الهندسة الإقليدية

الهندسة الإقليدية نظام رياضي يُنسب إلى إقليدس ، عالم الرياضيات اليوناني القديم ، وقد وصفه في كتابه " الأصول" . يقوم منهج إقليدس على افتراض مجموعة صغيرة من البديهيات ( المسلمات) البديهية، واستنباط العديد من القضايا ( النظريات ) الأخرى منها. إحدى هذه القضايا هي مسلمة التوازي التي تتعلق بالخطوط المتوازية على المستوى الإقليدي . مع أن العديد من نتائج إقليدس قد ذُكرت سابقًا، ^{[ 1 ]} إلا أن إقليدس كان أول من نظم هذه القضايا في نظام منطقي تُثبت فيه كل نتيجة من البديهيات والنظريات التي سبق إثباتها. ^{[ 2 ]}

يبدأ كتاب الأصول بالهندسة المستوية ، التي لا تزال تُدرّس في المرحلة الثانوية باعتبارها أول نظام بديهي وأولى الأمثلة على البراهين الرياضية . ثم ينتقل إلى الهندسة الفراغية ثلاثية الأبعاد . ويعرض جزء كبير من كتاب الأصول نتائج ما يُعرف الآن بالجبر ونظرية الأعداد ، مُفسّرة بلغة هندسية. ^{[ 1 ]}

لأكثر من ألفي عام، لم تكن صفة "إقليدي" ضرورية لأن بديهيات إقليدس بدت بديهية للغاية (باستثناء مسلمة التوازي ربما ) ، لدرجة أن النظريات المُثبتة منها اعتُبرت صحيحة تمامًا، وبالتالي لم يكن من الممكن وجود أنواع أخرى من الهندسة. أما اليوم، فقد عُرفت هندستان غير إقليديتين متسقتين ذاتيًا ، وهما الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية . ومن تبعات نظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين أن الفضاء الفيزيائي نفسه ليس إقليديًا، وأن الفضاء الإقليدي يُعد تقريبًا جيدًا له فقط على مسافات قصيرة وفي ظل جاذبية ضعيفة. ^[³^]

تُعدّ الهندسة الإقليدية مثالاً على الهندسة التركيبية ، إذ تنطلق منطقياً من بديهيات تصف الخصائص الأساسية للأشكال الهندسية كالنقاط والخطوط، وصولاً إلى قضايا تتعلق بتلك الأشكال. وهذا يختلف عن الهندسة التحليلية ، التي قدمها رينيه ديكارت بعد ذلك بنحو ألفي عام ، والتي تستخدم الإحداثيات للتعبير عن الخصائص الهندسية باستخدام الصيغ الجبرية .

العناصر

يُعد كتاب "الأصول" في الأساس تنظيماً منهجياً للمعرفة السابقة في الهندسة. وقد تم الاعتراف سريعاً بتحسنه مقارنةً بالمعالجات السابقة، مما أدى إلى قلة الاهتمام بالحفاظ على المعالجات السابقة، والتي فُقدت جميعها تقريباً الآن.

يوجد 13 كتاباً في سلسلة العناصر :

تتناول الكتب من الأول إلى الرابع والسادس الهندسة المستوية. وقد تم إثبات العديد من النتائج المتعلقة بالأشكال المستوية، على سبيل المثال: "في أي مثلث، يكون مجموع زاويتين، مهما كانت طريقة جمعهما، أقل من مجموع زاويتين قائمتين." (الكتاب الأول، القضية 17) ونظرية فيثاغورس : "في المثلثات القائمة الزاوية، يكون مربع الضلع المقابل للزاوية القائمة مساوياً لمربعي الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة." (الكتاب الأول، القضية 47)

يتناول الكتابان الخامس والسابع إلى العاشر نظرية الأعداد ، حيث تُعامل الأعداد هندسيًا كأطوال لقطع مستقيمة أو مساحات لمناطق سطحية. ويُقدّم الكتابان مفاهيم مثل الأعداد الأولية والأعداد النسبية وغير النسبية . ويُثبت وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

تتناول الكتب من الحادي عشر إلى الثالث عشر الهندسة الفراغية . ومن النتائج النموذجية نسبة 1:3 بين حجم المخروط وحجم الأسطوانة المتساوية في الارتفاع والقاعدة. ويتم فيها بناء المجسمات الأفلاطونية .

البديهيات

الهندسة الإقليدية نظامٌ بديهي ، تُشتق فيه جميع النظريات (العبارات الصحيحة) من عددٍ قليلٍ من البديهيات البسيطة. وحتى ظهور الهندسة غير الإقليدية ، كانت هذه البديهيات تُعتبر بديهية في العالم المادي، بحيث تكون جميع النظريات صحيحة بالتساوي. ومع ذلك، يبقى منطق إقليدس من الافتراضات إلى النتائج صالحًا بغض النظر عن الواقع المادي. ^{[ 4 ]}

في بداية الكتاب الأول من كتاب الأصول ، يقدم إقليدس خمسة مسلمات (بديهيات) للهندسة المستوية، مذكورة من حيث الإنشاءات (كما ترجمها توماس هيث): ^{[ 5 ]}

لنفترض ما يلي:

لرسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.
لإنتاج (تمديد) خط مستقيم محدود بشكل مستمر في خط مستقيم.
لوصف دائرة بأي مركز ومسافة (نصف قطر).
أن جميع الزوايا القائمة متساوية.
[ مسلمة التوازي ]: أنه إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين مما يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين المستقيمين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من زاويتين قائمتين.

على الرغم من أن إقليدس يؤكد صراحةً وجود الأشياء المصطنعة فقط، إلا أنه يفترض ضمنيًا في استدلاله أنها فريدة من نوعها.

وتشمل العناصر أيضًا العناصر الخمسة التالية "المفاهيم الشائعة :

الأشياء التي تساوي الشيء نفسه تساوي بعضها البعض ( خاصية التعدي في العلاقة الإقليدية ).
إذا تم جمع المتساويات مع المتساويات، فإن الكل يكون متساوياً (خاصية الجمع للمساواة).
إذا تم طرح المتساويات من المتساويات، فإن الفروق تكون متساوية (خاصية الطرح للمساواة).
الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض تكون متساوية (خاصية الانعكاس).
الكل أكبر من الجزء.

يتفق الباحثون المعاصرون على أن مسلمات إقليدس لا توفر الأساس المنطقي الكامل الذي احتاج إليه إقليدس لعرضه. ^{[ 6 ]} تستخدم المعالجات الحديثة مجموعات أكثر شمولاً واكتمالاً من البديهيات.

مسلمة التوازي

بدا مبدأ التوازي للقدماء أقل وضوحًا من غيره. فقد سعوا إلى ابتكار نظام من القضايا اليقينية المطلقة، وبدا لهم أن مبدأ التوازي يتطلب برهانًا من عبارات أبسط. ومن المعروف الآن أن مثل هذا البرهان مستحيل، إذ يمكن بناء أنظمة هندسية متسقة (تلتزم بالمسلمات الأخرى) يكون فيها مبدأ التوازي صحيحًا، وأخرى يكون فيها خاطئًا. ^{[ 7 ]} ويبدو أن إقليدس نفسه قد اعتبره مختلفًا نوعيًا عن غيره، كما يتضح من تنظيم كتاب الأصول : فقضاياه الثماني والعشرون الأولى هي تلك التي يمكن إثباتها دونه.

يمكن صياغة العديد من البديهيات البديلة التي تُكافئ منطقيًا المسلّمة الموازية (في سياق البديهيات الأخرى). على سبيل المثال، تنص بديهية بلايفير على ما يلي:

في المستوى ، من خلال نقطة لا تقع على خط مستقيم معين، يمكن رسم خط واحد على الأكثر لا يتقاطع أبدًا مع الخط المعطى.

إن عبارة "على الأكثر" هي كل ما هو مطلوب لأنه يمكن إثبات من البديهيات المتبقية أن هناك خطًا موازيًا واحدًا على الأقل.

برهان من كتاب *العناصر* لإقليدس على أنه إذا أعطيت قطعة مستقيمة، فيمكن للمرء أن ينشئ مثلثًا متساوي الأضلاع يشمل القطعة المستقيمة كأحد أضلاعه: يتم إنشاء مثلث متساوي الأضلاع ABΓ عن طريق رسم دائرتين Δ و E مركزهما النقطتين Α و Β، وأخذ تقاطع واحد من الدوائر كرأس ثالث للمثلث.

أساليب الإثبات

الهندسة الإقليدية هندسة بنائية . تؤكد المسلمات 1 و2 و3 و5 وجود وتفرد أشكال هندسية معينة، وهذه التأكيدات ذات طبيعة بنائية: أي أننا لا نكتفي بالقول إن أشياءً معينة موجودة، بل نقدم أيضًا طرقًا لإنشائها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط . ^{[ 8 ]} وبهذا المعنى، تُعد الهندسة الإقليدية أكثر واقعية من العديد من الأنظمة البديهية الحديثة، مثل نظرية المجموعات ، التي غالبًا ما تؤكد وجود الأشياء دون توضيح كيفية إنشائها، أو حتى تؤكد وجود أشياء لا يمكن إنشاؤها ضمن النظرية. ^{[ 9 ]} وبالمعنى الدقيق، فإن الخطوط المرسومة على الورق هي نماذج للأشياء المُعرَّفة ضمن النظام الصوري، وليست حالاتٍ لتلك الأشياء. على سبيل المثال، ليس للخط المستقيم الإقليدي عرض، بينما لأي خط مرسوم حقيقي عرض. مع أن معظم علماء الرياضيات المعاصرين يعتبرون البراهين غير البنائية سليمة تمامًا كالبراهين البنائية، إلا أنها غالبًا ما تُعتبر أقل أناقةً أو بديهيةً أو فائدةً عملية. غالباً ما حلت البراهين البنائية لإقليدس محل البراهين غير البنائية المغلوطة، على سبيل المثال بعض البراهين الفيثاغورية التي افترضت أن جميع الأعداد نسبية، وعادة ما تتطلب عبارة مثل "أوجد أكبر مقياس مشترك لـ ..." ^{[ 10 ]}

كثيراً ما استخدم إقليدس البرهان بالتناقض . ^{[ 11 ]}

الترميز والمصطلحات

تسمية النقاط والأشكال

تُسمى النقاط عادةً باستخدام الأحرف الكبيرة من الأبجدية. أما الأشكال الأخرى، مثل الخطوط والمثلثات والدوائر، فتُسمى بذكر عدد كافٍ من النقاط لتمييزها بوضوح من الشكل ذي الصلة، على سبيل المثال، المثلث ABC هو عادةً مثلث رؤوسه النقاط A وB وC.

