متعدد الأوجه


المجسم متعدد السطوح هو شكل ثلاثي الأبعاد متعدد الوجوه

في الهندسة الابتدائية ، متعدد السطوح هو شكل هندسي ذو أسطح مستوية ( وجوه ). متعددات السطوح هي تعميم للمجسمات ثلاثية الأبعاد لأي عدد من الأبعاد. يمكن أن توجد متعددات السطوح في أي عدد عام من الأبعاد $n$ كمتعدد سطوح ذي $n$ بُعد أو متعدد سطوح $n-$ . على سبيل المثال، المضلع ثنائي الأبعاد هو متعدد سطوح ثنائي الأبعاد، والمجسم ثلاثي الأبعاد هو متعدد سطوح ثلاثي الأبعاد. في هذا السياق، تعني "الأسطح المستوية" أن أضلاع متعدد السطوح $(k + 1)$ - تتكون من $k$ متعددات سطوح قد تشترك في $(k - 1)$ متعددات سطوح.

تعمم بعض النظريات الفكرة لتشمل أشياء مثل الأشكال غير المحدودة والتقسيمات ، والتفكيكات أو التبليطات للمشعبات المنحنية بما في ذلك المجسمات الكروية ، والمجسمات المجردة لنظرية المجموعات .

تم اكتشاف الأشكال متعددة الأوجه التي تزيد أبعادها عن ثلاثة لأول مرة بواسطة لودفيج شلافلي قبل عام 1853، والذي أطلق على هذا الشكل اسم polyschem . ^{[ 1 ]} وقد صاغ عالم الرياضيات راينهولد هوب المصطلح الألماني Polytop ، وقدمته أليسيا بول ستوت إلى علماء الرياضيات الإنجليز باسم polytope .

التعريفات والمصطلحات

في الوقت الحاضر، يُعدّ مصطلح "متعدد السطوح" مصطلحًا واسعًا يشمل فئةً كبيرةً من الأشكال، وتظهر تعريفاتٌ مختلفةٌ له في الأدبيات الرياضية. ولا تتكافئ العديد من هذه التعريفات، مما يؤدي إلى تسمية مجموعاتٍ متداخلةٍ مختلفةٍ من الأشكال بمتعددات السطوح . وهي تمثل مناهجَ مختلفةً لتعميم متعددات السطوح المحدبة لتشمل أشكالًا أخرى ذات خصائص مماثلة.

يبدأ النهج الأصلي الذي اتبعه لودفيج شلافلي وثورولد جوسيت وغيرهما على نطاق واسع بالتوسع بالقياس إلى أربعة أبعاد أو أكثر، لفكرة المضلع والمجسم متعدد السطوح على التوالي في بعدين وثلاثة أبعاد. ^{[ 2 ]}

أدت محاولات تعميم خاصية أويلر للمجسمات متعددة الأوجه لتشمل المجسمات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأعلى إلى تطوير علم الطوبولوجيا ومعالجة التفكيك أو المركب CW باعتباره مماثلاً للمجسم متعدد الأوجه. ^{[ 3 ]} في هذا النهج، يمكن اعتبار المجسم متعدد الأوجه بمثابة تبليط أو تفكيك لمتشعب معين . يُعرّف مثال على هذا النهج المجسم متعدد الأوجه بأنه مجموعة من النقاط التي تقبل تفكيكًا تبسيطيًا . في هذا التعريف، المجسم متعدد الأوجه هو اتحاد عدد محدود من التبسيطات ، مع خاصية إضافية تتمثل في أنه لأي تبسيطين لهما تقاطع غير فارغ، يكون تقاطعهما رأسًا أو حافة أو وجهًا ذا أبعاد أعلى من التبسيطين. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، لا يسمح هذا التعريف بالمجسمات النجمية متعددة الأوجه ذات البنى الداخلية، وبالتالي فهو يقتصر على مجالات معينة من الرياضيات.

