle E(x,y)\equiv \sum _{a,b=0,1}(-1)^{a+b}P(a,b|x,y).}$$

تنطبق الاعتبارات المذكورة أعلاه على نمذجة تجربة كمومية. لنفترض وجود طرفين يجريان قياسات استقطاب موضعي على حالة فوتونية ثنائية الأجزاء. يمكن أن تأخذ نتيجة قياس استقطاب الفوتون إحدى قيمتين (بصورة مبسطة، ما إذا كان الفوتون مستقطبًا في ذلك الاتجاه، أو في الاتجاه العمودي عليه). إذا سُمح لكل طرف بالاختيار بين اتجاهين فقط من اتجاهات الاستقطاب، فإن التجربة تندرج ضمن سيناريو CHSH. وكما هو مذكور في CHSH، توجد حالة كمومية واتجاهات استقطاب تُولّد صندوقًا.${\displaystyle P(a,b|x,y)}$مع${\displaystyle S_{\rm {CHSH}}}$يساوي${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.828}$يُظهر هذا بوضوح كيف أن نظرية ذات حالات وجودية محلية، وقياسات محلية، وأفعال محلية فقط، لا يمكنها أن تتطابق مع التنبؤات الاحتمالية لنظرية الكم، مما يدحض فرضية أينشتاين. وقد تحقق باحثون تجريبيون، مثل آلان أسبكت، من انتهاك متباينة CHSH الكمومي ^{[ 1 ]} ، بالإضافة إلى صيغ أخرى لمتباينة بيل، لإبطال فرضية المتغيرات الخفية المحلية، وتأكيد أن الواقع غير محلي بالفعل بالمعنى الإقليدي-الفيزيائي-المكاني.

رياضياً، صندوق${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يقبل تحقيقًا كميًا إذا وفقط إذا وُجد زوج من فضاءات هيلبرت${\displaystyle H_{A},H_{B}}$، متجه معياري${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}$ومشغلي الإسقاط${\displaystyle E_{a}^{x}:H_{A}\to H_{A},F_{b}^{y}:H_{B}\to H_{B}}$بحيث

1. للجميع${\displaystyle x,y}$المجموعات${\displaystyle \{E_{a}^{x}\}_{a},\{F_{b}^{y}\}_{b}}$تمثل قياسات كاملة. أي،${\displaystyle \sum _{a}E_{a}^{x}={\mathbb {I} }_{A},\sum _{b}F_{b}^{y}={\mathbb {I} }_{B}}$.
2. ${\displaystyle P(a,b|x,y)=\left\langle \psi \right|E_{a}^{x}\otimes F_{b}^{y}\left|\psi \right\rangle }$للجميع${\displaystyle a,b,x,y}$.

فيما يلي، ستُسمى مجموعة هذه الصناديق${\displaystyle Q}$على عكس مجموعة الارتباطات الكلاسيكية، عند النظر إليها في فضاء الاحتمالات،${\displaystyle Q}$ليس متعدد السطوح. بل على العكس، فهو يحتوي على حدود مستقيمة ومنحنية. ^{[ 42 ]} بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle Q}$غير مغلق: ^{[ 43 ]} هذا يعني وجود صناديق${\displaystyle P(a,b|x,y)}$والتي يمكن تقريبها بشكل جيد للغاية بواسطة الأنظمة الكمومية ولكنها ليست كمومية في حد ذاتها.

في التعريف أعلاه، تم نمذجة الفصل المكاني بين الطرفين اللذين يجريان تجربة بيل من خلال فرض أن جبر المؤثرات المرتبط بهما يعمل على عوامل مختلفة.${\displaystyle H_{A},H_{B}}$من مساحة هيلبرت الكلية${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}}$يصف هذا التجربة. بدلاً من ذلك، يمكن نمذجة الفصل المكاني بفرض أن هذين الجبرين يتبادلان. وهذا يؤدي إلى تعريف مختلف:

${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يقبل تحقيقًا كميًا للمجال إذا وفقط إذا وُجد فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$، متجه معياري${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in H}$ومشغلي الإسقاط${\displaystyle E_{a}^{x}:H\to H,F_{b}^{y}:H\to H}$بحيث

