عدم المساواة في CHSH

يستند ما يلي إلى الصفحة 37 من كتاب بيل "المسموع وغير المسموع" ، ^{[ 4 ]} والتغيير الرئيسي هو استخدام الرمز 'هـ' بدلاً من 'P"للقيمة المتوقعة للارتباط الكمومي. وهذا يتجنب أي تلميح إلى أن الارتباط الكمومي هو نفسه احتمال."

نبدأ بالافتراض القياسي لاستقلال الطرفين، مما يُمكّننا من الحصول على الاحتمالات المشتركة لأزواج النتائج بضرب الاحتمالات المنفصلة، ​​لأي قيمة مختارة للمتغير الخفي λ. يُفترض أن λ مُستمدة من توزيع ثابت للحالات الممكنة للمصدر، حيث يُعطى احتمال وجود المصدر في الحالة λ لأي تجربة معينة بواسطة دالة الكثافة ρ(λ)، والتي يساوي تكاملها على فضاء المتغير الخفي الكامل 1. وبالتالي، نفترض أنه يمكننا كتابة ما يلي: $${\displaystyle E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda }$$ حيث A و B هما النتيجتان. وبما أن القيم الممكنة لـ A و B هي -1 و 0 و +1، فإنه يترتب على ذلك ما يلي:

${\displaystyle \left|{\underline {A}}\right|\leq 1\quad \left|{\underline {B}}\right|\leq 1}$

4

ثم، إذا كانت a و a ′ و b و b ′ إعدادات بديلة لأجهزة الكشف،

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}}$

بأخذ القيم المطلقة لكلا الطرفين، وتطبيق متباينة المثلث على الطرف الأيمن، نحصل على

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

نستفيد من حقيقة أن${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$و${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )}$كلاهما غير سالبين، لإعادة كتابة الجانب الأيمن من هذه المعادلة على النحو التالي: $${\displaystyle \int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$$

بحسب ( 4 )، يجب أن يكون هذا أقل من أو يساوي $${\displaystyle \int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$$ والذي، باستخدام حقيقة أن تكامل ρ ( λ ) يساوي 1، يساوي $${\displaystyle 2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]}$$ وهو ما يساوي${\displaystyle 2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$.

وبجمع هذا مع الجانب الأيسر، نحصل على: $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$ وهذا يعني أن الجانب الأيسر أقل من أو يساوي كلا الجانبين${\displaystyle 2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$و${\displaystyle 2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$. إنه: $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$ ومنها نحصل $${\displaystyle 2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$ (باستخدام متباينة المثلث مرة أخرى)، وهي متباينة CHSH.

في ورقتهم البحثية المنشورة عام 1974، ^{[ 12 ]} يُبين كلاوزر وهورن أنه يمكن اشتقاق متباينة CHSH من متباينة CH74. وكما يوضحان، في تجربة ثنائية القنوات، يظل اختبار CH74 أحادي القناة قابلاً للتطبيق، ويُقدم أربع مجموعات من المتباينات التي تحكم احتمالات p للتوافقات.

انطلاقاً من الصيغة غير المتجانسة للمتباينة، يمكننا كتابة ما يلي: $${\displaystyle -1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0}$$ حيث يمثل كل من j و k علامة '+' أو ' − '، مما يشير إلى أجهزة الكشف التي يتم أخذها في الاعتبار.

للحصول على إحصائية اختبار CHSH S ( 2 )، كل ما هو مطلوب هو ضرب المتباينات التي يكون فيها j مختلفًا عن k بـ -1 وإضافة هذه إلى المتباينات التي يكون فيها j و k متساويين.

يوجد تكوين أمثل لقواعد القياس a و a' و b و b' لقيمة معينة${\displaystyle \rho }$وهذا ينتج عنه قيمة S _القصوى مع وجود مُعامل حر واحد على الأقل. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

القياس الإسقاطي الذي ينتج عنه إما +1 أو -1 لحالتين متعامدتين${\displaystyle |\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle }$على التوالي، يمكن التعبير عنها بواسطة عامل تشغيل${\displaystyle \mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|}$يمكن تحديد اختيار أساس القياس هذا بواسطة متجه وحدة حقيقي${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1}$ومتجه باولي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$عن طريق التعبير${\displaystyle \mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ثم، يكون الارتباط المتوقع في الأساسين a و b هو $${\displaystyle E(a,b)=\operatorname {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.}$$ يمكن ترجمة القيم العددية لمتجهات الأساس، عند إيجادها، مباشرة إلى تكوين القياسات الإسقاطية. ^{[ 16 ]}