أدى اكتشاف المجسمات النجمية وغيرها من البنى غير المألوفة إلى فكرة اعتبار المجسم سطحًا محيطًا، مع إهمال باطنه. ^{[ 5 ]} في هذا السياق، تُكافئ المجسمات المحدبة في فضاء p تبليط الكرة ( p -1) ، بينما قد تكون مجسمات أخرى تبليطًا لأسطح إهليلجية أو مسطحة أو حلقية أخرى ( p -1) - انظر التبليط الإهليلجي والمجسم الحلقي . يُفهم المجسم على أنه سطح وجوهه مضلعات ، والمجسم الرباعي على أنه سطح فائق وجوهه ( خلاياه ) مجسمات، وهكذا.

تُعمَّم فكرة بناء متعدد السطوح ذي بُعد أعلى من متعددات السطوح ذات البُعد الأدنى أحيانًا إلى بُعد أدنى، حيث يُنظر إلى الحافة على أنها متعدد سطوح أحادي البُعد مُحاط بزوج من النقاط، بينما تُعتبر النقطة أو الرأس متعدد سطوح صفري البُعد. يُستخدم هذا النهج، على سبيل المثال، في نظرية متعددات السطوح المجردة .

في بعض فروع الرياضيات، يُستخدم مصطلحا "متعدد السطوح" و"متعدد الوجوه" بمعانٍ مختلفة: فمتعدد الوجوه (أو متعدد الوجوه ذو البعد n ) هو الشكل العام (المحدود أو غير المحدود) في أي بُعد (يُشار إليه بمتعدد السطوح في هذه المقالة)، بينما يُقصد بمتعدد السطوح متعدد الوجوه المحدود . ^{[ 6 ]} يقتصر هذا المصطلح عادةً على متعددات السطوح ومتعددات الوجوه المحدبة . وفقًا لهذا المصطلح، فإن متعدد الوجوه المحدب هو تقاطع عدد محدود من أنصاف الفضاءات ، ويُحدد بأضلاعه، بينما متعدد السطوح المحدب هو الغلاف المحدب لعدد محدود من النقاط، ويُحدد برؤوسه.

للمضلعات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأقل أسماء قياسية:

أبعاد متعدد الأوجه	الوصف ^{[ 7 ]}
-1	نوليتوب
0	مونوغون
1	ديجون
2	مضلع
3	متعدد الأوجه
4	بوليكورون ^{[ 7 ]}

عناصر

يتألف متعدد السطوح من عناصر ذات أبعاد مختلفة، مثل الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا، وما إلى ذلك. ولا يوجد اتساق تام في المصطلحات المستخدمة لوصف هذه العناصر بين مختلف المؤلفين. فعلى سبيل المثال، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "وجه" للإشارة إلى عنصر ذي بُعد ( n - 1)، بينما يستخدمه آخرون للدلالة على وجه ثنائي الأبعاد تحديدًا. وقد يستخدم المؤلفون مصطلح "وجه- j" أو "وجه- j" للإشارة إلى عنصر ذي بُعد j . ويستخدم البعض مصطلح "حافة" للإشارة إلى نتوء، بينما يستخدم HSM Coxeter مصطلح "خلية" للدلالة على عنصر ذي بُعد ( n - 1). ^{[ 8 ]}

ترد المصطلحات المعتمدة في هذه المقالة في الجدول أدناه:

أبعاد العنصر	المصطلح (في متعدد السطوح من الرتبة n )
-1	العدمية (ضرورية في النظرية المجردة ) ^{[ 7 ]}
0	رأس
1	حافة
2	وجه
3	خلية
$\vdots$	$\vdots$
ج	الوجه j – عنصر من الرتبة j = −1، 0، 1، 2، 3، ...، n
$\vdots$	$\vdots$
ن - 3	الوجه ( ن - 3) للقمة
ن - 2	الحافة أو السطح الفرعي - ( ن - ٢) سطح
ن - 1	الوجه – ( ن - 1) وجه
ن	المضلع المتعدد نفسه

يُحاط متعدد السطوح ذو البعد n بعدد من الأوجه ذات البعد ( n - 1 ) . هذه الأوجه هي بدورها متعددات سطوح، وأوجهها عبارة عن حواف ذات بعد ( n - 2) لمتعدد السطوح الأصلي. ينشأ كل حافة من تقاطع وجهين (ولكن ليس بالضرورة أن يكون تقاطع وجهين حافة). الحواف هي بدورها متعددات سطوح تُشكل أوجهها حدودًا ذات بعد ( n - 3) لمتعدد السطوح الأصلي، وهكذا. يُشار إلى هذه متعددات السطوح الفرعية المحيطة باسم الوجوه ، أو تحديدًا الوجوه ذات البعد j أو الوجوه j- . يُسمى الوجه ذو البعد 0 رأسًا ، ويتكون من نقطة واحدة. يُسمى الوجه ذو البعد 1 حافة ، ويتكون من قطعة مستقيمة. يتكون الوجه ذو البعد 2 من مضلع ، ويتكون الوجه ذو البعد 3، والذي يُسمى أحيانًا خلية ، من متعدد السطوح .