1. للجميع${\displaystyle x,y}$المجموعات${\displaystyle \{E_{a}^{x}\}_{a},\{F_{b}^{y}\}_{b}}$تمثل قياسات كاملة. أي،${\displaystyle \sum _{a}E_{a}^{x}={\mathbb {I} },\sum _{b}F_{b}^{y}={\mathbb {I} }}$.
2. ${\displaystyle P(a,b|x,y)=\left\langle \psi \right|E_{a}^{x}F_{b}^{y}\left|\psi \right\rangle }$للجميع${\displaystyle a,b,x,y}$.
3. ${\displaystyle [E_{a}^{x},F_{b}^{y}]=0}$للجميع${\displaystyle a,b,x,y}$.

يتصل${\displaystyle Q_{c}}$مجموعة جميع هذه الارتباطات${\displaystyle P(a,b|x,y)}$.

كيف ترتبط هذه المجموعة الجديدة بالمجموعة الأكثر تقليدية؟${\displaystyle Q}$هل تم تعريف ذلك أعلاه؟ يمكن إثبات ذلك.${\displaystyle Q_{c}}$مغلق. علاوة على ذلك،${\displaystyle {\bar {Q}}\subseteq Q_{c}}$، أين${\displaystyle {\bar {Q}}}$يشير إلى إغلاق${\displaystyle Q}$تتمثل مشكلة تسيرلسون ^{[ 44 ]} في تحديد ما إذا كانت علاقة التضمين${\displaystyle {\bar {Q}}\subseteq Q_{c}}$صارم، أي سواء كان${\displaystyle {\bar {Q}}=Q_{c}}$لا تظهر هذه المشكلة إلا في الأبعاد اللانهائية: عندما يكون فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$في تعريف${\displaystyle Q_{c}}$إذا كانت المجموعة مقيدة بأن تكون ذات أبعاد محدودة، فإن إغلاق المجموعة المقابلة يساوي${\displaystyle {\bar {Q}}}$[ ^{44 ]​}

في يناير 2020، ادعى كل من جي، وناتاراجان، وفيديك، ورايت، ويون نتيجة في نظرية التعقيد الكمي ^{[ 45 ]} من شأنها أن تعني أن${\displaystyle {\bar {Q}}\neq Q_{c}}$وبالتالي حل مشكلة تسيرلسون. ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}

يمكن إثبات أن مشكلة تسيريلسون مكافئة لمشكلة تضمين كونز ، ^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]} وهي تخمين مشهور في نظرية جبر المؤثرات.

بما أن أبعاد${\displaystyle H_{A}}$و${\displaystyle H_{B}}$من حيث المبدأ، هي غير محدودة، وتحدد ما إذا كان صندوق معين${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يُقرّ بأن تحقيقًا كموميًا يُمثل مشكلة معقدة. في الواقع، من المعروف أن المشكلة المزدوجة المتمثلة في تحديد ما إذا كان بإمكان صندوق كمومي الحصول على درجة مثالية في لعبة غير محلية غير قابلة للحل. ^{[ 43 ]} علاوة على ذلك، فإن مشكلة تحديد ما إذا${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يمكن تقريبها بواسطة نظام كمومي بدقة${\displaystyle 1/\operatorname {poly} (|X||Y|)}$هي مسألة صعبة من نوع NP. ^{[ 56 ]} إن توصيف الصناديق الكمومية يكافئ توصيف مخروط المصفوفات شبه المحددة الموجبة تمامًا في ظل مجموعة من القيود الخطية. ^{[ 57 ]}

للأبعاد الثابتة الصغيرة${\displaystyle d_{A},d_{B}}$يمكن للمرء أن يستكشف، باستخدام الأساليب التباينية، ما إذا كان${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يمكن تحقيق ذلك في نظام كمومي ثنائي الأجزاء${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$، مع${\displaystyle \dim(H_{A})=d_{A}}$،${\displaystyle \dim(H_{B})=d_{B}}$لكن هذه الطريقة لا يمكن استخدامها إلا لإثبات إمكانية تحقيق${\displaystyle P(a,b|x,y)}$وليس عدم إمكانية تحقيقه باستخدام الأنظمة الكمومية.