الزوايا المتتامة والمتكاملة

الزوايا التي مجموعها زاوية قائمة تُسمى الزوايا المتتامة . تتشكل الزوايا المتتامة عندما يشترك شعاعان في نفس الرأس ويتجهان في اتجاه يقع بين الشعاعين الأصليين اللذين يشكلان الزاوية القائمة. عدد الأشعة الواقعة بين الشعاعين الأصليين لا نهائي.

الزوايا التي مجموعها زاوية مستقيمة تُسمى زوايا متكاملة . تتشكل الزوايا المتكاملة عندما يشترك شعاعان في نفس الرأس ويتجهان في اتجاه يقع بين الشعاعين الأصليين اللذين يشكلان الزاوية المستقيمة (زاوية 180 درجة). عدد الأشعة الواقعة بين الشعاعين الأصليين لا نهائي.

النسخ الحديثة من تدوين إقليدس

في المصطلحات الحديثة، تُقاس الزوايا عادةً بالدرجات أو الراديان .

تُعرّف الكتب المدرسية الحديثة عادةً أشكالًا منفصلة تُسمى الخطوط (غير المحدودة)، والأشعة (شبه غير المحدودة)، والقطع المستقيمة (ذات الطول المحدود). كان إقليدس، بدلًا من مناقشة الشعاع كجسم يمتد إلى ما لا نهاية في اتجاه واحد، يستخدم عادةً عبارات مثل "إذا امتد الخط إلى طول كافٍ"، مع أنه أشار أحيانًا إلى "خطوط غير محدودة". كان "الخط" عند إقليدس إما مستقيمًا أو منحنيًا، وقد استخدم مصطلح "الخط المستقيم" الأكثر تحديدًا عند الضرورة.

بعض النتائج المهمة أو المعروفة

تنص نظرية جسر الحمير أو pons asinorum على أنه في المثلث متساوي الساقين، α = β و γ = δ.
تنص نظرية مجموع زوايا المثلث على أن مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي 180 درجة، كما هو موضح هنا برسم خط يمر عبر أحد رؤوس المثلث موازياً للضلع المقابل.
تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مساحتي المربعين الموجودين على ساقي المثلث القائم الزاوية ( أ و ب ) يساوي مساحة المربع الموجود على الوتر ( ج ).
تنص نظرية طاليس على أنه إذا كان AC قطرًا، فإن الزاوية عند B تكون زاوية قائمة.
تنص نظرية بطليموس على أنه بالنسبة للشكل الرباعي الدائري ABCD، فإن AC·BD = AB·CD + BC·DA.
الأجسام الأفلاطونية الخمسة ، التي يشكل تصنيفها النتيجة الختامية لكتاب العناصر لإقليدس .

بونس أسينوروم

ينصّ مبدأ " جسر الحمير " على أنه في المثلثات متساوية الساقين، تتساوى الزوايا عند القاعدة، وإذا مُدّت الخطوط المستقيمة المتساوية، فإن الزوايا تحت القاعدة تتساوى أيضًا . ^{[ 12 ]} يُعزى هذا المبدأ إلى دوره المتكرر كأول اختبار حقيقي في كتاب " أصول الرياضيات" لقياس ذكاء القارئ، وكجسرٍ للمسائل الأكثر صعوبة التي تليه. وقد يكون سبب تسميته بهذا الاسم أيضًا هو تشابه الشكل الهندسي مع جسر شديد الانحدار لا يستطيع عبوره إلا حمارٌ ذو خطوات ثابتة. ^{[ 13 ]}

تطابق المثلثات

أربعة تكوينات للتطابق: SAS، ASA، AAS، وحالة SSA الغامضة (أسفل اليمين)، والتي يمكن أن تنتج مثلثين متميزين.

الشكلان على اليسار متطابقان؛ والثالث مشابه لهما؛ أما الأخير فليس كذلك. التطابق يغير الموقع والاتجاه ولكنه يحافظ على المسافة والزوايا - وهي خصائص تُعرف بالثوابت .

تكون المثلثات متطابقة إذا استوفت أيًا مما يلي (الكتاب الأول، القضايا 4 و8 و26):

SSS — جميع الجوانب الثلاثة متساوية
SAS — ضلعان والزاوية المحصورة بينهما متساويان
ASA - زاويتان والضلع المحصور بينهما متساويان

المثلثات التي تحتوي على ثلاث زوايا متساوية ( AAA ) متشابهة، ولكنها ليست بالضرورة متطابقة. وبالمثل، فإن وجود ضلعين متساويين وزاوية غير محصورة بينهما ( SSA ) لا يضمن التطابق.

مجموع زوايا المثلث

مجموع زوايا المثلث يساوي زاوية مستقيمة:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

^{[ 14 ]}

وهذا يعني أن المثلث متساوي الأضلاع يحتوي على ثلاث زوايا داخلية قياسها 60 درجة، وأن كل مثلث يحتوي على زاويتين حادتين على الأقل وزاوية واحدة منفرجة أو قائمة على الأكثر .

نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس الشهيرة (الكتاب الأول، القضية 47) على أنه في أي مثلث قائم الزاوية ذي ساقين a و b ووتر c :

a^{2}+b^{2}=c^{2}

مساحة المربع الواقع على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين الواقعين على الضلعين الآخرين.

نظرية طاليس

تنص نظرية طاليس ، التي سميت على اسم طاليس الملطي ، على أنه إذا كانت النقاط A وB وC تقع على دائرة قطرها AC، فإن:

\angle ABC=90^{\circ }

افترض كانتور أن طاليس أثبت ذلك عن طريق كتاب إقليدس الأول، القضية 32، على غرار كتاب إقليدس الثالث، القضية 31. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

نظرية بطليموس

تربط نظرية بطليموس بين أضلاع وأقطار الشكل الرباعي الدائري (الشكل الرباعي المرسوم داخل دائرة). بالنسبة للشكل الرباعي الدائري ABCD:

AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

أي أن حاصل ضرب قطري الشكل يساوي مجموع حاصل ضرب ضلعيه المتقابلين. تُعمم هذه النظرية نظرية فيثاغورس، التي استُعيدت كحالة خاصة عندما يكون الشكل الرباعي الدائري مستطيلاً. استخدم بطليموس، في كتابه المجسطي ، هذه النتيجة لبناء جدول الأوتار ، وهو سلف للجداول المثلثية الحديثة .

الأجسام الأفلاطونية الخمسة

يُخصَّص الكتاب الثالث عشر من كتاب الأصول ، وهو الكتاب الأخير، لبناء وتصنيف المجسمات الأفلاطونية - الهرم الرباعي ، والمكعب ، والهرم الثماني، والهرم الاثني عشري ، والهرم العشري - وكل منها متعدد السطوح محدب، وجوهه عبارة عن مضلعات منتظمة متطابقة تلتقي بنفس الترتيب عند كل رأس. تُبني القضايا من 13 إلى 17 هذه المجسمات الخمسة بالتتابع، ويجد إقليدس لكل منها نسبة قطر الكرة المحيطة بها إلى طول ضلعها. ^{[ 17 ]} وتُجادل القضية 18 بأنه لا يوجد أي متعدد سطوح منتظم محدب آخر. ^{[ 18 ]}

تغيير حجم المساحة والحجم

في المصطلحات الحديثة، تتناسب مساحة الشكل المستوي مع مربع أي من أبعاده الخطية، ويتناسب حجم المجسم مع مكعبه:

A\propto L^{2},\qquad V\propto L^{3}

أثبت إقليدس هذه النتائج في حالات خاصة مختلفة، مثل مساحة الدائرة ^{[ 19 ]} وحجم متوازي المستطيلات. ^{[ 20 ]}^{حدد إقليدس بعض ثوابت التناسب ذات الصلة ،} وليس كلها. فعلى سبيل المثال، أثبت خليفته أرخميدس أن حجم الكرة يساوي ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة بها. [ ^{21 ]}

نظام القياس والحساب

تعتمد الهندسة الإقليدية على نوعين أساسيين من القياسات: الزاوية والمسافة . مقياس الزاوية مطلق، وقد استخدم إقليدس الزاوية القائمة كوحدة أساسية، لذا، على سبيل المثال، تُسمى الزاوية التي قياسها 45 درجة بنصف زاوية قائمة. أما مقياس المسافة فهو نسبي؛ حيث يُختار بشكل اعتباطي قطعة مستقيمة ذات طول غير صفري كوحدة قياس، وتُعبّر المسافات الأخرى نسبةً إليها. يُعبّر عن جمع المسافات بإنشاء هندسي يتم فيه نسخ قطعة مستقيمة إلى نهاية قطعة مستقيمة أخرى لتمديد طولها، وبالمثل بالنسبة للطرح.