فئات مهمة من متعددات الوجوه

المضلعات المحدبة

قد يكون متعدد السطوح محدبًا . تُعد متعددات السطوح المحدبة أبسط أنواع متعددات السطوح، وتشكل أساسًا للعديد من التعميمات المختلفة لمفهوم متعددات السطوح. يُعرَّف متعدد السطوح المحدب أحيانًا بأنه تقاطع مجموعة من أنصاف الفضاءات . يسمح هذا التعريف لمتعدد السطوح بأن يكون غير محدود وغير منتهٍ. تُعرَّف متعددات السطوح بهذه الطريقة، على سبيل المثال، في البرمجة الخطية . يكون متعدد السطوح محدودًا إذا كانت هناك كرة ذات نصف قطر منتهٍ تحتويه. يُقال إن متعدد السطوح مُدبَّب إذا كان يحتوي على رأس واحد على الأقل. كل متعدد سطوح محدود وغير فارغ يكون مُدبَّبًا. مثال على متعدد سطوح غير مُدبَّب هو المجموعة $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ يكون متعدد السطوح منتهيًا إذا تم تعريفه بدلالة عدد منتهٍ من العناصر، مثلاً، كتقاطع عدد منتهٍ من أنصاف المستويات. ويكون متعدد السطوح صحيحًا إذا كانت جميع رؤوسه ذات إحداثيات صحيحة.

تُعتبر فئة معينة من متعددات الوجوه المحدبة متعددات وجوه انعكاسية . التكامل $d$ متعدد الأوجه ${\mathcal {P}}$ تكون انعكاسية إذا كان لبعض المصفوفات الصحيحة $\mathbf {A}$ ، ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ، أين $\mathbf {1}$ يرمز إلى متجه جميع عناصره تساوي واحدًا، والمتباينة تكون على مستوى كل عنصر. ويترتب على هذا التعريف أن ${\mathcal {P}}$ تكون انعكاسية إذا وفقط إذا $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ للجميع $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ بمعنى آخر، أ $(t+1)$ -توسع ${\mathcal {P}}$ يختلف، من حيث نقاط الشبكة الصحيحة، عن أ $t$ -توسع ${\mathcal {P}}$ فقط من خلال نقاط الشبكة المكتسبة على الحدود. أو بعبارة أخرى، ${\mathcal {P}}$ تكون انعكاسية إذا وفقط إذا كان متعدد الوجوه المزدوج الخاص بها ${\mathcal {P}}^{*}$ هو متعدد السطوح متكامل. ^{[ 9 ]}

متعددات الوجوه المنتظمة

تتمتع المضلعات المنتظمة بأعلى درجة من التناظر بين جميع المضلعات. وتؤثر مجموعة التناظر للمضلع المنتظم بشكل متعدٍ على أعلامه ؛ لذا، فإن المضلع الثنائي للمضلع المنتظم يكون منتظمًا أيضًا.

توجد ثلاث فئات رئيسية من متعددات الوجوه المنتظمة التي تظهر في أي عدد من الأبعاد:

الأشكال البسيطة ، بما في ذلك المثلث متساوي الأضلاع والهرم الرباعي المنتظم .
المكعبات الفائقة أو متعددات الوجوه القياسية، بما في ذلك المربع والمكعب .
الأضلاع المتعامدة أو متعددة الأوجه المتقاطعة، بما في ذلك المربع وثماني الأوجه المنتظم .