لإثبات عدم إمكانية التحقق، فإن الطريقة الأكثر شهرة هي التسلسل الهرمي لنافاسكويس-بيرونيو-أسين (NPA). ^{[ 58 ]} وهو عبارة عن سلسلة متناقصة لا نهائية من مجموعات الارتباطات${\displaystyle Q^{1}\supset Q^{2}\supset Q^{3}\supset ...}$مع الخصائص التالية:

1. لو${\displaystyle P(a,b|x,y)\in Q_{c}}$، ثم${\displaystyle P(a,b|x,y)\in Q^{k}}$للجميع${\displaystyle k}$.
2. لو${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in Q_{c}}$إذن يوجد${\displaystyle k}$بحيث${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in Q^{k}}$.
3. لأي${\displaystyle k}$، تحديد ما إذا${\displaystyle P(a,b|x,y)\in Q^{k}}$يمكن تحويلها إلى برنامج شبه محدد .

وبالتالي، يوفر التسلسل الهرمي لـ NPA توصيفًا حسابيًا، وليس لـ${\displaystyle Q}$لكن من${\displaystyle Q_{c}}$. لو${\displaystyle {\bar {Q}}\not =Q_{c}}$(كما ادعى جي، وناتاراجان، وفيديك، ورايت، ويون) ثم طريقة جديدة للكشف عن عدم إمكانية تحقيق الارتباطات في${\displaystyle Q_{c}-{\bar {Q}}}$هذا ضروري. إذا تم حل مشكلة تسيريلسون بالإيجاب، أي،${\displaystyle {\bar {Q}}=Q_{c}}$إذاً، فإن الطريقتين المذكورتين أعلاه ستوفران توصيفاً عملياً لـ${\displaystyle {\bar {Q}}}$.

تصف الأعمال المذكورة أعلاه شكل مجموعة الارتباطات الكمومية، لكنها لا تفسر سبب وجودها. هل الارتباطات الكمومية حتمية، حتى في النظريات الفيزيائية ما بعد الكمومية، أم على العكس، هل يمكن أن توجد ارتباطات خارج نطاقها؟${\displaystyle {\bar {Q}}}$والتي مع ذلك لا تؤدي إلى أي سلوك تشغيلي غير فيزيائي؟

في ورقتهم البحثية الرائدة عام 1994، استكشف بوبيسكو وروهرليش ما إذا كان من الممكن تفسير الارتباطات الكمومية بالاعتماد على السببية النسبية وحدها. ^{[ 59 ]} أي، ما إذا كان أي صندوق افتراضي${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in {\bar {Q}}}$سيسمح ذلك ببناء جهاز قادر على نقل المعلومات بسرعة تفوق سرعة الضوء . على مستوى الارتباطات بين طرفين، تُترجم نظرية السببية لأينشتاين إلى شرط ألا يؤثر اختيار أليس للقياس على إحصائيات بوب، والعكس صحيح. وإلا، فبإمكان أليس (بوب) إرسال إشارة فورية إلى بوب (أليس) باختيارها (اختياره) لإعدادات القياس.${\displaystyle x}$${\displaystyle (y)}$بشكل مناسب. رياضياً، شروط عدم الإشارة لبوبيسكو وروهرليش هي: $${\displaystyle \sum _{a}P(a,b|x,y)=\sum _{a}P(a,b|x^{\prime },y)=:P_{B}(b|y),}$$$${\displaystyle \sum _{b}P(a,b|x,y)=\sum _{b}P(a,b|x,y^{\prime })=:P_{A}(a|x).}$$

على غرار مجموعة الصناديق الكلاسيكية، تشكل مجموعة الصناديق التي لا تُرسل إشارات، عند تمثيلها في فضاء الاحتمالات، متعدد السطوح . وقد حدد بوبيسكو وروهرليش صندوقًا${\displaystyle P(a,b|x,y)}$مع أن هذا الشرط يلتزم بشروط عدم الإشارة، إلا أنه ينتهك حد تسيرلسون، وبالتالي فهو غير قابل للتحقيق في الفيزياء الكمومية. ويُطلق عليه اسم صندوق PR، ويمكن كتابته على النحو التالي: $${\displaystyle P(a,b|x,y)={\frac {1}{2}}\delta _{xy,a\oplus b}.}$$