تُستمد قياسات المساحة والحجم من المسافات. على سبيل المثال، مساحة مستطيل عرضه 3 وطوله 4 تساوي حاصل ضربهما 12. ولأن هذا التفسير الهندسي للضرب كان محصورًا في ثلاثة أبعاد، لم تكن هناك طريقة مباشرة لتفسير حاصل ضرب أربعة أعداد أو أكثر، وقد تجنب إقليدس مثل هذه العمليات الحسابية، على الرغم من أنها مضمنة، كما في برهان الكتاب التاسع، القضية 20.

يشير إقليدس إلى زوج من الخطوط، أو زوج من الأشكال المستوية أو المجسمة، على أنهما "متساويان" (ἴσος) إذا كانت أطوالهما أو مساحاتهما أو أحجامهما متساوية على التوالي، وينطبق الأمر نفسه على الزوايا. أما مصطلح " متطابق " فهو أقوى، ويشير إلى أن شكلاً كاملاً له نفس الحجم والشكل لشكل آخر. وبالمثل، يكون شكلان متطابقين إذا أمكن وضع أحدهما فوق الآخر بحيث يتطابق معه تمامًا (مع إمكانية قلبه). فعلى سبيل المثال، المستطيل 2×6 والمستطيل 3×4 متساويان ولكنهما ليسا متطابقين، والحرف R متطابق مع صورته المعكوسة. أما الأشكال التي تكون متطابقة لولا اختلاف أحجامها فتُسمى متشابهة . الزوايا المتناظرة في زوج من الأشكال المتشابهة متساوية، والأضلاع المتناظرة متناسبة.

في مجال الهندسة

التصميم والتحليل

تحليل الإجهاد : تحليل الإجهاد - الهندسة الإقليدية محورية في تحديد توزيع الإجهاد في المكونات الميكانيكية، وهو أمر ضروري لضمان السلامة الهيكلية والمتانة .

تصميم التروس : التروس - يعتمد تصميم التروس، وهو عنصر حاسم في العديد من الأنظمة الميكانيكية ، بشكل كبير على الهندسة الإقليدية لضمان شكل السن المناسب والتعشيق لنقل الطاقة بكفاءة .

تصميم المبادلات الحرارية : في الهندسة الحرارية ، تُستخدم الهندسة الإقليدية لتصميم المبادلات الحرارية ، حيث يؤثر الشكل الهندسي بشكل كبير على الكفاءة الحرارية . لمزيد من التفاصيل، انظر المبادلات الحرارية الأنبوبية والصفائحية .

تصميم العدسات : في الهندسة البصرية ، تُعدّ الهندسة الإقليدية أساسية في تصميم العدسات، حيث تحدد الأشكال الهندسية الدقيقة خصائص التركيز . يحلل علم البصريات الهندسية تركيز الضوء بواسطة العدسات والمرايا .

الديناميكيات

تحليل الاهتزازات : الاهتزاز - الهندسة الإقليدية ضرورية في تحليل وفهم الاهتزازات في الأنظمة الميكانيكية ، مما يساعد في تصميم الأنظمة التي يمكنها تحمل هذه الاهتزازات أو استخدامها بفعالية.

تصميم الجناح : تصميم جناح الطائرة - يتضح تطبيق الهندسة الإقليدية في الديناميكا الهوائية في تصميم جناح الطائرة ، والأجنحة الهوائية ، والأجنحة المائية حيث يؤثر الشكل الهندسي بشكل مباشر على خصائص الرفع والسحب .

مدارات الأقمار الصناعية : تساعد الهندسة الإقليدية في حساب مدارات الأقمار الصناعية والتنبؤ بها ، وهو أمر ضروري لنجاح مهمات الفضاء وعمليات الأقمار الصناعية . انظر أيضًا: ديناميكا الفضاء ، والميكانيكا السماوية ، والمدار الإهليلجي .

أنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)

النمذجة ثلاثية الأبعاد : في أنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) ، تُعدّ الهندسة الإقليدية أساسية لإنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد دقيقة للأجزاء الميكانيكية. وتُعدّ هذه النماذج ضرورية لتصوّر التصاميم واختبارها قبل التصنيع .

التصميم والتصنيع : يعتمد جزء كبير من التصنيع بمساعدة الحاسوب (CAM) على الهندسة الإقليدية. تتكون هندسة التصميم في برامج التصميم والتصنيع بمساعدة الحاسوب (CAD/CAM) عادةً من أشكال محددة بمستويات ، وأسطوانات ، ومخاريط ، وحلقات ، وغيرها من الأشكال الإقليدية المشابهة. اليوم، تُعدّ برامج التصميم والتصنيع بمساعدة الحاسوب (CAD/CAM) أساسية في تصميم مجموعة واسعة من المنتجات، من السيارات والطائرات إلى السفن والهواتف الذكية .

تطور ممارسات الرسم الهندسي : تاريخياً، كانت الهندسة الإقليدية المتقدمة، بما في ذلك نظريات مثل نظرية باسكال ونظرية بريانشون ، جزءاً لا يتجزأ من ممارسات الرسم الهندسي. ومع ذلك، مع ظهور أنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب الحديثة، أصبحت هذه المعرفة المتعمقة بهذه النظريات أقل ضرورة في عمليات التصميم والتصنيع المعاصرة.

تصميم الدوائر

تصميم لوحات الدوائر المطبوعة : يعتمد تصميم لوحات الدوائر المطبوعة (PCB) على الهندسة الإقليدية لتحديد مواقع المكونات وتوجيهها بكفاءة، مما يضمن الأداء الأمثل مع الاستخدام الأمثل للمساحة . يُعدّ التخطيط الفعال للمكونات الإلكترونية على لوحات الدوائر المطبوعة أمرًا بالغ الأهمية لتقليل تداخل الإشارات وتحسين أداء الدائرة .

المجالات الكهرومغناطيسية وتدفق السوائل

تصميم الهوائي : تصميم الهوائي - تساعد الهندسة الإقليدية للهوائيات في تصميم الهوائيات، حيث يؤثر الترتيب المكاني والأبعاد بشكل مباشر على أداء الهوائي والمصفوفة في إرسال واستقبال الموجات الكهرومغناطيسية .

نظرية المجال : التدفق الكامن المعقد - في دراسة مجالات التدفق غير اللزج والمجالات الكهرومغناطيسية ، تُساعد الهندسة الإقليدية في تصور وحل مسائل التدفق الكامن . وهذا أمرٌ أساسي لفهم تفاعلات مجال سرعة المائع والمجال الكهرومغناطيسي في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وتتميز العلاقة بينهما بمجال لولبي غير دوراني أو مجال متجه محافظ .

أدوات التحكم

تحليل نظام التحكم : أنظمة التحكم - يساعد تطبيق الهندسة الإقليدية في نظرية التحكم في تحليل وتصميم أنظمة التحكم ، وخاصة في فهم وتحسين استقرار النظام واستجابته .

أدوات الحساب : المصفوفة اليعقوبية - تُعدّ الهندسة الإقليدية أساسية في استخدام المصفوفات اليعقوبية للتحويلات وأنظمة التحكم في كلٍّ من الهندسة الميكانيكية والكهربائية ، إذ تُوفّر رؤىً ثاقبة حول سلوك النظام وخصائصه. تُستخدم المصفوفة اليعقوبية كمصفوفة تصميم خطية في الانحدار الإحصائي ومطابقة المنحنيات ؛ انظر المربعات الصغرى غير الخطية . كما تُستخدم المصفوفة اليعقوبية في المصفوفات العشوائية ، والعزوم ، والإحصاءات ، والتشخيص .

تطبيقات عامة أخرى

نظراً للمكانة الأساسية للهندسة الإقليدية في الرياضيات، فمن غير العملي تقديم أكثر من عينة تمثيلية من التطبيقات هنا.

يستخدم المساح جهاز التسوية
ينطبق مصطلح التعبئة الكروية على كومة من البرتقال .
تعمل المرآة المكافئة على تركيز أشعة الضوء المتوازية.

كما يوحي أصل الكلمة، فإن أحد أقدم أسباب الاهتمام بالهندسة، وأحد أكثر استخداماتها شيوعًا في الوقت الحاضر، هو المسح . ^{[ 22 ]} إضافةً إلى ذلك، استُخدمت الهندسة في الميكانيكا الكلاسيكية ، وفي المناهج المعرفية والحسابية للإدراك البصري للأشياء . وقد استُخدمت بعض النتائج العملية للهندسة الإقليدية (مثل خاصية الزاوية القائمة في المثلث 3-4-5) قبل إثباتها رسميًا بفترة طويلة. ^{[ 23 ]} تُعدّ المسافات والزوايا من أنواع القياسات الأساسية في الهندسة الإقليدية، وكلاهما يُمكن قياسه مباشرةً بواسطة المساح. تاريخيًا، كانت المسافات تُقاس غالبًا بالسلاسل، مثل سلسلة غونتر ، والزوايا باستخدام الدوائر المدرجة، ولاحقًا باستخدام جهاز الثيودوليت .

من تطبيقات الهندسة الفراغية الإقليدية تحديد ترتيبات التعبئة ، مثل مسألة إيجاد التعبئة الأكثر كفاءة للكرات في فضاء ذي أبعاد n. لهذه المسألة تطبيقات في اكتشاف الأخطاء وتصحيحها .

تُستخدم الهندسة في الفن والعمارة.
يتكون برج المياه من مخروط وأسطوانة ونصف كرة. ويمكن حساب حجمه باستخدام الهندسة الفراغية.
يمكن استخدام الهندسة لتصميم فن الأوريغامي.

تُستخدم الهندسة على نطاق واسع في الهندسة المعمارية .