تشمل الأبعاد الثاني والثالث والرابع أشكالًا منتظمة ذات تناظر خماسي، بعضها نجوم غير محدبة. وفي بُعدين، يوجد عدد لا نهائي من المضلعات المنتظمة ذات التناظر من الرتبة n ، سواء كانت محدبة أو نجمية (عندما n ≥ 5). أما في الأبعاد الأعلى، فلا توجد أشكال متعددة الوجوه منتظمة أخرى. ^{[ 2 ]}

في ثلاثة أبعاد، تشمل الأجسام الأفلاطونية المحدبة المجسم ذو الاثني عشر وجهًا والمجسم ذو العشرين وجهًا المتناظرين خماسيًا ، وهناك أيضًا أربعة مجسمات متعددة الأوجه من نوع كبلر-بوينسو النجمية ذات التناظر الخماسي، ليصل المجموع إلى تسعة مجسمات متعددة الأوجه منتظمة.

في أربعة أبعاد، تتضمن المجسمات الرباعية المنتظمة مجسمًا محدبًا إضافيًا ذا تناظر رباعي، ومجسمين ذوي تناظر خماسي. يوجد عشرة مجسمات نجمية من نوع شلافلي-هيس رباعية ، جميعها ذات تناظر خماسي، مما ينتج عنه ستة عشر مجسمًا رباعيًا منتظمًا.

متعددات الوجوه النجمية

قد يكون متعدد السطوح غير المحدب متقاطعًا مع نفسه؛ وتشمل هذه الفئة من متعددات السطوح متعددات السطوح النجمية . بعض متعددات السطوح المنتظمة هي نجوم. ^{[ 2 ]}

ملكيات

خاصية أويلر

بما أن متعدد السطوح المحدب (المملوء) P في $d$ الأبعاد قابلة للانكماش إلى نقطة، خاصية أويلر $\chi$ يُعطى طول حدودها ∂P بواسطة المجموع المتناوب:

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

، أين

n_{j}

هو عدد

j

الوجوه ذات الأبعاد.

هذا يعمم صيغة أويلر للمجسمات متعددة الأوجه . ^{[ 10 ]}

الزوايا الداخلية

وبالمثل، تعمم نظرية غرام -أويلر المجموع المتناوب للزوايا الداخلية ${\textstyle \sum \varphi }$ بالنسبة للمجسمات المحدبة إلى متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى: ^{[ 10 ]}

\sum \varphi =(-1)^{d-1}

تعميمات متعدد السطوح

متعددات الوجوه اللانهائية

ليست كل المتشعبات منتهية. فعندما يُفهم متعدد السطوح على أنه تبليط أو تجزئة لمتشعب، يمكن توسيع هذا المفهوم ليشمل المتشعبات اللانهائية. تُعد التبليطات المستوية ، والتبليطات التي تملأ الفراغ ( خلايا النحل )، والتبليطات الزائدية، بهذا المعنى، متعددات سطوح، وتُسمى أحيانًا متعددات سطوح لا نهائية لأنها تحتوي على عدد لا نهائي من الخلايا.

ومن بين هذه الأشكال، توجد أشكال منتظمة تشمل المجسمات المائلة المنتظمة والسلسلة اللانهائية من التبليطات التي يمثلها الشكل المنتظم غير المنتظم ، والتبليط المربع، وقرص العسل المكعب، وما إلى ذلك.

متعددات الوجوه المجردة

تحاول نظرية متعددات الوجوه المجردة فصل متعددات الوجوه عن الفضاء الذي يحتويها، مع الأخذ في الاعتبار خصائصها التوافقية البحتة. وهذا يسمح بتوسيع تعريف المصطلح ليشمل الكائنات التي يصعب تحديد فضاء أساسي بديهي لها، مثل متعدد الوجوه ذي الـ 11 خلية .

المضلع المجرد هو مجموعة من العناصر أو الأعضاء مرتبة جزئيًا ، وتخضع لقواعد معينة. وهو بنية جبرية بحتة، وقد طُوّرت هذه النظرية لتجنب بعض المشكلات التي تُصعّب التوفيق بين مختلف الفئات الهندسية ضمن إطار رياضي متسق. ويُقال إن المضلع الهندسي هو تجسيد في فضاء حقيقي للمضلع المجرد المرتبط به. ^{[ 11 ]}