هنا${\displaystyle a,b,x,y}$أخذ القيم في${\displaystyle {0,1}}$، و${\displaystyle a\oplus b}$يرمز إلى المجموع بتردد اثنين. يمكن التحقق من أن قيمة CHSH لهذا المربع هي 4 (على عكس حد تسيرلسون لـ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.828}$). وقد تم تحديد هذا الصندوق سابقًا بواسطة راستال ^{[ 60 ]} وخلفين وتسيريلسون . ^{[ 61 ]}

في ضوء هذا التباين، طرح بوبيسكو وروهرليش مشكلة تحديد مبدأ فيزيائي، أقوى من شروط عدم الإشارة، يسمح باستنتاج مجموعة الارتباطات الكمومية. وقد أعقب ذلك عدة مقترحات:

1. التعقيد غير التافه للاتصالات (NTCC). ^{[ 62 ]} ينص هذا المبدأ على أنه لا ينبغي أن تكون الارتباطات غير المحلية قوية لدرجة تسمح لطرفين بحل جميع مشاكل الاتصال أحادي الاتجاه باحتمالية معينة.${\displaystyle p>1/2}$باستخدام جزء واحد فقط من الاتصال. يمكن إثبات أن أي صندوق ينتهك قيود تسيرلسون بأكثر من${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}-1\right)\approx 0.4377}$غير متوافق مع NTCC.
2. لا توجد ميزة للحساب غير المحلي (NANLC). ^{[ 63 ]} يُنظر في السيناريو التالي: بالنظر إلى دالة${\displaystyle f_{0,1}^{n}\to 1}$يتم توزيع سلاسل من قبل طرفين${\displaystyle n}$أجزاء${\displaystyle x,y}$وطلب إخراج البتات${\displaystyle a,b}$لهذا السبب.${\displaystyle a\oplus b}$تخمين جيد لـ${\displaystyle f(x\oplus y)}$ينص مبدأ NANLC على أنه لا ينبغي أن تمنح الصناديق غير المحلية أي أفضلية للطرفين في هذه اللعبة. وقد ثبت أن أي صندوق يخالف شرط تسيرلسون سيمنح مثل هذه الأفضلية.
3. السببية المعلوماتية (IC). ^{[ 64 ]} نقطة البداية هي سيناريو اتصال ثنائي الأطراف حيث يتم تزويد أحد الطرفين (أليس) بسلسلة عشوائية${\displaystyle x}$ل${\displaystyle n}$البتات. أما الجزء الثاني، بوب، فيتلقى رقماً عشوائياً${\displaystyle k\in \{1,...,n\}}$هدفهم هو نقل البت إلى بوب${\displaystyle x_{k}}$ولهذا الغرض يُسمح لأليس بنقل بوب${\displaystyle s}$البتات. ينص مبدأ الدوائر المتكاملة على أن المجموع على${\displaystyle k}$لا يمكن أن تتجاوز نسبة المعلومات المتبادلة بين بت أليس وتخمين بوب العدد${\displaystyle s}$من البتات التي أرسلتها أليس. وقد تبين أن أي صندوق ينتهك حد تسيرلسون سيسمح لطرفين بانتهاك IC.
4. الموضعية العيانية (ML). ^{[ 65 ]} في الإعداد المدروس، يقوم طرفان منفصلان بإجراء قياسات مكثفة منخفضة الدقة على عدد كبير من أزواج الجسيمات المترابطة المُجهزة بشكل مستقل. تنص الموضعية العيانية على أن أي تجربة "عيانية" من هذا القبيل يجب أن تقبل نموذج متغير خفي محلي. وقد ثبت أن أي تجربة مجهرية قادرة على انتهاك حد تسيرلسون ستنتهك أيضًا عدم الموضعية القياسية لبيل عند تطبيقها على النطاق العياني . بالإضافة إلى حد تسيرلسون، يستعيد مبدأ الموضعية العيانية بشكل كامل مجموعة جميع الارتباطات الكمومية ثنائية النقاط.
5. التعامد المحلي (LO). ^{[ 66 ]} ينطبق هذا المبدأ على سيناريوهات بيل متعددة الأجزاء، حيث${\displaystyle n}$تقوم الأطراف على التوالي بإجراء التجارب${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$في مختبراتهم المحلية. ويحصلون على النتائج تباعاً.${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$زوج المتجهات${\displaystyle ({\bar {a}}|{\bar {x}})}$يُطلق عليه اسم حدث. حدثان ${\displaystyle ({\bar {a}}|{\bar {x}})}$،${\displaystyle ({\bar {a}}^{\prime }|{\bar {x}}^{\prime })}$يقال إنها متعامدة محليًا إذا وُجد${\displaystyle k}$بحيث${\displaystyle x_{k}=x_{k}^{\prime }}$و${\displaystyle a_{k}\not =a_{k}^{\prime }}$ينص مبدأ LO على أنه بالنسبة لأي صندوق متعدد الأجزاء، لا يمكن أن يتجاوز مجموع احتمالات أي مجموعة من الأحداث المتعامدة محليًا 1. وقد ثبت أن أي صندوق ثنائي الأجزاء ينتهك حد تسيرلسون بمقدار${\displaystyle 0.052}$ينتهك LO.