المجموعة المثلى من القواعد للحالة${\displaystyle \rho }$يتم إيجادها بأخذ أكبر قيمتين ذاتيتين${\displaystyle \lambda _{1,2}}$والمتجهات الذاتية المقابلة${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1,2}}$ل${\displaystyle U_{\rho }}$وإيجاد متجهات الوحدة المساعدة $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \varphi }$هو مُعامل حر. كما نحسب الزاوية الحادة $${\displaystyle \theta =\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda _{1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}}$$ للحصول على القواعد التي تزيد من قيمة المعادلة 2 ، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\{\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}}$$

في توزيع المفاتيح الكمومية القائم على التشابك ، توجد قاعدة قياس أخرى تُستخدم لنقل المفتاح السري (${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0}}$بافتراض أن أليس تستخدم الجانب أ). القواعد${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}}$ثم يجب تقليل معدل خطأ البت الكمومي Q ، وهو احتمال الحصول على نتائج قياس مختلفة (+1 على جسيم واحد و-1 على الآخر). ^{[ 14 ]} القواعد المقابلة هي ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}}$$يجب أيضًا تعظيم متعددة الحدود CHSH S ، والتي تشكل مع القواعد المذكورة أعلاه القيد.${\displaystyle \varphi =\pi /4}$[ ^{16 ]​}

نثبت أولاً أن أي استراتيجية كلاسيكية حتمية لديها احتمال نجاح لا يتجاوز 75% (حيث يتم حساب الاحتمال بناءً على اختيار تشارلي العشوائي المنتظم لـ${\displaystyle x,y}$). ونعني بالاستراتيجية الحتمية زوجًا من الدوال${\displaystyle f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$، أين${\displaystyle f_{A}}$هي دالة تحدد استجابة أليس بناءً على الرسالة التي تتلقاها من تشارلي، و${\displaystyle f_{B}}$هي دالة تحدد استجابة بوب بناءً على ما يتلقاه. لإثبات أن أي استراتيجية حتمية تفشل بنسبة 25% على الأقل، يمكننا ببساطة النظر في جميع أزواج الاستراتيجيات الممكنة لأليس وبوب، والتي يبلغ عددها 8 على الأكثر (لكل طرف، هناك 4 دوال).${\displaystyle \{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$يمكن التحقق من أنه لكل استراتيجية من الاستراتيجيات الثماني، يوجد دائمًا زوج واحد على الأقل من أزواج المدخلات الأربعة الممكنة.${\displaystyle (x,y)\in \{0,1\}^{2}}$مما يؤدي إلى فشل الاستراتيجية. على سبيل المثال، في الاستراتيجية التي يجيب فيها كلا اللاعبين دائمًا بصفر، يفوز أليس وبوب في جميع الحالات باستثناء الحالة التي يكون فيها${\displaystyle x=y=1}$لذا، باستخدام هذه الاستراتيجية، فإن احتمال فوزهم هو 75% بالضبط.

لنفترض الآن حالة الاستراتيجيات الكلاسيكية العشوائية، حيث يمتلك كل من أليس وبوب أرقامًا عشوائية مترابطة . يمكن توليد هذه الأرقام عن طريق رمي قطعة نقدية معًا عدة مرات قبل بدء اللعبة، مع السماح لهما بالتواصل. تكون النتيجة التي يقدمانها في كل جولة دالةً لكل من رسالة تشارلي ونتيجة رمية العملة المقابلة. يمكن اعتبار هذه الاستراتيجية توزيعًا احتماليًا على الاستراتيجيات الحتمية، وبالتالي فإن احتمال نجاحها هو مجموع مرجح لاحتمالات نجاح الاستراتيجيات الحتمية. ولكن بما أن احتمال نجاح كل استراتيجية حتمية لا يتجاوز 75%، فإن هذا المجموع المرجح لا يمكن أن يتجاوز 75% أيضًا.

والآن، تخيل أن أليس وبوب يشتركان في حالة التشابك الثنائي الكيوبت:${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$يُشار إليها عادةً باسم زوج EPR . سيستخدم أليس وبوب هذا الزوج المتشابك في استراتيجيتهما كما هو موضح أدناه. وتستند مثالية هذه الاستراتيجية إلى حد تسيرلسون .