متعددات الوجوه المعقدة

توجد هياكل مماثلة للمضلعات في فضاءات هيلبرت المعقدة $\mathbb {C} ^{n}$ حيث يصاحب n من الأبعاد الحقيقية n من الأبعاد التخيلية . تُعامل متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة بشكل أكثر ملاءمة على أنها تكوينات . ^{[ 12 ]}

الازدواجية

كل متعدد الوجوه من الرتبة n له بنية ثنائية، يتم الحصول عليها عن طريق تبديل رؤوسه بالأوجه، وحوافه بالنتوءات، وما إلى ذلك، بشكل عام تبديل عناصره ذات الأبعاد ( j − 1) بعناصر ذات الأبعاد ( n − j ) (لـ j = 1 إلى n − 1)، مع الحفاظ على الاتصال أو التداخل بين العناصر.

بالنسبة للمضلع المجرد، يعكس هذا ببساطة ترتيب المجموعة. ويُلاحظ هذا الانعكاس في رموز شلافلي للمضلعات المنتظمة، حيث يكون رمز المضلع الثنائي هو عكس الرمز الأصلي. على سبيل المثال، {4، 3، 3} هو مضلع ثنائي لـ {3، 3، 4}.

في حالة المجسم الهندسي، يلزم وجود قاعدة هندسية للثنائية، انظر على سبيل المثال القواعد الموصوفة للمجسمات الثنائية . وبحسب الظروف، قد يكون الشكل الثنائي مجسمًا هندسيًا آخر أو لا يكون. ^{[ 13 ]}

إذا عُكس الشكل الثنائي، فإنه يُستعاد الشكل الأصلي. وبالتالي، توجد الأشكال المتعددة في أزواج ثنائية.

متعددات الوجوه ذاتية الازدواجية

إذا كان للمضلع نفس عدد الرؤوس مثل الأوجه، وعدد الحواف مثل الحواف، وما إلى ذلك، ونفس الاتصالات، فإن الشكل الثنائي سيكون مشابهًا للأصل ويكون المضلع ثنائيًا ذاتيًا.

تتضمن بعض الأشكال متعددة السطوح ذاتية التناظر الشائعة ما يلي:

كل مجسم بسيط منتظم من الرتبة n ، في أي عدد من الأبعاد، برمز شلافلي {3 ⁿ }. وتشمل هذه المثلث متساوي الأضلاع {3}، والهرم الرباعي المنتظم {3,3}، والخلية الخماسية {3,3,3}.
كل خلية نحل مكعبة فائقة ، بأي عدد من الأبعاد. وتشمل هذه الخلايا الشكل اللانهائي {∞}، والتبليط المربع {4,4}، وخلية النحل المكعبة {4,3,4}.
العديد من التبليطات الزائدية المدمجة والمتراصة وغير المدمجة، مثل تبليط قرص العسل ذي العشرين وجهًا {3,5,3}، والتبليط الخماسي من الرتبة 5 {5,5}.
في بعدين، جميع المضلعات المنتظمة (المضلعات المنتظمة ثنائية الأبعاد)
في ثلاثة أبعاد، الأهرامات المضلعة المتعارف عليها والأهرامات المطولة ، والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا المصغر رباعي الأوجه.
في أربعة أبعاد، توجد الخلية ذات الـ 24 خلية ، برمز شلافلي {3،4،3}. وكذلك الخلية الكبيرة ذات الـ 120 خلية {5،5/2،5} والخلية النجمية الكبيرة ذات الـ 120 خلية {5/2،5،5/2}.

تاريخ

المضلعات والمجسمات متعددة الأوجه معروفة منذ العصور القديمة.

ظهرت أولى بوادر وجود أبعاد أعلى في عام 1827 عندما اكتشف أوغست فرديناند موبيوس أنه يمكن وضع جسمين متطابقين تمامًا عن طريق تدوير أحدهما عبر بُعد رياضي رابع. وبحلول خمسينيات القرن التاسع عشر، كان عدد قليل من علماء الرياضيات الآخرين، مثل آرثر كايلي وهيرمان غراسمان، قد فكروا أيضًا في الأبعاد الأعلى.