يمكن دحض جميع هذه المبادئ تجريبياً بافتراض قدرتنا على تحديد ما إذا كان حدثان أو أكثر منفصلين مكانياً. وهذا ما يميز هذا البرنامج البحثي عن إعادة بناء ميكانيكا الكم بشكل بديهي عبر النظريات الاحتمالية المعممة .

تعتمد الأعمال المذكورة أعلاه على افتراض ضمني مفاده أن أي مجموعة فيزيائية من الارتباطات يجب أن تكون مغلقة تحت تأثير التوصيلات. ^{[ 67 ]} وهذا يعني أن أي صندوق فعال يتم إنشاؤه من خلال دمج مدخلات ومخرجات عدد من الصناديق ضمن المجموعة المدروسة يجب أن ينتمي أيضًا إلى تلك المجموعة. لا يبدو أن الإغلاق تحت تأثير التوصيلات يفرض أي حد على القيمة القصوى لـ CHSH. ومع ذلك، فهو ليس مبدأً باطلاً؛ بل على العكس، فقد تبين في ^{[ 67 ]} أن العديد من العائلات البسيطة والبديهية لمجموعات الارتباطات في فضاء الاحتمالات تنتهك هذا المبدأ.

في البداية، لم يكن معروفاً ما إذا كان أي من هذه المبادئ (أو مجموعة فرعية منها) قوياً بما يكفي لاستخلاص جميع القيود التي تحدد${\displaystyle {\bar {Q}}}$استمر هذا الوضع لعدة سنوات حتى تم بناء المجموعة شبه الكمومية${\displaystyle {\tilde {Q}}}$[ ^{68 ]​}${\displaystyle {\tilde {Q}}}$هي مجموعة من العلاقات المغلقة تحت التوصيلات ويمكن وصفها عبر البرمجة شبه المحددة. وهي تحتوي على جميع العلاقات في${\displaystyle Q_{c}\supset {\bar {Q}}}$ولكن أيضًا بعض الصناديق غير الكمومية${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in Q_{c}}$ومن اللافت للنظر أن جميع الصناديق ضمن المجموعة شبه الكمومية تتوافق مع مبادئ NTCC وNANLC وML وLO. كما توجد أدلة عددية على أن الصناديق شبه الكمومية تتوافق أيضًا مع IC. لذا، يبدو أنه حتى عند أخذ المبادئ المذكورة أعلاه مجتمعة، فإنها لا تكفي لتحديد المجموعة الكمومية في أبسط سيناريو بيل المكون من طرفين ومدخلين ومخرجين. ^{[ 68 ]}