يمكن استخدام الهندسة لتصميم فن طي الورق (الأوريغامي) . بعض مسائل البناء الكلاسيكية في الهندسة يستحيل حلها باستخدام الفرجار والمسطرة ، ولكن يمكن حلها باستخدام فن طي الورق . ^{[ 24 ]}

التاريخ اللاحق

أرخميدس وأبولونيوس

أرخميدس ( حوالي 287 ق.م. - حوالي 212 ق.م. )، شخصية بارزة رُويت عنها العديد من الحكايات التاريخية، يُذكر إلى جانب إقليدس كواحد من أعظم علماء الرياضيات القدماء. ورغم أن إقليدس وضع أسس عمله، إلا أن عمله، على عكس عمل إقليدس، يُعتقد أنه كان أصيلاً تماماً. ^[²⁵^] وقد برهن على معادلات لحساب أحجام ومساحات أشكال مختلفة في بعدين وثلاثة أبعاد، وأعلن خاصية أرخميدس للأعداد المحدودة.

يُعرف أبولونيوس من بيرغا ( حوالي 240 قبل الميلاد - حوالي 190 قبل الميلاد ) بشكل أساسي بدراسته للقطوع المخروطية.

القرن السابع عشر: ديكارت

قام رينيه ديكارت (1596-1650) بتطوير الهندسة التحليلية ، وهي طريقة بديلة لصياغة الهندسة تركز على تحويل الهندسة إلى جبر. ^{[ 26 ]}

في هذا النهج، يتم تمثيل نقطة على مستوى بإحداثياتها الديكارتية ( x ، y )، ويتم تمثيل خط بمعادلته، وهكذا.

في منهج إقليدس الأصلي، تُستنتج نظرية فيثاغورس من بديهيات إقليدس. أما في المنهج الديكارتي، فإن البديهيات هي بديهيات الجبر، والمعادلة التي تعبر عن نظرية فيثاغورس هي تعريف لأحد مصطلحات بديهيات إقليدس، والتي تُعتبر الآن نظريات.

المعادلة

|PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,

إن تعريف المسافة بين نقطتين P = ( p _x , p _y ) و Q = ( q _x , q _y ) يُعرف حينها بالمقياس الإقليدي ، بينما تحدد المقاييس الأخرى الأشكال الهندسية غير الإقليدية .

من حيث الهندسة التحليلية، فإن تقييد الهندسة الكلاسيكية بالإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة يعني التقييد بمعادلات من الدرجة الأولى والثانية، على سبيل المثال، y = 2 x + 1 (خط مستقيم)، أو x ² + y ² = 7 (دائرة).

وفي القرن السابع عشر أيضاً، قدّم جيرار ديزارغ ، مدفوعاً بنظرية المنظور ، مفهوم النقاط والخطوط والمستويات المثالية عند اللانهاية. ويمكن اعتبار هذه النتيجة نوعاً من الهندسة المعممة، أو الهندسة الإسقاطية ، ولكن يمكن استخدامها أيضاً لإنتاج براهين في الهندسة الإقليدية العادية التي يقل فيها عدد الحالات الخاصة. ^{[ 27 ]}

القرن الثامن عشر

عانى علماء الهندسة في القرن الثامن عشر من أجل تحديد حدود النظام الإقليدي. حاول الكثيرون عبثاً إثبات المسلّمة الخامسة من المسلّمات الأربع الأولى. وبحلول عام 1763، نُشر ما لا يقل عن 28 برهاناً مختلفاً، ولكن تبيّن أن جميعها غير صحيحة. ^{[ 28 ]}

قبل هذه الفترة، سعى علماء الهندسة أيضًا إلى تحديد الإنشاءات الممكنة في الهندسة الإقليدية. فعلى سبيل المثال، تُعدّ مسألة تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام الفرجار والمسطرة من المسائل التي تظهر بشكل طبيعي في النظرية، إذ تشير البديهيات إلى العمليات الإنشائية التي يمكن إجراؤها باستخدام هاتين الأداتين. ومع ذلك، باءت محاولاتٌ استمرت قرونًا بالفشل في إيجاد حل لهذه المسألة، إلى أن نشر بيير وانتزل برهانًا عام 1837 يُثبت استحالة هذا الإنشاء. ومن الإنشاءات الأخرى التي ثبت استحالتها مضاعفة المكعب وتربيع الدائرة . في حالة مضاعفة المكعب، تنشأ استحالة الإنشاء من حقيقة أن طريقة الفرجار والمسطرة تتضمن معادلات من رتبتها قوة صحيحة للعدد اثنين، ^{[ 29 ]} بينما تتطلب مضاعفة المكعب حل معادلة من الرتبة الثالثة.

ناقش أويلر تعميمًا للهندسة الإقليدية يسمى الهندسة الأفينية ، والذي يحتفظ بالمسلمة الخامسة دون تعديل مع إضعاف المسلمتين الثالثة والرابعة بطريقة تلغي مفاهيم الزاوية (حيث تصبح المثلثات القائمة بلا معنى) ومساواة طول القطع المستقيمة بشكل عام (حيث تصبح الدوائر بلا معنى) مع الاحتفاظ بمفاهيم التوازي كعلاقة تكافؤ بين الخطوط، ومساواة طول القطع المستقيمة المتوازية (بحيث تستمر القطع المستقيمة في امتلاك نقطة منتصف).

القرن التاسع عشر

في أوائل القرن التاسع عشر، قام كارنو وموبيوس بتطوير استخدام الزوايا الموقعة والقطع المستقيمة بشكل منهجي كوسيلة لتبسيط وتوحيد النتائج. ^[³⁰^]

أبعاد أعلى

في أربعينيات القرن التاسع عشر، طوّر ويليام روان هاميلتون الكواترنيونات ، وطوّر جون تي. غريفز وآرثر كايلي الأوكتونيونات . وهي جبر معياري يُوسّع نطاق الأعداد المركبة . لاحقًا، تبيّن أن الكواترنيونات تُشكّل أيضًا نظامًا هندسيًا إقليديًا بأربعة إحداثيات ديكارتية حقيقية. ^[³¹^] استخدم كايلي الكواترنيونات لدراسة الدوران في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد . ^[³²^]

في منتصف القرن العشرين، وضع لودفيج شلافلي المفهوم العام للفضاء الإقليدي ، موسعًا بذلك الهندسة الإقليدية إلى أبعاد أعلى . وقد عرّف المخططات المتعددة ، التي سُميت لاحقًا بالمضلعات ، وهي نظائر متعددة الأبعاد للمضلعات والمجسمات . كما طور نظريتها واكتشف جميع المضلعات المنتظمة، أي $n$ نظائر ثنائية الأبعاد للمضلعات المنتظمة والأجسام الأفلاطونية . وقد وجد أن هناك ستة متعددات وجوه محدبة منتظمة في البعد الرابع ، وثلاثة في جميع الأبعاد الأعلى.

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4
مجموعة التناظر	أ ₄	ب ₄		F ₄	H ₄
اسم	5 خلايا الهرم الرباعي الفائق ذو الخمس نقاط	16 خلية ثماني الأوجه المفرط ذو 8 نقاط	8 خلايا مكعب فائق ذو 16 نقطة	24 خلية 24 نقطة	600 خلية مجسم ذو عشرين وجهًا فائقًا ذو 120 نقطة	120 خلية مجسم ذو اثني عشر وجهًا فائقًا مكون من 600 نقطة
رمز شلافلي	{3، 3، 3}	{3، 3، 4}	{4، 3، 3}	{3، 4، 3}	{3، 3، 5}	{5، 3، 3}
مرايا كوكسيتر
زوايا ثنائية السطوح معكوسة	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠
الرسم البياني
الرؤوس	5 رباعي الأوجه	8 ثماني الأوجه	16 رباعي الأوجه	24 مكعبًا	120 شكل عشروني الوجوه	600 رباعي الأوجه
الحواف	10 مثلثات	24 مربع	32 مثلثًا	96 مثلثي	720 خماسي الأضلاع	1200 مثلث
وجوه	10 مثلثات	32 مثلثًا	24 مربعًا	96 مثلثًا	1200 مثلث	720 شكل خماسي
الخلايا	5 رباعيات الأوجه	16 رباعي الأوجه	8 مكعبات	24 ثماني السطوح	600 رباعي الأوجه	120 مجسم ذو اثني عشر وجهًا
توري	1 رباعي الأوجه خماسي	2 رباعي الأوجه 8	2 مكعب رباعي	4 ثماني السطوح 6	20 رباعي الأوجه 30	12 مجسم ذو 10 أوجه
منقوش	120 في خلية 120	675 في 120 خلية	2 خلايا 16	3 خلايا ثمانية	25 خلية من نوع 24	10600 خلية
مضلعات رائعة		مربعان × 3	4 مستطيلات × 4	4 أشكال سداسية × 4	12 مضلعًا عشريًا × 6	100 شكل سداسي غير منتظم × 4
مضلعات بيتري	خماسي واحد × 2	1 مثمن × 3	2 مثمنات × 4	2 شكل ذو اثني عشر ضلعًا × 4	4 مضلعات 30 × 6	20 مضلعًا من 30 ضلعًا × 4
نصف قطر كبير	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
طول الحافة	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
نصف قطر قصير	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
منطقة	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
مقدار	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-المحتوى	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

قام شلافلي بهذا العمل في عزلة نسبية ولم يتم نشره بالكامل إلا بعد وفاته في عام 1901. ولم يكن له تأثير يذكر حتى أعيد اكتشافه وتوثيقه بالكامل في عام 1948 بواسطة إتش إس إم كوكسيتر .

في عام ١٨٧٨، قدّم ويليام كينغدون كليفورد ما يُعرف اليوم بالجبر الهندسي ، موحدًا رباعيات هاميلتون مع جبر هيرمان غراسمان ، وكاشفًا عن الطبيعة الهندسية لهذه الأنظمة، لا سيما في أربعة أبعاد. تُؤدي عمليات جبر كليفورد إلى عكس وتدوير ونقل ورسم خرائط للأجسام الهندسية التي يتم نمذجتها إلى مواقع جديدة. يُعدّ طارة كليفورد على سطح الكرة ثلاثية الأبعاد أبسط وأكثر تمثيل مسطح متناظر لحاصل الضرب الديكارتي لدائرتين (بنفس معنى أن سطح الأسطوانة "مسطح").

