متعدد السطوح النجمي
في الهندسة ، المجسم النجمي هو مجسم متعدد الأوجه يتميز بصفة متكررة من عدم التحدب مما يمنحه مظهرًا بصريًا يشبه النجمة.
يوجد نوعان عامان من متعددات السطوح النجمية:
- المجسمات متعددة الأوجه التي تتقاطع مع نفسها بطريقة متكررة.
- المجسمات المقعرة من نوع خاص، والتي تتناوب فيها الرؤوس المحدبة والمقعرة أو السرجية بشكل متكرر. رياضياً، تُعد هذه الأشكال أمثلة على المجالات النجمية .
تُعنى الدراسات الرياضية للمجسمات النجمية عادةً بالمجسمات المنتظمة أو المتجانسة ، أو ثنائيات المجسمات المنتظمة. جميع هذه النجوم من النوع المتقاطع ذاتيًا.
متعددات السطوح النجمية ذاتية التقاطع
متعددات السطوح النجمية المنتظمة
المجسمات النجمية المنتظمة هي مجسمات متقاطعة ذاتيًا. قد يكون لها وجوه متقاطعة ذاتيًا، أو أشكال رؤوس متقاطعة ذاتيًا .
توجد أربعة أشكال نجمية منتظمة ، تُعرف باسم أشكال كبلر-بوانسو . يرمز رمز شلافلي { p , q } إلى وجوه ذات p ضلع، وأشكال رأسية ذات q ضلع. اثنان منها لهما وجوه خماسية الشكل {5/2}، واثنان لهما أشكال رأسية خماسية الشكل.
يوجد أيضًا عدد لا نهائي من ثنائيات السطوح النجمية المنتظمة وثنائيات السطوح النجمية المنتظمة {2, p/q } و { p/q , 2} لأي مضلع نجمي { p/q }. على الرغم من أنها متدهورة في الفضاء الإقليدي، إلا أنه يمكن تمثيلها كرويًا في شكل غير متدهور.
متعددات السطوح النجمية المزدوجة المنتظمة والمنتظمة
هناك العديد من المجسمات النجمية المنتظمة بما في ذلك سلسلتين لانهائيتين، من الموشورات والموشورات المضادة ، ونظائرها الثنائية .
تُعتبر المجسمات النجمية المنتظمة والمجسمات النجمية المنتظمة المزدوجة مجسمات متقاطعة ذاتيًا. وقد تحتوي إما على أوجه متقاطعة ذاتيًا ، أو أشكال رؤوس متقاطعة ذاتيًا، أو كليهما.
تتميز المجسمات النجمية المنتظمة بوجوه منتظمة أو وجوه مضلعة نجمية منتظمة . أما المجسمات النجمية المنتظمة المزدوجة، فتتميز بوجوه منتظمة أو أشكال رؤوس مضلعة نجمية منتظمة.
| متعدد السطوح منتظم | متعدد السطوح المزدوج |
|---|---|
 المنشور الخماسي النجمي هو متعدد السطوح نجمي موشوري . ويتكون من وجهين خماسيين متصلين بخمسة أوجه مربعة متقاطعة. |  الهرم الثنائي الخماسي النجمي هو أيضاً متعدد السطوح نجمي ، ويمثل الشكل الثنائي للمنشور الخماسي النجمي. وهو متعدٍ على الأوجه ، ويتكون من عشرة مثلثات متساوية الساقين متقاطعة . |
 المجسم ذو الاثني عشر وجهًا هو متعدد السطوح نجمي، يتكون من شكل رأس واحد من الوجوه السداسية والعشارية المتقاطعة ، {10/3} . |  يُعدّ الشكل الدوديكوساكرون العظيم ثنائي الشكل الدوديكوساهيدرون العظيم . وهو شكل متعدٍّ على الوجوه ، ويتألف من 60 وجهًا رباعيًا متقاطعًا على شكل ربطة عنق . |
الأبراج والقطع المصقولة
بالإضافة إلى الأشكال المذكورة أعلاه، هناك فئات لا حصر لها من متعددات السطوح المتقاطعة ذاتيًا (النجمية).