كان أول بروتوكول مُقترح لا يعتمد على الجهاز هو توزيع المفاتيح الكمومية المستقل عن الجهاز (QKD). ^{[ 69 ]} في هذا البروتوكول، يتم توزيع حالة كمومية متشابكة على طرفين بعيدين، أليس وبوب، يقومان بفحصها، وبالتالي الحصول على الإحصائيات.${\displaystyle P(a,b|x,y)}$بناءً على مدى بُعد الصندوق عن المنطقة المحلية${\displaystyle P(a,b|x,y)}$في هذه الحالة، يُقدّر أليس وبوب مقدار المعرفة التي قد يمتلكها خصم كمومي خارجي، إيف (المتنصت)، حول قيمة مخرجات أليس وبوب. يسمح لهما هذا التقدير بتصميم بروتوكول مُصالحة، يتشاركان في نهايته مفتاحًا لمرة واحدة مُرتبطًا ارتباطًا تامًا، لا تملك إيف أي معلومات عنه. يُمكن استخدام هذا المفتاح لإرسال رسالة سرية عبر قناة عامة. على الرغم من أن التحليلات الأمنية الأولى لتوزيع المفاتيح الكمومية غير المرتبط بالجهاز اعتمدت على قيام إيف بتنفيذ مجموعة محددة من الهجمات، ^{[ 70 ]} فقد ثبت مؤخرًا أن جميع هذه البروتوكولات آمنة تمامًا. ^{[ 71 ]}

يمكن استخدام خاصية عدم التمركز للتحقق من أن نتائج أحد الأطراف في تجربة بيل غير معروفة جزئيًا لخصم خارجي. من خلال تغذية عدة صناديق غير متمركزة ببذرة عشوائية جزئيًا، وبعد معالجة المخرجات، يمكن الحصول على سلسلة أطول (قد تكون غير محدودة) ذات عشوائية مماثلة ^{[ 72 ]} أو سلسلة أقصر ولكنها أكثر عشوائية ^{[ 73 ]} . يمكن إثبات استحالة هذه الخاصية الأخيرة في سياق كلاسيكي ^{[ 74 ] .}

تُعدّ تقنيات التحقق من العشوائية المستقلة عن الجهاز (DI)، والتوسيع، والتضخيم، أساليب تُستخدم لتوليد أرقام عشوائية عالية الجودة ومحصنة ضد أي هجمات محتملة على الأجهزة المستخدمة في توليدها. لهذه التقنيات تطبيقات بالغة الأهمية في علم التشفير، حيث تُعدّ الأرقام العشوائية عالية الجودة ضرورية لضمان أمان بروتوكولات التشفير. التحقق من العشوائية هو عملية التحقق من أن مُخرجات مُولّد الأرقام العشوائية عشوائية بالفعل ولم يتم التلاعب بها من قِبل مُهاجم. يُجري التحقق من العشوائية المستقلة عن الجهاز هذا التحقق دون افتراضات مُسبقة حول الأجهزة التي تُولّد الأرقام العشوائية. بدلاً من ذلك، يتم التحقق من العشوائية من خلال مُلاحظة الارتباطات بين مُخرجات أجهزة مُختلفة يتم توليدها باستخدام نفس العملية الفيزيائية. وقد أثبتت الأبحاث الحديثة جدوى التحقق من العشوائية المستقلة عن الجهاز باستخدام أنظمة كمومية متشابكة، مثل الفوتونات أو الإلكترونات. أما توسيع العشوائية، فهو أخذ كمية صغيرة من بذرة عشوائية أولية وتوسيعها إلى سلسلة أكبر بكثير من الأرقام العشوائية. في توسيع العشوائية المستقلة عن الجهاز، يتم التوسيع باستخدام قياسات لأنظمة كمومية مُجهزة في حالة تشابك عالية. يُضمن أمان التوسع بقوانين ميكانيكا الكم، مما يجعل من المستحيل على أي مُهاجم التنبؤ بمخرجات التوسع. وقد أظهرت الأبحاث الحديثة إمكانية تحقيق توسيع عشوائية DI باستخدام أزواج الفوتونات المتشابكة وأجهزة القياس التي تُخالف متباينة بيل. ^{[ 75 ]} تضخيم العشوائية هو عملية أخذ كمية صغيرة من بذرة عشوائية أولية وزيادة عشوائيتها باستخدام خوارزمية تشفير. في تضخيم عشوائية DI، تتم هذه العملية باستخدام خصائص التشابك وميكانيكا الكم. ويُضمن أمان التضخيم بحقيقة أن أي محاولة من قِبل مُهاجم للتلاعب بمخرجات الخوارزمية ستؤدي حتمًا إلى إدخال أخطاء يُمكن اكتشافها وتصحيحها. وقد أثبتت الأبحاث الحديثة جدوى تضخيم عشوائية DI باستخدام التشابك الكمي وانتهاك متباينة بيل. ^{[ 76 ]}