الهندسة غير الإقليدية

حدث أهم تطور في الهندسة خلال القرن العشرين عندما نشر يانوس بولياي ونيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي ، كلٌ على حدة، حوالي عام 1830، أعمالاً في الهندسة اللاإقليدية ، حيث لا تنطبق مسلمة التوازي. ^{[ 33 ]} ولأن الهندسة اللاإقليدية متسقة نسبياً مع الهندسة الإقليدية، فلا يمكن إثبات مسلمة التوازي من المسلمات الأخرى.

في القرن التاسع عشر، تبيّن أيضًا أن بديهيات إقليدس العشر ومفاهيمه العامة لا تكفي لإثبات جميع النظريات الواردة في كتاب الأصول . فعلى سبيل المثال، افترض إقليدس ضمنيًا أن أي خط مستقيم يحتوي على نقطتين على الأقل، لكن هذا الافتراض لا يمكن إثباته من البديهيات الأخرى، وبالتالي يجب أن يكون بديهية بحد ذاته. أول برهان هندسي في كتاب الأصول، كما هو موضح في الشكل أعلاه، هو أن أي قطعة مستقيمة جزء من مثلث؛ وقد أنشأ إقليدس هذا البرهان بالطريقة المعتادة، برسم دوائر حول طرفي الخط المستقيم واعتبار نقطة تقاطعهما الرأس الثالث . مع ذلك، لا تضمن بديهياته تقاطع الدوائر فعليًا، لأنها لا تؤكد خاصية الاستمرارية الهندسية، والتي تُعادل في المصطلحات الديكارتية خاصية اكتمال الأعداد الحقيقية. ابتداءً من موريتز باش في عام 1882 ^، تم اقتراح العديد من الأنظمة البديهية المحسنة للهندسة، وأشهرها أنظمة هيلبرت ، ^{[ 34 ]} وجورج بيركوف ، ^{[ 35 ]} وتارسكي . ^[³⁶ ]

القرن العشرون والنسبية

تتضمن نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين فضاءً-زمنياً رباعي الأبعاد ، هو فضاء مينكوفسكي ، وهو فضاء غير إقليدي . وهذا يدل على أن الهندسات غير الإقليدية، التي طُرحت قبل بضع سنوات لإثبات استحالة إثبات مسلمة التوازي ، مفيدة أيضاً في وصف العالم الفيزيائي.

مع ذلك، يظل الجزء المكاني ثلاثي الأبعاد من فضاء مينكوفسكي فضاءً للهندسة الإقليدية. وهذا ليس هو الحال في النسبية العامة ، حيث لا تكون هندسة الجزء المكاني من الزمكان هندسة إقليدية. ^{[ 37 ]} على سبيل المثال، إذا تم إنشاء مثلث من ثلاثة أشعة ضوئية، فإن مجموع زواياه الداخلية لا يساوي 180 درجة بسبب الجاذبية. يُمثَّل مجال الجاذبية الضعيف نسبيًا، مثل مجال جاذبية الأرض أو الشمس، بمقياس تقريبي، ولكنه ليس إقليديًا تمامًا. حتى القرن العشرين، لم تكن هناك تقنية قادرة على رصد هذه الانحرافات في أشعة الضوء عن الهندسة الإقليدية، لكن آينشتاين تنبأ بوجود مثل هذه الانحرافات. وقد تم التحقق منها لاحقًا من خلال ملاحظات مثل الانحناء الطفيف لضوء النجوم بفعل الشمس أثناء كسوف الشمس عام 1919، وأصبحت هذه الاعتبارات الآن جزءًا لا يتجزأ من البرمجيات التي تُشغِّل نظام تحديد المواقع العالمي (GPS ) . ^{[ 38 ]}

كوصف لبنية الفضاء

اعتقد إقليدس أن بديهياته عبارات بديهية عن الواقع المادي. وتعتمد براهين إقليدس على افتراضات ربما لم تكن واضحة في بديهياته الأساسية، ^{[ 39 ]} ولا سيما أن بعض حركات الأشكال لا تُغير خصائصها الهندسية، مثل أطوال الأضلاع والزوايا الداخلية، وهي ما يُسمى بالحركات الإقليدية ، والتي تشمل الانتقالات والانعكاسات والدورانات. ^{[ 40 ]} وباعتبارها وصفًا ماديًا للفضاء، تنص الفرضية الثانية (تمديد الخط) على أن الفضاء لا يحتوي على ثقوب أو حدود؛ وتنص الفرضية الرابعة (تساوي الزوايا القائمة) على أن الفضاء متجانس الخواص، ويمكن نقل الأشكال إلى أي مكان مع الحفاظ على تطابقها ؛ وتنص الفرضية الخامسة ( فرضية التوازي ) على أن الفضاء مسطح (ليس له انحناء جوهري ). ^{[ 41 ]}

كما نوقش أعلاه، فإن نظرية النسبية لألبرت أينشتاين تعدل هذا الرأي بشكل كبير.

إن الطبيعة الغامضة للمسلمات كما صاغها إقليدس في الأصل تجعل من الممكن أن يختلف المعلقون حول بعض دلالاتها الأخرى على بنية الفضاء، مثل ما إذا كان لانهائيًا أم لا ^{[ 42 ]} (انظر أدناه) وما هي طوبولوجيته . وتهدف إعادة الصياغات الحديثة والأكثر دقة للنظام ^{[ 43 ]} عادةً إلى فصل هذه المسائل بشكل أوضح. وبتفسير مسلمات إقليدس وفقًا لهذا النهج الحديث، فإن المسلمات من 1 إلى 4 تتوافق مع الفضاء اللانهائي أو المحدود (كما في الهندسة الإهليلجية )، وتتوافق المسلمات الخمس جميعها مع مجموعة متنوعة من الطوبولوجيات (مثل المستوى، أو الأسطوانة، أو الحلقة في الهندسة الإقليدية ثنائية الأبعاد).

معالجة اللانهاية

كائنات لا نهائية

ميّز إقليدس أحيانًا صراحةً بين "الخطوط المحدودة" (مثلًا، المسلّمة 2) و" الخطوط غير المحدودة " (الكتاب الأول، القضية 12). مع ذلك، لم يكن يُجري مثل هذه التمييزات عادةً إلا عند الضرورة. لا تُشير المسلّمات صراحةً إلى الخطوط غير المحدودة، مع أن بعض الشراح، على سبيل المثال، يُفسّرون المسلّمة 3، وهي وجود دائرة بأي نصف قطر، على أنها تُشير إلى أن الفضاء غير محدود. ^{[ 42 ]}

سبق أن ناقشت المدرسة الإيليتية مفهوم الكميات المتناهية الصغر باستفاضة ، لكن لم يتمكن أحد من وضعها على أساس منطقي متين، إذ ظهرت مفارقات مثل مفارقة زينون التي لم تُحل حلاً مُرضياً للجميع. استخدم إقليدس طريقة الاستنفاد بدلاً من الكميات المتناهية الصغر. ^[⁴⁴^]

تناول بعض المعلقين القدماء اللاحقين، مثل بروكلس (410-485 م)، العديد من المسائل المتعلقة باللانهاية باعتبارها قضايا تتطلب برهاناً، فعلى سبيل المثال، ادعى بروكلس أنه أثبت قابلية الخط للقسمة إلى ما لا نهاية، استناداً إلى برهان بالتناقض حيث نظر في حالتي الأعداد الزوجية والفردية من النقاط المكونة له. ^{[ 45 ]}

في مطلع القرن العشرين، قدّم أوتو ستولز ، وبول دو بوا-ريموند ، وجوزيبي فيرونيز ، وآخرون أعمالاً مثيرة للجدل حول نماذج غير أرخميدية للهندسة الإقليدية، حيث قد تكون المسافة بين نقطتين لانهائية أو متناهية الصغر، وفقًا لمفهوم نيوتن - لايبنتز . ^{[ 46 ]} وبعد خمسين عامًا، وضع أبراهام روبنسون أساسًا منطقيًا متينًا لأعمال فيرونيز. ^{[ 47 ]}

عمليات لا نهائية

ربما اعتبر علماء الهندسة القدماء مسلمة التوازي - التي تنص على أن خطين متوازيين لا يتقاطعان أبدًا - أقل يقينًا من المسلمات الأخرى لأنها تتحدث عن مناطق بعيدة جدًا في الفضاء، وبالتالي لا يمكن التحقق منها ماديًا. ^{[ 48 ]}

لم يتم تطوير الصيغة الحديثة للبرهان بالاستقراء حتى القرن السابع عشر، لكن بعض المعلقين اللاحقين يعتبرونها ضمنية في بعض براهين إقليدس، على سبيل المثال، برهان لانهائية الأعداد الأولية. ^{[ 49 ]}

سبقت المفارقات المفترضة التي تتضمن متسلسلات لانهائية، مثل مفارقة زينون ، إقليدس. تجنب إقليدس مثل هذه المناقشات، فقد قدم، على سبيل المثال، صيغة المجاميع الجزئية للمتسلسلة الهندسية في الفصل التاسع، الفقرة 35، دون التعليق على إمكانية جعل عدد الحدود لانهائيًا.