كان لودفيج شلافلي أول من درس نظائر المضلعات والمجسمات في هذه الفضاءات العليا. وصف ستة مجسمات منتظمة محدبة رباعية الأبعاد عام ١٨٥٢، لكن عمله لم يُنشر إلا عام ١٩٠١، أي بعد ست سنوات من وفاته. وبحلول عام ١٨٥٤، رسّخ برنارد ريمان ، من خلال أطروحته للتأهيل، هندسة الأبعاد العليا، وبذلك أصبح مفهوم المجسمات متعددة الأبعاد من الرتبة n مقبولاً. وقد أُعيد اكتشاف مجسمات شلافلي مرات عديدة في العقود اللاحقة، حتى خلال حياته.

في عام ١٨٨٢، صاغ راينهولد هوب ، وهو يكتب باللغة الألمانية، مصطلح "بوليتوب" للإشارة إلى هذا المفهوم الأعم للمضلعات والمجسمات. وفي وقت لاحق، أدخلت أليسيا بول ستوت ، ابنة عالم المنطق جورج بول ، مصطلح " بوليتوب" إلى اللغة الإنجليزية. ^{[ ٢ ]}^{: ٦}

في عام 1895، لم يكتفِ ثورولد جوسيت بإعادة اكتشاف متعددات الوجوه المنتظمة لشلافلي، بل بحث أيضًا في مفاهيم متعددات الوجوه شبه المنتظمة والتبليطات التي تملأ الفراغ في أبعاد أعلى. كما بدأت دراسة متعددات الوجوه في فضاءات غير إقليدية، مثل الفضاء الزائدي.

تم تحقيق إنجاز هام في عام 1948 مع كتاب HSM Coxeter بعنوان Regular Polytopes ، والذي يلخص العمل حتى ذلك الحين ويضيف اكتشافات جديدة خاصة به.

في غضون ذلك، طوّر عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه الفكرة الطوبولوجية للمتعدد الوجوه باعتباره تجزئة جزئية (مثل مُركّب CW ) لمتشعب . ونشر برانكو غرونباوم عمله المؤثر حول متعددات الوجوه المحدبة عام 1967.

في عام 1952، عمم جيفري كولين شيبارد الفكرة على أنها متعددات وجوه معقدة في فضاء معقد، حيث يرتبط بكل بُعد حقيقي بُعد تخيلي. وقد طور كوكسيتر النظرية بشكل أكبر.

أدت القضايا المفاهيمية التي أثارتها متعددات الوجوه المعقدة، وعدم التحدب، والازدواجية، وغيرها من الظواهر، إلى دفع غرونباوم وآخرين إلى دراسة أعمّ للخصائص التوافقية المجردة التي تربط الرؤوس والحواف والوجوه، وما إلى ذلك. ومن الأفكار ذات الصلة فكرة مجمعات الوقوع، التي درست وقوع أو اتصال العناصر المختلفة ببعضها البعض. وقد أفضت هذه التطورات في نهاية المطاف إلى نظرية متعددات الوجوه المجردة كمجموعات مرتبة جزئيًا، أو مجموعات جزئية مرتبة، من هذه العناصر. وقد نشر بيتر ماكمولين وإيغون شولت كتابهما " متعددات الوجوه المنتظمة المجردة" عام 2002.

لا يزال حصر المضلعات المنتظمة ، المحدبة وغير المحدبة، في أربعة أبعاد أو أكثر، يمثل مشكلةً عالقة. وقد قام جون كونواي ومايكل جاي بحصر المضلعات المنتظمة المحدبة في أربعة أبعاد بالكامل باستخدام الحاسوب عام 1965؛ ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} أما في الأبعاد الأعلى، فقد ظلت هذه المشكلة مفتوحة حتى عام 1997. ^{[ 16 ]} ولا يزال الحصر الكامل للمضلعات المنتظمة غير المحدبة غير معروف في الأبعاد أربعة فأكثر حتى عام 2008. ^{[ 17 ]}

في العصر الحديث، وجدت متعددات الوجوه والمفاهيم ذات الصلة تطبيقاتٍ مهمةً في مجالاتٍ متنوعةٍ كرسومات الحاسوب ، والتحسين ، ومحركات البحث ، وعلم الكونيات ، وميكانيكا الكم، وغيرها الكثير. وفي عام ٢٠١٣، تم اكتشاف المجسم السعوي كبنيةٍ مبسطةٍ في بعض حسابات الفيزياء النظرية.