هناك فئتان مهمتان هما تشكيلات المجسمات المحدبة ومجسماتها الثنائية، وهي أوجه المجسمات الثنائية.
على سبيل المثال، يمكن تفسير التشكيل النجمي الكامل للمجسم العشري الوجوه (الموضح) على أنه متعدد السطوح متقاطع ذاتيًا يتكون من 20 وجهًا متطابقًا، كل منها مضلع ملتف (9/4). فيما يلي رسم توضيحي لهذا متعدد السطوح مع رسم أحد الوجوه باللون الأصفر.
متعددات الوجوه النجمية
يُطلق على متعدد السطوح المتقاطع ذاتيًا في أي عدد من الأبعاد اسم متعدد السطوح النجمي .
يكون متعدد السطوح المنتظم { p , q , r ,..., s , t } متعدد سطوح نجمي إذا كان أي من أوجهه { p , q ,... s } أو شكل رأسه { q , r ,..., s , t } متعدد سطوح نجمي.
في أربعة أبعاد، تُسمى الأشكال النجمية العشرة المنتظمة متعددة الألوان بأشكال شلافلي-هيس متعددة الألوان . وعلى غرار الأشكال النجمية متعددة السطوح المنتظمة، تتكون هذه الأشكال العشرة جميعها من أوجه إما أن تكون واحدة من الأجسام الأفلاطونية الخمسة المنتظمة أو واحدة من الأشكال النجمية الأربعة المنتظمة متعددة السطوح كبلر-بوانسو .
على سبيل المثال، تبدو الخلية النجمية الكبيرة المكونة من 120 خلية ، عند إسقاطها بشكل متعامد في الفضاء ثلاثي الأبعاد، على النحو التالي:
لا توجد متعددات وجوه نجمية منتظمة بأبعاد أعلى من 4 .
متعددات السطوح النجمية في نطاق النجوم
يُعدّ المجسم متعدد السطوح الذي لا يتقاطع مع نفسه، بحيث يمكن رؤية جميع أجزائه الداخلية من نقطة داخلية واحدة، مثالاً على نطاق نجمي . تُشكّل الأجزاء الخارجية المرئية للعديد من المجسمات النجمية المتقاطعة ذاتيًا حدود النطاقات النجمية، ولكن على الرغم من تشابه مظهرها، فإنها تُمثّل هياكل مختلفة كمجسمات مجردة . فعلى سبيل المثال، يحتوي المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا على شكل نجمة خماسية، بينما يحتوي النطاق النجمي المقابل له على 60 وجهًا على شكل مثلث متساوي الساقين، وبالتالي يختلف عدد رؤوسه وحوافه.
تظهر نطاقات النجوم متعددة الأوجه في أنماط معمارية متنوعة، غالباً ما تكون ذات طابع ديني. على سبيل المثال، تُرى هذه النجوم على العديد من الكنائس الباروكية كرموز للبابا الذي بنى الكنيسة، وعلى الكنائس المجرية وغيرها من المباني الدينية. كما يمكن استخدام هذه النجوم كعناصر زخرفية. وتُستخدم النجوم المورافية لكلا الغرضين، ويمكن تشكيلها بأشكال مختلفة.
انظر أيضاً
مراجع
- Coxeter, HSM , MS Longuet-Higgins and JCP Miller, Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
- كوكسيتر، إتش إس إم، متعددات الوجوه المنتظمة ، الطبعة الثالثة، منشورات دوفر، 1973. رقم ISBN 0-486-61480-8(VI. متعددات السطوح النجمية، XIV. متعددات السطوح النجمية) (ص 263)
- جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26، متعددات الوجوه النجمية المنتظمة، الصفحات 404-408)
- Tarnai, T., Krähling, J. and Kabai, S.; “Star polyhedra: from Sant Mark's Basilica in Venice to Hungary protant church”, Paper ID209, Proc. of the IASS 2007, Shell and Spatial Structures: String Architecture-Forths to the Future Looking to the Past , University of IUAV, 2007.أُرشف بتاريخ 29 نوفمبر 2010 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
روابط خارجية
- متعددات السطوح