الأساس المنطقي

المنطق الكلاسيكي

استخدم إقليدس بكثرة طريقة البرهان بالتناقض ، ولذلك يفترض العرض التقليدي للهندسة الإقليدية المنطق الكلاسيكي ، حيث تكون كل قضية إما صحيحة أو خاطئة، أي أنه لأي قضية P، تكون القضية "P أو لا P" صحيحة تلقائيًا. ^{[ 50 ]} يعتمد البرهان بالتناقض (أو طريقة الإثبات بالخلف ) على مبدأين أساسيين من مبادئ المنطق الكلاسيكي: قانون التناقض وقانون الوسط المرفوع . ببساطة، ينص قانون التناقض على أنه إذا كانت S عبارة ما، فلا يمكن أن تتحقق S وتناقضها (أي نفيها) معًا . وينص قانون الوسط المرفوع على أنه يجب أن تتحقق إما S أو نفيها (أي لا يوجد احتمال ثالث، أو وسط). لذلك، تتكون هذه الطريقة من افتراض (على سبيل الفرضية) أن القضية المراد إثباتها خاطئة. إذا ترتب على ذلك تناقض، يستنتج المرء أن الفرضية غير قابلة للدفاع وأن القضية الأصلية يجب أن تكون صحيحة. ^{[ 51 ]}

معايير الصرامة الحديثة

كان وضع الهندسة الإقليدية على أساس بديهي متين شاغلاً للرياضيين لقرون. ^{[ 52 ]} وقد طرح أليساندرو بادوا، من وفد بيانو في مؤتمر باريس عام 1900، دور المفاهيم الأولية ، أو المفاهيم غير المحددة، بشكل واضح: ^[⁵²^]^[⁵³^]

...عندما نبدأ في صياغة النظرية، يمكننا أن نتخيل أن الرموز غير المحددة خالية تمامًا من المعنى وأن القضايا غير المثبتة هي مجرد شروط مفروضة على الرموز غير المحددة.
إذن، فإن نظام الأفكار الذي اخترناه في البداية ليس سوى تفسير واحد للرموز غير المحددة؛ ولكن... يمكن للقارئ تجاهل هذا التفسير، فهو حر في استبداله في ذهنه بتفسير آخر ... يفي بالشروط...
وبذلك تصبح الأسئلة المنطقية مستقلة تماماً عن الأسئلة التجريبية أو النفسية ...
يمكن اعتبار نظام الرموز غير المحددة بمثابة التجريد الناتج عن النظريات المتخصصة التي تنتج عندما... يتم استبدال نظام الرموز غير المحددة تباعاً بكل تفسير من التفسيرات...

— بادوا، مقال عن نظرية جبرية لعدد كامل، مع مقدمة منطقية لنظرية استنتاجية واحدة

أي أن الرياضيات معرفة مستقلة عن السياق ضمن إطار هرمي. كما قال برتراند راسل : ^{[ 54 ]}

إذا كانت فرضيتنا تتعلق بأي شيء ، وليس بشيء أو أكثر من الأشياء المحددة، فإن استنتاجاتنا تُشكل الرياضيات. وبالتالي، يمكن تعريف الرياضيات بأنها المجال الذي لا نعرف فيه أبدًا ما نتحدث عنه، ولا ما إذا كان ما نقوله صحيحًا أم لا.

— برتراند راسل، الرياضيات والميتافيزيقيون

الصيغ البديهية

الهندسة هي علم الاستدلال الصحيح على الأشكال غير الصحيحة.

— جورج بوليا ، كيف تحلها ، ص 208

بديهيات إقليدس: في أطروحته المقدمة إلى كلية ترينيتي بجامعة كامبريدج، لخص برتراند راسل الدور المتغير لهندسة إقليدس في أذهان الفلاسفة حتى ذلك الحين. ^{[ 55 ]} كان الأمر بمثابة صراع بين المعرفة اليقينية، المستقلة عن التجربة، والتجريبية، التي تتطلب مدخلات تجريبية. وقد اتضحت هذه المسألة عندما اكتُشف أن مسلمة التوازي ليست بالضرورة صحيحة، وأن قابليتها للتطبيق مسألة تجريبية، تحدد ما إذا كانت الهندسة المطبقة إقليدية أم غير إقليدية .
بديهيات هيلبرت : كان الهدف من بديهيات هيلبرت هو تحديد مجموعة بسيطة وكاملة من البديهيات المستقلة التي يمكن من خلالها استنتاج أهم النظريات الهندسية. وكانت الأهداف الرئيسية هي جعل الهندسة الإقليدية دقيقة (بتجنب الافتراضات الضمنية) وتوضيح تبعات مسلمة التوازي.
مسلمات بيركوف : اقترح بيركوف أربع مسلمات للهندسة الإقليدية يمكن التحقق منها تجريبياً باستخدام المقياس والمنقلة. يعتمد هذا النظام بشكل كبير على خصائص الأعداد الحقيقية . ^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}^{[ 58 ]} وتصبح مفاهيم الزاوية والمسافة مفاهيم أساسية. ^[⁵⁹^]
بديهيات تارسكي : عرّف ألفريد تارسكي (1902-1983) وطلابه الهندسة الإقليدية الابتدائية بأنها الهندسة التي يمكن التعبير عنها بمنطق الرتبة الأولى ولا تعتمد على نظرية المجموعات كأساس منطقي لها، ^{[ 60 ]} على عكس بديهيات هيلبرت التي تتضمن مجموعات النقاط. ^{[ 61 ]} أثبت تارسكي أن صياغته البديهية للهندسة الإقليدية الابتدائية متسقة وكاملة بمعنى ما : إذ توجد خوارزمية يمكن من خلالها إثبات صحة أو خطأ كل قضية. ^{[ 36 ]} (لا يخالف هذا نظرية غودل ، لأن الهندسة الإقليدية لا تستطيع وصف قدر كافٍ من العمليات الحسابية لتطبيق النظرية. ^{[ 62 ]} ) وهذا يُكافئ قابلية حسم الحقول المغلقة الحقيقية ، التي تُعد الهندسة الإقليدية الابتدائية نموذجًا لها.