التطبيقات

في مجال التحسين ، يدرس البرمجة الخطية القيم العظمى والصغرى للدوال الخطية ؛ وتقع هذه القيم العظمى والصغرى على حدود متعدد السطوح ذي الأبعاد n . في البرمجة الخطية، تُستخدم متعددات السطوح في الإحداثيات المركزية المعممة ومتغيرات الركود .

في نظرية التويستر ، وهي فرع من الفيزياء النظرية ، يُستخدم متعدد السطوح يُسمى الأمبليتوهيدرون لحساب سعات تشتت الجسيمات دون الذرية عند تصادمها. هذا البناء نظري بحت ولا يوجد له أي تطبيق فيزيائي معروف، ولكنه يُقال إنه يُبسط بعض الحسابات بشكل كبير. ^{[ 18 ]}

انظر أيضاً

حجم الإحاطة - متعدد السطوح الموجه المنفصل
امتداد متعدد السطوح
خلية النحل (هندسة)
تقاطع متعدد السطوح مع خط
قائمة متعددات الوجوه المنتظمة
أوبيتوب
بوليتوب دي مونتريال

مراجع

الاقتباسات

↑ كوكسيتر 1973 ، ص 141-144، §7-x. ملاحظات تاريخية.
1 2 3 4 كوكسيتر (1973)
↑ ريتشسون، د. (2008). جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وولادة علم الطوبولوجيا . مطبعة جامعة برينستون.
↑ غرونباوم (2003)
↑ كرومويل، ب.؛ متعددات الأوجه ، مطبعة جامعة كامبريدج (كتاب ورقي 1999) ص 205 وما بعدها.
↑ نيمهاوزر وولسي، "تحسين الأعداد الصحيحة والتوافقية"، 1999، ISBN 978-0471359432، التعريف 2.2.
1 2 3 جونسون، نورمان دبليو؛ الهندسة والتحويلات ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2018، ص 224.
↑ متعددات الوجوه المنتظمة، ص 127. يُطلق على الجزء من متعدد الوجوه الذي يقع في أحد المستويات الفائقة اسم الخلية.
↑ بيك، ماتياس؛ روبنز، سيناي (2007)، حساب المتصل بشكل منفصل: تعداد النقاط الصحيحة في متعددات السطوح ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-29139-0، MR 2271992
1 2 م. أ. بيرلز وج. س. شيبارد. 1967. "مجموع زوايا متعددات الوجوه المحدبة". مجلة الرياضيات الإسكندنافية ، المجلد 21، العدد 2. مارس 1967. الصفحات 199-218.
↑ ماكمولين، بيتر ؛ شولت، إيغون (ديسمبر 2002)، متعددات الوجوه المنتظمة المجردة ( الطبعة الأولى)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-81496-0
↑ كوكسيتر، إتش إس إم؛ متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ، 1974
↑ وينينجر، م.؛ النماذج المزدوجة ، مطبعة جامعة كامبريدج (1983).
↑ جون هورتون كونواي: عبقري الرياضيات - ريتشارد ك. جاي
↑ كورتيس، روبرت تيرنر (يونيو 2022). "جون هورتون كونواي. 26 ديسمبر 1937 - 11 أبريل 2020" . مذكرات السيرة الذاتية لزملاء الجمعية الملكية . 72 : 117-138 . doi : 10.1098/rsbm.2021.0034 .
↑ تناظر متعددات الوجوه ومتعددات السطوح ، إيغون شولت. ص 12: "ومع ذلك، هناك العديد من متعددات الوجوه المنتظمة الأخرى، ولكن القائمة الكاملة معروفة فقط لـ d = 4 [Joh]."
↑ جون هورتون كونواي ، هايدي بورجيل، وحاييم جودمان شتراوس : تناظرات الأشياء ، ص 408. "هناك أيضًا نظائر نجمية للمجسمات متعددة الأوجه الأرخميدية... على حد علمنا، لم يقم أحد بعد بحصر النظائر في أربعة أبعاد أو أعلى."
↑ أركاني حامد، نعمة؛ ترنكا ، ياروسلاف (2013). "المسطح المتسع". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2014 (10): 30. أرخايف : 1312.2007 . بيب كود : 2014JHEP...10..030A . دوى : 10.1007/JHEP10(2014)030 .