تُعدّ تقنيات التحقق من عشوائية البيانات الرقمية، والتوسيع، والتضخيم، أساليب فعّالة لتوليد أرقام عشوائية عالية الجودة، تتمتع بأمان ضد أي هجمات محتملة على الأجهزة المستخدمة في توليدها. لهذه التقنيات تطبيقات بالغة الأهمية في علم التشفير، ومن المرجح أن تزداد أهميتها مع تطور تقنية الحوسبة الكمومية. إضافةً إلى ذلك، يوجد نهجٌ أبسط يُسمى شبه البيانات الرقمية، حيث يُمكن توليد الأرقام العشوائية بافتراضات معينة حول مبدأ عمل الأجهزة، والبيئة، والأبعاد، والطاقة، وما إلى ذلك، ويتميز هذا النهج بسهولة التنفيذ وسرعة التوليد. ^{[ 77 ]}

أحيانًا، الصندوق${\displaystyle P(a,b|x,y)}$إن الخاصية المشتركة بين أليس وبوب لا تقبل إلا تحقيقًا كميًا فريدًا. وهذا يعني وجود عوامل قياس.${\displaystyle E_{a}^{x},F_{b}^{y}}$وحالة كمومية${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$مما يؤدي إلى${\displaystyle P(a,b|x,y)}$بحيث أن أي تحقيق مادي آخر ${\displaystyle {\tilde {E}}_{a}^{x},{\tilde {F}}_{b}^{y},\left|{\tilde {\psi }}\right\rangle }$ل ${\displaystyle P(a,b|x,y)}$متصل بـ${\displaystyle E_{a}^{x},F_{b}^{y},\left|\psi \right\rangle }$عبر تحويلات وحدوية محلية. هذه الظاهرة، التي يمكن تفسيرها كمثال على التصوير المقطعي الكمي المستقل عن الجهاز، أشار إليها تسيرلسون لأول مرة ^{[ 42 ]} وأطلق عليها مايرز وياو اسم "الاختبار الذاتي" ^{[ 69 ]} . من المعروف أن الاختبار الذاتي قوي ضد الضوضاء المنهجية، أي إذا كانت الإحصائيات المقاسة تجريبياً قريبة بما يكفي من${\displaystyle P(a,b|x,y)}$لا يزال بإمكان المرء تحديد الحالة الأساسية وعوامل القياس حتى حدود هامش الخطأ. ^{[ 69 ]}

درجة اللا موضعية لصندوق كمومي${\displaystyle P(a,b|x,y)}$يمكن أيضًا توفير حدود دنيا لبُعد فضاء هيلبرت للأنظمة المحلية التي يمكن الوصول إليها من قِبل أليس وبوب. ^{[ 78 ]} تُعادل هذه المشكلة تحديد وجود مصفوفة ذات رتبة شبه محددة موجبة تمامًا منخفضة. ^{[ 79 ]} يُعدّ إيجاد حدود دنيا لبُعد فضاء هيلبرت بناءً على الإحصاءات مهمة صعبة، ولا تُقدّم الطرق العامة الحالية سوى تقديرات منخفضة جدًا. ^{[ 80 ]} مع ذلك، يكفي سيناريو بيل بخمسة مدخلات وثلاثة مخرجات لتوفير حدود دنيا عالية بشكل تعسفي لبُعد فضاء هيلبرت الأساسي. ^{[ 81 ]} تُسمى بروتوكولات الاتصال الكمومي التي تفترض معرفة البُعد المحلي لأنظمة أليس وبوب، ولكنها لا تُقدّم ادعاءات بشأن الوصف الرياضي لأجهزة التحضير والقياس المُستخدمة، بروتوكولات شبه مستقلة عن الجهاز. حاليًا، توجد بروتوكولات شبه مستقلة عن الجهاز لتوزيع المفاتيح الكمومية ^{[ 82 ]} وتوسيع العشوائية. ^{[ 83 ]}