انظر أيضاً

النظريات الكلاسيكية

ملحوظات

1 2 حواء 1963 ، ص. 19 .
↑ إيفز 1963 ، ص 10 .
↑ ميسنر، ثورن، وويلر (1973)، ص 47.
↑ تُناقش افتراضات إقليدس من منظور حديث في كتاب هارولد إي. وولف (2007). مقدمة في الهندسة غير الإقليدية . دار ميل للنشر. ص 9. ISBN 978-1-4067-1852-2.
↑ ترجمة هيث، الصفحات 195-202.
↑ فينيما، جيرارد أ. (2006)، أسس الهندسة ، برنتيس هول، ص 8، ISBN 978-0-13-143700-5.
↑ فلورنس ب. لويس (يناير 1920)، "تاريخ مسلمة التوازي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 27 (1)، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، المجلد 27، العدد 1: 16-23 ، doi : 10.2307/2973238 ، JSTOR 2973238 .
↑ الكرة، ص 56.
↑ في ظل افتراضات إقليدس، من السهل نسبيًا إيجاد صيغة لحساب مساحة المثلثات والمربعات. مع ذلك، في سياق أعم كعلم المجموعات، ليس من السهل إثبات أن مساحة المربع تساوي مجموع مساحات أجزائه، على سبيل المثال. انظر قياس لوبيغ ومفارقة باناخ-تارسكي .
↑ دانيال شانكس (2002). مسائل محلولة وغير محلولة في نظرية الأعداد . الجمعية الرياضية الأمريكية.
↑ مانكوسو، باولو (1991). "حول وضع البراهين بالتناقض في القرن السابع عشر". سينثيز . 88 (1): 15-41 . doi : 10.1007/BF00540091 . JSTOR 20116923 .
↑ إقليدس، الكتاب الأول، القضية 5، ترجمة هيث، ص 251.
↑ متجاهلاً الصعوبة المزعومة للكتاب الأول، القضية الخامسة، يذكر السير توماس ل. هيث تفسيراً آخر. يستند هذا التفسير إلى تشابه الخطوط المستقيمة السفلية للشكل مع جسر شديد الانحدار يمكن للحمار عبوره، لكن لا يمكن للحصان ذلك: "لكن هناك رأي آخر (كما علمت مؤخراً) يُشيد بالحمار أكثر. وهو أن شكل القضية يشبه شكل جسر خشبي، مع منحدر في كل طرف، ويكون أكثر عملية كلما كان الشكل أكثر استواءً، فالجسر بحيث لا يستطيع الحصان تجاوز المنحدر، بينما يستطيع الحمار ذلك؛ بعبارة أخرى، يُقصد بالمصطلح الإشارة إلى ثبات قدم الحمار وليس إلى أي نقص في ذكائه." (في "Excursis II"، المجلد الأول من ترجمة هيث لكتاب العناصر الثلاثة عشر ).
↑ إقليدس، الكتاب الأول، القضية 32.
↑ هيث، ص 135. مقتطف من الصفحة 135 .
↑ هيث، ص 318.
↑ إقليدس، الكتاب الثالث عشر، القضايا 13-17.
↑ إقليدس، الكتاب الثالث عشر، القضية 18.
↑ إقليدس، الكتاب الثاني عشر، القضية 2.
↑ إقليدس، الكتاب الحادي عشر، القضية 33.
↑ الكرة، ص 66.
↑ الكرة، ص 5.
↑ حواء، المجلد 1، ص 5؛ ملودينو، ص 7.
↑ هول، توم . "فن طي الورق والإنشاءات الهندسية" . تم الاسترجاع في 2025-04-08 .
↑ حواء، ص 27.
↑ الكرة، ص 268 وما بعدها.
↑ حواء (1963).
↑ هوفستاتر 1979، ص 91.
↑ النظرية 120، عناصر الجبر المجرد، آلان كلارك، دوفر، رقم ISBN 0-486-64725-0.
↑ حواء (1963)، ص 64.
↑ ستيلويل 2001 ، ص 18-21؛ في الهندسة الإقليدية رباعية الأبعاد، الكواترنيون هو ببساطة إحداثية ديكارتية (w, x, y, z).لم ينظر هاميلتون إليها على هذا النحو عندما اكتشف الكواترنيونات . كان شلافلي أول من درس الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، حيث نشر اكتشافه للمخططات المتعددة المنتظمة عام 1852، لكن هاميلتون لم يتأثر بهذا العمل، الذي ظل غامضًا حتى القرن العشرين. اكتشف هاميلتون الكواترنيونات عندما أدرك أن البعد الرابع، بمعنى ما، ضروري لنمذجة الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد. على الرغم من أنه وصف الكواترنيون بأنه مضاعف مرتب لأربعة عناصر من الأعداد الحقيقية ، إلا أن الكواترنيونات كانت بالنسبة له امتدادًا للأعداد المركبة، وليست فضاءً إقليديًا رباعي الأبعاد.
↑ بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ؛ "في الواقع، يجب أن نشكر كايلي على التطوير الصحيح للأكوان الرباعية كتمثيل للدوران."
↑ بول، ص 485.
↑
- هوارد إيفز ، 1997 (1958). أسس ومفاهيم الرياضيات الأساسية . دوفر.
↑ بيركوف، جي دي ، 1932، "مجموعة من المسلمات للهندسة المستوية (على أساس المقياس والمنقلات)"، حوليات الرياضيات 33.
1 2 تارسكي (1951).
↑ ميسنر، ثورن، وويلر (1973)، ص 191.
↑ ريزوس، كريس. جامعة نيو ساوث ويلز . إشارات الأقمار الصناعية لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS). مؤرشفة بتاريخ 12-06-2010 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ). 1999.
↑ ريتشارد ج. ترودو (2008). "مسلمات إقليدس" . الثورة اللاإقليدية . بيركهاوزر. ص 39 وما بعدها . ISBN 978-0-8176-4782-7.
↑ انظر على سبيل المثال: لوتشيانو دا فونتورا كوستا؛ روبرتو ماركونديس سيزار (2001). تحليل الشكل وتصنيفه: النظرية والتطبيق . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 314. ردمك 0-8493-3493-4.وهيلموت بوتمان؛ يوهانس فالنر (2010). هندسة الخط الحسابية . سبرينغر. ص. 60. ردمك 978-3-642-04017-7.تُشكّل مجموعة الحركات أساس المفاهيم المترية للهندسة. انظر: فيليكس كلاين (2004). الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة (طبعة مُعاد طباعتها من طبعة شركة ماكميلان لعام 1939 ). كوريير دوفر. ص 167. ISBN 0-486-43481-8.
↑ روجر بنروز (2007). الطريق إلى الواقع: دليل شامل لقوانين الكون . دار فينتج للنشر. ص 29. ISBN 978-0-679-77631-4.
1 2 هيث، ص 200.
↑ على سبيل المثال، تارسكي (1951).
↑ الكرة، ص 31.
↑ هيث، ص 268.
↑ جوزيبي فيرونيز، في الهندسة غير الأرخميدية، 1908. الترجمة الإنجليزية في الأعداد الحقيقية، وتعميمات الأعداد الحقيقية، ونظريات المتصلات، تحرير فيليب إيرليخ، كلوير، 1994.
↑ روبنسون، أبراهام (1966). التحليل غير القياسي.
↑ ناجل ونيومان، 1958، ص 9.
↑ كاجوري (1918)، ص 197.
↑ ماثيوز، بيني (2019). علم السكون والهندسة التحليلية ( الطبعة الأولى). إيدتك (نُشر في 21 يونيو 2019). ص 27. ISBN 9781839473333.
↑ إيفز، هوارد ويتلي (1997). أسس ومفاهيم الرياضيات الأساسية . كتب دوفر في الرياضيات ( الطبعة الثالثة). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص 55. ISBN 978-0-486-69609-6.
١ ٢ يمكن الاطلاع على مناقشة مفصلة في كتاب جيمس ت. سميث (٢٠٠٠). "الفصل ٢: الأسس" . مناهج الهندسة . وايلي. ص ١٩ وما بعدها . ISBN 0-471-25183-6.
^ مراجعة الميتافيزيقا والأخلاق، المجلد 8 . هاشيت. 1900. ص. 592.
↑ برتراند راسل (2000). "الرياضيات والميتافيزيقيون" . في جيمس روي نيومان (محرر). عالم الرياضيات . المجلد 3 (إعادة طبع طبعة سيمون وشوستر 1956 ). منشورات كوريير دوفر. ص 1577. ISBN 0-486-41151-6.
↑ برتراند راسل (1897). "مقدمة". مقال في أسس الهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج.
↑ جورج ديفيد بيركوف؛ رالف بياتلي (1999). "الفصل الثاني: المبادئ الأساسية الخمسة" . الهندسة الأساسية ( الطبعة الثالثة). مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 38 وما بعدها . ISBN 0-8218-2101-6.
↑ جيمس ت. سميث (10 يناير 2000). "الفصل 3: الهندسة الإقليدية الابتدائية" . مرجع . جون وايلي وأولاده. ص 84 وما بعدها . ISBN 9780471251835.
↑ إدوين إي. مويس (1990). الهندسة الابتدائية من منظور متقدم ( الطبعة الثالثة). أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-50867-2.
↑ جون ر. سيلفستر (2001). "§1.4 هيلبرت وبيركوف" . الهندسة: القديمة والحديثة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-850825-5.
↑ ألفريد تارسكي (2007). "ما هي الهندسة الابتدائية؟" . في ليون هينكين؛ باتريك سوبس؛ ألفريد تارسكي (محررون). دراسات في المنطق وأسس الرياضيات - المنهج البديهي مع إشارة خاصة إلى الهندسة والفيزياء (وقائع الندوة الدولية في بيركلي 1957-1958؛ طبعة معاد طباعتها ). دار بروير للنشر. ص 16. ISBN 978-1-4067-5355-4نعتبر ذلك الجزء من الهندسة الإقليدية الذي يمكن صياغته وإثباته دون الاستعانة بأي أدوات نظرية المجموعات، جزءًا أساسيًا .
↑ كيث سيمونز (2009). "منطق تارسكي" . في دوف م. غاباي؛ جون وودز (محرران). المنطق من راسل إلى تشيرش . إلسيفير. ص 574. ISBN 978-0-444-51620-6.
↑ فرانزين، توركيل (2005). نظرية غودل: دليل غير مكتمل لاستخدامها وإساءة استخدامها. إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-238-8الصفحات 25-26.

مراجع

بول، دبليو دبليو راوس (1960). نبذة مختصرة عن تاريخ الرياضيات (الطبعة الرابعة [إعادة طبع. النشر الأصلي: لندن: ماكميلان وشركاه، 1908] ). نيويورك: منشورات دوفر. الصفحات 50-62 . ISBN 0-486-20630-0.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كوكسيتر، إتش إس إم (1961). مقدمة في الهندسة . نيويورك: وايلي.
إيفز، هوارد (1963). مسح في الهندسة (المجلد الأول) . ألين وبيكون.
هيث، توماس ل. (1956). الكتب الثلاثة عشر من أصول إقليدس (الطبعة الثانية [نسخة طبق الأصل. النشر الأصلي: مطبعة جامعة كامبريدج، 1925] ). نيويورك: منشورات دوفر.في 3 مجلدات: المجلد 1 ISBN 0-486-60088-2المجلد 2 ، رقم ISBN 0-486-60089-0المجلد 3 ، رقم ISBN 0-486-60090-4. ترجمة هيث الموثوقة لكتاب أصول إقليدس، بالإضافة إلى بحثه التاريخي الواسع وتعليقاته المفصلة في جميع أنحاء النص.
ميسنر، تشارلز دبليو .؛ ثورن، كيب إس.؛ ويلر ، جون أرشيبالد (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان.
ملودينو (2001). نافذة إقليدس . دار النشر الحرة. رقم ISBN 9780684865232.
ناجل، إي.؛ نيومان، جيه آر (1958). برهان غودل . مطبعة جامعة نيويورك.
تارسكي، ألفريد (1951). طريقة اتخاذ القرار للجبر والهندسة الابتدائية . مطبعة جامعة كاليفورنيا.
ستيلويل، جون (يناير 2001). "قصة الخلية ذات 120 خلية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 48 (1): 17-25 .
بيريز-غراسيا، ألبا؛ توماس، فيديريكو (2017). "حول تحليل كايلي للدوران رباعي الأبعاد وتطبيقاته" (ملف PDF) . مجلة التقدم في الجبر التطبيقي لكليفورد . 27 : 523-538 . doi : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .

روابط خارجية

"الهندسة الإقليدية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
"علم المثلثات المستوية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
كيران كيدلايا، الهندسة غير المقيدة، مؤرشفة بتاريخ 26-10-2011 في Wayback Machine (معالجة باستخدام الهندسة التحليلية؛ بتنسيق PDF، مرخصة بموجب GFDL)

[eves1_19-1] 1 2 حواء 1963 ، ص. 19 .

[2] إيفز 1963 ، ص 10 .

[3] ميسنر، ثورن، وويلر (1973)، ص 47.

[Wolfe-4] تُناقش افتراضات إقليدس من منظور حديث في كتاب هارولد إي. وولف (2007). مقدمة في الهندسة غير الإقليدية . دار ميل للنشر. ص 9. ISBN 978-1-4067-1852-2.

[5] ترجمة هيث، الصفحات 195-202.

[6] فينيما، جيرارد أ. (2006)، أسس الهندسة ، برنتيس هول، ص 8، ISBN 978-0-13-143700-5.

[7] فلورنس ب. لويس (يناير 1920)، "تاريخ مسلمة التوازي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 27 (1)، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، المجلد 27، العدد 1: 16-23 ، doi : 10.2307/2973238 ، JSTOR 2973238 .

[8] الكرة، ص 56.

[set_theory-9] في ظل افتراضات إقليدس، من السهل نسبيًا إيجاد صيغة لحساب مساحة المثلثات والمربعات. مع ذلك، في سياق أعم كعلم المجموعات، ليس من السهل إثبات أن مساحة المربع تساوي مجموع مساحات أجزائه، على سبيل المثال. انظر قياس لوبيغ ومفارقة باناخ-تارسكي .