فهرس

كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1973)، متعددات الوجوه المنتظمة ، نيويورك: منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-61480-9.
غرونباوم، برانكو (2003)، كايبل، فولكر؛ كلي, فيكتور ; Ziegler، Günter M. (eds.)، polytopes محدبة ( الطبعة الثانية)، نيويورك ولندن: Springer-Verlag ، ISBN 0-387-00424-6.
زيغلر، غونتر م. (1995)، محاضرات في متعددات الوجوه ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 152، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد الأوجه" . عالم الرياضيات .
"الرياضيات ستغير عالمك" – تطبيق متعددات الوجوه على قاعدة بيانات من المقالات المستخدمة لدعم موجزات الأخبار المخصصة عبر الإنترنت – ( بيزنس ويك أونلاين )
المضلعات المحدبة المنتظمة وشبه المنتظمة: لمحة تاريخية موجزة:

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بولي كلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبلكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[FOOTNOTECoxeter1973141–144§7-x._Historical_remarks-1] كوكسيتر 1973 ، ص 141-144، §7-x. ملاحظات تاريخية.

[coxeter1973-2] 1 2 3 4 كوكسيتر (1973)

[3] ريتشسون، د. (2008). جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وولادة علم الطوبولوجيا . مطبعة جامعة برينستون.

[Grünbaum2003-4] غرونباوم (2003)

[5] كرومويل، ب.؛ متعددات الأوجه ، مطبعة جامعة كامبريدج (كتاب ورقي 1999) ص 205 وما بعدها.

[6] نيمهاوزر وولسي، "تحسين الأعداد الصحيحة والتوافقية"، 1999، ISBN 978-0471359432، التعريف 2.2.

[johnson224-7] 1 2 3 جونسون، نورمان دبليو؛ الهندسة والتحويلات ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2018، ص 224.

[8] متعددات الوجوه المنتظمة، ص 127. يُطلق على الجزء من متعدد الوجوه الذي يقع في أحد المستويات الفائقة اسم الخلية.

[9] بيك، ماتياس؛ روبنز، سيناي (2007)، حساب المتصل بشكل منفصل: تعداد النقاط الصحيحة في متعددات السطوح ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-29139-0، MR 2271992

[pands-10] 1 2 م. أ. بيرلز وج. س. شيبارد. 1967. "مجموع زوايا متعددات الوجوه المحدبة". مجلة الرياضيات الإسكندنافية ، المجلد 21، العدد 2. مارس 1967. الصفحات 199-218.

[11] ماكمولين، بيتر ؛ شولت، إيغون (ديسمبر 2002)، متعددات الوجوه المنتظمة المجردة ( الطبعة الأولى)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-81496-0

[12] كوكسيتر، إتش إس إم؛ متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ، 1974

[13] وينينجر، م.؛ النماذج المزدوجة ، مطبعة جامعة كامبريدج (1983).

[14] جون هورتون كونواي: عبقري الرياضيات - ريتشارد ك. جاي

[15] كورتيس، روبرت تيرنر (يونيو 2022). "جون هورتون كونواي. 26 ديسمبر 1937 - 11 أبريل 2020" . مذكرات السيرة الذاتية لزملاء الجمعية الملكية . 72 : 117-138 . doi : 10.1098/rsbm.2021.0034 .

[16] تناظر متعددات الوجوه ومتعددات السطوح ، إيغون شولت. ص 12: "ومع ذلك، هناك العديد من متعددات الوجوه المنتظمة الأخرى، ولكن القائمة الكاملة معروفة فقط لـ d = 4 [Joh]."

[17] جون هورتون كونواي ، هايدي بورجيل، وحاييم جودمان شتراوس : تناظرات الأشياء ، ص 408. "هناك أيضًا نظائر نجمية للمجسمات متعددة الأوجه الأرخميدية... على حد علمنا، لم يقم أحد بعد بحصر النظائر في أربعة أبعاد أو أعلى."

[18] أركاني حامد، نعمة؛ ترنكا ، ياروسلاف (2013). "المسطح المتسع". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2014 (10): 30. أرخايف : 1312.2007 . بيب كود : 2014JHEP...10..030A . دوى : 10.1007/JHEP10(2014)030 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