عند استلام البت${\displaystyle x}$من تشارلي، ستقوم أليس بقياس الكيوبت الخاص بها في الأساس${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$أو على أساس${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$، بشرط ما إذا${\displaystyle x=0}$أو${\displaystyle x=1}$على التوالي. ثم ستُصنّف المخرجات المحتملة الناتجة عن كل خيار قياس على النحو التالي:${\displaystyle a=0}$إذا تم رصد الحالة الأولى في أساس القياس، و${\displaystyle a=1}$خلاف ذلك.

يستخدم بوب أيضًا اللجام${\displaystyle y}$تلقيت من تشارلي تحديد القياس الذي يجب إجراؤه: إذا${\displaystyle y=0}$يقيس على أساس${\displaystyle \{|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle \}}$بينما إذا${\displaystyle y=1}$يقيس على أساس${\displaystyle \{|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle \}}$، أين$${\displaystyle {\begin{aligned}&|a_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |a_{1}\rangle =-\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\\&|b_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle -\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |b_{1}\rangle =\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\end{aligned}}}$$مع${\displaystyle \theta =\pi /8}$.

يوضح الجدول التالي كيفية لعب اللعبة. رُتبت الحالات بالترتيب الذي يضع كل حالة بين حالتين متشابهتين للغاية. يمكن أن تتوافق هذه الحالات، على سبيل المثال، مع فوتونات مستقطبة بزوايا 0°، 22.5°، 45°، ... 180° (حيث تمثل 180° و0° الحالة نفسها).

كيفية لعب اللعبة

ولاية	${\displaystyle |1\rangle }$	${\displaystyle |b_{1}\rangle }$	${\displaystyle |+\rangle }$	${\displaystyle |a_{0}\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle }$	${\displaystyle |b_{0}\rangle }$	${\displaystyle |-\rangle }$	${\displaystyle |a_{1}\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle }$
عند أي قيمة لـ x تختبر أليس الحالة؟	0		1		0		1		0
عند أي قيمة لـ y يختبر بوب الحالة؟		1		0		1		0
ماذا سترسل أليس إذا وجدت الولاية؟	1		0		0		1		1
ماذا سيرسل بوب إذا وجد الولاية؟		1		0		0		1

لتحليل احتمالية النجاح، يكفي تحليل احتمالية حصولهم على زوج قيم فائز في كل من المدخلات الأربعة الممكنة.${\displaystyle (x,y)}$ثم نحسب المتوسط. نحلل الحالة التي${\displaystyle x=y=0}$هنا: في هذه الحالة، أزواج الإجابات الفائزة هي${\displaystyle a=b=0}$و${\displaystyle a=b=1}$عند الإدخال${\displaystyle x=y=0}$نعلم أن أليس ستقيس على أساس${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$وسيقوم بوب بالقياس على أساس${\displaystyle |a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle }$إذن، احتمال أن يكون ناتج كليهما صفرًا هو نفسه احتمال أن تكون قياساتهما صفرًا.${\displaystyle |0\rangle ,|a_{0}\rangle }$على التوالي، بدقة${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$وبالمثل، فإن احتمال أن يُخرج كلاهما القيمة 1 هو بالضبط${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$إذن، فإن احتمال حدوث أي من هاتين النتيجتين الناجحتين هو${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$.

أما بالنسبة لأزواج المدخلات الثلاثة الأخرى المحتملة، فإن التحليل المتطابق تقريبًا يُظهر أن أليس وبوب سيكون لديهما نفس احتمالية الفوز.${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$وبالتالي، فإن متوسط ​​احتمالية الفوز الإجمالية لإدخال تم اختياره عشوائياً هو${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$. منذ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%}$وهذا أفضل بكثير مما كان ممكناً في الحالة الكلاسيكية.

يمكن نمذجة أي استراتيجية كمومية للعبة CHSH على أنها ثلاثية${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$أين

• ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}}$هي دولة ثنائية التقسيم بالنسبة للبعض${\displaystyle d}$،
• ${\displaystyle A_{0}}$و${\displaystyle A_{1}}$تمثل كل من المتغيرات القابلة للملاحظة لدى أليس ما يلي: الاستلام${\displaystyle x\in \{0,1\}}$من الحكم، و
• ${\displaystyle B_{0}}$و${\displaystyle B_{1}}$تمثل كل من المتغيرات القابلة للملاحظة لدى بوب ما يلي: الاستلام${\displaystyle y\in \{0,1\}}$من الحكم.