[10] دانيال شانكس (2002). مسائل محلولة وغير محلولة في نظرية الأعداد . الجمعية الرياضية الأمريكية.

[11] مانكوسو، باولو (1991). "حول وضع البراهين بالتناقض في القرن السابع عشر". سينثيز . 88 (1): 15-41 . doi : 10.1007/BF00540091 . JSTOR 20116923 .

[12] إقليدس، الكتاب الأول، القضية 5، ترجمة هيث، ص 251.

[13] متجاهلاً الصعوبة المزعومة للكتاب الأول، القضية الخامسة، يذكر السير توماس ل. هيث تفسيراً آخر. يستند هذا التفسير إلى تشابه الخطوط المستقيمة السفلية للشكل مع جسر شديد الانحدار يمكن للحمار عبوره، لكن لا يمكن للحصان ذلك: "لكن هناك رأي آخر (كما علمت مؤخراً) يُشيد بالحمار أكثر. وهو أن شكل القضية يشبه شكل جسر خشبي، مع منحدر في كل طرف، ويكون أكثر عملية كلما كان الشكل أكثر استواءً، فالجسر بحيث لا يستطيع الحصان تجاوز المنحدر، بينما يستطيع الحمار ذلك؛ بعبارة أخرى، يُقصد بالمصطلح الإشارة إلى ثبات قدم الحمار وليس إلى أي نقص في ذكائه." (في "Excursis II"، المجلد الأول من ترجمة هيث لكتاب العناصر الثلاثة عشر ).

[14] إقليدس، الكتاب الأول، القضية 32.

[15] هيث، ص 135. مقتطف من الصفحة 135 .

[16] هيث، ص 318.

[17] إقليدس، الكتاب الثالث عشر، القضايا 13-17.

[18] إقليدس، الكتاب الثالث عشر، القضية 18.

[19] إقليدس، الكتاب الثاني عشر، القضية 2.

[20] إقليدس، الكتاب الحادي عشر، القضية 33.

[21] الكرة، ص 66.

[22] الكرة، ص 5.

[23] حواء، المجلد 1، ص 5؛ ملودينو، ص 7.

[24] هول، توم . "فن طي الورق والإنشاءات الهندسية" . تم الاسترجاع في 2025-04-08 .

[25] حواء، ص 27.

[26] الكرة، ص 268 وما بعدها.

[27] حواء (1963).

[28] هوفستاتر 1979، ص 91.

[29] النظرية 120، عناصر الجبر المجرد، آلان كلارك، دوفر، رقم ISBN 0-486-64725-0.

[30] حواء (1963)، ص 64.

[FOOTNOTEStillwell200118–21-31] ستيلويل 2001 ، ص 18-21؛ في الهندسة الإقليدية رباعية الأبعاد، الكواترنيون هو ببساطة إحداثية ديكارتية (w, x, y, z).لم ينظر هاميلتون إليها على هذا النحو عندما اكتشف الكواترنيونات . كان شلافلي أول من درس الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، حيث نشر اكتشافه للمخططات المتعددة المنتظمة عام 1852، لكن هاميلتون لم يتأثر بهذا العمل، الذي ظل غامضًا حتى القرن العشرين. اكتشف هاميلتون الكواترنيونات عندما أدرك أن البعد الرابع، بمعنى ما، ضروري لنمذجة الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد. على الرغم من أنه وصف الكواترنيون بأنه مضاعف مرتب لأربعة عناصر من الأعداد الحقيقية ، إلا أن الكواترنيونات كانت بالنسبة له امتدادًا للأعداد المركبة، وليست فضاءً إقليديًا رباعي الأبعاد.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas2017-32] بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ؛ "في الواقع، يجب أن نشكر كايلي على التطوير الصحيح للأكوان الرباعية كتمثيل للدوران."

[33] بول، ص 485.

[34] 
هوارد إيفز ، 1997 (1958). أسس ومفاهيم الرياضيات الأساسية . دوفر.

[mwBQI] هوارد إيفز ، 1997 (1958). أسس ومفاهيم الرياضيات الأساسية . دوفر.

[35] بيركوف، جي دي ، 1932، "مجموعة من المسلمات للهندسة المستوية (على أساس المقياس والمنقلات)"، حوليات الرياضيات 33.

[Tarski_1951-36] 1 2 تارسكي (1951).

[37] ميسنر، ثورن، وويلر (1973)، ص 191.

[38] ريزوس، كريس. جامعة نيو ساوث ويلز . إشارات الأقمار الصناعية لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS). مؤرشفة بتاريخ 12-06-2010 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ). 1999.

[Trudeau-39] ريتشارد ج. ترودو (2008). "مسلمات إقليدس" . الثورة اللاإقليدية . بيركهاوزر. ص 39 وما بعدها . ISBN 978-0-8176-4782-7.

[Euclidean_Motion-40] انظر على سبيل المثال: لوتشيانو دا فونتورا كوستا؛ روبرتو ماركونديس سيزار (2001). تحليل الشكل وتصنيفه: النظرية والتطبيق . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 314. ردمك 0-8493-3493-4.وهيلموت بوتمان؛ يوهانس فالنر (2010). هندسة الخط الحسابية . سبرينغر. ص. 60. ردمك 978-3-642-04017-7.تُشكّل مجموعة الحركات أساس المفاهيم المترية للهندسة. انظر: فيليكس كلاين (2004). الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة (طبعة مُعاد طباعتها من طبعة شركة ماكميلان لعام 1939 ). كوريير دوفر. ص 167. ISBN 0-486-43481-8.

[Penrose-41] روجر بنروز (2007). الطريق إلى الواقع: دليل شامل لقوانين الكون . دار فينتج للنشر. ص 29. ISBN 978-0-679-77631-4.

[Heath,_p._200-42] 1 2 هيث، ص 200.

[43] على سبيل المثال، تارسكي (1951).

[44] الكرة، ص 31.

[45] هيث، ص 268.

[46] جوزيبي فيرونيز، في الهندسة غير الأرخميدية، 1908. الترجمة الإنجليزية في الأعداد الحقيقية، وتعميمات الأعداد الحقيقية، ونظريات المتصلات، تحرير فيليب إيرليخ، كلوير، 1994.

[47] روبنسون، أبراهام (1966). التحليل غير القياسي.

[48] ناجل ونيومان، 1958، ص 9.

[49] كاجوري (1918)، ص 197.

[50] ماثيوز، بيني (2019). علم السكون والهندسة التحليلية ( الطبعة الأولى). إيدتك (نُشر في 21 يونيو 2019). ص 27. ISBN 9781839473333.

[51] إيفز، هوارد ويتلي (1997). أسس ومفاهيم الرياضيات الأساسية . كتب دوفر في الرياضيات ( الطبعة الثالثة). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص 55. ISBN 978-0-486-69609-6.

[Smith-52] ١ ٢ يمكن الاطلاع على مناقشة مفصلة في كتاب جيمس ت. سميث (٢٠٠٠). "الفصل ٢: الأسس" . مناهج الهندسة . وايلي. ص ١٩ وما بعدها . ISBN 0-471-25183-6.

[revue-53] مراجعة الميتافيزيقا والأخلاق، المجلد 8 . هاشيت. 1900. ص. 592.

[Newman-54] برتراند راسل (2000). "الرياضيات والميتافيزيقيون" . في جيمس روي نيومان (محرر). عالم الرياضيات . المجلد 3 (إعادة طبع طبعة سيمون وشوستر 1956 ). منشورات كوريير دوفر. ص 1577. ISBN 0-486-41151-6.

[Russell-55] برتراند راسل (1897). "مقدمة". مقال في أسس الهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج.

[Brikhoff-56] جورج ديفيد بيركوف؛ رالف بياتلي (1999). "الفصل الثاني: المبادئ الأساسية الخمسة" . الهندسة الأساسية ( الطبعة الثالثة). مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 38 وما بعدها . ISBN 0-8218-2101-6.

[Smith2-57] جيمس ت. سميث (10 يناير 2000). "الفصل 3: الهندسة الإقليدية الابتدائية" . مرجع . جون وايلي وأولاده. ص 84 وما بعدها . ISBN 9780471251835.

[Moise-58] إدوين إي. مويس (1990). الهندسة الابتدائية من منظور متقدم ( الطبعة الثالثة). أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-50867-2.

[Silvester-59] جون ر. سيلفستر (2001). "§1.4 هيلبرت وبيركوف" . الهندسة: القديمة والحديثة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-850825-5.

[Tarski0-60] ألفريد تارسكي (2007). "ما هي الهندسة الابتدائية؟" . في ليون هينكين؛ باتريك سوبس؛ ألفريد تارسكي (محررون). دراسات في المنطق وأسس الرياضيات - المنهج البديهي مع إشارة خاصة إلى الهندسة والفيزياء (وقائع الندوة الدولية في بيركلي 1957-1958؛ طبعة معاد طباعتها ). دار بروير للنشر. ص 16. ISBN 978-1-4067-5355-4نعتبر ذلك الجزء من الهندسة الإقليدية الذي يمكن صياغته وإثباته دون الاستعانة بأي أدوات نظرية المجموعات، جزءًا أساسيًا .

[Simmons-61] كيث سيمونز (2009). "منطق تارسكي" . في دوف م. غاباي؛ جون وودز (محرران). المنطق من راسل إلى تشيرش . إلسيفير. ص 574. ISBN 978-0-444-51620-6.

[62] فرانزين، توركيل (2005). نظرية غودل: دليل غير مكتمل لاستخدامها وإساءة استخدامها. إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-238-8الصفحات 25-26.

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

حدد إقليدس بعض ثوابت التناسب ذات الصلة ،

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[

[

[ 33 ]

،

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

العناصر​