عنصر الحجم

في الرياضيات ، يوفر عنصر الحجم وسيلة لتكامل دالة بالنسبة للحجم في أنظمة إحداثيات مختلفة مثل الإحداثيات الكروية والإحداثيات الأسطوانية . وبالتالي، فإن عنصر الحجم هو تعبير من الشكل التالي :$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$$ حيث${\displaystyle u_{i}}$هي الإحداثيات، بحيث يكون حجم أي مجموعة${\displaystyle B}$يمكن حسابها بواسطة $${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ على سبيل المثال، في الإحداثيات الكروية${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$وهكذا${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$.

لا يقتصر مفهوم عنصر الحجم على ثلاثة أبعاد؛ ففي بُعدين يُعرف غالبًا بعنصر المساحة ، وهو مفيد في هذه الحالة لإجراء التكاملات السطحية . عند تغيير الإحداثيات، يتغير عنصر الحجم بالقيمة المطلقة لمحدد جاكوبي لتحويل الإحداثيات (باستخدام صيغة تغيير المتغيرات ). تسمح هذه الحقيقة بتعريف عناصر الحجم كنوع من القياس على متعدد الشعب . على متعدد شعب قابل للتوجيه وقابل للتفاضل ، ينشأ عنصر الحجم عادةً من شكل حجمي : شكل تفاضلي من الدرجة العليا . أما على متعدد شعب غير قابل للتوجيه، فيكون عنصر الحجم عادةً هو القيمة المطلقة لشكل حجمي (مُعرَّف محليًا): فهو يُحدد كثافة من الدرجة الأولى .

في الفضاء الإقليدي ، يُعطى عنصر الحجم بضرب تفاضلات الإحداثيات الديكارتية.$${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$ في أنظمة إحداثيات مختلفة من الشكل${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$،${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$،${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$يتغير عنصر الحجم بمقدار جاكوبيان (المحدد) لتغير الإحداثيات: $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ على سبيل المثال، في الإحداثيات الكروية (الاصطلاح الرياضي) $${\displaystyle {\begin{align}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{محاذاة}}}$$ المحدد اليعقوبي هو $${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$ لهذا السبب. $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$ يمكن اعتبار هذا حالة خاصة من حقيقة أن الأشكال التفاضلية تتحول من خلال عملية سحب للخلف${\displaystyle F^{*}}$مثل $${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

لنفترض الفضاء الجزئي الخطي للفضاء الإقليدي ذي البعد n ، R ⁿ ، الذي يمتد بواسطة مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا.$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$ لإيجاد عنصر الحجم للفضاء الجزئي، من المفيد معرفة حقيقة من الجبر الخطي مفادها أن حجم متوازي السطوح الممتد بواسطة${\displaystyle X_{i}}$هو الجذر التربيعي لمحدد مصفوفة غراميان لـ${\displaystyle X_{i}}$: $${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

يمكن إعطاء إحداثيات لأي نقطة p في الفضاء الجزئي${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$بحيث $${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$ عند النقطة p ، إذا شكلنا متوازي مستطيلات صغيرًا بأضلاع${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$إذن، حجم متوازي المستطيلات هذا هو الجذر التربيعي لمحدد مصفوفة غراميان $${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$ وبالتالي، فإن هذا يحدد شكل الحجم في الفضاء الفرعي الخطي.

على مشعب ريماني موجه ذي بُعد n ، يكون عنصر الحجم شكلاً حجمياً يساوي الشكل الثنائي لهودج للدالة الثابتة الوحدوية.${\displaystyle f(x)=1}$: $${\displaystyle \omega =\star 1.}$$ وبصورة مكافئة، فإن عنصر الحجم هو بالضبط موتر ليفي-سيفيتا${\displaystyle \epsilon }$^{[ 1 ]} في الإحداثيات ،$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$ أين${\displaystyle \det g}$هو محدد موتر القياس g المكتوب في نظام الإحداثيات.

• نظام الإحداثيات الأسطوانية §  عناصر الخط والحجم
• نظام الإحداثيات الكروية §  التكامل والتفاضل في الإحداثيات الكروية
• تكامل الحجم
• تكامل السطح
• التكامل الخطي
• عنصر الخط

• Besse، Arthur L. (1987)، متشعبات أينشتاين ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (3)]، المجلد. 10، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ص.  xii+510، ISBN 978-3-540-15279-8