يمكن إعادة صياغة الاستراتيجية الكمومية المثلى الموصوفة أعلاه في هذه الصيغة على النحو التالي:${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$هو زوج EPR${\textstyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$، القابل للملاحظة${\displaystyle A_{0}=Z}$(الموافق لقياسات أليس في${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$الأساس)، القابل للملاحظة${\displaystyle A_{1}=X}$(الموافق لقياسات أليس في${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$الأساس)، حيث${\displaystyle X}$و${\displaystyle Z}$هي مصفوفات باولي . الكميات القابلة للرصد${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$و${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z-X)}$(بما يتوافق مع كل أساس يختاره بوب للقياس). سنرمز إلى احتمال نجاح الاستراتيجية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$في لعبة CHSH بواسطة${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})}$ونحدد انحياز الاستراتيجية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$مثل${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1}$وهو الفرق بين احتمالات الفوز والخسارة لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

على وجه الخصوص، لدينا $${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\sum _{x,y\in \{0,1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .}$$ إن انحياز الاستراتيجية الكمومية الموصوفة أعلاه هو${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

تنص متباينة تسيرلسون، التي اكتشفها بوريس تسيرلسون عام 1980، ^{[ 17 ]} على أنه بالنسبة لأي استراتيجية كمومية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$بالنسبة لمباراة CHSH، التحيز${\textstyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$وبعبارة أخرى، ينص على أن احتمال النجاح $${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$$ لأي استراتيجية كمومية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$بالنسبة للعبة CHSH. وعلى وجه الخصوص، يشير هذا إلى مثالية الاستراتيجية الكمومية الموصوفة أعلاه للعبة CHSH.

تُثبت متباينة تسيرلسون أن أقصى احتمال لنجاح أي استراتيجية كمومية هو${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$وقد رأينا أن هذه الاحتمالية القصوى للنجاح تتحقق بواسطة الاستراتيجية الكمومية الموصوفة أعلاه. في الواقع، أي استراتيجية كمومية تحقق هذه الاحتمالية القصوى للنجاح يجب أن تكون متماثلة (بمعنى دقيق) مع الاستراتيجية الكمومية الكلاسيكية الموصوفة أعلاه؛ تُسمى هذه الخاصية بصلابة لعبة CHSH، والتي نُسبت لأول مرة إلى سامرز وويرنر. ^{[ 18 ]} وبشكل أكثر رسمية، لدينا النتيجة التالية:

بصورة غير رسمية، تنص النظرية المذكورة أعلاه على أنه بالنظر إلى استراتيجية مثلى عشوائية للعبة CHSH، يوجد تغيير محلي للأساس (معطى بواسطة التساويات).${\displaystyle V,W}$) بالنسبة لأليس وبوب بحيث تكون حالتهما المشتركة${\displaystyle |\psi \rangle }$عوامل تدخل في موتر زوج EPR${\displaystyle |\Phi \rangle }$وحالة مساعدة إضافية${\displaystyle |\phi \rangle }$علاوة على ذلك، فإنّ الملاحظات التي رصدتها أليس وبوب${\displaystyle (A_{0},A_{1})}$و${\displaystyle (B_{0},B_{1})}$تتصرف، حتى التحويلات الوحدوية، مثل${\displaystyle Z}$و${\displaystyle X}$الكميات القابلة للرصد على الكيوبتات الخاصة بها من زوج EPR. وقد حصل ماكاج وآخرون ^{[ 19 ]} على نسخة تقريبية أو كمية من صلابة CHSH ، حيث أثبتوا أنه إذا كان لديك استراتيجية كمومية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$بحيث${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon }$بالنسبة للبعض${\displaystyle \epsilon >0}$إذن، توجد تحويلات متساوية القياس يمكن في ظلها تطبيق الاستراتيجية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$يكون${\displaystyle O({\sqrt {\epsilon }})}$- قريبة من الاستراتيجية الكمومية المتعارف عليها. كما تُعرف براهين نظرية التمثيل للصلابة التقريبية. ^{[ 20 ]}

تجدر الإشارة إلى أن لعبة CHSH يمكن اعتبارها اختبارًا للتشابك الكمومي والقياسات الكمومية، وأن صلابة هذه اللعبة تتيح لنا اختبار تشابك محدد بالإضافة إلى قياسات كمومية محددة . ويمكن الاستفادة من ذلك لاختبار أو حتى التحقق من صحة العمليات الحسابية الكمومية بأكملها، لا سيما أن صلابة ألعاب CHSH قد استُخدمت لبناء بروتوكولات للتفويض الكمومي القابل للتحقق، ^{[ 21 ] [ 22 ]} وتوسيع العشوائية القابل للتحقق، ^{[ 23 ]} والتشفير المستقل عن الجهاز. ^{[ 24 ]}